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四川省雅安市石棉县九年级2025年第一次诊断性练习数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．
1．（2025·石棉模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·石棉模拟）年天全县参加高中阶段学校招生考试的人数约为人，这一人数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·石棉模拟）下列几何体的主视图为长方形的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·石棉模拟）下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·石棉模拟）如图，，于点C，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·石棉模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·石棉模拟）在平面直角坐标系中，点 关于y轴的对称点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·石棉模拟）若 ，且 ，则 的值是（　　）
A．4 B．2 C．20 D．14
9．（2025·石棉模拟）在某次体育测试中，九年级一班女同学的一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）如下表：这此测试成绩的中位数和众数分别为（　　）
成绩
人数
A．， B．， C．， D．，
10．（2025·石棉模拟）如图，某小区要绿化一扇形空地，准备在小扇形内种花，在其余区域内阴影部分种草，测得，，，则种草区域的面积为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·石棉模拟）在中，若角，满足，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
12．（2025·石棉模拟）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方数无实数根，则．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
13．（2025·石棉模拟）分解因式：　 　．
14．（2025·石棉模拟）如图，内接于圆，是圆的直径，，则的度数为　 　．
15．（2025·石棉模拟）已知一元二次方程 的两根分别为m，n，则 的值为　 　.
16．（2025·石棉模拟）若 ，则 　 　．
17．（2025·石棉模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若tan∠BAF＝，则CE＝　 　．
三、解答题：本题共7小题，共69分．
18．（2025·石棉模拟）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中
19．（2025·石棉模拟）东坡区某校发起“劳动最光荣，托起中国梦”主题活动．全校学生积极参与本次主题活动，为了解该校学生参与本次主题活动的情况，随机抽取该校部分学生进行调查．根据调查结果绘制如图不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了　　名学生，并补全条形统计图．
（2）若该校共有1600名学生参加本次主题活动，则本次活动中该校“洗衣服”的学生约有多少名？
（3）现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁4名学生中，随机抽取2名学生谈一谈劳动感受．请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被抽中的概率．
20．（2025·石棉模拟）如图，已知，是对角线上两点，．
（1）求证：；
（2）若交的延长线于点，，求的面积．
21．（2025·石棉模拟）在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．
(1)求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；
(2)若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？
22．（2025·石棉模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接，求的面积；
（3）直接写出不等式的解集．
23．（2025·石棉模拟）如图，为的直径，C为上一点，点D为的中点，过点C作的切线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接．
（1）求证∶与相切；
（2）若，，求的半径r．
24．（2025·石棉模拟）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点，
（1）求二次函数的表达式及点坐标；
（2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积最大时点的坐标；
（3）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点的坐标（不写求解过程）
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：根据相反数定义，的相反数是
故答案为：B
【分析】熟知相反数定义。
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意，从前面观察各选项中的图形可得：
A．主视图为圆，
∴此选项不符合题意；
B．主视图为等腰梯形，
∴此选项不符合题意；
C．主视图为长方形，
∴此选项符合题意；
D．主视图为三角形，
∴此选项不符合题意.
故答案为： C．
【分析】主视图是指从前面看所的的图形；根据几何体的主视图特征即可判断求解．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ，故此选项不符合题意；
B、 ，故此选项不符合题意；
C、 ，符合题意；
D、 ，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、合并同类项时，将系数相加减，字母与字母的指数不变，据此判断即可.
B、同底幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断即可.
C、先算幂的乘方，再进行同底幂相乘即可.
D、先计算积的乘方，然后计算单项式与单项式相除即可.
5．【答案】B
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-求角度；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求得的度数，根据垂直的定义可得，然后根据角的和差得∠ACD=∠2+∠ACB即可求解．
6．【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得，
解不等式，得，
将解集表示在数轴上为：
故答案为：A．
【分析】分别解不等式，求得它们的解集，并根据数轴上表示解集的规范画法，正确表示出来即可得出答案。 数轴上表示解集的规范表示方法：大于向右，小于向左，且要注意实心点和空心点的区别，有等于时是实心，没有等于时，是空心。
7．【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】点 关于y轴的对称点的坐标是
故答案为：C.
【分析】关于y轴的对称点的坐标特征：纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此解答即可.
8．【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由a：b＝3：4 知 ，
所以 ．
所以由 得到： ，
解得 ．
所以 ．
所以 ．
故答案为：A．
【分析】由a：b=3：4，可得b=，将其代入a+b=14，求出a、b的值即可.
9．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：根据题意共有个数据，
成绩从小大大排列，第8个数是48，所以中位数为48，
49出现的次数最多，出现了5次，所以众数为49．
故答案为：C．
【分析】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．根据众数与中位数的定义并结合题意即可求解．
10．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得：
，
种草区域的面积为
故答案为：B．
【分析】根据阴影部分面积的构成“”并结合扇形面积公式“”计算即可求解．
11．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；锐角三角函数的定义；实数的绝对值
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：
A，B，C是三角形的内角
∴∠A=30°，∠B=45°
则∠C=180°-∠A-∠B=105°
故答案为：D
【分析】根据绝对值与二次根式的性质可求出，再根据三角形中内角的三角函数值的性质可得∠A=30°，∠B=45°，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
12．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值
【解析】【解答】解：①由图象可知，图像开口向下，a＜0，
对称轴为x=1，则，
∴b＞0，
∵图象与y轴的交点为正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
∴此结论不正确；
②由图象可知，对称轴为x=1，
∴，
整理得：，
∴此结论正确；
③由图象可知当x=1时，函数取最大值，
将x=1，代入，中得：，
由图象可知函数与x轴交点为（﹣1，0），对称轴为将x=1，
∴函数图象与x轴的另一交点为（3，0），
设函数解析式为：，
将交点坐标代入得：，
化简得：，
将x=1，代入可得：，
∴函数的最大值为-4a，
∴此结论正确；
④将变形为：，
要使方程无实数根，
则，
将c=-3a，，代入得：，
由①知：a＜0，
则，
解得：，
综上可得：，
∴此结论正确.
即正确的结论有：②③④.
故答案为：C．
【分析】①由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=，可判断b＞0， 由图象与y轴的交点为正半轴，可得c＞0，再根据多个有理数的乘法的符号法则可得abc＜0；
②由图象可知，对称轴为x=，整理可判断求解；
③由图象可知当x=1时，函数取最大值，将x=1代入二次函数的解析式可得：，计算出函数图象与x轴的另一交点坐标，设函数解析式为交点式：，将交点坐标和x=1代入并整理即可求解；
④将关于x的方数变形为：，求出b2-4ac的值，结合①中a、b、c的符号并根据一元二次方程的根的判别式即可求解．
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】观察多项式，每一项含有公因式2x，于是先提公因式，再将括号内的多项式用平方差公式分解即可求解．
14．【答案】
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵内接于圆，是圆的直径，
∴，
∵，
∴．
故答案为：.
【分析】由题意，根据圆周角定理的推论“直径所对的圆周角为直角”可得，然后由直角三角形两锐角互余可求得∠CBD的度数，然后根据圆周角定理的推论“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”可求解．
15．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两根分别为m，n
∴ ，
∴
故答案为： .
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ， ，将原式变形为，然后整体代入计算即可.
16．【答案】6
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴ 或
又∵ ，
∴
【分析】将 看作一个整体，然后采用十字相乘法进行因式分解，可解出答案.
17．【答案】
【知识点】已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点F作MN∥AD，交AB、CD分别于点M、N，则MN⊥AB，MN⊥CD，
由折叠得：EC＝EF，BC＝BF＝，∠C＝∠BFE＝90°，
∵tan∠BAF＝＝，设FM＝x，则AM＝2x，BM＝4﹣2x，
在Rt△BFM中，由勾股定理得：
x2+（4﹣2x）2＝（）2，
解得：x1＝1，x2＝＞2舍去，
∴FM＝1，AM＝BM＝2，
∴FN＝﹣1，
∵∠BFE=∠C=90°，
∴∠NFE+∠BFM=90°，
在Rt BFM中，∠BFM+∠FBM=90°，
∴∠FBM=∠NFE，
∵∠ENF=∠FMB=90°，
∴△BMF∽△FNE，
∴，即：，
解得：EF＝＝EC．
故答案为：．
【分析】过点F作MN∥AD，交AB、CD分别于点M、N，则MN⊥AB，MN⊥CD，根据锐角三角函数tan∠BAF==设FM＝x，则AM＝2x，BM＝4﹣2x，在Rt△BFM中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，由同角的余角相等可得∠FBM=∠NFE，结合已知，根据"有两个角对应相等的两个三角形相似"可得△BMF∽△FNE，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，结合已知即可求得EF的值．
18．【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
，
当时，原式
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）根据零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得20250=1，由特殊角的三角函数值可得sin30°=，然后根据有理数的加减法法则计算即可求解；
（2）由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再把a的值的代入化简后的分式计算可求解．
19．【答案】（1）200，如图：
（2）解：样本中洗衣服所占百分比为：，
该校共有1600名学生“洗衣服”的学生约有：（名，
答：本次活动中该校“洗衣服”的学生约有400名
（3）解：画树状图如下：
一共有12种等可能结果，其中甲、乙两人同时被抽中的结果有2种，
（甲、乙两人同时被抽中）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）做饭40人，占百分比为，
调查的总人数为：（人，
故答案为：200.
【分析】（1）观察条形图和扇形图可得做饭的人数及其所占百分比，根据样本容量=频数÷百分比可求得共调查的学生人数；根据各小组频数之和求得扫地人数，然后补全统计图即可；
（2）用样本估计总体可求解；
（3）由题意，画出树状图，根据树状图的信息可知：一共有12种等可能结果，其中甲、乙两人同时被抽中的结果有2种，然后用概率计算即可求解．
（1）做饭40人，占百分比为，
调查的总人数为：（人，
故答案为：200；
扫地人数为：（人，
补全条形统计图如下：
（2）样本中洗衣服所占百分比为：，
该校共有1600名学生“洗衣服”的学生约有：（名，
答：本次活动中该校“洗衣服”的学生约有400名；
（3）画树状图如下：
一共有12种等可能结果，其中甲、乙两人同时被抽中的结果有2种，
（甲、乙两人同时被抽中）．
20．【答案】（1）证明：∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴
又∵，，
∴，即：，
解得：（负值已舍去），
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积.
答：平行四边形的面积为9.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质“平行四边形的对边相等且互相平行”可得，AB∥CD，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，结合已知，用边角边即可判断求解；
（2）在Rt BCH中，用勾股定理可求得BH的值，在Rt ACH中，根据锐角三角函数tan∠CAB=求得AH的值，再由线段的和差AB=AH-BH求得AB的值，然后根据平行四边形的面积公式即可求解．
21．【答案】解：(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是，
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、；
(2)设甲工程队施工天，乙工程队施工天刚好完成绿化任务，
由题意得：，
则，
根据题意得：，
解得：，
答：至少应安排乙工程队绿化32天．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据题中的相等关系“乙队独立完成面积为区域的绿化时所用时间-甲队独立完成面积为区域的绿化时所用时间=6”可列出关于x的方程，解方程并检验即可求解；
(2)设甲工程队施工天，乙工程队施工天刚好完成绿化任务，根据题中的相等关系"甲工程队施工天完成绿化任务+乙工程队施工天完成绿化任务=3600"可列关于a、b的二元一次方程，整理可将a用含b的代数式表示出来，然后根据不等关系列关于b的不等式，解不等式即可求解．
22．【答案】（1）解：联立，
解得，
点坐标为．
将代入，得．
．
反比例函数的表达式为
（2）解：联立，
解得或．
．
在中，令，得．
故直线与轴的交点为．
如图，过、两点分别作轴的垂线，交轴于、两点，
则
（3）解：根据图象：关于的不等式的解集为或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】
（1）联立解方程组可求得A的坐标，然后用待定系数法即可求解；
（2）将已知的直线解析式和反比例函数的解析式联立解方程组可求得B、C两点的坐标，根据三角形AB O的构成计算即可求解；
（3）根据图象即可求解．
（1）解：联立，解得，
点坐标为．
将代入，得．
．
反比例函数的表达式为；
（2）解：联立，解得或．
．
在中，令，得．
故直线与轴的交点为．
如图，过、两点分别作轴的垂线，交轴于、两点，
则．
（3）解：根据图象：关于的不等式的解集为或．
23．【答案】（1）证明：如图，连接，
是的切线，
，
为的中点，，
，则垂直平分，
，
，，
，
，
与相切；
（2）解：∵，，
，
由（1）可知，，
，
设，
，
，
，
解得：，
答：的半径为．
【知识点】垂径定理；切线的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】
（1）连接，由垂径定理得，根据垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，结合已知，用边边边可证，由全等三角形的对应角相等可得，然后根据圆的切线的判定即可求解；
（2）在三角形AEF中，用勾股定理求得AF的值，设，再根据等面积法列出关于x的方程，解方程即可求解．
（1）证明：如图，连接，
是的切线，
，
为的中点，，
，则垂直平分，
，
，，
，
，
与相切；
（2）解：∵，，
，
由（1）可知，，
，
设，
，
，
，
解得，
故的半径为．
24．【答案】（1）解：把，代入得：
，
解得
二次函数的解析式为，
令，得到，解得或，
（2）如图中连接，．
设直线解析式为：，
，，
，
解得，，
直线的解析式为，
过点作轴的垂线交于点，设点的坐标为，
则，
点在第三象限，
，
，
当时，，点，
面积最大时，
（3）解：在二次函数图象上存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形；理由如下：∵，
∴，
由得，抛物线的对称轴为直线，
∵以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形，
当为平行四边形的边时，，
设点N的横坐标为t，
∵轴，
∴，
解得或，
∵点N在抛物线上，
∴点N的坐标为或；
当为平行四边形的对角线时，
则，
解得，
∴点N的坐标为；
综上，在二次函数图象上存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形；点N的坐标为或或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】
（1）由题意，用待定系数法求出二次函数表达式；令解析式中y=0可得关于x的一元二次方程，解方程并结合题意可求出点A的坐标；
（2）连接，求出直线的表达式为，过点D作x轴的垂线，交于点G，得，可知当取最大值时，的面积最大，设，则，可得，即得S△ACD与m之间的函数关系式，并将函数关系式配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解；
（3）先求出的长及二次函数的对称轴，再分为平行△四边形的边和对角线两种情况，根据平行四边形的性质即可求解．
（1）解：把，代入
则有，
解得
二次函数的解析式为，
令，得到，解得或，
．
（2）如图中连接，．
设直线解析式为：，
，，
，
解得，，
直线的解析式为，
过点作轴的垂线交于点，设点的坐标为，
则，
点在第三象限，
，
，
当时，，点，
面积最大时，；
（3）解：在二次函数图象上存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形；理由如下：
∵，
∴，
由得，抛物线的对称轴为直线，
∵以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形，
当为平行四边形的边时，，
设点N的横坐标为t，
∵轴，
∴，
解得或，
∵点N在抛物线上，
∴点N的坐标为或；
当为平行四边形的对角线时，
则，
解得，
∴点N的坐标为；
综上，在二次函数图象上存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形；点N的坐标为或或．
1 / 1四川省雅安市石棉县九年级2025年第一次诊断性练习数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．
1．（2025·石棉模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：根据相反数定义，的相反数是
故答案为：B
【分析】熟知相反数定义。
2．（2025·石棉模拟）年天全县参加高中阶段学校招生考试的人数约为人，这一人数用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
3．（2025·石棉模拟）下列几何体的主视图为长方形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：由题意，从前面观察各选项中的图形可得：
A．主视图为圆，
∴此选项不符合题意；
B．主视图为等腰梯形，
∴此选项不符合题意；
C．主视图为长方形，
∴此选项符合题意；
D．主视图为三角形，
∴此选项不符合题意.
故答案为： C．
【分析】主视图是指从前面看所的的图形；根据几何体的主视图特征即可判断求解．
4．（2025·石棉模拟）下列计算中，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；单项式除以单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、 ，故此选项不符合题意；
B、 ，故此选项不符合题意；
C、 ，符合题意；
D、 ，故此选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、合并同类项时，将系数相加减，字母与字母的指数不变，据此判断即可.
B、同底幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断即可.
C、先算幂的乘方，再进行同底幂相乘即可.
D、先计算积的乘方，然后计算单项式与单项式相除即可.
5．（2025·石棉模拟）如图，，于点C，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂线的概念；平行线的应用-求角度；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补可求得的度数，根据垂直的定义可得，然后根据角的和差得∠ACD=∠2+∠ACB即可求解．
6．（2025·石棉模拟）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式，得，
解不等式，得，
将解集表示在数轴上为：
故答案为：A．
【分析】分别解不等式，求得它们的解集，并根据数轴上表示解集的规范画法，正确表示出来即可得出答案。 数轴上表示解集的规范表示方法：大于向右，小于向左，且要注意实心点和空心点的区别，有等于时是实心，没有等于时，是空心。
7．（2025·石棉模拟）在平面直角坐标系中，点 关于y轴的对称点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】点 关于y轴的对称点的坐标是
故答案为：C.
【分析】关于y轴的对称点的坐标特征：纵坐标相等，横坐标互为相反数，据此解答即可.
8．（2025·石棉模拟）若 ，且 ，则 的值是（　　）
A．4 B．2 C．20 D．14
【答案】A
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：由a：b＝3：4 知 ，
所以 ．
所以由 得到： ，
解得 ．
所以 ．
所以 ．
故答案为：A．
【分析】由a：b=3：4，可得b=，将其代入a+b=14，求出a、b的值即可.
9．（2025·石棉模拟）在某次体育测试中，九年级一班女同学的一分钟仰卧起坐成绩（单位：个）如下表：这此测试成绩的中位数和众数分别为（　　）
成绩
人数
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：根据题意共有个数据，
成绩从小大大排列，第8个数是48，所以中位数为48，
49出现的次数最多，出现了5次，所以众数为49．
故答案为：C．
【分析】中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．根据众数与中位数的定义并结合题意即可求解．
10．（2025·石棉模拟）如图，某小区要绿化一扇形空地，准备在小扇形内种花，在其余区域内阴影部分种草，测得，，，则种草区域的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：由题意得：
，
种草区域的面积为
故答案为：B．
【分析】根据阴影部分面积的构成“”并结合扇形面积公式“”计算即可求解．
11．（2025·石棉模拟）在中，若角，满足，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；锐角三角函数的定义；实数的绝对值
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：
A，B，C是三角形的内角
∴∠A=30°，∠B=45°
则∠C=180°-∠A-∠B=105°
故答案为：D
【分析】根据绝对值与二次根式的性质可求出，再根据三角形中内角的三角函数值的性质可得∠A=30°，∠B=45°，再根据三角形内角和定理即可求出答案.
12．（2025·石棉模拟）如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点对称轴为直线．则下列结论：①；②；③函数的最大值为；④若关于x的方数无实数根，则．正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值
【解析】【解答】解：①由图象可知，图像开口向下，a＜0，
对称轴为x=1，则，
∴b＞0，
∵图象与y轴的交点为正半轴，
∴c＞0，
∴abc＜0，
∴此结论不正确；
②由图象可知，对称轴为x=1，
∴，
整理得：，
∴此结论正确；
③由图象可知当x=1时，函数取最大值，
将x=1，代入，中得：，
由图象可知函数与x轴交点为（﹣1，0），对称轴为将x=1，
∴函数图象与x轴的另一交点为（3，0），
设函数解析式为：，
将交点坐标代入得：，
化简得：，
将x=1，代入可得：，
∴函数的最大值为-4a，
∴此结论正确；
④将变形为：，
要使方程无实数根，
则，
将c=-3a，，代入得：，
由①知：a＜0，
则，
解得：，
综上可得：，
∴此结论正确.
即正确的结论有：②③④.
故答案为：C．
【分析】①由图象可知，图像开口向下，a＜0，对称轴为x=，可判断b＞0， 由图象与y轴的交点为正半轴，可得c＞0，再根据多个有理数的乘法的符号法则可得abc＜0；
②由图象可知，对称轴为x=，整理可判断求解；
③由图象可知当x=1时，函数取最大值，将x=1代入二次函数的解析式可得：，计算出函数图象与x轴的另一交点坐标，设函数解析式为交点式：，将交点坐标和x=1代入并整理即可求解；
④将关于x的方数变形为：，求出b2-4ac的值，结合①中a、b、c的符号并根据一元二次方程的根的判别式即可求解．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
13．（2025·石棉模拟）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】观察多项式，每一项含有公因式2x，于是先提公因式，再将括号内的多项式用平方差公式分解即可求解．
14．（2025·石棉模拟）如图，内接于圆，是圆的直径，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵内接于圆，是圆的直径，
∴，
∵，
∴．
故答案为：.
【分析】由题意，根据圆周角定理的推论“直径所对的圆周角为直角”可得，然后由直角三角形两锐角互余可求得∠CBD的度数，然后根据圆周角定理的推论“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”可求解．
15．（2025·石棉模拟）已知一元二次方程 的两根分别为m，n，则 的值为　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵一元二次方程 的两根分别为m，n
∴ ，
∴
故答案为： .
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得 ， ，将原式变形为，然后整体代入计算即可.
16．（2025·石棉模拟）若 ，则 　 　．
【答案】6
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
∴ 或
又∵ ，
∴
【分析】将 看作一个整体，然后采用十字相乘法进行因式分解，可解出答案.
17．（2025·石棉模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝，E为CD边上一点，将△BCE沿BE折叠，使得C落到矩形内点F的位置，连接AF，若tan∠BAF＝，则CE＝　 　．
【答案】
【知识点】已知正切值求边长；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点F作MN∥AD，交AB、CD分别于点M、N，则MN⊥AB，MN⊥CD，
由折叠得：EC＝EF，BC＝BF＝，∠C＝∠BFE＝90°，
∵tan∠BAF＝＝，设FM＝x，则AM＝2x，BM＝4﹣2x，
在Rt△BFM中，由勾股定理得：
x2+（4﹣2x）2＝（）2，
解得：x1＝1，x2＝＞2舍去，
∴FM＝1，AM＝BM＝2，
∴FN＝﹣1，
∵∠BFE=∠C=90°，
∴∠NFE+∠BFM=90°，
在Rt BFM中，∠BFM+∠FBM=90°，
∴∠FBM=∠NFE，
∵∠ENF=∠FMB=90°，
∴△BMF∽△FNE，
∴，即：，
解得：EF＝＝EC．
故答案为：．
【分析】过点F作MN∥AD，交AB、CD分别于点M、N，则MN⊥AB，MN⊥CD，根据锐角三角函数tan∠BAF==设FM＝x，则AM＝2x，BM＝4﹣2x，在Rt△BFM中，用勾股定理可得关于x的方程，解方程求出x的值，由同角的余角相等可得∠FBM=∠NFE，结合已知，根据"有两个角对应相等的两个三角形相似"可得△BMF∽△FNE，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，结合已知即可求得EF的值．
三、解答题：本题共7小题，共69分．
18．（2025·石棉模拟）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中
【答案】解：（1）原式
；
（2）原式
，
当时，原式
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】（1）根据零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得20250=1，由特殊角的三角函数值可得sin30°=，然后根据有理数的加减法法则计算即可求解；
（2）由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再把a的值的代入化简后的分式计算可求解．
19．（2025·石棉模拟）东坡区某校发起“劳动最光荣，托起中国梦”主题活动．全校学生积极参与本次主题活动，为了解该校学生参与本次主题活动的情况，随机抽取该校部分学生进行调查．根据调查结果绘制如图不完整的统计图．请结合图中信息解答下列问题：
（1）本次共调查了　　名学生，并补全条形统计图．
（2）若该校共有1600名学生参加本次主题活动，则本次活动中该校“洗衣服”的学生约有多少名？
（3）现从参与本次主题活动的甲、乙、丙、丁4名学生中，随机抽取2名学生谈一谈劳动感受．请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人同时被抽中的概率．
【答案】（1）200，如图：
（2）解：样本中洗衣服所占百分比为：，
该校共有1600名学生“洗衣服”的学生约有：（名，
答：本次活动中该校“洗衣服”的学生约有400名
（3）解：画树状图如下：
一共有12种等可能结果，其中甲、乙两人同时被抽中的结果有2种，
（甲、乙两人同时被抽中）
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）做饭40人，占百分比为，
调查的总人数为：（人，
故答案为：200.
【分析】（1）观察条形图和扇形图可得做饭的人数及其所占百分比，根据样本容量=频数÷百分比可求得共调查的学生人数；根据各小组频数之和求得扫地人数，然后补全统计图即可；
（2）用样本估计总体可求解；
（3）由题意，画出树状图，根据树状图的信息可知：一共有12种等可能结果，其中甲、乙两人同时被抽中的结果有2种，然后用概率计算即可求解．
（1）做饭40人，占百分比为，
调查的总人数为：（人，
故答案为：200；
扫地人数为：（人，
补全条形统计图如下：
（2）样本中洗衣服所占百分比为：，
该校共有1600名学生“洗衣服”的学生约有：（名，
答：本次活动中该校“洗衣服”的学生约有400名；
（3）画树状图如下：
一共有12种等可能结果，其中甲、乙两人同时被抽中的结果有2种，
（甲、乙两人同时被抽中）．
20．（2025·石棉模拟）如图，已知，是对角线上两点，．
（1）求证：；
（2）若交的延长线于点，，求的面积．
【答案】（1）证明：∵，
∴，，
∴，
又∵，
∴；
（2）解：∵，
∴
又∵，，
∴，即：，
解得：（负值已舍去），
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积.
答：平行四边形的面积为9.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质“平行四边形的对边相等且互相平行”可得，AB∥CD，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”可得，结合已知，用边角边即可判断求解；
（2）在Rt BCH中，用勾股定理可求得BH的值，在Rt ACH中，根据锐角三角函数tan∠CAB=求得AH的值，再由线段的和差AB=AH-BH求得AB的值，然后根据平行四边形的面积公式即可求解．
21．（2025·石棉模拟）在我市“青山绿水”行动中，某社区计划对面积为的区域进行绿化，经投标由甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化面积的2倍，如果两队各自独立完成面积为区域的绿化时，甲队比乙队少用6天．
(1)求甲、乙两工程队每天各能完成多少面积的绿化；
(2)若甲队每天绿化费用是1.2万元，乙队每天绿化费用为0.5万元，社区要使这次绿化的总费用不超过40万元，则至少应安排乙工程队绿化多少天？
【答案】解：(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
则甲工程队每天能完成绿化的面积是，
答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是、；
(2)设甲工程队施工天，乙工程队施工天刚好完成绿化任务，
由题意得：，
则，
根据题意得：，
解得：，
答：至少应安排乙工程队绿化32天．
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用
【解析】【分析】(1)设乙工程队每天能完成绿化的面积是，根据题中的相等关系“乙队独立完成面积为区域的绿化时所用时间-甲队独立完成面积为区域的绿化时所用时间=6”可列出关于x的方程，解方程并检验即可求解；
(2)设甲工程队施工天，乙工程队施工天刚好完成绿化任务，根据题中的相等关系"甲工程队施工天完成绿化任务+乙工程队施工天完成绿化任务=3600"可列关于a、b的二元一次方程，整理可将a用含b的代数式表示出来，然后根据不等关系列关于b的不等式，解不等式即可求解．
22．（2025·石棉模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数和的图象相交于点，反比例函数的图象经过点．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，连接，求的面积；
（3）直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：联立，
解得，
点坐标为．
将代入，得．
．
反比例函数的表达式为
（2）解：联立，
解得或．
．
在中，令，得．
故直线与轴的交点为．
如图，过、两点分别作轴的垂线，交轴于、两点，
则
（3）解：根据图象：关于的不等式的解集为或
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】
（1）联立解方程组可求得A的坐标，然后用待定系数法即可求解；
（2）将已知的直线解析式和反比例函数的解析式联立解方程组可求得B、C两点的坐标，根据三角形AB O的构成计算即可求解；
（3）根据图象即可求解．
（1）解：联立，解得，
点坐标为．
将代入，得．
．
反比例函数的表达式为；
（2）解：联立，解得或．
．
在中，令，得．
故直线与轴的交点为．
如图，过、两点分别作轴的垂线，交轴于、两点，
则．
（3）解：根据图象：关于的不等式的解集为或．
23．（2025·石棉模拟）如图，为的直径，C为上一点，点D为的中点，过点C作的切线交的延长线于点E，交的延长线于点F，连接．
（1）求证∶与相切；
（2）若，，求的半径r．
【答案】（1）证明：如图，连接，
是的切线，
，
为的中点，，
，则垂直平分，
，
，，
，
，
与相切；
（2）解：∵，，
，
由（1）可知，，
，
设，
，
，
，
解得：，
答：的半径为．
【知识点】垂径定理；切线的判定与性质；三角形全等的判定-SSS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】
（1）连接，由垂径定理得，根据垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，结合已知，用边边边可证，由全等三角形的对应角相等可得，然后根据圆的切线的判定即可求解；
（2）在三角形AEF中，用勾股定理求得AF的值，设，再根据等面积法列出关于x的方程，解方程即可求解．
（1）证明：如图，连接，
是的切线，
，
为的中点，，
，则垂直平分，
，
，，
，
，
与相切；
（2）解：∵，，
，
由（1）可知，，
，
设，
，
，
，
解得，
故的半径为．
24．（2025·石棉模拟）已知二次函数的图象与轴的交于、两点，与轴交于点，
（1）求二次函数的表达式及点坐标；
（2）是二次函数图象上位于第三象限内的点，求面积最大时点的坐标；
（3）是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点的坐标（不写求解过程）
【答案】（1）解：把，代入得：
，
解得
二次函数的解析式为，
令，得到，解得或，
（2）如图中连接，．
设直线解析式为：，
，，
，
解得，，
直线的解析式为，
过点作轴的垂线交于点，设点的坐标为，
则，
点在第三象限，
，
，
当时，，点，
面积最大时，
（3）解：在二次函数图象上存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形；理由如下：∵，
∴，
由得，抛物线的对称轴为直线，
∵以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形，
当为平行四边形的边时，，
设点N的横坐标为t，
∵轴，
∴，
解得或，
∵点N在抛物线上，
∴点N的坐标为或；
当为平行四边形的对角线时，
则，
解得，
∴点N的坐标为；
综上，在二次函数图象上存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形；点N的坐标为或或
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】
（1）由题意，用待定系数法求出二次函数表达式；令解析式中y=0可得关于x的一元二次方程，解方程并结合题意可求出点A的坐标；
（2）连接，求出直线的表达式为，过点D作x轴的垂线，交于点G，得，可知当取最大值时，的面积最大，设，则，可得，即得S△ACD与m之间的函数关系式，并将函数关系式配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解；
（3）先求出的长及二次函数的对称轴，再分为平行△四边形的边和对角线两种情况，根据平行四边形的性质即可求解．
（1）解：把，代入
则有，
解得
二次函数的解析式为，
令，得到，解得或，
．
（2）如图中连接，．
设直线解析式为：，
，，
，
解得，，
直线的解析式为，
过点作轴的垂线交于点，设点的坐标为，
则，
点在第三象限，
，
，
当时，，点，
面积最大时，；
（3）解：在二次函数图象上存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形；理由如下：
∵，
∴，
由得，抛物线的对称轴为直线，
∵以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形，
当为平行四边形的边时，，
设点N的横坐标为t，
∵轴，
∴，
解得或，
∵点N在抛物线上，
∴点N的坐标为或；
当为平行四边形的对角线时，
则，
解得，
∴点N的坐标为；
综上，在二次函数图象上存在点N，使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形；点N的坐标为或或．
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