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湖南省湘潭市岳塘区湘潭市第十二中学2025年中考一模数学试题
一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．（2025·岳塘模拟）早在两千多年前，中国人就开始使用负数，如果收入元记作元，那么支出元可以记作（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：如果收入元记作元，那么支出元应记作元．
故选：D．
【分析】本题考查正数与负数的意义，正数是指大于零的数，它们在数轴上位于原点（0）的右侧，负数是指小于零的数，它们在数轴上位于原点（0）的左侧，正数和负数常用来表示具有相反意义的量，结合正数与负数的意义，即可解答．
2．（2025·岳塘模拟）2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接.数据384000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 384000 =
故答案为：B.
【分析】把一个数表示成a×10n的形式时， a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
3．（2025·岳塘模拟）下列标点符号中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．该标点符号是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.
4．（2025·岳塘模拟）下列运算中，计算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项正确；
D、与不是同类项，无法合并，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断A；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断B；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断C；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，据此可判断D.
5．（2025·岳塘模拟）若有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式有意义，
，解得．
故选：A．
【分析】根据二次根式有意义的条件为被开方数为非负数求出x的取值范围即可．
6．（2025·岳塘模拟）下列命题是真命题的是（　　）
A．同位角相等
B．菱形的四条边相等
C．正五边形的其中一个内角是72°
D．单项式的次数是4
【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故A选项错误，是假命题，不符合题意；
B、菱形的四条边相等，B选项正确，是真命题，符合题意；
C、正五边形的内角度数都相等，等于，故C选项错误，是假命题，不符合题意；
D单项式的次数是1+2=3，故D选项错误，是假命题，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质，菱形的性质，正多边形的性质以及单项式的系数和次数判断即可.
7．（2025·岳塘模拟）某小组长统计组内5人在课堂上的发言次数分别为2，3，1，4，5，关于这组数据的中位数是（　　）
A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：在2，3，1，4，5，这组数据中，排序后为：1，2，3，4，5，故中位数为3．
故选：B．
【分析】
根据中位数的定义，即中位数是将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。题目中给出的数据将其从小到大进行排列，得到1，2，3，4，5。这组数据一共有5个，5是奇数，根据中位数的定义，处于中间位置的数就是中位数。5个数中间位置是第
3个，所以这组数据的中位数是3。
8．（2025·岳塘模拟）如图，是的直径，点B、D在上，，，则的长度是（　　）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；解直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵，
∴，
在中，，
即，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据等边对等角可得，，再根据正切定义及特殊角的三角函数值即可求出答案.
9．（2025·岳塘模拟）如图，，分别是的边，上的点，且，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过作于点F，如图所示：
，，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：C．
【分析】
先由共底同高两三角形面积比等于底边的比可得BE：CE＝2：3，再由三角形相似的预备定理可得和，且相似比都等于DE：AC＝2：5，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
10．（2025·岳塘模拟）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．已知点，有下列结论：
点，都是点的“倍增点”；
若直线上的点是点的“倍增点”，则点的坐标为；
抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
若点是点的“倍增点”，则的最小值是；
其中，正确结论的个数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
则是的“倍增点”，
∵，，
∴，，
则是的“倍增点”，故正确；
由题意设“倍增点”，
∴，解得：，
∴点，故正确；
设抛物线的“倍增点”为，
∴，整理得：，
∴方程有两个不相等的实数根，即存在两个点是点的“倍增点”，故正确；
设，
∴，
则，
，
，
，
当时，有最小值，
∴的最小值，故正确；
综上可知正确，
故选：．
【分析】
由倍增点的坐标特征逐一验证即可；
由直线上点的坐标特征可设点A的坐标为（a，a+2），再由倍增点的坐标特征可得，再方程得a=-2；
由抛物线上点的坐标特征可设倍增点B的坐标为，再由倍增点的坐标特征可得关于x的方程并整理得，由于，所以该方程有两个不相等的实数根，即存在两个倍增点；
设倍增点B的坐标为 ，由倍增点的坐标特征知，再由两点距离公式可得P1B2是关于x的二次函数，且二次项系数为正，则P1B2 有最小值，再利用二次函数的性质求出这个最小值，则其算术平方根可得．
二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分）．
11．（2025·岳塘模拟）= 　 　
【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： =3．
故答案为：3．
【分析】根据算术平方根的概念直接解答即可
12．（2025·岳塘模拟）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象写在看上去无差别的卡片上（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中的卡片上写的生活现象是物理变化的概率是　 　．
冰化成水 物理变化 铁棒生锈 化学变化 酒精燃烧 化学变化 衣服晾干 物理变化 光合作用 化学变化 牛奶变质 化学变化
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵一共有6张卡片，其中写着物理变化的卡片有2张，且每张卡片被抽到的概率相同，
∴从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是，
故答案为：．
【分析】
简单事件的概率计算，直接利用概率计算公式进行求解即可．
13．（2025·岳塘模拟）方程的解为　 　．
【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
【分析】
分式方程，先去分母化分式方程为整式方程，再解整式方程并验根，再根据验根的结果写根．
14．（2025·岳塘模拟）已知等腰三角形的一个顶角为，则它的底角为　 　（度）．
【答案】55
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：等腰三角形的一个顶角为，
这个等腰三角形的底角．
故答案为：55．
【分析】
利用等腰三角形的两底角相等结合三角形内角和定理求解即可．
15．（2025·岳塘模拟）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
16．（2025·岳塘模拟）已知近视眼镜的度数（度）与镜片焦距满足反比例函数，当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为，则　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：依题意，把，代入反比例函数，
得，
∴，
故答案为：．
【分析】
由双曲线上点的坐标特征把代入到函数解析式中计算即可．
17．（2025·岳塘模拟）如图，在中，分别以，两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点、，若，的周长为10，则的周长是　 　．
【答案】16
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由尺规作图得垂直平分线，
所以，且，
又，
所以的周长为：．
故答案为：16．
【分析】
根据尺规作图得MN是AB的垂直平分线，则由线段垂直平分线的性质知AD＝BD、AB＝2AE＝2BE，则的周长转化为AC+BC＝10，再利用周长计算公式并整体代值求出AB+AC+BC即可．
18．（2025·岳塘模拟）数学家高斯在小的时候就发现：，，从而得到．等边三角形有着数学的美，将多个等边三角形拼接在一起，仿佛是大自然精心设计的镶嵌艺术，展现出等边三角形在空间组合上的奇妙规律．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则　 　．（结果用含的代数式表示）
【答案】
【知识点】整式的混合运算；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：解：依题意得：，，，，，
故答案为：．
【分析】
先寻找图形递变规律，由于n=1时有1个三角形， 即；
n=2时有5个三角形，即 ；
n=3时有9个三角形，即 ；
即
则．
三、解答题：（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
19．（2025·岳塘模拟）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】实数的混合运算，先乘方，即求负整数指数幂和零次幂，再分别求实数的绝对值和特殊角的三角函数值，最后再进行乘法运算，最后再加减即可．
20．（2025·岳塘模拟）先化简，再求值：，请从，，，四个数中选取一个你喜欢的代入求值．
【答案】解：
，
由题意可知，，，
，，
当时，原式（当时，原式）．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先对括号内的异分母分式通分并作减法运算，再化除法为乘法，再对分子分母分别分解因式并约分，再化结果为整式或最简分式，然后从，，，四个数中选取使得原分式有意义的的值代入结果中进行计算即可．
21．（2025·岳塘模拟）为弘扬中华传统文化，某校开展“戏剧进课堂”活动．该校随机抽取部分学生，四个类别：表示“很喜欢”，表示“喜欢”，表示“一般”，表示“不喜欢”，调查他们对戏剧的喜爱情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图
根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）此次共调查了 名学生；
（2）请补全类条形统计图；
（3）扇形统计图中．类所对应的扇形圆心角的大小为 度；
（4）该校共有1560名学生，估计该校表示“很喜欢”的类的学生有多少人？
【答案】（1）60；
（2）答：补全条形统计图，如图所示，
（3）；
（4）解：（人）
答：估计该校表示“很喜欢”的A类的学生有260人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）此次调查学生总数：（人），
故答案为：60；
（2）D类人数为：（人），
（3）扇形统计图中，B类所对应的扇形圆心角的大小为：，
故答案为：；
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可利用C类人数及所占百分比求出调查总人数；
（2）利用总人数分别送去A、B、C三类人数可得D类人数，再补全条形统计图即可；
（3）用B类人数除以总人数再乘以即可；
（4）用全校总人数乘以A类的占比即可．
22．（2025·岳塘模拟）如图，在四边形中，，点E在上，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，平分，，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
，
∵四边形是平行四边形，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】
（1）先由内错角相等可得，又，可由平行四边形的概念判定结论成立；
（2）先利用直角三角形中角的性质求得的长，再由直角三角形两锐角互余结合角平分线的概念可得，再解直角三角形求出EC的长，最后借助平行四边形的对边相等即可．
（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
由勾股定理得，即，
解得，
∵四边形是平行四边形，
∴．
23．（2025·岳塘模拟）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在中国哈尔滨市刚刚落幕，中国代表团以32金27银26铜取得了金牌和奖牌双第一名的优异成绩．本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．某批发市场门店销售“滨滨”和“妮妮”两种纪念品，若一个“妮妮”纪念品的价格比一个“滨滨”纪念品的价格多30元，且用600元购买“滨滨”纪念品的数量与用900元购买“妮妮”纪念品的数量相等．
（1）“滨滨”和“妮妮”两种纪念品的单价分别是多少元？
（2）某商店计划购进“滨滨”和“妮妮”两种纪念品共30个，若进货总支出不超过2000元，求最多可以购进“妮妮”纪念品多少个？
【答案】（1）解：设“滨滨”纪念品单价为元，则“妮妮”纪念品的单价为元．根据题意得：
解得：，
经检验是原分式方程的解，且符合题意，
则．
答：“滨滨”纪念品单价为60元，“妮妮”纪念品的单价为90元．
（2）解：设购买“妮妮”纪念品个，则购买“滨滨”纪念品个．
根据题意得：
解得：．
因为为整数
所以的最大值为6．
答：最多可以购进“妮妮”纪念品6个．
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设“滨滨”纪念品的单价为元，则“妮妮”的单价为“”元，再由等量关系“用600元购买“滨滨”纪念品的数量与用900元购买“妮妮”纪念品的数量相等”列方程并求解即可；
（2）设购进设购买“妮妮”纪念品个，则购买“滨滨”纪念品个，再根据不等关系“此次进货的总资金不超过2000元”列出不等式并求出最大整数解即可．
（1）设“滨滨”纪念品单价为元，则“妮妮”纪念品的单价为元．
根据题意得：
解得：，
经检验是原分式方程的解，且符合题意，
则．
答：“滨滨”纪念品单价为60元，“妮妮”纪念品的单价为90元．
（2）设购买“妮妮”纪念品个，则购买“滨滨”纪念品个．
根据题意得：
解得：．
因为为整数
所以的最大值为6．
答：最多可以购进“妮妮”纪念品6个．
本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，列不等式求最大值问题的运用，正确不等关系是解题关键．
24．（2025·岳塘模拟）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．
（1）求的度数．
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：）
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：该运动员能挂上篮网，理由如下．如图，延长交于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∴该运动员能挂上篮网．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余解答即可；
（2）延长交于点，即可得哦大，在中，根据正弦定义求得长，再根据线段的和差求出OM长，比较大小解题即可．
25．（2025·岳塘模拟）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，已知点为第四象限抛物线上的点，连接、、、，且和相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标．
（3）如图2，设点，是直线下方抛物线上的两动点，且，过点作轴，交于点，过点作，交于点．求的最大值．
【答案】（1）解：把和代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：，
，
即，
令，则，
解得：或3，
，
，
，
，
，
点为第四象限抛物线上的动点，
，
当，
解得，
或．
（3）解：设直线的解析式为，
将，代入：，
解得：，
直线的解析式为，
，，
，
过点作轴交直线于点，如图所示：
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，，
，，
，，
，，
，
，
当时，有最大值，最大值为4．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）观察图形知：，即，可先利用抛物线上点的坐标特征求出点C的坐标，则的面积可得，再利用三角形的面积公式可求得点的纵坐标，然后由二次函数图形上点的坐标特征求得点E的横坐标即可；
（3）由于OC=OB，即是等腰直角三角形，则过点作轴交直线于点，可得也是等腰直角三角形，则，即可把转化为，则可利用抛物线上点的坐标特征可得是关于的二次函数且二次项系数为负，再利用二次函数的性质求出这个最大值即可．
（1）解：把和代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：，
，
即，
令，则，
解得：或3，
，
，
，
，
，
点为第四象限抛物线上的动点，
，
当，
解得，
或．
（3）解：设直线的解析式为，
将，代入：，
解得：，
直线的解析式为，
，，
，
过点作轴交直线于点，如图所示：
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，，
，，
，，
，，
，
，
当时，有最大值，最大值为4．
26．（2025·岳塘模拟）如图，是的直径，过点作的切线，点在右半圆上移动（点与点，不重合），过点作，垂足为；点在射线上移动（点在点的右边），且在移动过程中保持．
（1）若，的延长线相交于点，判断是否存在点，使得点恰好在上？若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由；
（2）连接交于点，设，试问：的值是否随点的移动而变化？证明你的结论．
【答案】（1）解：存在点E，理由如下：
如图，设EQ交于点D.
∵，
．
∵，
．
．
．
（2）答：值不随点的移动而变化，理由如下：
如图所示：
∵，
．
∵是的切线，
．
又∵，
．
．
．
．
又∵，，
．
．
又∵，
即．
即．
．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）设EQ交于点D，由垂径定理知，再由平行线的性质结合圆周角定理的推论可得，再由圆周角、弧、弦及平角的概念可得，再由圆周角定理可得；
（2）由切线的性质结合垂直的概念可得，由平行线的性质可得，则由AA可证明，再由相似比可得；再由平行公理知，则由三角形相似的预备定理可得，再由相似比可得，因为，则，即．
（1）解：当点在上时，设与交于点，
∵，
．
∵，
．
．
又，，
即，
．
（2）值不随点的移动而变化．理由是：
∵是右半圆上的任意一点，且，
．
∵是的切线，
．
又∵，
．
．
．
．
又∵，，
．
．
又∵，
即．
即．
．
即值不随点的移动而变化．
1 / 1湖南省湘潭市岳塘区湘潭市第十二中学2025年中考一模数学试题
一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．
1．（2025·岳塘模拟）早在两千多年前，中国人就开始使用负数，如果收入元记作元，那么支出元可以记作（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
2．（2025·岳塘模拟）2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨道的交会对接.数据384000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·岳塘模拟）下列标点符号中，是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·岳塘模拟）下列运算中，计算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·岳塘模拟）若有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·岳塘模拟）下列命题是真命题的是（　　）
A．同位角相等
B．菱形的四条边相等
C．正五边形的其中一个内角是72°
D．单项式的次数是4
7．（2025·岳塘模拟）某小组长统计组内5人在课堂上的发言次数分别为2，3，1，4，5，关于这组数据的中位数是（　　）
A．1 B．3 C．4 D．5
8．（2025·岳塘模拟）如图，是的直径，点B、D在上，，，则的长度是（　　）
A． B． C．3 D．
9．（2025·岳塘模拟）如图，，分别是的边，上的点，且，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·岳塘模拟）定义：在平面直角坐标系中，对于点，当点满足时，称点是点的“倍增点”．已知点，有下列结论：
点，都是点的“倍增点”；
若直线上的点是点的“倍增点”，则点的坐标为；
抛物线上存在两个点是点的“倍增点”；
若点是点的“倍增点”，则的最小值是；
其中，正确结论的个数是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分）．
11．（2025·岳塘模拟）= 　 　
12．（2025·岳塘模拟）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象写在看上去无差别的卡片上（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中的卡片上写的生活现象是物理变化的概率是　 　．
冰化成水 物理变化 铁棒生锈 化学变化 酒精燃烧 化学变化 衣服晾干 物理变化 光合作用 化学变化 牛奶变质 化学变化
13．（2025·岳塘模拟）方程的解为　 　．
14．（2025·岳塘模拟）已知等腰三角形的一个顶角为，则它的底角为　 　（度）．
15．（2025·岳塘模拟）若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是　 　．
16．（2025·岳塘模拟）已知近视眼镜的度数（度）与镜片焦距满足反比例函数，当近视眼镜的度数为200度时，镜片焦距为，则　 　．
17．（2025·岳塘模拟）如图，在中，分别以，两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，，直线与，分别相交于点、，若，的周长为10，则的周长是　 　．
18．（2025·岳塘模拟）数学家高斯在小的时候就发现：，，从而得到．等边三角形有着数学的美，将多个等边三角形拼接在一起，仿佛是大自然精心设计的镶嵌艺术，展现出等边三角形在空间组合上的奇妙规律．图（1）有1个三角形，记作；分别连接这个三角形三边中点得到图（2），有5个三角形，记作；再分别连接图（2）中间的小三角形三边中点得到图（3），有9个三角形，记作；按此方法继续下去，则　 　．（结果用含的代数式表示）
三、解答题：（本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）．
19．（2025·岳塘模拟）计算：．
20．（2025·岳塘模拟）先化简，再求值：，请从，，，四个数中选取一个你喜欢的代入求值．
21．（2025·岳塘模拟）为弘扬中华传统文化，某校开展“戏剧进课堂”活动．该校随机抽取部分学生，四个类别：表示“很喜欢”，表示“喜欢”，表示“一般”，表示“不喜欢”，调查他们对戏剧的喜爱情况，将结果绘制成如图两幅不完整的统计图
根据图中提供的信息，解决下列问题：
（1）此次共调查了 名学生；
（2）请补全类条形统计图；
（3）扇形统计图中．类所对应的扇形圆心角的大小为 度；
（4）该校共有1560名学生，估计该校表示“很喜欢”的类的学生有多少人？
22．（2025·岳塘模拟）如图，在四边形中，，点E在上，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，平分，，求的长．
23．（2025·岳塘模拟）第九届亚冬会于2025年2月7日至2月14日在中国哈尔滨市刚刚落幕，中国代表团以32金27银26铜取得了金牌和奖牌双第一名的优异成绩．本届亚冬会的吉祥物是一对可爱的东北虎“滨滨”和“妮妮”．某批发市场门店销售“滨滨”和“妮妮”两种纪念品，若一个“妮妮”纪念品的价格比一个“滨滨”纪念品的价格多30元，且用600元购买“滨滨”纪念品的数量与用900元购买“妮妮”纪念品的数量相等．
（1）“滨滨”和“妮妮”两种纪念品的单价分别是多少元？
（2）某商店计划购进“滨滨”和“妮妮”两种纪念品共30个，若进货总支出不超过2000元，求最多可以购进“妮妮”纪念品多少个？
24．（2025·岳塘模拟）图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱垂直地面，支架与交于点，支架交于点，支架平行地面，篮筺与支架在同一直线上，米，米，．
（1）求的度数．
（2）某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在発子上，最高可以把篮网挂到离地面米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：）
25．（2025·岳塘模拟）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，已知点为第四象限抛物线上的点，连接、、、，且和相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求点的坐标．
（3）如图2，设点，是直线下方抛物线上的两动点，且，过点作轴，交于点，过点作，交于点．求的最大值．
26．（2025·岳塘模拟）如图，是的直径，过点作的切线，点在右半圆上移动（点与点，不重合），过点作，垂足为；点在射线上移动（点在点的右边），且在移动过程中保持．
（1）若，的延长线相交于点，判断是否存在点，使得点恰好在上？若存在，求出的大小；若不存在，请说明理由；
（2）连接交于点，设，试问：的值是否随点的移动而变化？证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：如果收入元记作元，那么支出元应记作元．
故选：D．
【分析】本题考查正数与负数的意义，正数是指大于零的数，它们在数轴上位于原点（0）的右侧，负数是指小于零的数，它们在数轴上位于原点（0）的左侧，正数和负数常用来表示具有相反意义的量，结合正数与负数的意义，即可解答．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解： 384000 =
故答案为：B.
【分析】把一个数表示成a×10n的形式时， a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
3．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A．该标点符号是轴对称图形，故此选项符合题意；
B．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
C．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．该标点符号不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：A．
【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A选项错误；
B、，故B选项错误；
C、，故C选项正确；
D、与不是同类项，无法合并，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】根据同底数幂的除法，底数不变，指数相减即可判断A；由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断B；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断C；整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，据此可判断D.
5．【答案】A
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：二次根式有意义，
，解得．
故选：A．
【分析】根据二次根式有意义的条件为被开方数为非负数求出x的取值范围即可．
6．【答案】B
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、两直线平行，同位角相等，故A选项错误，是假命题，不符合题意；
B、菱形的四条边相等，B选项正确，是真命题，符合题意；
C、正五边形的内角度数都相等，等于，故C选项错误，是假命题，不符合题意；
D单项式的次数是1+2=3，故D选项错误，是假命题，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据平行线的性质，菱形的性质，正多边形的性质以及单项式的系数和次数判断即可.
7．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：在2，3，1，4，5，这组数据中，排序后为：1，2，3，4，5，故中位数为3．
故选：B．
【分析】
根据中位数的定义，即中位数是将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数为这组数据的中位数。题目中给出的数据将其从小到大进行排列，得到1，2，3，4，5。这组数据一共有5个，5是奇数，根据中位数的定义，处于中间位置的数就是中位数。5个数中间位置是第
3个，所以这组数据的中位数是3。
8．【答案】C
【知识点】圆周角定理；解直角三角形；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，
∴
∵，
∴，
在中，，
即，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据等边对等角可得，，再根据正切定义及特殊角的三角函数值即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：过作于点F，如图所示：
，，
，
，
，
，
，，
，
，
故选：C．
【分析】
先由共底同高两三角形面积比等于底边的比可得BE：CE＝2：3，再由三角形相似的预备定理可得和，且相似比都等于DE：AC＝2：5，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可．
10．【答案】D
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
则是的“倍增点”，
∵，，
∴，，
则是的“倍增点”，故正确；
由题意设“倍增点”，
∴，解得：，
∴点，故正确；
设抛物线的“倍增点”为，
∴，整理得：，
∴方程有两个不相等的实数根，即存在两个点是点的“倍增点”，故正确；
设，
∴，
则，
，
，
，
当时，有最小值，
∴的最小值，故正确；
综上可知正确，
故选：．
【分析】
由倍增点的坐标特征逐一验证即可；
由直线上点的坐标特征可设点A的坐标为（a，a+2），再由倍增点的坐标特征可得，再方程得a=-2；
由抛物线上点的坐标特征可设倍增点B的坐标为，再由倍增点的坐标特征可得关于x的方程并整理得，由于，所以该方程有两个不相等的实数根，即存在两个倍增点；
设倍增点B的坐标为 ，由倍增点的坐标特征知，再由两点距离公式可得P1B2是关于x的二次函数，且二次项系数为正，则P1B2 有最小值，再利用二次函数的性质求出这个最小值，则其算术平方根可得．
11．【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解： =3．
故答案为：3．
【分析】根据算术平方根的概念直接解答即可
12．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵一共有6张卡片，其中写着物理变化的卡片有2张，且每张卡片被抽到的概率相同，
∴从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是，
故答案为：．
【分析】
简单事件的概率计算，直接利用概率计算公式进行求解即可．
13．【答案】
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【解答】解：
，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
【分析】
分式方程，先去分母化分式方程为整式方程，再解整式方程并验根，再根据验根的结果写根．
14．【答案】55
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：等腰三角形的一个顶角为，
这个等腰三角形的底角．
故答案为：55．
【分析】
利用等腰三角形的两底角相等结合三角形内角和定理求解即可．
15．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：
【分析】根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。
16．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：依题意，把，代入反比例函数，
得，
∴，
故答案为：．
【分析】
由双曲线上点的坐标特征把代入到函数解析式中计算即可．
17．【答案】16
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：由尺规作图得垂直平分线，
所以，且，
又，
所以的周长为：．
故答案为：16．
【分析】
根据尺规作图得MN是AB的垂直平分线，则由线段垂直平分线的性质知AD＝BD、AB＝2AE＝2BE，则的周长转化为AC+BC＝10，再利用周长计算公式并整体代值求出AB+AC+BC即可．
18．【答案】
【知识点】整式的混合运算；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：解：依题意得：，，，，，
故答案为：．
【分析】
先寻找图形递变规律，由于n=1时有1个三角形， 即；
n=2时有5个三角形，即 ；
n=3时有9个三角形，即 ；
即
则．
19．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】实数的混合运算，先乘方，即求负整数指数幂和零次幂，再分别求实数的绝对值和特殊角的三角函数值，最后再进行乘法运算，最后再加减即可．
20．【答案】解：
，
由题意可知，，，
，，
当时，原式（当时，原式）．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】分式的化简求值，先对括号内的异分母分式通分并作减法运算，再化除法为乘法，再对分子分母分别分解因式并约分，再化结果为整式或最简分式，然后从，，，四个数中选取使得原分式有意义的的值代入结果中进行计算即可．
21．【答案】（1）60；
（2）答：补全条形统计图，如图所示，
（3）；
（4）解：（人）
答：估计该校表示“很喜欢”的A类的学生有260人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）此次调查学生总数：（人），
故答案为：60；
（2）D类人数为：（人），
（3）扇形统计图中，B类所对应的扇形圆心角的大小为：，
故答案为：；
【分析】
（1）观察条形统计图和扇形统计图，可利用C类人数及所占百分比求出调查总人数；
（2）利用总人数分别送去A、B、C三类人数可得D类人数，再补全条形统计图即可；
（3）用B类人数除以总人数再乘以即可；
（4）用全校总人数乘以A类的占比即可．
22．【答案】（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
，
∵四边形是平行四边形，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质；角平分线的概念；内错角相等，两直线平行；直角三角形的两锐角互余
【解析】【分析】
（1）先由内错角相等可得，又，可由平行四边形的概念判定结论成立；
（2）先利用直角三角形中角的性质求得的长，再由直角三角形两锐角互余结合角平分线的概念可得，再解直角三角形求出EC的长，最后借助平行四边形的对边相等即可．
（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形．
（2）解：∵，，，
∴，，
∵平分，
∴，
∴，
由勾股定理得，即，
解得，
∵四边形是平行四边形，
∴．
23．【答案】（1）解：设“滨滨”纪念品单价为元，则“妮妮”纪念品的单价为元．根据题意得：
解得：，
经检验是原分式方程的解，且符合题意，
则．
答：“滨滨”纪念品单价为60元，“妮妮”纪念品的单价为90元．
（2）解：设购买“妮妮”纪念品个，则购买“滨滨”纪念品个．
根据题意得：
解得：．
因为为整数
所以的最大值为6．
答：最多可以购进“妮妮”纪念品6个．
【知识点】一元一次不等式的特殊解；一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设“滨滨”纪念品的单价为元，则“妮妮”的单价为“”元，再由等量关系“用600元购买“滨滨”纪念品的数量与用900元购买“妮妮”纪念品的数量相等”列方程并求解即可；
（2）设购进设购买“妮妮”纪念品个，则购买“滨滨”纪念品个，再根据不等关系“此次进货的总资金不超过2000元”列出不等式并求出最大整数解即可．
（1）设“滨滨”纪念品单价为元，则“妮妮”纪念品的单价为元．
根据题意得：
解得：，
经检验是原分式方程的解，且符合题意，
则．
答：“滨滨”纪念品单价为60元，“妮妮”纪念品的单价为90元．
（2）设购买“妮妮”纪念品个，则购买“滨滨”纪念品个．
根据题意得：
解得：．
因为为整数
所以的最大值为6．
答：最多可以购进“妮妮”纪念品6个．
本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，列不等式求最大值问题的运用，正确不等关系是解题关键．
24．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：该运动员能挂上篮网，理由如下．如图，延长交于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在中，，
∴，
∴该运动员能挂上篮网．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）利用直角三角形的两锐角互余解答即可；
（2）延长交于点，即可得哦大，在中，根据正弦定义求得长，再根据线段的和差求出OM长，比较大小解题即可．
25．【答案】（1）解：把和代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：，
，
即，
令，则，
解得：或3，
，
，
，
，
，
点为第四象限抛物线上的动点，
，
当，
解得，
或．
（3）解：设直线的解析式为，
将，代入：，
解得：，
直线的解析式为，
，，
，
过点作轴交直线于点，如图所示：
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，，
，，
，，
，，
，
，
当时，有最大值，最大值为4．
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题
【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可；
（2）观察图形知：，即，可先利用抛物线上点的坐标特征求出点C的坐标，则的面积可得，再利用三角形的面积公式可求得点的纵坐标，然后由二次函数图形上点的坐标特征求得点E的横坐标即可；
（3）由于OC=OB，即是等腰直角三角形，则过点作轴交直线于点，可得也是等腰直角三角形，则，即可把转化为，则可利用抛物线上点的坐标特征可得是关于的二次函数且二次项系数为负，再利用二次函数的性质求出这个最大值即可．
（1）解：把和代入，
得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：，
，
即，
令，则，
解得：或3，
，
，
，
，
，
点为第四象限抛物线上的动点，
，
当，
解得，
或．
（3）解：设直线的解析式为，
将，代入：，
解得：，
直线的解析式为，
，，
，
过点作轴交直线于点，如图所示：
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，，，
，，
，，
，，
，
，
当时，有最大值，最大值为4．
26．【答案】（1）解：存在点E，理由如下：
如图，设EQ交于点D.
∵，
．
∵，
．
．
．
（2）答：值不随点的移动而变化，理由如下：
如图所示：
∵，
．
∵是的切线，
．
又∵，
．
．
．
．
又∵，，
．
．
又∵，
即．
即．
．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）设EQ交于点D，由垂径定理知，再由平行线的性质结合圆周角定理的推论可得，再由圆周角、弧、弦及平角的概念可得，再由圆周角定理可得；
（2）由切线的性质结合垂直的概念可得，由平行线的性质可得，则由AA可证明，再由相似比可得；再由平行公理知，则由三角形相似的预备定理可得，再由相似比可得，因为，则，即．
（1）解：当点在上时，设与交于点，
∵，
．
∵，
．
．
又，，
即，
．
（2）值不随点的移动而变化．理由是：
∵是右半圆上的任意一点，且，
．
∵是的切线，
．
又∵，
．
．
．
．
又∵，，
．
．
又∵，
即．
即．
．
即值不随点的移动而变化．
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