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湖南省永州市2025年初中学业水平适应性考试数学 试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025·永州模拟）位于深圳市光明中心区科学公园的深圳科技馆占地面积为66000m2，66000用科学记数法可以表示成（　　）
A．66×103 B．6.6×104 C．6.6×103 D．0.66×105
2．（2025·永州模拟）若 ，则 的值是（　　）
A．2 B．3 C． D．
3．（2025·永州模拟）下列各等式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·永州模拟）估算 的值应在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
5．（2025·永州模拟）已知，点A（m，﹣3）与点B（2，n）关于x轴对称，则m和n的值是（　　）
A．2，3 B．﹣2，3 C．3，2 D．﹣3，﹣2
6．（2025·永州模拟）如图，五边形是正五边形，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·永州模拟）下列命题为真命题的是（　　）
A．三角形的外心是三条角平分线的交点
B．圆锥的三视图是两个等腰三角形和一个圆
C．“长度分别是的三根木条首尾相接，组成一个三角形”是必然事件
D．已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围是：
8．（2025·永州模拟）如图，已知是直径，是弦，，过圆心O作交弧于点D，连接，则为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·永州模拟）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：
①；
②；
③，是抛物线上两点，则；
④若关于x的一元二次方程没有实数根，则；
⑤对于任意实数m，总有．
其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
10．（2025·永州模拟）如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，在线段BC上取一点E，连接AE、ED，将ABE沿AE翻折，点B落在点处，线段E交AD于点F．将ECD沿DE翻折，点C的对应恰好落在线段上，且点为的中点，则线段EF的长为（　　）
A．3 B． C．4 D．
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．（2025·永州模拟）体育测试中，某班某一小组1分钟跳绳成绩如下：176，176，168，150，190，185，180（单位：个），则这组数据的中位数是　 　．
12．（2025·永州模拟）若代数式与是同类项，那么　 　．
13．（2025·永州模拟）在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点P(a，b)，则代数式的值是　 　．
14．（2025·永州模拟）若 ，则 的平方根是　 　.
15．（2025·永州模拟）计算： 　 　.
16．（2025·永州模拟）关于的不等式组仅有4个整数解，则的取值范围为　 　．
17．（2025·永州模拟）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，若点在直线上，点在平面直角坐标系内，且以点为顶点的四边形是以为对角线的菱形，则点坐标为　 　．
18．（2025·永州模拟）如图1，在等腰直角中，，且位于长方形的左侧，直角边与边在同一直线上，．现将沿方向移动，设的长为x，与长方形的重叠部分（图中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示．请根据图象信息分析，长方形的边长为 　 　，当时，x的值为 　 　．
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
19．（2025·永州模拟）计算：
（1）；
（2）．
20．（2025·永州模拟）化简：.
21．（2025·永州模拟）证明：三角形的外角和是（画图、写已知、求证、证明）
22．（2025·永州模拟）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为360平方米，墙的长为15米．
（1）据学校管理人员介绍，该基地2023年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率；
（2）如图所示，学校打算在基地内用总长度为33米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为72平方米，求矩形空地的宽为多少米？
23．（2025·永州模拟）如图，在中，，，点为上一点，连接，过点作，交延长线于点， 连接，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）如图，连接，取中点，连接并延长至点，使得，连接，求证：；
（3）如图，将沿折叠至，连接，将绕点逆时针旋转至，连接交所在直线于点，当取得最小值时，直接写出的度数．
24．（2025·永州模拟）近年来，水口县致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”、“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间定价1200元时，所有房间全部住满，当每个房间每天的定价每增加100元时，就会有一个房间无人入住，如果游客居住房间，民宿需要每天对每个房间每天支出200元的各种费用，设每个房间定价增加元（x为整数）．
（1）直接写出每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式．
（2）当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到22400元．
（3）求当每个房间定价为多少元时民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？
25．（2025·永州模拟）如图，抛物线与x轴交于点和A（-1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线解析式
（2）点P是抛物线BC段上一点，PD⊥BC，PE∥y轴，分别交BC于点D、E．当DE=时，求点P的坐标．
（3）M是平面内一点，将符合（2）条件下的△PDE绕点M沿逆时针方向旋转90°后，点P、D、E的对应点分别是P'、D'、E'.设的中点为N，当抛物线同时经过与N时，求出的横坐标．
26．（2025·永州模拟）问题提出
（1）如图①，内接于，过点C作的切线l，在l上任取一点P，连接，则______．（填写“”“”或“”）
问题探究
（2）如图②，在矩形中（），点P为边上任意一点，试问当点P位于边何处时最大？并说明理由．
问题解决
（3）如图③，五边形为展览馆的平面示意图，其中，，出于安全考虑，负责人想在上选一点P安装监控装置，用来监视边，现只要使最大，就可以让监控装置的效果达到最佳，问在线段上是否存在点P使最大．若存在，请求出符合条件的的长；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将66000用科学记数法表示为6.6×104，
故答案为：B．
【分析】科学记数法的规定形式：a×，
2．【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵3x＝2y，
∴x：y＝2：3，
故答案为：C.
【分析】利用比例的性质，可求出x与y的比值.
3．【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；平方根的概念与表示；求算术平方根
【解析】【解答】解：A．，故A错误；
B．，故B错误；
C．∵无意义，故C错误；
D．，故D正确；
故答案为：D．
【分析】根据算术平方根、平方根的定义和性质逐项进行分析判断即可．
4．【答案】D
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解： ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】首先根据二次根式的乘法法则及二次根式的性质进行化简计算，然后再进行估算.
5．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵A（m，-3）与点B（2，n）关于x轴对称，
∴m=2，n=3.
故答案为：A.
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可求出m，n的值.
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质；正多边形的性质；平行线的应用-求角度；多边形的内角和公式；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点作，交于点，
，
∵，
，
五边形是正五边形，
，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】
此题考查了多边形的内角及平行线的性质，熟记多边形内角和公式及平行线的性质是解题的关键．
过点B作交于点F，根据多边形的内角和及平行线的性质求解即可．
7．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；三角形的外接圆与外心；简单几何体的三视图；点的坐标与象限的关系；真命题与假命题
【解析】【解答】解：．三角形三边的垂直平分线的交点是三角形的外心，所以原命题是假命题，故A错误；
．正立的圆锥的三视图是两个等腰三角形和带圆心的一个圆，所以原命题是假命题，故B错误；
. 根据三角形的三边关系可知原命题是真命题，故C正确；
．∵点在平面直角坐标系的第四象限，
∴，
解得：，
∴的取值范围是：，所以原命题是假命题，故D错误；
故答案为：．
【分析】根据三角形的外心的定义、圆锥的三视图、三角形的三边关系、第四象限的点的特点进行逐项进行判断即可．
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：设OD与BC的交点为E，如图：
∵，
∴∠BEO=90°，
∵，
∴，
∴=25°，
故答案为：B．
【分析】由垂直的直角三角形，根据“直角三角形两锐角互余”可得，再根据圆周角定理即可得出答案．
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与系数的关系；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向上，且与轴交于负半轴，
∴，，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，
∴与与轴的另一个交点为，
∴，
联立，
解得，
∴，故②正确；
③∵抛物线的解析式为，，是抛物线上两点，
，
，
∴，故③错误；
④若关于的一元二次方程没有实数根，
∴，
整理得：，
，
，
，故④正确；
⑤对于任意实数，总有，故⑤正确，
综上所述，正确的结论有：①②④⑤，
故答案为：C．
【分析】根据抛物线的开口方向，与轴的交点以及对称轴求出，即可判断①正确；根据抛物线的对称性以及与轴的交点坐标即可求出，即可判断②正确；将点坐标代入抛物线解析式求出的值，再作差，即可判断③错误；利用一元二次方程根的判别式以及可求出，即可判断④正确；结合进行配方可求出，即可判断⑤正确.
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；一元二次方程的应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知：AB=AB'，BE=BE'，DC=DC'，EC=EC'，∠AEB=∠AEB'，∠CED=∠C'ED，∠B=∠B'，∠C=∠EC'D，
∵∠AEB=∠AEB'+∠CED=∠C'ED=180°，
∴∠AED=∠AEB'+∠C'ED=90°，
∴△AED是直角三角形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠C=90°，
∴AB'=DC'，∠B'=∠EC'D=∠FC'D=90°，
∵∠B'FA=∠C'FD，
∴△AB'F≌△DC'F（AAS），
∴B'F=C'F，
设B'F=C'F=x，
∵ 点C'为EB'的中点，
∴C'E=B'C'=B'F+C'F=2x，
∴B'E=B'C'+C'E=4x，CE=2x，
∴BE=4x，AD=BC=BE+CE=6x，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得：AE2=AB2+BE2，
同理可得：DE2=CD2+CE2， AD2=AE2+DE2，
∴ AD2=AB2+BE2+CD2+CE2，
∵ AB＝CD=2
∴ （6x）2=（2）2+（4x）2+（ 2 ）2+（2x）2，
即36x2=82+16x2+82+4x2，
解得：x=1（负值舍去），
∴EF=C'E+C'F=3x=3，
故答案为：3.
【分析】由折叠的性质易得△AED是直角三角形，结合矩形的性质可证△AB'F≌△DC'F（AAS），求得B'F=C'F，设B'F=C'F=x，进而可得C'E=2x，BE=B'E=4x，CE=2x，AD=BC=6x，在Rt△ABE中，由勾股定理可得AE2=AB2+BE2，同理可得：DE2=CD2+CE2， AD2=AE2+DE2，进而得出（6x）2=（2）2+（4x）2+（ 2 ）2+（2x）2，求解可得x=1，进而即可得出答案.
11．【答案】176．
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将某班某一小组1分钟跳绳成绩按从小到大的顺序排列为：150，168，176，176，180，185，190，
可得：中间的数是176，所以这组数据的中位数是176．
故答案为：176．
【分析】 根据中位数的概念进行解答即可.把一组数据按从小到大的数序排列，在中间的一个数字（或两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数.
12．【答案】-1
【知识点】同类项的概念；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：根据同类项的概念可知：n=5，m=2，
∴2m-n=2×2-5=-1，
故答案为：-1.
【分析】根据同类项的概念：字母相同，且相同的字母的指数也相同，可得m、n的值，再代入求值即可得出答案．
13．【答案】6
【知识点】分式的化简求值；反比例函数与一次函数的交点问题；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
=
=，
根据题意可知：ab=2，a+b=4，
将ab=2，a+b=4代入得：原式==6，
故答案为：6.
【分析】将变形可得，由题意可知ab=2，a+b=4，再整体代入求值即可.
14．【答案】2或-2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴a=1，
∴b=0+0+4=4，
∴ab=4，
∴ab的平方根是 .
【分析】根据二次根式有意义的条件得出a=1，求出b的值，从而求出ab的值，即可求解.
15．【答案】2xy-2
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】原式=
故答案为：2xy-2.
【分析】根据去括号、合并同类项，化简整式，可得答案．
16．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由得：，
由得：．
不等式组有四个整数解，
不等式组的整数解是：，0，1，2．
则实数的取值范围是：．
故答案为：．
【分析】由题意，先求每一个不等式组的解集，根据不等式组有四个整数解并结合不等式②的解集即可求解.
17．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；菱形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴当时，有，
，
当时，有，
解得：，
，
设，
∵以为顶点的四边形是以为对角线的菱形，
，
∴，
，
解得：，
，
，
，，
，
故答案为：．
【分析】先求得点的坐标，然后设，根据菱形性质可得，即，利用两点距离公式求得点的坐标，最后根据菱形性质，进一步求得点坐标．
18．【答案】9；4或11
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由图象可知：当时，图象为抛物线的一部分，
∴两图像重叠部分是梯形，且上下底及高都与x有关，
当时，函数图象是直线的一部分，
∴两图像重叠部分是梯形，且高为定值（即为长方形BC边的长）
∴长方形的边BC的长为9，
∴等腰直角三角形的直角边长为10，
因此，分以下三种情况讨论：
①当时，如图所示：
∵，
∴BH=，
∴，
将代入得，（不合题意，舍去）；
②当时，
∵，
∴BH=，·，
∴，
将代入得，，
∵，
∴ （不合题意，舍去）；
③当时，
∵BE=x，
∴BF=x-10，，
∴，
将代入得，或（不合题意，舍去）；
故答案为：9；4或11．
【分析】根据题中所给图像信息可知，等腰直角三角形的直角边长和长方形边BC的长，再分三种情况进行讨论即可.
19．【答案】（1）解：原式=
=
=
=.
（2）解：原式=
=
=.
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】根据分式的除法运算法则计算即可得出答案．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．【答案】解：原式=
=
=
=
=
=1
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【分析】先将分式进行通分，再进行加减运算，结果能约分的再进行约分即可.
21．【答案】已知：在中，是的三个外角.
求证：．
证明：∵∠DAF=∠ABC+∠ACB，∠CBE=∠BAC+∠ACB，∠BCF=∠BAC+∠ABC，
∴∠DAF+∠CBE+∠BCF=（∠ABC+∠ACB）+（∠BAC+∠ACB）+（∠BAC+∠ABC）
=∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC
=2（∠BAC+∠ABC+∠ACB）
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠DAF+∠CBE+∠BCF=2×180°=360°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；证明的含义与一般步骤
【解析】【分析】由命题证明的方法，写出已知、求证，再写出证明过程即可．
22．【答案】（1）解：设这个增长率为x，
则根据题意可列方程为：250（1+x）2=360，
解得：x=0.2或x=-2.2（不合题意，舍去）
x=0.2=20%，
答：这个增长率为20%.
（2）解：∵ 矩形，面积为360平方米，墙的长为15米，
∴AD=360÷15=24米，
设三个大小相同的矩形空地的宽为a米，则FG的长为=（33-3a）米，
根据题意可列方程为：a（33-3a）=72，
解得：a=3或a=8，
当a=3时，FG的长为：33-3×3=24，
∵24＞15，
∴a=3不合题意，舍去；
当a=8时，BC的长为：33-3×8=9，
∵9＜15，
∴a=8符合题意，
答：矩形空地的宽EF为8米.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设这个增长率为x， 根据题意可列方程为：250（1+x）2=360，求解即可得出答案；
（2）根据题意可知AD=24米 设三个大小相同的矩形空地的宽为a米，则FG的长为=（33-3a）米，求解并检验即可得出答案.
（1）解：设这个增长率为，由题意得：
，
解得：（不合题意舍去），，
答：这个增长率为；
（2）解：∵矩形，面积为360平方米，墙的长为15米，
，
设矩形空地的宽为y米，则的长为米，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，的长为：，不合题意，舍去；
当时，的长为：，符合题意．
米．
答：场地的宽为8米．
23．【答案】（1）证明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAG+∠GAE=90°， ∠ABE+∠AEB=90°，
∵CD⊥BE，
∴∠DEC+∠ACD=90°，
∵∠AEB=∠DEC，
∴∠ABE=∠ACD，
∵AG⊥AD，
∴∠GAE+∠CAD=90°，
∴∠BAG=∠CAD，
在△ABG和△ACD中，
，
∴△ABG≌△ACD（ASA），
∴AG=AD.
（2）证明：∵∠BAG+∠GAE=90°，∠GAE+∠CAD=90°，
∴∠BAG+∠GAE+∠GAE+∠CAD=180°，
∴∠BAD+∠GAE=180°，
∵点H是CG的中点，
∴GH=CH，
在△AGH与△KCH中，
，
∴△AGH≌△KCH（SAS），
∴AG=CK，∠GAH=∠HKC，
∴AG∥CK，
∴∠GAE+∠ACK=180°，
∴∠BAD=∠ACK，
∵AG=AD，
∴AD=CK，
在与中，
，
∴，
∴，
即.
（3）解：过点作，并且使，连接，，如图所示：
由翻折知，
由旋转知，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
在中，，=90°，是定值，
则斜边是定值，
由三角形三边关系可知，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，连接，此时如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（∠FMC+∠CA'F）+（∠FCM+∠A'CF）+（∠CFM+∠A'FC）
=，
=
∴．
答：∠A'FM的度数为135°.
【知识点】三角形全等的判定；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）利用，推出，利用，推出，即可推出，即可证明；
（2）先证明，得出，，得出，再推出，再证明，即可证明；
（3）过点作，并且使，连接，，通过证明，得出，又可知是定值，是定值，由三角形三边关系可知，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，由，得出，推出，进而即可得出=135°．
（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵中点是，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
即，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
即；
（3）解：如图，过点作，并且使，连接，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
由旋转知，，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
由翻折知，
可知是定值，
由中，，，是定值，
则斜边是定值，
由三角形三边关系可知，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
24．【答案】（1）解：根据题意，可得：y=20-=20-x，
∴ 每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式为：.
（2）解：根据题意可列方程，得：（1200+100x-200）（20-x）=22400，
整理，得：（1000+100x）（20-x）=22400，
解得：x=4或x=6，
当x=4时，1200+100x=1200+100×4=1600（元），
当x=6时，1200+100x=1200+100×6=1800（元），
∴当定价为1600元或1800元，民宿每天获得的利润可以达到22400元.
（3）解：设民宿利润为w，则w=（1200+100x-200）（20-x）=（1000+100x）（20-x）=-100（x-5）2+22500，
∵-100＜0，
∴根据二次函数的性质可知，当x=5时，w有最大值，最大值为22500元，
∴当x=5时，1200+100x=1200+100×5=1700元，
答：当定价为1700元时，利润最大，最大利润为22500元.
【知识点】列一次函数关系式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据现有房间数量=原有房间数量-无人居住房间数量，结合“ 当每个房间每天的定价每增加100元时，就会有一个房间无人入住 ”，列出函数关系式即可求解；
（2）根据利润=（房间定价-支出）×房间个数列出方程，求解即可得出答案；
（3）民宿利润为w，根据利润=（房间定价-支出）×房间个数列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得出答案.
（1）解：根据题意得，每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式为；
（2）解：根据题意得，
解得：，
当时，每个房间的定价为（元），
当时，每个房间的定价为（元），
答：定价为1600元或1800元．
（3）解：设利润为，则根据题意得，
∵，
∴有最大值，即当时，的最大值为22500元，
即当定价为元时，利润最大，最大利润为22500元．
25．【答案】解：（1）根据题意，设抛物线解析式为：y=a（x+1）（x-4），
将C（0，2）代入抛物线得：2=-4a，
∴a=，
∴y=（x+1）（x-4）=x2+x+2，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵PD⊥BC，
∴∠PDE=∠COB=90°，
∵点B（4，0），点C（0，2），
∴OB=4，OC=2，
在Rt△BOC中，由勾股定理可得，BC==，
∵PE∥y轴
∴∠OCB=∠CEP，
在△BOC和△PDE中，
，
∴△BOC∽△PDE（AA），
∴，
∴=，
∴PE=2，
设线段BC的所在直线的解析式为y=kx+2，
将点B的坐标代入y=kx+2得：4k+2=0，
∴，
∴直线BC的解析式为：，
设点P的坐标为，则E.
∴，
解得x1=x2=2，
∴点P的坐标为（2，3）；
（3）根据题意画出旋转后的图形，使D’与N点落在抛物线上，过点D'作D'H⊥P'E'，垂足为H，如图所示：
根据旋转的性质可得：PD=P'D'，PE=P'E'，DE=D'E'，
∵∠=90°，N是斜边的中点，
∴，
∵P'D'·D'E'=P'E'·D'H，
∴D'H=，
∴HP'=，
∴HN=P'H-P'N=，
设D’(x，)，则N（x-，），
将点N代入抛物线，得=，
解得：x=，
答：点D’的横坐标为.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；利用交点式求二次函数解析式；数形结合
【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为：y=a（x+1）（x-4），把点C（0，2）设代入求得a的值；
（2）根据题意易证△PDE∽△BOC（AA），可得PE=2，设线段BC的所在直线的解析式为y=kx+2，代入点B的坐标求出直线BC的解析式，设点P的坐标为，则E，根据PE=2列出方程求解即可得出答案；
（3）先根据题意画出图形，然后依据直角三角形斜边上的中线的性质可得P'N=1，过点D'作D'H⊥P'E'，垂足为H，可求得D'H的长，从而得到P'H的长，然后可求得D'H的长，然后可求得NH的长，设D’(x，)，则N（x-，），将点N代入抛物线的解析式可求得x的值，从而得到点D的横坐标.
26．【答案】解：（1）；
（2）点P位于边中点时最大，
理由：如图所示：作经过点、且和相切的，切点为，设交于点，连接，连接并延长交与点H，
由（1）可知：∠BQC＞∠BPC，
∴当点P与点Q重合时，∠BPC最大，
∵AD是的切线，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴QH⊥BC，
∴四边形AQHB、四边形DCHQ是矩形，且BH=CH，
∴BH=AQ，CH=QD，
∴AQ=QD，
∴点Q是AD的中点，
即当点P位于AD的中点时，∠BPC最大；
（3）如图所示：作经过点、且和相切的，切点为，连接、，分别延长、交于点，连接，交于点，由（2）可知此时最大，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴垂直平分线段，
∴在Rt△BCF中，由勾股定理可得，，
∵圆心在线段上，
∴
连接，则，，
设的半径为，则，，
在中，由勾股定理可得：，
∵，
∴，
∴，
解得：或(不合题意，舍去)，
∴，
∴，
∴在线段上存在点，使最大，符合条件的的长为．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；圆与四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）解：设交于点，连接，如图所示：
∵，
∴，
∵∠BAP+∠DAP=∠BDA，
∴∠BDA＞∠BAP，
即∠BCA＞∠BAP，
故答案为：＞.
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等和三角形任意一个外角大于不相邻的内角即可得出答案；
（2）作经过点、且和相切的，切点为，设交于点，连接，连接并延长交与点H，根据圆周角定理结合三角形外角的性质可知 ∠BQC＞∠BPC， 由此可得，当点P与点Q重合时，∠BPC最大，根据切线和矩形的性质结合垂径定理可证四边形矩形且，进而得到为中点，即可得出结论；
（3） 作经过点、且和相切的，切点为，连接、，分别延长、交于点，连接，交于点， 由（2）可知此时最大，有已知易证四边形是正方形，可得，，，进而可得垂直平分线段，由由勾股定理可得，，可推出，连接，则，，设的半径为，则，，由勾股定理可得，由可得，即，由此列出方程求解，再求出的长即可得出答案．
1 / 1湖南省永州市2025年初中学业水平适应性考试数学 试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025·永州模拟）位于深圳市光明中心区科学公园的深圳科技馆占地面积为66000m2，66000用科学记数法可以表示成（　　）
A．66×103 B．6.6×104 C．6.6×103 D．0.66×105
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：将66000用科学记数法表示为6.6×104，
故答案为：B．
【分析】科学记数法的规定形式：a×，
2．（2025·永州模拟）若 ，则 的值是（　　）
A．2 B．3 C． D．
【答案】C
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解：∵3x＝2y，
∴x：y＝2：3，
故答案为：C.
【分析】利用比例的性质，可求出x与y的比值.
3．（2025·永州模拟）下列各等式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的性质与化简；平方根的概念与表示；求算术平方根
【解析】【解答】解：A．，故A错误；
B．，故B错误；
C．∵无意义，故C错误；
D．，故D正确；
故答案为：D．
【分析】根据算术平方根、平方根的定义和性质逐项进行分析判断即可．
4．（2025·永州模拟）估算 的值应在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
【答案】D
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解： ，
∵ ，
∴ ，
故答案为：D.
【分析】首先根据二次根式的乘法法则及二次根式的性质进行化简计算，然后再进行估算.
5．（2025·永州模拟）已知，点A（m，﹣3）与点B（2，n）关于x轴对称，则m和n的值是（　　）
A．2，3 B．﹣2，3 C．3，2 D．﹣3，﹣2
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵A（m，-3）与点B（2，n）关于x轴对称，
∴m=2，n=3.
故答案为：A.
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，可求出m，n的值.
6．（2025·永州模拟）如图，五边形是正五边形，若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；正多边形的性质；平行线的应用-求角度；多边形的内角和公式；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点作，交于点，
，
∵，
，
五边形是正五边形，
，
，
，
，
故答案为：C.
【分析】
此题考查了多边形的内角及平行线的性质，熟记多边形内角和公式及平行线的性质是解题的关键．
过点B作交于点F，根据多边形的内角和及平行线的性质求解即可．
7．（2025·永州模拟）下列命题为真命题的是（　　）
A．三角形的外心是三条角平分线的交点
B．圆锥的三视图是两个等腰三角形和一个圆
C．“长度分别是的三根木条首尾相接，组成一个三角形”是必然事件
D．已知点在平面直角坐标系的第四象限，则的取值范围是：
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；三角形的外接圆与外心；简单几何体的三视图；点的坐标与象限的关系；真命题与假命题
【解析】【解答】解：．三角形三边的垂直平分线的交点是三角形的外心，所以原命题是假命题，故A错误；
．正立的圆锥的三视图是两个等腰三角形和带圆心的一个圆，所以原命题是假命题，故B错误；
. 根据三角形的三边关系可知原命题是真命题，故C正确；
．∵点在平面直角坐标系的第四象限，
∴，
解得：，
∴的取值范围是：，所以原命题是假命题，故D错误；
故答案为：．
【分析】根据三角形的外心的定义、圆锥的三视图、三角形的三边关系、第四象限的点的特点进行逐项进行判断即可．
8．（2025·永州模拟）如图，已知是直径，是弦，，过圆心O作交弧于点D，连接，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；直角三角形的性质
【解析】【解答】解：设OD与BC的交点为E，如图：
∵，
∴∠BEO=90°，
∵，
∴，
∴=25°，
故答案为：B．
【分析】由垂直的直角三角形，根据“直角三角形两锐角互余”可得，再根据圆周角定理即可得出答案．
9．（2025·永州模拟）如图，抛物线与轴交于点，其对称轴为直线，结合图象给出下列结论：
①；
②；
③，是抛物线上两点，则；
④若关于x的一元二次方程没有实数根，则；
⑤对于任意实数m，总有．
其中正确的结论有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与系数的关系；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵抛物线开口向上，且与轴交于负半轴，
∴，，
∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，故①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，
∴与与轴的另一个交点为，
∴，
联立，
解得，
∴，故②正确；
③∵抛物线的解析式为，，是抛物线上两点，
，
，
∴，故③错误；
④若关于的一元二次方程没有实数根，
∴，
整理得：，
，
，
，故④正确；
⑤对于任意实数，总有，故⑤正确，
综上所述，正确的结论有：①②④⑤，
故答案为：C．
【分析】根据抛物线的开口方向，与轴的交点以及对称轴求出，即可判断①正确；根据抛物线的对称性以及与轴的交点坐标即可求出，即可判断②正确；将点坐标代入抛物线解析式求出的值，再作差，即可判断③错误；利用一元二次方程根的判别式以及可求出，即可判断④正确；结合进行配方可求出，即可判断⑤正确.
10．（2025·永州模拟）如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，在线段BC上取一点E，连接AE、ED，将ABE沿AE翻折，点B落在点处，线段E交AD于点F．将ECD沿DE翻折，点C的对应恰好落在线段上，且点为的中点，则线段EF的长为（　　）
A．3 B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；一元二次方程的应用-几何问题；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由折叠的性质可知：AB=AB'，BE=BE'，DC=DC'，EC=EC'，∠AEB=∠AEB'，∠CED=∠C'ED，∠B=∠B'，∠C=∠EC'D，
∵∠AEB=∠AEB'+∠CED=∠C'ED=180°，
∴∠AED=∠AEB'+∠C'ED=90°，
∴△AED是直角三角形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠C=90°，
∴AB'=DC'，∠B'=∠EC'D=∠FC'D=90°，
∵∠B'FA=∠C'FD，
∴△AB'F≌△DC'F（AAS），
∴B'F=C'F，
设B'F=C'F=x，
∵ 点C'为EB'的中点，
∴C'E=B'C'=B'F+C'F=2x，
∴B'E=B'C'+C'E=4x，CE=2x，
∴BE=4x，AD=BC=BE+CE=6x，
在Rt△ABE中，由勾股定理可得：AE2=AB2+BE2，
同理可得：DE2=CD2+CE2， AD2=AE2+DE2，
∴ AD2=AB2+BE2+CD2+CE2，
∵ AB＝CD=2
∴ （6x）2=（2）2+（4x）2+（ 2 ）2+（2x）2，
即36x2=82+16x2+82+4x2，
解得：x=1（负值舍去），
∴EF=C'E+C'F=3x=3，
故答案为：3.
【分析】由折叠的性质易得△AED是直角三角形，结合矩形的性质可证△AB'F≌△DC'F（AAS），求得B'F=C'F，设B'F=C'F=x，进而可得C'E=2x，BE=B'E=4x，CE=2x，AD=BC=6x，在Rt△ABE中，由勾股定理可得AE2=AB2+BE2，同理可得：DE2=CD2+CE2， AD2=AE2+DE2，进而得出（6x）2=（2）2+（4x）2+（ 2 ）2+（2x）2，求解可得x=1，进而即可得出答案.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．
11．（2025·永州模拟）体育测试中，某班某一小组1分钟跳绳成绩如下：176，176，168，150，190，185，180（单位：个），则这组数据的中位数是　 　．
【答案】176．
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：将某班某一小组1分钟跳绳成绩按从小到大的顺序排列为：150，168，176，176，180，185，190，
可得：中间的数是176，所以这组数据的中位数是176．
故答案为：176．
【分析】 根据中位数的概念进行解答即可.把一组数据按从小到大的数序排列，在中间的一个数字（或两个数字的平均值）叫做这组数据的中位数.
12．（2025·永州模拟）若代数式与是同类项，那么　 　．
【答案】-1
【知识点】同类项的概念；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：根据同类项的概念可知：n=5，m=2，
∴2m-n=2×2-5=-1，
故答案为：-1.
【分析】根据同类项的概念：字母相同，且相同的字母的指数也相同，可得m、n的值，再代入求值即可得出答案．
13．（2025·永州模拟）在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点P(a，b)，则代数式的值是　 　．
【答案】6
【知识点】分式的化简求值；反比例函数与一次函数的交点问题；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：
=
=，
根据题意可知：ab=2，a+b=4，
将ab=2，a+b=4代入得：原式==6，
故答案为：6.
【分析】将变形可得，由题意可知ab=2，a+b=4，再整体代入求值即可.
14．（2025·永州模拟）若 ，则 的平方根是　 　.
【答案】2或-2
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】∵ ，
∴ ，
∴a=1，
∴b=0+0+4=4，
∴ab=4，
∴ab的平方根是 .
【分析】根据二次根式有意义的条件得出a=1，求出b的值，从而求出ab的值，即可求解.
15．（2025·永州模拟）计算： 　 　.
【答案】2xy-2
【知识点】整式的混合运算
【解析】【解答】原式=
故答案为：2xy-2.
【分析】根据去括号、合并同类项，化简整式，可得答案．
16．（2025·永州模拟）关于的不等式组仅有4个整数解，则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：，
由得：，
由得：．
不等式组有四个整数解，
不等式组的整数解是：，0，1，2．
则实数的取值范围是：．
故答案为：．
【分析】由题意，先求每一个不等式组的解集，根据不等式组有四个整数解并结合不等式②的解集即可求解.
17．（2025·永州模拟）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，若点在直线上，点在平面直角坐标系内，且以点为顶点的四边形是以为对角线的菱形，则点坐标为　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；菱形的性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，
∴当时，有，
，
当时，有，
解得：，
，
设，
∵以为顶点的四边形是以为对角线的菱形，
，
∴，
，
解得：，
，
，
，，
，
故答案为：．
【分析】先求得点的坐标，然后设，根据菱形性质可得，即，利用两点距离公式求得点的坐标，最后根据菱形性质，进一步求得点坐标．
18．（2025·永州模拟）如图1，在等腰直角中，，且位于长方形的左侧，直角边与边在同一直线上，．现将沿方向移动，设的长为x，与长方形的重叠部分（图中阴影部分）面积为y，则y与x的关系图象可以用图2表示．请根据图象信息分析，长方形的边长为 　 　，当时，x的值为 　 　．
【答案】9；4或11
【知识点】二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由图象可知：当时，图象为抛物线的一部分，
∴两图像重叠部分是梯形，且上下底及高都与x有关，
当时，函数图象是直线的一部分，
∴两图像重叠部分是梯形，且高为定值（即为长方形BC边的长）
∴长方形的边BC的长为9，
∴等腰直角三角形的直角边长为10，
因此，分以下三种情况讨论：
①当时，如图所示：
∵，
∴BH=，
∴，
将代入得，（不合题意，舍去）；
②当时，
∵，
∴BH=，·，
∴，
将代入得，，
∵，
∴ （不合题意，舍去）；
③当时，
∵BE=x，
∴BF=x-10，，
∴，
将代入得，或（不合题意，舍去）；
故答案为：9；4或11．
【分析】根据题中所给图像信息可知，等腰直角三角形的直角边长和长方形边BC的长，再分三种情况进行讨论即可.
三、解答题：本题共8小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
19．（2025·永州模拟）计算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：原式=
=
=
=.
（2）解：原式=
=
=.
【知识点】分式的乘除法
【解析】【分析】根据分式的除法运算法则计算即可得出答案．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．（2025·永州模拟）化简：.
【答案】解：原式=
=
=
=
=
=1
【知识点】异分母分式的加、减法
【解析】【分析】先将分式进行通分，再进行加减运算，结果能约分的再进行约分即可.
21．（2025·永州模拟）证明：三角形的外角和是（画图、写已知、求证、证明）
【答案】已知：在中，是的三个外角.
求证：．
证明：∵∠DAF=∠ABC+∠ACB，∠CBE=∠BAC+∠ACB，∠BCF=∠BAC+∠ABC，
∴∠DAF+∠CBE+∠BCF=（∠ABC+∠ACB）+（∠BAC+∠ACB）+（∠BAC+∠ABC）
=∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC
=2（∠BAC+∠ABC+∠ACB）
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠DAF+∠CBE+∠BCF=2×180°=360°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；证明的含义与一般步骤
【解析】【分析】由命题证明的方法，写出已知、求证，再写出证明过程即可．
22．（2025·永州模拟）学校劳动实践基地的开发能让学生体验劳动的艰辛，品味获得劳动成果的喜悦，同时满足学生劳动教育实践需要．如图是某校劳动实践基地的示意图，该基地为两边靠墙的矩形，面积为360平方米，墙的长为15米．
（1）据学校管理人员介绍，该基地2023年的面积只有250平方米，连续两年扩建，并且两年的增长率相同，请求出这个增长率；
（2）如图所示，学校打算在基地内用总长度为33米的栅栏围成两面靠墙的三个大小相同的矩形空地用来养殖小动物，总面积为72平方米，求矩形空地的宽为多少米？
【答案】（1）解：设这个增长率为x，
则根据题意可列方程为：250（1+x）2=360，
解得：x=0.2或x=-2.2（不合题意，舍去）
x=0.2=20%，
答：这个增长率为20%.
（2）解：∵ 矩形，面积为360平方米，墙的长为15米，
∴AD=360÷15=24米，
设三个大小相同的矩形空地的宽为a米，则FG的长为=（33-3a）米，
根据题意可列方程为：a（33-3a）=72，
解得：a=3或a=8，
当a=3时，FG的长为：33-3×3=24，
∵24＞15，
∴a=3不合题意，舍去；
当a=8时，BC的长为：33-3×8=9，
∵9＜15，
∴a=8符合题意，
答：矩形空地的宽EF为8米.
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设这个增长率为x， 根据题意可列方程为：250（1+x）2=360，求解即可得出答案；
（2）根据题意可知AD=24米 设三个大小相同的矩形空地的宽为a米，则FG的长为=（33-3a）米，求解并检验即可得出答案.
（1）解：设这个增长率为，由题意得：
，
解得：（不合题意舍去），，
答：这个增长率为；
（2）解：∵矩形，面积为360平方米，墙的长为15米，
，
设矩形空地的宽为y米，则的长为米，
由题意得：，
整理得：，
解得：，，
当时，的长为：，不合题意，舍去；
当时，的长为：，符合题意．
米．
答：场地的宽为8米．
23．（2025·永州模拟）如图，在中，，，点为上一点，连接，过点作，交延长线于点， 连接，过点作交于点．
（1）求证：；
（2）如图，连接，取中点，连接并延长至点，使得，连接，求证：；
（3）如图，将沿折叠至，连接，将绕点逆时针旋转至，连接交所在直线于点，当取得最小值时，直接写出的度数．
【答案】（1）证明：∵∠BAC=90°，
∴∠BAG+∠GAE=90°， ∠ABE+∠AEB=90°，
∵CD⊥BE，
∴∠DEC+∠ACD=90°，
∵∠AEB=∠DEC，
∴∠ABE=∠ACD，
∵AG⊥AD，
∴∠GAE+∠CAD=90°，
∴∠BAG=∠CAD，
在△ABG和△ACD中，
，
∴△ABG≌△ACD（ASA），
∴AG=AD.
（2）证明：∵∠BAG+∠GAE=90°，∠GAE+∠CAD=90°，
∴∠BAG+∠GAE+∠GAE+∠CAD=180°，
∴∠BAD+∠GAE=180°，
∵点H是CG的中点，
∴GH=CH，
在△AGH与△KCH中，
，
∴△AGH≌△KCH（SAS），
∴AG=CK，∠GAH=∠HKC，
∴AG∥CK，
∴∠GAE+∠ACK=180°，
∴∠BAD=∠ACK，
∵AG=AD，
∴AD=CK，
在与中，
，
∴，
∴，
即.
（3）解：过点作，并且使，连接，，如图所示：
由翻折知，
由旋转知，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
在中，，=90°，是定值，
则斜边是定值，
由三角形三边关系可知，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，连接，此时如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴（∠FMC+∠CA'F）+（∠FCM+∠A'CF）+（∠CFM+∠A'FC）
=，
=
∴．
答：∠A'FM的度数为135°.
【知识点】三角形全等的判定；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质；三角形的综合
【解析】【分析】（1）利用，推出，利用，推出，即可推出，即可证明；
（2）先证明，得出，，得出，再推出，再证明，即可证明；
（3）过点作，并且使，连接，，通过证明，得出，又可知是定值，是定值，由三角形三边关系可知，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，由，得出，推出，进而即可得出=135°．
（1）证明：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
即，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵中点是，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
即，
即，
∴，
∵，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
即；
（3）解：如图，过点作，并且使，连接，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
由旋转知，，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴，
由翻折知，
可知是定值，
由中，，，是定值，
则斜边是定值，
由三角形三边关系可知，当且仅当、、依次共线时，取得最小值，此时如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：．
24．（2025·永州模拟）近年来，水口县致力打造特色乡村旅游，发展以“农家乐”、“高端民宿”为代表的旅游度假区．为迎接旅游旺季的到来，某民宿准备重新调整房间价格，已知该民宿有20个房间，当每个房间定价1200元时，所有房间全部住满，当每个房间每天的定价每增加100元时，就会有一个房间无人入住，如果游客居住房间，民宿需要每天对每个房间每天支出200元的各种费用，设每个房间定价增加元（x为整数）．
（1）直接写出每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式．
（2）当定价为多少元时，民宿每天获得的利润可以达到22400元．
（3）求当每个房间定价为多少元时民宿每天获得的利润最大，最大利润是多少？
【答案】（1）解：根据题意，可得：y=20-=20-x，
∴ 每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式为：.
（2）解：根据题意可列方程，得：（1200+100x-200）（20-x）=22400，
整理，得：（1000+100x）（20-x）=22400，
解得：x=4或x=6，
当x=4时，1200+100x=1200+100×4=1600（元），
当x=6时，1200+100x=1200+100×6=1800（元），
∴当定价为1600元或1800元，民宿每天获得的利润可以达到22400元.
（3）解：设民宿利润为w，则w=（1200+100x-200）（20-x）=（1000+100x）（20-x）=-100（x-5）2+22500，
∵-100＜0，
∴根据二次函数的性质可知，当x=5时，w有最大值，最大值为22500元，
∴当x=5时，1200+100x=1200+100×5=1700元，
答：当定价为1700元时，利润最大，最大利润为22500元.
【知识点】列一次函数关系式；一元二次方程的实际应用-销售问题；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据现有房间数量=原有房间数量-无人居住房间数量，结合“ 当每个房间每天的定价每增加100元时，就会有一个房间无人入住 ”，列出函数关系式即可求解；
（2）根据利润=（房间定价-支出）×房间个数列出方程，求解即可得出答案；
（3）民宿利润为w，根据利润=（房间定价-支出）×房间个数列出二次函数关系式，根据二次函数的性质即可得出答案.
（1）解：根据题意得，每天游客居住的房间数量为y与x的函数关系式为；
（2）解：根据题意得，
解得：，
当时，每个房间的定价为（元），
当时，每个房间的定价为（元），
答：定价为1600元或1800元．
（3）解：设利润为，则根据题意得，
∵，
∴有最大值，即当时，的最大值为22500元，
即当定价为元时，利润最大，最大利润为22500元．
25．（2025·永州模拟）如图，抛物线与x轴交于点和A（-1，0）和点B（4，0），与y轴交于点C（0，2）．
（1）求抛物线解析式
（2）点P是抛物线BC段上一点，PD⊥BC，PE∥y轴，分别交BC于点D、E．当DE=时，求点P的坐标．
（3）M是平面内一点，将符合（2）条件下的△PDE绕点M沿逆时针方向旋转90°后，点P、D、E的对应点分别是P'、D'、E'.设的中点为N，当抛物线同时经过与N时，求出的横坐标．
【答案】解：（1）根据题意，设抛物线解析式为：y=a（x+1）（x-4），
将C（0，2）代入抛物线得：2=-4a，
∴a=，
∴y=（x+1）（x-4）=x2+x+2，
∴抛物线的解析式为：；
（2）∵PD⊥BC，
∴∠PDE=∠COB=90°，
∵点B（4，0），点C（0，2），
∴OB=4，OC=2，
在Rt△BOC中，由勾股定理可得，BC==，
∵PE∥y轴
∴∠OCB=∠CEP，
在△BOC和△PDE中，
，
∴△BOC∽△PDE（AA），
∴，
∴=，
∴PE=2，
设线段BC的所在直线的解析式为y=kx+2，
将点B的坐标代入y=kx+2得：4k+2=0，
∴，
∴直线BC的解析式为：，
设点P的坐标为，则E.
∴，
解得x1=x2=2，
∴点P的坐标为（2，3）；
（3）根据题意画出旋转后的图形，使D’与N点落在抛物线上，过点D'作D'H⊥P'E'，垂足为H，如图所示：
根据旋转的性质可得：PD=P'D'，PE=P'E'，DE=D'E'，
∵∠=90°，N是斜边的中点，
∴，
∵P'D'·D'E'=P'E'·D'H，
∴D'H=，
∴HP'=，
∴HN=P'H-P'N=，
设D’(x，)，则N（x-，），
将点N代入抛物线，得=，
解得：x=，
答：点D’的横坐标为.
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；利用交点式求二次函数解析式；数形结合
【解析】【分析】（1）设抛物线解析式为：y=a（x+1）（x-4），把点C（0，2）设代入求得a的值；
（2）根据题意易证△PDE∽△BOC（AA），可得PE=2，设线段BC的所在直线的解析式为y=kx+2，代入点B的坐标求出直线BC的解析式，设点P的坐标为，则E，根据PE=2列出方程求解即可得出答案；
（3）先根据题意画出图形，然后依据直角三角形斜边上的中线的性质可得P'N=1，过点D'作D'H⊥P'E'，垂足为H，可求得D'H的长，从而得到P'H的长，然后可求得D'H的长，然后可求得NH的长，设D’(x，)，则N（x-，），将点N代入抛物线的解析式可求得x的值，从而得到点D的横坐标.
26．（2025·永州模拟）问题提出
（1）如图①，内接于，过点C作的切线l，在l上任取一点P，连接，则______．（填写“”“”或“”）
问题探究
（2）如图②，在矩形中（），点P为边上任意一点，试问当点P位于边何处时最大？并说明理由．
问题解决
（3）如图③，五边形为展览馆的平面示意图，其中，，出于安全考虑，负责人想在上选一点P安装监控装置，用来监视边，现只要使最大，就可以让监控装置的效果达到最佳，问在线段上是否存在点P使最大．若存在，请求出符合条件的的长；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）；
（2）点P位于边中点时最大，
理由：如图所示：作经过点、且和相切的，切点为，设交于点，连接，连接并延长交与点H，
由（1）可知：∠BQC＞∠BPC，
∴当点P与点Q重合时，∠BPC最大，
∵AD是的切线，
∴，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴QH⊥BC，
∴四边形AQHB、四边形DCHQ是矩形，且BH=CH，
∴BH=AQ，CH=QD，
∴AQ=QD，
∴点Q是AD的中点，
即当点P位于AD的中点时，∠BPC最大；
（3）如图所示：作经过点、且和相切的，切点为，连接、，分别延长、交于点，连接，交于点，由（2）可知此时最大，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∵，
∴垂直平分线段，
∴在Rt△BCF中，由勾股定理可得，，
∵圆心在线段上，
∴
连接，则，，
设的半径为，则，，
在中，由勾股定理可得：，
∵，
∴，
∴，
解得：或(不合题意，舍去)，
∴，
∴，
∴在线段上存在点，使最大，符合条件的的长为．
【知识点】矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；圆周角定理；切线的性质；圆与四边形的综合
【解析】【解答】解：（1）解：设交于点，连接，如图所示：
∵，
∴，
∵∠BAP+∠DAP=∠BDA，
∴∠BDA＞∠BAP，
即∠BCA＞∠BAP，
故答案为：＞.
【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等和三角形任意一个外角大于不相邻的内角即可得出答案；
（2）作经过点、且和相切的，切点为，设交于点，连接，连接并延长交与点H，根据圆周角定理结合三角形外角的性质可知 ∠BQC＞∠BPC， 由此可得，当点P与点Q重合时，∠BPC最大，根据切线和矩形的性质结合垂径定理可证四边形矩形且，进而得到为中点，即可得出结论；
（3） 作经过点、且和相切的，切点为，连接、，分别延长、交于点，连接，交于点， 由（2）可知此时最大，有已知易证四边形是正方形，可得，，，进而可得垂直平分线段，由由勾股定理可得，，可推出，连接，则，，设的半径为，则，，由勾股定理可得，由可得，即，由此列出方程求解，再求出的长即可得出答案．
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