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四川省达州市开江县2024-2025学年九年级下学期4月第一次学科素质调研诊断数学试题
一、精心选一选（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．）
1．（2025·开江模拟）的绝对值是（　　）
A．2025 B． C． D．
【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值是，
故答案为：A．
【分析】利用绝对值的定义解答即可．
2．（2025·开江模拟）下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：领奖台从左面看，为
，
故答案为：C．
【分析】
左视图是从几何体左面观察到的视图，由此解答即可．
3．（2025·开江模拟）据新华社消息，截止目前网络平台数据显示，电影《哪吒之魔童闹海》全球电影票房（含预售及海外）超越《复仇者联盟3：无限战争》，进入全球票房榜前6名．总票房突破165亿元．数据165亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：165亿，
故答案为：B．
【分析】由题意，先将单位“亿元”化为单位“元”，然后根据科学记数法的的意义“科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1”即可求解．
4．（2025·开江模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、≠a6，
∴此选项不符合题意；
B、≠a3b5，
∴此选项不符合题意；
C、，
∴此选项符合题意；
D、≠m2-4，
∴此选项不符合题意；，
故答案为：C．
【分析】A、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
B、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
C、根据完全平方公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”可求解；
D、根据平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”可求解.
5．（2025·开江模拟）达州市境内有诸多风景名胜，如：万源的八台山、宣汉的巴山大峡谷、渠县的賨人谷景区、大竹五峰山森林公园、开江的飞云温泉就是其中著名的5处景点，将这5处景点制作成卡片（除汉字外其他都相同），随机从中抽取1张卡片，则抽到含“山”字卡片的概率为（　　）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：随机从中抽取1张卡片有5种等可能结果，其中抽到含“山”字卡片的有3种结果，
∴抽到含“山”字卡片的概率为.
故答案为：B．
【分析】根据题意，由概率公式计算即可求解．
6．（2025·开江模拟）如图，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵与为对顶角，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
故答案为：B．
【分析】由对顶角相等可求得的度数，由平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可求得∠5的度数，然后根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”即可求解．
7．（2025·开江模拟）如图，在中，是切线，为切点，直线交于点，点为上的一点，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵是的切线，切点是B，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵圆周角与圆心角所对的弧是，
∴．
故答案为：D．
【分析】如图，连接，由切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，然后求出，再根据圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半”得∠E=∠BOD可求解．
8．（2025·开江模拟）《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？如果设有x人，y辆车，则可列方程组为（　　）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意，得：
；
故答案为：A．
【分析】 设有x人，y辆车， 根据题中的两个相等关系“每3人乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行”列关于x，y的二元一次方程组，结合各选项即可判断求解．
9．（2025·开江模拟）如图，在矩形中，，，的平分线交于点，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为（　　）．
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，
的平分线交于点，
，
如图1，在上取点，使，连接，，
，
，，
与的距离为6，
，
，
如图2，则四边形是矩形，
，，
，，，
四边形为正方形，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，
，
，，
由勾股定理得，
故答案为：D．
【分析】由矩形的性质和角平分线的概念可得，，如图1，在上取点，使，连接，，结合轴对称的性质可得，由，，可得，，即、、三点共线，如图2，四边形是矩形，由矩形的性质可得，在Rt PCN中，用勾股定理可求解.
10．（2025·开江模拟）如图，是二次函数的部分图象，该图象经过点，其对称轴为：直线，则下列结论：①；②；③若且，则；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：①∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴结论正确；
②根据函数图象可得抛物线开口向上，
∵由图可知抛物线的顶点坐标为，
∴时，函数有最小值，
∴，
∴结论错误；
③若且，则，
∴，
∴结论正确；
④由条件可得关于x的一元二次方程的根为或，
∴结论错误；
⑤∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
∴结论正确．
综上可得，正确的选项有3个．
故答案为：B．
【分析】①②根据抛物线的对称轴为x=-3=可求解；
②由抛物线的顶点坐标和二次函数的性质可求解；
③由且可知：（x1、y1）和（x2、y2）是抛物线上的对称点，由图中的对称轴x=-3可求解；
④由对称性可得一元二次方程的根为或可判断求解；
⑤由抛物线开口向上可知：在对称轴的右侧，函数值y随x的增大而增大并结合对称轴的值可求解．
二、细心填一填（本大题共5小题，每小题4分，满分20分．）
11．（2025·开江模拟） 分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=3a（a2-4）=3a（a+2）（a-2）.
故答案为：3a（a+2）（a-2）.
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式3a，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式.
12．（2025·开江模拟）为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的习惯，某中学本期组织了一次国学知识竞赛活动，参赛的6个队伍积分分别为：，则这组数据的中位数是　 　．
【答案】55
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：重新排列为50，51，55，55，61，64，
这组数据的中位数为，
故答案为：55．
【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义并结合题意即可求解.
13．（2025·开江模拟）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为　 　.
【答案】7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根，
∴n2-5n+2=0，m+n=5，
∴n2-5n=-2，m=5-n
∴m+(n-2)2=m+n2-4n+4=5-n+n2-4n+4=n2-5n+9=-2+9=7.
故答案为：7.
【分析】由一元二次方程根的定义及根与系数的关系得n2-5n=-2，m=5-n，然后将待求式子利用完全平方公式展开代入m=5-n，合并同类项后再整体代入n2-5n=-2，计算有理数的加法即可得出答案.
14．（2025·开江模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质
【解析】【解答】解：点的坐标为，
，
四边形为菱形，
，，
点坐标为．
点在反比例函数的图象上，
．
故答案为：．
【分析】由题意，用勾股定理可求出的长，由菱形的四边都相等可求得=OD的长，于是可得点的坐标，然后用待定系数法即可求解．
15．（2025·开江模拟）如图，是边长为4的等边三角形，点是的中点，点是边所在直线上的一动点，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，过点作于点，
为等边三角形，
，
，为中点，
，
为等边三角形，
，，
①当点在点下方时，有两种情况，作图如下：
，，
，
，
，
，，，
；
，
此时，点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行；
，
据上述原理，上图情况，可得，
，
此时，点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行；
②当点在点上方时，作图如下：
，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
此时，点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行；
③当点与点重合时，作图如下：
由图可知：，
此时，点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行；
综上所述：点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行．根据垂线段最短可知：当点与点重合时，最小，即．
故答案为：．
【分析】过点作于点，点作于点，由题意分三种情况：①点在点下方，②点在点上方，③点与点重合，计算可得，重合得到点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行，然后根据垂线段最短可求解．
三、用心解一解（本大题共10小题，满分90分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（2025·开江模拟）计算：
（1）计算：；
（2）化简：．
【答案】（1）解：，
，
（2）解：
【知识点】分式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（3.14-π）0=1；由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-1=-2；由特殊角的三角函数值可得cos30°=，由绝对值的非负性可得，然后根据实数的运算法则计算即可求解；
（2）由题意先将括号内的分式通分，根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转化为乘法，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简．
（1）解：，
，
；
（2）解：
．
17．（2025·开江模拟）已知关于的方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根及的值．
【答案】（1）解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴，
解得：
（2）解：把代入，得：
，
解得：或，
分两种情况：
当时，方程为：，
解得：或，
此时另一个根为；
当时，方程为：，
解得：或，
此时另一个根为5；
综上可得，当时，另一个根为；当时，另一个根为5
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】
（1）根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于m的不等式，解不等式即可求解；
（2）由题意，把代入可得关于m的方程，解方程求出m值，再把m值代入原方程，然后解一元二次方程即可求解．
（1）解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴，
解得：；
（2）解：把代入，得，
解得：或，
分以下两种情况：
当时，方程为，
解得或，
此时另一个根为；
当时，方程为，
解得或，
此时另一个根为5；
综上所述，当时，另一个根为；当时，另一个根为5．
18．（2025·开江模拟）某校九年级为了了解家长和学生观看交通安全警示教育片的情况，随机抽取本校九年级部分学生调查，把收集的数据按照四类（表示仅学生参与；表示家长和学生一起参与；表示仅家长参与；表示其它）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图．根据图中信息解答下列问题：
观看交通安全警示教育片情况条形统计图 观看交通安全警示教育片情况扇形统计图
（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）已知该校九年级共有1600名学生，估计九年级选类的学生人数；
（3）李老师在批阅九年级一班同学写的观后感时，发现有5名同学的观后感写得非常优秀，其中有2名男生，3名女生．现从这5名学生中随机抽取2名学生到当地某小学担任交通安全宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）解：（名．
答：在这次抽样调查中，共调查了100名学生
（2）解：（人．
估计九年级选类的学生人数约800人
（3）解：列表如下：
男 男 女 女 女
男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女）
男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女）
共有20种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有12种，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）观察条形统计图和扇形统计图可知：的人数和的百分比，然后根据样本容量=频数÷百分比可求解；
（2）根据用样本估计总体可求解；
（3）由题意列出表格，根据表格中的信息可得所有等可能的结果和符合题意的结果，再用概率公式计算即可求解．
（1）解：（名．
答：在这次抽样调查中，共调查了100名学生．
（2）解：（人．
估计九年级选类的学生人数约800人；
（3）解：列表如下：
男 男 女 女 女
男
（男，男） （男，女） （男，女） （男，女）
男 （男，男）
（男，女） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男）
（女，女） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
（女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女）
共有20种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有12种，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
19．（2025·开江模拟）如图，在平行四边形中，已知．
（1）实践与操作：作的平分线交于点，在上截取，连接；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接交于点，若，，求的长（未完成作图的，可用草图作解答）．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图，连接，交于点O，
∵，平分，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由角平分线的作法可知：在上截取，连接，画出图形即可；
（2）连接，交于点O，由等腰三角形的性质“等腰三角形的三线合一”可得，，由平行四边形的对边互相平行得AD∥BC，由平行线的性质：两直线平行，内错角相等”可得，则，由等角对等边得，再由等腰三角形的三线合一可得，在中，用勾股定理求得AO的值，然后根据平行四边形的对角线互相平分得AE=2AO可求解．
（1）解：如图所示：
（2）解：如图，连接，交于点O，
∵，平分，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴．
20．（2025·开江模拟）根据以下材料，探索完成任务．
探究车牌识别系统的识别角度
材料1 某小区为解决“停车难”这个问题，一楼地面改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，长．
材料2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，图3中摄像头点位于点正上方三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭．（参考数据：）
材料3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速．（）
问题解决：
（1）确定斜坡坡度：如图1，求的值；
（2）如图3，当时，求长，并判断此时车辆以最高限速行驶到达点时，闸门是否已经打开，车辆能否顺利通过，请通过计算说明．
【答案】（1）解：，，长，
的值为：
（2）解：闸门没有打开，理由如下：
过点作于，
，，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
车辆以最高限速行驶到达点的时间为：
秒，，
闸门没有打开
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】
（1）由题意，根据坡度的定义可求解；
（2）过点作于，设，则，根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，然后根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由比例式将BF用含x的代数式表示出来，由线段的和差可得关于x的方程，解方程求出x的值，在Rt△BEF中，用勾股定理求得BE的值，然后根据时间=路程÷速度可求出车辆以最高限速行驶到达点的时间，与已知的闸门打开的时间比较大小即可判断求解．
（1）解：，，长，
的值为：；
（2）解：闸门没有打开，理由如下：
过点作于，
，，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
车辆以最高限速行驶到达点的时间为：
秒，，
闸门没有打开．
21．（2025·开江模拟）某中学为了将国家“双减”政策落实到位，在开展的课后服务项目设置中新增了“无人机操作技术”科目，成立了无人机表演队。根据无人机表演队需要，学校计划购买、两种型号的无人机，且型无人机的单价比型无人机的单价贵132元，已知用23400元购买型无人机的数量是用15000元购买型无人机数量的2倍．
（1）求型无人机和型无人机的单价分别是多少元？
（2）根据学校的实际需求，需要一次性购买型无人机和型无人机共100架，若要求购买时型无人机费用不超过型无人机费用的3倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买无人机的总费用最少？
【答案】（1）解：设型无人机的单价是元，则型无人机单价为元，
根据题意可得，
解得，
经检验是原方程的解，
（元），
答：型无人机单价是468元，型无人机的单价是600元
（2）解：设购买型无人机台，则购买型无人机台，
根据题意可得，
解得，
为整数，
的最小值为，
当购买型无人机数量最小时，总费用最少，
故费用最少时，购买型无人机21台，购买型无人机79台
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设型无人机的单价是元，则型无人机单价为元，根据题中的相等关系“用23400元购买型无人机的数量=用15000元购买型无人机数量的2倍”列出关于x的方程，解方程即可求解；
（2）设购买型无人机台，则购买型无人机台，根据题中的不等关系“型无人机费用≤3×型无人机费用”列出关于a的不等式，解不等式求出的取值范围即可求解．
（1）解：设型无人机的单价是元，则型无人机单价为元，
根据题意可得，
解得，
经检验是原方程的解，
（元），
答：型无人机单价是468元，型无人机的单价是600元；
（2）解：设购买型无人机台，则购买型无人机台，
根据题意可得，
解得，
为整数，
的最小值为，
当购买型无人机数量最小时，总费用最少，
故费用最少时，购买型无人机21台，购买型无人机79台．
22．（2025·开江模拟）已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点．
（1）求反比例函数的表达式和点的坐标；
（2）若点关于原点的对称点为，求的面积；
（3）探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：一次函数图象过点，
，
，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的表达式为，
由，
解得或，
点的坐标为
（2）解：如图，过点作，交于点，
，
点关于原点的对称点为的坐标为，
把代入，
可得，
，
，
（3）解：如图，过点作轴于，轴于，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
在△BPD和△PAE中
，
，
，
点
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】
（1）将点的坐标代入一次函数的解析式可得关于m的方程，解方程求得的值，根据点A在反比例函数的图象上，可将点A的坐标代入反比例函数的解析式计算求得k的值，再将直线和反比例函数的解析式联立解方程组，即可求解；
（2）过点作，交于点，根据中心对称的性质可求得点A 的坐标，然后易得点M的坐标，再根据三角形的面积的构成可求解；
（3）过点作轴于，轴于，由同角的余角相等可得∠BPD=∠PAE，结合已知，用角角边可得，由全等三角形的对应边相等可得，即可求解．
（1）解：一次函数图象过点，
，
，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的表达式为，
由，
解得或，
点的坐标为；
（2）解：如图，过点作，交于点，
，
点关于原点的对称点为的坐标为，
把代入，
可得，
，
，
；
（3）解：如图，过点作轴于，轴于，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
点．
23．（2025·开江模拟）如图，是的内接三角形，于点，延长至点，连接，使，是的直径，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求的值．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
即的值为18
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）如图，连接，由圆周角定理“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”得，结合已知得，由同角的余角相等可得，再根据直径所对的圆周角是直角并结合角的构成可得，然后由圆的切线的判定即可求解；
（2）根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求得BE的值，同理可得，列比例式可求解．
（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
即的值为18．
24．（2025·开江模拟）如图．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴：直线与轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点是直线上方的抛物线上的动点，连接交于点，如图1，当的值最大时，求点的坐标及的最大值；
（3）若点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，为平面内一动点，是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于，对称轴：直线，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为
（2）解：令，则，令，则，
解得，
∴，，
设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴直线解析式为，
过作轴交直线于，过作轴交直线于，则，
∴，
∴，
当时，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，最大，此时，
∴当的值最大时，点的坐标为，最大值为
（3）解：不存在，理由如下：
过作轴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点是直线上方的抛物线上的动点，点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，
∴在内部，
∴，
假设存在以为顶点的四边形为正方形，
∴必定是等腰直角三角形，
∴或，与矛盾，
∴假设不成立，
∴不存在以为顶点的四边形为正方形
【知识点】二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】
（1）根据题意"抛物线与轴交于，对称轴：直线"可列关于a、b的方程组，解方程组即可求解；
（2）抛物线与坐标轴相交于A、B、D三点可求得点B、D的坐标，用待定系数法求出直线的解析式，过作轴交直线于，过作轴交直线于，则，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由题意易求出，设，则，，代入比例式可将用含m的代数式表示出来，并将关系式配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解；
（3）过作轴，由得到，根据给定的条件发现在内部，即，但是由以为顶点的四边形为正方形，得到必定是等腰直角三角形，或，与矛盾即可判断求解．
（1）解：∵抛物线与轴交于，对称轴：直线，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，令，则，解得，
∴，，
设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴直线解析式为，
过作轴交直线于，过作轴交直线于，则，
∴，
∴，
当时，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，最大，此时，
∴当的值最大时，点的坐标为，最大值为；
（3）解：不存在，理由如下：
过作轴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点是直线上方的抛物线上的动点，点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，
∴在内部，
∴，
假设存在以为顶点的四边形为正方形，
∴必定是等腰直角三角形，
∴或，与矛盾，
∴假设不成立，
∴不存在以为顶点的四边形为正方形．
25．（2025·开江模拟）【教材呈现】如图，在中，点、分别与的中点．则与的关系是，；
【感知】如图1，在矩形中，点为的中点，点为边上一动点，点为的中点，连结、、．，与的数量关系是 　　．
【应用】如图2，在中，，，、是的中线，、分别是和的中点，求的长；
【拓展】如图3，在平行四边形中，点为边上一点，连接，点在上，，点是的中点，连接交于点，若点为的中点，，连接，求的值．
【答案】[感知]；
[应用]解：如图2，连接，并延长交于点，
，，
，，
、是的中线，
，，
点、分别是和的中点，
，，，
，，
，
，，
，
；
[拓展]解：连接，作交延长线于，如图3，
，
是的中点，，
若点为的中点，
，，
点是的中点，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
在中，，，
在中，，
由勾股定理得，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
【知识点】等边三角形的判定与性质；解直角三角形；四边形的综合
【解析】【解答】解：[感知]点为的中点，点为的中点，
，，
，即，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
故答案为：；
【分析】[感知]由三角形的中位线定理可得MN∥AC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，根据一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形是矩形，由矩形的四个角都是直角可得，于是将两个角相加即可求解；
[应用]连接，并延长交于点，由勾股定理可求得AC的值，根据三角形中位线的性质“三角形的中位线等于第三边的一半”可证得，在Rt△CDF中，用勾股定理求得CF=AF的值，同理，由三角形中位线的性质可求解；
[拓展]连接，作交延长线于，根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形，由等边三角形的性质与解直角三角形求得BC的值，再根据有三个角等于60° 的三角形是等边三角形可得是等边三角形，由三角形内角和定理可得是直角三角形，在Rt△APE中，根据锐角三角函数cos∠APE=求得AP的值，将AP、BC的值代入所求代数式计算即可求解．
1 / 1四川省达州市开江县2024-2025学年九年级下学期4月第一次学科素质调研诊断数学试题
一、精心选一选（本大题共10小题，每小题4分，满分40分．）
1．（2025·开江模拟）的绝对值是（　　）
A．2025 B． C． D．
2．（2025·开江模拟）下图为乒乓球男团颁奖现场，领奖台的示意图如下，则此领奖台的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·开江模拟）据新华社消息，截止目前网络平台数据显示，电影《哪吒之魔童闹海》全球电影票房（含预售及海外）超越《复仇者联盟3：无限战争》，进入全球票房榜前6名．总票房突破165亿元．数据165亿用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·开江模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·开江模拟）达州市境内有诸多风景名胜，如：万源的八台山、宣汉的巴山大峡谷、渠县的賨人谷景区、大竹五峰山森林公园、开江的飞云温泉就是其中著名的5处景点，将这5处景点制作成卡片（除汉字外其他都相同），随机从中抽取1张卡片，则抽到含“山”字卡片的概率为（　　）
A．1 B． C． D．
6．（2025·开江模拟）如图，，，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·开江模拟）如图，在中，是切线，为切点，直线交于点，点为上的一点，连接．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·开江模拟）《孙子算经》记载：今有3人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文：今有若干人乘车，若每三人乘一辆车，最终剩余2辆车；若每2人乘一辆车，最终剩余9人无车可乘．问共有多少人？多少辆车？如果设有x人，y辆车，则可列方程组为（　　）．
A． B．
C． D．
9．（2025·开江模拟）如图，在矩形中，，，的平分线交于点，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．若．则线段的长为（　　）．
A．2 B． C．3 D．
10．（2025·开江模拟）如图，是二次函数的部分图象，该图象经过点，其对称轴为：直线，则下列结论：①；②；③若且，则；④关于的一元二次方程的根为；⑤若点，在抛物线上，则．其中正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、细心填一填（本大题共5小题，每小题4分，满分20分．）
11．（2025·开江模拟） 分解因式：　 　．
12．（2025·开江模拟）为培养学生阅读兴趣，养成好读书、善读书、乐读书的习惯，某中学本期组织了一次国学知识竞赛活动，参赛的6个队伍积分分别为：，则这组数据的中位数是　 　．
13．（2025·开江模拟）若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为　 　.
14．（2025·开江模拟）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，则的值为　 　．
15．（2025·开江模拟）如图，是边长为4的等边三角形，点是的中点，点是边所在直线上的一动点，连接，在的右侧作等边，连接，则的最小值是　 　．
三、用心解一解（本大题共10小题，满分90分．请认真读题，冷静思考．解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
16．（2025·开江模拟）计算：
（1）计算：；
（2）化简：．
17．（2025·开江模拟）已知关于的方程有两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若方程有一个根是1，求方程的另一个根及的值．
18．（2025·开江模拟）某校九年级为了了解家长和学生观看交通安全警示教育片的情况，随机抽取本校九年级部分学生调查，把收集的数据按照四类（表示仅学生参与；表示家长和学生一起参与；表示仅家长参与；表示其它）进行统计，得到每一类的学生人数，并把统计结果绘制成如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图．根据图中信息解答下列问题：
观看交通安全警示教育片情况条形统计图 观看交通安全警示教育片情况扇形统计图
（1）在这次抽样调查中，共调查了多少名学生？
（2）已知该校九年级共有1600名学生，估计九年级选类的学生人数；
（3）李老师在批阅九年级一班同学写的观后感时，发现有5名同学的观后感写得非常优秀，其中有2名男生，3名女生．现从这5名学生中随机抽取2名学生到当地某小学担任交通安全宣讲员．请用画树状图或列表的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
19．（2025·开江模拟）如图，在平行四边形中，已知．
（1）实践与操作：作的平分线交于点，在上截取，连接；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）
（2）连接交于点，若，，求的长（未完成作图的，可用草图作解答）．
20．（2025·开江模拟）根据以下材料，探索完成任务．
探究车牌识别系统的识别角度
材料1 某小区为解决“停车难”这个问题，一楼地面改造一个地下停车库．图1是该地下停车库坡道出入口的侧面示意图．地下停车库高，长．
材料2 图2是地下停车库门口安装的车牌识别设备，图3中摄像头点位于点正上方三点共线．摄像头在斜坡上的有效识别区域为，车辆进入识别区域无需停留，闸门3秒即会自动打开，车辆通过后，闸门才会自动关闭．（参考数据：）
材料3 汽车从地下车库驶出，在斜坡上保持匀速行驶，车库限速．（）
问题解决：
（1）确定斜坡坡度：如图1，求的值；
（2）如图3，当时，求长，并判断此时车辆以最高限速行驶到达点时，闸门是否已经打开，车辆能否顺利通过，请通过计算说明．
21．（2025·开江模拟）某中学为了将国家“双减”政策落实到位，在开展的课后服务项目设置中新增了“无人机操作技术”科目，成立了无人机表演队。根据无人机表演队需要，学校计划购买、两种型号的无人机，且型无人机的单价比型无人机的单价贵132元，已知用23400元购买型无人机的数量是用15000元购买型无人机数量的2倍．
（1）求型无人机和型无人机的单价分别是多少元？
（2）根据学校的实际需求，需要一次性购买型无人机和型无人机共100架，若要求购买时型无人机费用不超过型无人机费用的3倍，则学校应该如何设计购买方案，才能使购买无人机的总费用最少？
22．（2025·开江模拟）已知一次函数与反比例函数的图象交于、两点，交轴于点．
（1）求反比例函数的表达式和点的坐标；
（2）若点关于原点的对称点为，求的面积；
（3）探究：在轴上是否存在一点，使得为等腰直角三角形，且直角顶点为点，若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由．
23．（2025·开江模拟）如图，是的内接三角形，于点，延长至点，连接，使，是的直径，连接．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，，求的值．
24．（2025·开江模拟）如图．抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的对称轴：直线与轴交于点．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点是直线上方的抛物线上的动点，连接交于点，如图1，当的值最大时，求点的坐标及的最大值；
（3）若点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，为平面内一动点，是否存在点，使得以为顶点的四边形为正方形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
25．（2025·开江模拟）【教材呈现】如图，在中，点、分别与的中点．则与的关系是，；
【感知】如图1，在矩形中，点为的中点，点为边上一动点，点为的中点，连结、、．，与的数量关系是 　　．
【应用】如图2，在中，，，、是的中线，、分别是和的中点，求的长；
【拓展】如图3，在平行四边形中，点为边上一点，连接，点在上，，点是的中点，连接交于点，若点为的中点，，连接，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：的绝对值是，
故答案为：A．
【分析】利用绝对值的定义解答即可．
2．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：领奖台从左面看，为
，
故答案为：C．
【分析】
左视图是从几何体左面观察到的视图，由此解答即可．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：165亿，
故答案为：B．
【分析】由题意，先将单位“亿元”化为单位“元”，然后根据科学记数法的的意义“科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1”即可求解．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、≠a6，
∴此选项不符合题意；
B、≠a3b5，
∴此选项不符合题意；
C、，
∴此选项符合题意；
D、≠m2-4，
∴此选项不符合题意；，
故答案为：C．
【分析】A、根据同底数幂的乘法法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”可求解；
B、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
C、根据完全平方公式“（a+b）2=a2+2ab+b2”可求解；
D、根据平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”可求解.
5．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：随机从中抽取1张卡片有5种等可能结果，其中抽到含“山”字卡片的有3种结果，
∴抽到含“山”字卡片的概率为.
故答案为：B．
【分析】根据题意，由概率公式计算即可求解．
6．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，
∵与为对顶角，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
∴，
故答案为：B．
【分析】由对顶角相等可求得的度数，由平行线的性质“两直线平行，同旁内角互补”可求得∠5的度数，然后根据三角形外角的性质“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角之和”即可求解．
7．【答案】D
【知识点】圆周角定理；切线的性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵是的切线，切点是B，
∴，
∵在中，，，
∴，
∵圆周角与圆心角所对的弧是，
∴．
故答案为：D．
【分析】如图，连接，由切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得，然后求出，再根据圆周角定理“同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半”得∠E=∠BOD可求解．
8．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：由题意，得：
；
故答案为：A．
【分析】 设有x人，y辆车， 根据题中的两个相等关系“每3人乘一车，最终剩余2辆空车；若每2人同乘一车，最终剩下9人因无车可乘而步行”列关于x，y的二元一次方程组，结合各选项即可判断求解．
9．【答案】D
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，
，，
的平分线交于点，
，
如图1，在上取点，使，连接，，
，
，，
与的距离为6，
，
，
如图2，则四边形是矩形，
，，
，，，
四边形为正方形，
，
四边形为矩形，
，
四边形为正方形，
，
，
，，
由勾股定理得，
故答案为：D．
【分析】由矩形的性质和角平分线的概念可得，，如图1，在上取点，使，连接，，结合轴对称的性质可得，由，，可得，，即、、三点共线，如图2，四边形是矩形，由矩形的性质可得，在Rt PCN中，用勾股定理可求解.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：①∵对称轴为直线，
∴，
∴，
∴结论正确；
②根据函数图象可得抛物线开口向上，
∵由图可知抛物线的顶点坐标为，
∴时，函数有最小值，
∴，
∴结论错误；
③若且，则，
∴，
∴结论正确；
④由条件可得关于x的一元二次方程的根为或，
∴结论错误；
⑤∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
当时，y随x的增大而增大，
∵，
∴，
∴结论正确．
综上可得，正确的选项有3个．
故答案为：B．
【分析】①②根据抛物线的对称轴为x=-3=可求解；
②由抛物线的顶点坐标和二次函数的性质可求解；
③由且可知：（x1、y1）和（x2、y2）是抛物线上的对称点，由图中的对称轴x=-3可求解；
④由对称性可得一元二次方程的根为或可判断求解；
⑤由抛物线开口向上可知：在对称轴的右侧，函数值y随x的增大而增大并结合对称轴的值可求解．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式=3a（a2-4）=3a（a+2）（a-2）.
故答案为：3a（a+2）（a-2）.
【分析】观察此多项式的特点：含有公因式3a，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式.
12．【答案】55
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：重新排列为50，51，55，55，61，64，
这组数据的中位数为，
故答案为：55．
【分析】将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义并结合题意即可求解.
13．【答案】7
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵m、n是一元二次方程x2-5x+2=0的两个实数根，
∴n2-5n+2=0，m+n=5，
∴n2-5n=-2，m=5-n
∴m+(n-2)2=m+n2-4n+4=5-n+n2-4n+4=n2-5n+9=-2+9=7.
故答案为：7.
【分析】由一元二次方程根的定义及根与系数的关系得n2-5n=-2，m=5-n，然后将待求式子利用完全平方公式展开代入m=5-n，合并同类项后再整体代入n2-5n=-2，计算有理数的加法即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；菱形的性质
【解析】【解答】解：点的坐标为，
，
四边形为菱形，
，，
点坐标为．
点在反比例函数的图象上，
．
故答案为：．
【分析】由题意，用勾股定理可求出的长，由菱形的四边都相等可求得=OD的长，于是可得点的坐标，然后用待定系数法即可求解．
15．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，过点作于点，
为等边三角形，
，
，为中点，
，
为等边三角形，
，，
①当点在点下方时，有两种情况，作图如下：
，，
，
，
，
，，，
；
，
此时，点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行；
，
据上述原理，上图情况，可得，
，
此时，点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行；
②当点在点上方时，作图如下：
，，
，
，
，
，
，
，，，
，
，
此时，点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行；
③当点与点重合时，作图如下：
由图可知：，
此时，点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行；
综上所述：点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行．根据垂线段最短可知：当点与点重合时，最小，即．
故答案为：．
【分析】过点作于点，点作于点，由题意分三种情况：①点在点下方，②点在点上方，③点与点重合，计算可得，重合得到点在直线的右侧，且与距离为的直线上，这条直线与平行，然后根据垂线段最短可求解．
16．【答案】（1）解：，
，
（2）解：
【知识点】分式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）由0指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（3.14-π）0=1；由负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-1=-2；由特殊角的三角函数值可得cos30°=，由绝对值的非负性可得，然后根据实数的运算法则计算即可求解；
（2）由题意先将括号内的分式通分，根据除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法转化为乘法，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简．
（1）解：，
，
；
（2）解：
．
17．【答案】（1）解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴，
解得：
（2）解：把代入，得：
，
解得：或，
分两种情况：
当时，方程为：，
解得：或，
此时另一个根为；
当时，方程为：，
解得：或，
此时另一个根为5；
综上可得，当时，另一个根为；当时，另一个根为5
【知识点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】
（1）根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"可得关于m的不等式，解不等式即可求解；
（2）由题意，把代入可得关于m的方程，解方程求出m值，再把m值代入原方程，然后解一元二次方程即可求解．
（1）解：∵关于x的方程有两个实数根，
∴，
解得：；
（2）解：把代入，得，
解得：或，
分以下两种情况：
当时，方程为，
解得或，
此时另一个根为；
当时，方程为，
解得或，
此时另一个根为5；
综上所述，当时，另一个根为；当时，另一个根为5．
18．【答案】（1）解：（名．
答：在这次抽样调查中，共调查了100名学生
（2）解：（人．
估计九年级选类的学生人数约800人
（3）解：列表如下：
男 男 女 女 女
男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女）
男 （男，男） （男，女） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女）
共有20种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有12种，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）观察条形统计图和扇形统计图可知：的人数和的百分比，然后根据样本容量=频数÷百分比可求解；
（2）根据用样本估计总体可求解；
（3）由题意列出表格，根据表格中的信息可得所有等可能的结果和符合题意的结果，再用概率公式计算即可求解．
（1）解：（名．
答：在这次抽样调查中，共调查了100名学生．
（2）解：（人．
估计九年级选类的学生人数约800人；
（3）解：列表如下：
男 男 女 女 女
男
（男，男） （男，女） （男，女） （男，女）
男 （男，男）
（男，女） （男，女） （男，女）
女 （女，男） （女，男）
（女，女） （女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女）
（女，女）
女 （女，男） （女，男） （女，女） （女，女）
共有20种等可能的结果，其中恰好抽到1名男生和1名女生的结果有12种，
恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
19．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：如图，连接，交于点O，
∵，平分，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）由角平分线的作法可知：在上截取，连接，画出图形即可；
（2）连接，交于点O，由等腰三角形的性质“等腰三角形的三线合一”可得，，由平行四边形的对边互相平行得AD∥BC，由平行线的性质：两直线平行，内错角相等”可得，则，由等角对等边得，再由等腰三角形的三线合一可得，在中，用勾股定理求得AO的值，然后根据平行四边形的对角线互相平分得AE=2AO可求解．
（1）解：如图所示：
（2）解：如图，连接，交于点O，
∵，平分，
∴，，，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴．
20．【答案】（1）解：，，长，
的值为：
（2）解：闸门没有打开，理由如下：
过点作于，
，，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
车辆以最高限速行驶到达点的时间为：
秒，，
闸门没有打开
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】
（1）由题意，根据坡度的定义可求解；
（2）过点作于，设，则，根据相似三角形的判定“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”可得，然后根据相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由比例式将BF用含x的代数式表示出来，由线段的和差可得关于x的方程，解方程求出x的值，在Rt△BEF中，用勾股定理求得BE的值，然后根据时间=路程÷速度可求出车辆以最高限速行驶到达点的时间，与已知的闸门打开的时间比较大小即可判断求解．
（1）解：，，长，
的值为：；
（2）解：闸门没有打开，理由如下：
过点作于，
，，
设，则，
，，
，
，
，
，
，
解得：，
，
车辆以最高限速行驶到达点的时间为：
秒，，
闸门没有打开．
21．【答案】（1）解：设型无人机的单价是元，则型无人机单价为元，
根据题意可得，
解得，
经检验是原方程的解，
（元），
答：型无人机单价是468元，型无人机的单价是600元
（2）解：设购买型无人机台，则购买型无人机台，
根据题意可得，
解得，
为整数，
的最小值为，
当购买型无人机数量最小时，总费用最少，
故费用最少时，购买型无人机21台，购买型无人机79台
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设型无人机的单价是元，则型无人机单价为元，根据题中的相等关系“用23400元购买型无人机的数量=用15000元购买型无人机数量的2倍”列出关于x的方程，解方程即可求解；
（2）设购买型无人机台，则购买型无人机台，根据题中的不等关系“型无人机费用≤3×型无人机费用”列出关于a的不等式，解不等式求出的取值范围即可求解．
（1）解：设型无人机的单价是元，则型无人机单价为元，
根据题意可得，
解得，
经检验是原方程的解，
（元），
答：型无人机单价是468元，型无人机的单价是600元；
（2）解：设购买型无人机台，则购买型无人机台，
根据题意可得，
解得，
为整数，
的最小值为，
当购买型无人机数量最小时，总费用最少，
故费用最少时，购买型无人机21台，购买型无人机79台．
22．【答案】（1）解：一次函数图象过点，
，
，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的表达式为，
由，
解得或，
点的坐标为
（2）解：如图，过点作，交于点，
，
点关于原点的对称点为的坐标为，
把代入，
可得，
，
，
（3）解：如图，过点作轴于，轴于，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
在△BPD和△PAE中
，
，
，
点
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】
（1）将点的坐标代入一次函数的解析式可得关于m的方程，解方程求得的值，根据点A在反比例函数的图象上，可将点A的坐标代入反比例函数的解析式计算求得k的值，再将直线和反比例函数的解析式联立解方程组，即可求解；
（2）过点作，交于点，根据中心对称的性质可求得点A 的坐标，然后易得点M的坐标，再根据三角形的面积的构成可求解；
（3）过点作轴于，轴于，由同角的余角相等可得∠BPD=∠PAE，结合已知，用角角边可得，由全等三角形的对应边相等可得，即可求解．
（1）解：一次函数图象过点，
，
，
反比例函数的图象过点，
，
反比例函数的表达式为，
由，
解得或，
点的坐标为；
（2）解：如图，过点作，交于点，
，
点关于原点的对称点为的坐标为，
把代入，
可得，
，
，
；
（3）解：如图，过点作轴于，轴于，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
点．
23．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
即的值为18
【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）如图，连接，由圆周角定理“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”得，结合已知得，由同角的余角相等可得，再根据直径所对的圆周角是直角并结合角的构成可得，然后由圆的切线的判定即可求解；
（2）根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式求得BE的值，同理可得，列比例式可求解．
（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
由（1）知，
∴，
∴，
∴，
即的值为18．
24．【答案】（1）解：∵抛物线与轴交于，对称轴：直线，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为
（2）解：令，则，令，则，
解得，
∴，，
设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴直线解析式为，
过作轴交直线于，过作轴交直线于，则，
∴，
∴，
当时，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，最大，此时，
∴当的值最大时，点的坐标为，最大值为
（3）解：不存在，理由如下：
过作轴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点是直线上方的抛物线上的动点，点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，
∴在内部，
∴，
假设存在以为顶点的四边形为正方形，
∴必定是等腰直角三角形，
∴或，与矛盾，
∴假设不成立，
∴不存在以为顶点的四边形为正方形
【知识点】二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】
（1）根据题意"抛物线与轴交于，对称轴：直线"可列关于a、b的方程组，解方程组即可求解；
（2）抛物线与坐标轴相交于A、B、D三点可求得点B、D的坐标，用待定系数法求出直线的解析式，过作轴交直线于，过作轴交直线于，则，根据“平行与三角形一边的直线(或两边的延长线)和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，由题意易求出，设，则，，代入比例式可将用含m的代数式表示出来，并将关系式配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解；
（3）过作轴，由得到，根据给定的条件发现在内部，即，但是由以为顶点的四边形为正方形，得到必定是等腰直角三角形，或，与矛盾即可判断求解．
（1）解：∵抛物线与轴交于，对称轴：直线，
∴，
解得，
∴该抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，令，则，解得，
∴，，
设直线解析式为，
把代入得，解得，
∴直线解析式为，
过作轴交直线于，过作轴交直线于，则，
∴，
∴，
当时，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，最大，此时，
∴当的值最大时，点的坐标为，最大值为；
（3）解：不存在，理由如下：
过作轴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵点是直线上方的抛物线上的动点，点为对称轴右侧抛物线上一点，且在轴上方，
∴在内部，
∴，
假设存在以为顶点的四边形为正方形，
∴必定是等腰直角三角形，
∴或，与矛盾，
∴假设不成立，
∴不存在以为顶点的四边形为正方形．
25．【答案】[感知]；
[应用]解：如图2，连接，并延长交于点，
，，
，，
、是的中线，
，，
点、分别是和的中点，
，，，
，，
，
，，
，
；
[拓展]解：连接，作交延长线于，如图3，
，
是的中点，，
若点为的中点，
，，
点是的中点，，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
在中，，，
在中，，
由勾股定理得，
，，，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
【知识点】等边三角形的判定与性质；解直角三角形；四边形的综合
【解析】【解答】解：[感知]点为的中点，点为的中点，
，，
，即，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，
，
故答案为：；
【分析】[感知]由三角形的中位线定理可得MN∥AC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形，根据一个角是直角的平行四边形是矩形可得四边形是矩形，由矩形的四个角都是直角可得，于是将两个角相加即可求解；
[应用]连接，并延长交于点，由勾股定理可求得AC的值，根据三角形中位线的性质“三角形的中位线等于第三边的一半”可证得，在Rt△CDF中，用勾股定理求得CF=AF的值，同理，由三角形中位线的性质可求解；
[拓展]连接，作交延长线于，根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形可得是等边三角形，由等边三角形的性质与解直角三角形求得BC的值，再根据有三个角等于60° 的三角形是等边三角形可得是等边三角形，由三角形内角和定理可得是直角三角形，在Rt△APE中，根据锐角三角函数cos∠APE=求得AP的值，将AP、BC的值代入所求代数式计算即可求解．
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