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四川省广元市苍溪县2024-2025学年九年级下学期4月诊断模拟数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（2025·苍溪模拟）在同一条数轴上，下列各数离原点最近的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·苍溪模拟）下列几何体的俯视图是圆的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·苍溪模拟）下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·苍溪模拟）关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5．（2025·苍溪模拟）某中学从初中部随机抽取了50名学生对“每月阅读图书册数”进行调查，统计结果如下表，关于册数的这组数据，下列说法正确的是（　　）
册数 0 1 2 3
人数 5 10 15 20
A．中位数是2.5 B．众数是2 C．平均数是2 D．方差是1.2
6．（2025·苍溪模拟）如图，直线，等边的两个顶点分别落在直线，上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·苍溪模拟）向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·苍溪模拟）已知某工程由甲、乙两队合做12天可完成，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成所需时间的2倍少10天．甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？设甲队单独完成需x天，根据题意列出的方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·苍溪模拟）如图，四边形内接于是的直径．若的半径为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·苍溪模拟）如图，已知顶点为的抛物线过点，给出下列结论：①；②对于任意的实数m，均有；③；④若，则；⑤；⑥已知点均在抛物线上，若，，则．其中正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（2025·苍溪模拟）64的平方根是　 　．
12．（2025·苍溪模拟）据统计，广元市2024年全年粮食播种面积万亩，比上年增长．数据万用科学记数法表示为　 　．
13．（2025·苍溪模拟）如图，已知的对角线与相交于点，将沿着直线翻折，得到，连接．若，则的长为　 　．
14．（2025·苍溪模拟）若实数满足，则的值为　 　．
15．（2025·苍溪模拟）如图，射线与函数图象相交于点，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线，交函数图象于点C，则点C的坐标是　 　．
16．（2025·苍溪模拟）点P在平面内一动点，，，点M是上一点，且，连接，则的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·苍溪模拟）计算：．
18．（2025·苍溪模拟）先化简，再从，，，中选取一个合适的数作为x的值，代入求值．
19．（2025·苍溪模拟）如图，在中，平分，交于点．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，，连接，；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：四边形是菱形．
20．（2025·苍溪模拟）某学校为丰富课后服务内容，开设了足球、篮球、乒乓球、跳绳、排球五项体育课程．为了解学生对这五项体育课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，完成下列问题：
（1）补全条形统计图；扇形统计图中“乒乓球”所对应扇形的圆心角度数为_______；
（2）若全校共有名学生，请估计喜爱“排球”课程的学生人数；
（3）在汇报展示中，甲同学从“篮球”课程中分别标有“运球”“定点投篮”“三步上篮”的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人至少有一人抽到“运球”的概率．
21．（2025·苍溪模拟）走钢丝在中国有着悠久的历史，汉代称“走索”“铜绳伎”，三国、魏晋称“高縆”“踏索”．如图1是某杂技演员正在表演走钢丝，其示意图如图2，杂技演员所在位置点到所在直线的距离，此时，当杂技演员走至钢丝中点时，恰好．表演过程中绳子总长不变．（参考数据：）
（1）求的长；
（2）求杂技演员从点走到点时，下降的高度（结果精确到）．
22．（2025·苍溪模拟）随着自媒体的盛行，网购及直播带货成为一种趋势，某农产基地准备借助自媒体对某种水果做营销，采用线上及线下两种销售方式，统计销售情况发现，该水果的销售量和总收入如表（总收入销售量单价）：
　 线上销售水果量（单位：） 线下销售水果量（单位：） 总收入（单位：元）
第一批
第二批
（1）求该水果线上、线下的销售单价各是多少元；
（2）若某公司计划从该地采购该水果，因保质期问题，准备采用线上、线下相结合的方式，因实际需要，线下采购该水果量不得少于线上采购该水果量的，请你帮该公司算一算，当线下采购多少水果时最省钱？
23．（2025·苍溪模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与y轴交于点M，与x轴交于点N．
（1）求直线的函数解析式；
（2）根据图象判断，当时，x的取值范围为_______；
（3）已知y轴正半轴上有一点P，，连接，，求四边形的面积．
24．（2025·苍溪模拟）如图，是的直径，点为上一点，过点作的垂线，交过点的切线于点，交于点，连接交于点．
（1）求证：．
（2）若的半径为10，，求的长．
25．（2025·苍溪模拟）【知识技能】
（1）如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系．
梳理解答思路并完成填空．
A．旋转法：把绕点逆时针旋转90°至，可使与重合，则，，可得，即，，三点共线． 易证______，故，，之间的数量关系为________．
B．截长补短法：延长至点，使得，由，，即，可以得到．
【数学理解】
（2）如图2，在中，，，点，均在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
【拓展探索】
（3）如图3，正方形的边长为，，连接，分别交，于点，．若恰好为线段上靠近点的三等分点，求线段的长．
26．（2025·苍溪模拟）如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是轴正半轴上一动点，过点作轴于点，交直线于点，交抛物线于点，连结．
①当点在线段上时，若与相似，求点的坐标；
②若，求出的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数在数轴上的表示；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：如图，
由图可知，距离原点最近的数是．
故答案为：D．
【分析】由题意画出数轴，根据绝对值的几何意义可知，一个数在数轴上到原点的距离，到原点距离最近的点就是绝对值最小的数，结合数轴即可求解．
2．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、正方体的俯视图是正方形，
∴此选项不符合题意；
B、三棱柱的俯视图是三角形，
∴此选项不符合题意；
C、圆柱的俯视图是圆，
∴此选项符合题意；
D、四棱柱的俯视图是梯形，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据俯视图是从物体的上面看得到的视图并结合各选项即可判断求解．
3．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；同类项的概念；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，
∴此选项符合题意；
B、≠9x5y2，
∴此选项不符合题意；
C、和不是同类项，不能合并，
∴此选项不符合题意；
D、≠x2-y2+2xy，
∴此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
C、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知3x和3y不是同类项，所以不能合并；
D、根据平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”可求解.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
∵ 恒成立，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根.
故答案：B．
【分析】先求判别式，再判断判别式的大小即可求得.
5．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、∵抽取了50名学生，
∴中位数为第25，26人的阅读数量，
由表格可得：中位数为，而不是2.5，
∴此选项不符合题意；
B、由表格可得阅读3册的人数最多，故众数为3，而不是2，
∴此选项不符合题意；
C、平均数为，
∴此选项符合题意；
D、方差为：，而不是1.2，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；根据中位数的定义可判断求解；
B、根据众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”可求解；
C、根据平均数的定义“平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”可求解；
D、根据方差的定义可求解.
6．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点作，
直线，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】过点作，由平行公理的推论得出，根据等边三角形的性质“等边三角形的每一个角都等于60°”得，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得，由角的和差求得∠BAF的度数，然后根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”即可求解．
7．【答案】B
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么高度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．∴ 这个容器的形状可能是B．
故答案为：B．
【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升高度的快慢，再观察容器的粗细，即可判断求解．
8．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲单独完成这项工程需要天，则乙单独完成需要天，
由题意得：，
故答案为：A．
【分析】设甲单独完成这项工程需要天，则乙单独完成需要天，根据题中的相等关系“甲的效率+乙的效率=总工作效率”可得关于x的方程，结合各选项即可判断求解．
9．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接．
四边形内接于，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
∵的半径为6，
∴的长度为．
故答案为：B．
【分析】连接．根据圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”可求得∠ABC的度数，根据圆周角定理“圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半”可求得∠AOC的度数，然后由平角的定义求得∠COE的度数，再根据弧长公式“l=”计算即可求解．
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由题意，设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
，
即，
，，，
，
∴结论正确；
②由①得：＞0，
∴当时，有最小值，
对于任意的，均有，
即am2+bm+c+6≥0，
∴结论错误；
③由①得：
=x2+3x-，
∴，，
，
∴结论正确；
④由①得，抛物线的对称轴为直线，
当或时，，
当时，或，
∴结论错误；
⑤由①得，，
∴结论正确；
⑥
，
∵，，
∴，，
∴，
解得：，
∴结论错误，
综上可得，正确的结论有3个．
故答案为：B．
【分析】①用待定系数法求出抛物线的解析式为，即，计算abc的积即可判断求解；
②结合①的解析式并根据二次函数的性质即可判断求解；
③由①的解析式可得a、c的值，把a、c的值代入5a-c计算即可判断求解；
④由①的解析式可求解；
⑤由①的解析式可求解；
⑥计算，得到，根据，可判断求解．
11．【答案】±8
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵（±8）2=64，
∴64的平方根是±8．
故答案为：±8．
【分析】直接根据平方根的定义即可求解．
12．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万，
万用科学记数法表示为．
故答案为：．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
13．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： 四边形是平行四边形，，
．
根据折叠的性质知，，．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴ ．
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得，再根据折叠的性质可得，然后根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可证明是等边三角形，由等边三角形的各边都相等即可求解．
14．【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
，
，
将代入，得：，
．
故答案为：．
【分析】根据题意，将变形得：，将所求代数式变形得：，然后整体代换即可求解．
15．【答案】
【知识点】坐标与图形性质；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：把点代入，得，
∴，
∴，
设点，
如图，过点C作轴于E，于F，过点A作轴于G，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
由作图方法可知，是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵点C在第一象限，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由题意，用待定系数法求得反比例函数的解析式为：，于是设点C的坐标为，过点C作轴于E，于F，过点A作轴于G，由锐角三角函数tan∠AOG=并结合特殊角的三角函数值可求得，再根据作图方法可知，是的平分线，得，解直角三角形OCE即可求解．
16．【答案】
【知识点】圆的相关概念；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：点P在平面内一动点，，，
点P在以为直径的圆上，
取中点C，连接，作于B，且，连接，
，，
，，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
，
当点P在上方时，点M在以点O为圆心，3为半径的圆上，
当点M，O，A共线时，取最小值，
，
的最小值，
当点P在下方时，同理可得的最小值，
故答案为：．
【分析】取中点C，连接，作于B，且，连接，结合已知，用边角边可得，由全等三角形的对应边相等可得，然后可得点M在以点O为圆心，3为半径的圆上，因此求的最小值转化为求点A到距离的最小值，可知当点M，O，A共线时，取最小值．
17．【答案】解：原式
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】由绝对值的非负性化简绝对值，根据负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-1=-3，由零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（9+）0=1，由特殊角的三角函数值可得cos45°=，然后根据实数的运用法则计算即可求解．
18．【答案】解：
，
且，
且，
当时，．（或当时，，答案不唯一）
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再取一个使分式有意义的值代入化简后的代数式计算即可求解．
19．【答案】（1）解：如图：即为所求；
（2）证明：平分，
，
的垂直平分线，
，，
，，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
为菱形
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据作线段的垂直平分线的基本步骤作图即可；
（2）根据角平分线的概念和线段的垂直平分线的性质以及等边对等角可得，，由平行线的判定“内错角相等，两直线平行”可得，，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形为平行四边形，然后根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可求解．
（1）如图：即为所求；
（2）平分，
，
的垂直平分线，
，，
，，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
为菱形．
20．【答案】（1）如图；
（2）解：抽样中排球的人数是人，
人，
估计喜爱“排球”课程的学生人数约为人
（3）解：运用画树状图的方法把所有可能的结果表示如下：
共有种可能的结果，其中甲、乙两人至少有一人抽到“运球”的有、、、，，共种，
甲、乙两人至少有一人抽到“运球”的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：抽样中跳绳的有人，所占百分比为，
（人），
本次调查共抽取了名学生，
∴喜爱“篮球”的人数为：（人），
抽样中，喜爱乒乓球的有人，
对应的圆心角的度数为．
故答案为：120°.
【分析】（1）观察条形图和扇形图可知跳绳的人数和百分比，根据样本容量=频数÷百分比可求得抽样人数，根据样本容量等于各小组频数之和可求得篮球的人数，然后可补充完整条形图；再根据圆心角度数=百分比×360°可求得扇形统计图中“乒乓球”所对应扇形的圆心角度数；
（2）根据样本百分比估算总体数量的计算方法即可求解；
（3）由题意画出树状图，根据树状图中的信息可知共有种可能的结果，其中甲、乙两人至少有一人抽到“运球”的有5种，再根据概率公式计算即可求解．
（1）解：抽样中跳绳的有人，所占百分比为，
（人），
本次调查共抽取了名学生，
∴喜爱“篮球”的人数为：（人），
补全条形统计图如下，
抽样中，乒乓球的有人，
对应的圆心角的度数为．
（2）解：抽样中排球的人数是人，
人，
估计喜爱“排球”课程的学生人数约为人．
（3）解：运用画树状图的方法把所有可能的结果表示如下：
共有种可能的结果，其中甲、乙两人至少有一人抽到“运球”的有、、、，，共种，
甲、乙两人至少有一人抽到“运球”的概率为．
21．【答案】（1）解：在中，，
，
则的长为
（2）解：如图，过点作于点．
为钢丝中点，，
．
在中，，
，
．
在中，，
，
则杂技演员从点C走到点F时，下降的高度约为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
（1）在中，根据锐角三角函数计算即可求解；
（2）过点作于点，在中，由锐角三角函数cos∠FAI=可求得AI的值，在中，用勾股定理可求得AH的值然后由线段的和差HI=AI-AH可求解．
（1）解：在中，，
，
则的长为．
（2）解：如图，过点作于点．
为钢丝中点，，
．
在中，，
，
．
在中，，
，
则杂技演员从点C走到点F时，下降的高度约为．
22．【答案】（1）解：设该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元
（2）解：设该公司线上采购该水果，则线下采购该水果，
根据题意得：，
解得：．
设该公司采购该水果共花费元，则，
即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值．
答：当线下采购该水果时最省钱
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】
（1）设该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元，根据题中的相等关系"总收入销售单价销售数量"可列关于，的二元一次方程组，解之即可求解；
（2）设该公司线上采购该水果，则线下采购该水果，根据题中的不等关系"线下采购该水果量不得少于线上采购该水果量的"可列关于的一元一次不等式，解之可得的取值范围；设该公司采购该水果共花费元，根据总价单价数量可得关于的函数关系式，再由一次函数的性质即可求解．
（1）解：设该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元；
（2）解：设该公司线上采购该水果，则线下采购该水果，
根据题意得：，
解得：．
设该公司采购该水果共花费元，则，
即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值．
答：当线下采购该水果时最省钱．
23．【答案】（1）解：把，两点坐标分别代入反比例函数，
可得，，
解得：，
．
把代入一次函数，
可得，解得，
直线的解析式为
（2）
（3）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵直线的解析式为，
∴点坐标为，
，
，
，，
四边形的面积
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（2）解：∵，
∴，即一次函数的图象在反比例函数的上方，
又∵，
∴由图象可知．
故答案为：；
【分析】（1）把，两点坐标分别代入反比例函数可得关于m、n的方程组，解方程组求出的值，再用待定系数法即可求直线的解析式；
（2）根据，可知一次函数的图象在反比例函数的上方，根据两个图象的交点坐标即可求解；
（3）过点作轴于点，过点作轴于点，由题意知点坐标为，由线段的和差PM=OM-OP求得PM的长，然后根据四边形的面积计算即可求解．
（1）解：把，两点坐标分别代入反比例函数，可得，，
∴，
．
把代入一次函数，
可得，解得，
直线的解析式为．
（2）解：∵，
∴，即一次函数的图象在反比例函数的上方，
又∵，
∴由图象可知．
故答案为：；
（3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵直线的解析式为，
∴点坐标为，
，
，
，，
四边形的面积
．
24．【答案】（1）证明：∵是的切线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴
（2）解：连接，如图，
∵是的直径，的半径为10，
∴，．
∵在中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
设，则．
∵在中，，
∴，
∴（负值已舍去），
∴
【知识点】圆周角定理；切线的性质；已知余弦值求边长；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得∠OBD=；由得，由同角的余角相等可得；再由同弧对的圆周角相等得，然后根据等量代换即可求解；
（2）连接，由余弦函数关系cos∠A=可求得的值，用勾股定理求得的值；由垂径定理及线段垂直平分线的性质得的值，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，结合已知可得，设，则，在中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程求得的值，把的值代入BH=3x计算即可求解．
（1）证明：∵是的切线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：连接，如图所示，
∵是的直径，的半径为10，
∴，．
∵在中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
设，则．
∵在中，，
∴，
∴（负值已舍去），
∴
25．【答案】（1）；
（2）．
理由：如图1，把绕点顺时针旋转得到，连接，
，，，，．
，，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
．
在中，，
；
（3）正方形的边长为，
，
．
如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接．
由（2），可得．
设，
，，
，
根据勾股定理可得，
解得，
.
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1），
，
，
，
在△AFG和△AFE中
，
，
故答案为：；；
【分析】（1）由旋转的性质和角的和差可得∠EAF=∠GAF，结合已知，用边角边可证△AFG≌△AFE，由全等三角形的对应边相等可得EF=FG，再结合线段的和差即可求解；
（2）把绕点顺时针旋转90°得到，连接，同理可证△AED≌△AEG，由全等三角形的对应边相等可得DE=EG，在中，用勾股定理即可求解；
（3）将绕点顺时针旋转90°，得到，连接，设，结合（2）中的结论，列关于y的方程，解方程即可求解．
26．【答案】（1）解：把代入得：，故，
则的坐标为，
把代入中
得，
解得：，
∴抛物线的解析式的为：．
（2）解：①∵，令，则，
解得：或3，
∴，
又∵，
∴，，，
又轴，
，
，
，
∵，
∴，，
，
当，即时，
，
解得：（舍去）或，
故；
当，即时，
，
解得：（舍去）或，
故，
综上，或．
②∵点，，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴直线的解析式为：，
当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，则，解得：，
∴直线的解析式为：，
，
解得：（舍去）；
当点P在x轴下方时，如下图所示：
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，则，解得：，
∴直线的解析式为：，
，
解得：（舍去）；
综上所述，的值为：或5．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-角度的存在性问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法先求出一次函数解析式，可得的坐标，再把代入中计算即可解答；
（2）①先求出，根据等腰直角三角形的性质求出，，由轴，得出，可设，得，根据两点之间的距离公式得到，分两种情况：当和当，利用相似三角形的性质建立方程分别计算即可解答；
②先用待定系数法求出直线的解析式；当点P在x轴上方时，如图连接，延长交x轴于N，利用AA证明，求出，从而求出直线的解析式，再联立一次函数解析式和二次函数解析式，计算可得m得值；当点P在x轴下方时，得出，全等三角形的性质求出，求出直线的解析式，再联立一次函数解析式和二次函数解析式，计算可得m得值；解答即可．
（1）解：把代入得：，
故，
则的坐标为，
把代入中
得，
解得：，
∴抛物线的解析式的为：．
（2）解：①∵，
令，则，解得：或3，
∴，
又∵，
∴，，，
又轴，
，
，
，
∵，
∴，，
，
当，即时，，
解得：（舍去）或，
故；
当，即时，，
解得：（舍去）或，
故，
综上，或．
②∵点，，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴直线的解析式为：，
当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，则，解得：，
∴直线的解析式为：，
，
解得：（舍去）；
当点P在x轴下方时，如下图所示：
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，则，解得：，
∴直线的解析式为：，
，
解得：（舍去）；
综上所述，的值为：或5．
1 / 1四川省广元市苍溪县2024-2025学年九年级下学期4月诊断模拟数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）
1．（2025·苍溪模拟）在同一条数轴上，下列各数离原点最近的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数在数轴上的表示；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：如图，
由图可知，距离原点最近的数是．
故答案为：D．
【分析】由题意画出数轴，根据绝对值的几何意义可知，一个数在数轴上到原点的距离，到原点距离最近的点就是绝对值最小的数，结合数轴即可求解．
2．（2025·苍溪模拟）下列几何体的俯视图是圆的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：A、正方体的俯视图是正方形，
∴此选项不符合题意；
B、三棱柱的俯视图是三角形，
∴此选项不符合题意；
C、圆柱的俯视图是圆，
∴此选项符合题意；
D、四棱柱的俯视图是梯形，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】根据俯视图是从物体的上面看得到的视图并结合各选项即可判断求解．
3．（2025·苍溪模拟）下列各式中，计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用；同类项的概念；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，
∴此选项符合题意；
B、≠9x5y2，
∴此选项不符合题意；
C、和不是同类项，不能合并，
∴此选项不符合题意；
D、≠x2-y2+2xy，
∴此选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】A、根据合并同类项法则“把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变”可求解；
B、根据积的乘方法则“把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘”可求解；
C、根据同类项定义"同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项"可知3x和3y不是同类项，所以不能合并；
D、根据平方差公式“（a+b）（a-b）=a2-b2”可求解.
4．（2025·苍溪模拟）关于x的一元二次方程的根的情况是（　　）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：，
∵ 恒成立，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根.
故答案：B．
【分析】先求判别式，再判断判别式的大小即可求得.
5．（2025·苍溪模拟）某中学从初中部随机抽取了50名学生对“每月阅读图书册数”进行调查，统计结果如下表，关于册数的这组数据，下列说法正确的是（　　）
册数 0 1 2 3
人数 5 10 15 20
A．中位数是2.5 B．众数是2 C．平均数是2 D．方差是1.2
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】解：A、∵抽取了50名学生，
∴中位数为第25，26人的阅读数量，
由表格可得：中位数为，而不是2.5，
∴此选项不符合题意；
B、由表格可得阅读3册的人数最多，故众数为3，而不是2，
∴此选项不符合题意；
C、平均数为，
∴此选项符合题意；
D、方差为：，而不是1.2，
∴此选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】A、中位数是指一组数据按序排列后①偶数个数据时，中间两个数的平均数就是这组数据的中位数；②奇数个数据时，中间的数就是这组数据的中位数.平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；根据中位数的定义可判断求解；
B、根据众数的定义“众数是指一组数据中出现次数最多的数”可求解；
C、根据平均数的定义“平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以这组数据的个数”可求解；
D、根据方差的定义可求解.
6．（2025·苍溪模拟）如图，直线，等边的两个顶点分别落在直线，上，若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；平行线的应用-求角度；平行公理的推论
【解析】【解答】解：如图，过点作，
直线，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】过点作，由平行公理的推论得出，根据等边三角形的性质“等边三角形的每一个角都等于60°”得，由平行线的性质“两直线平行，内错角相等”得，由角的和差求得∠BAF的度数，然后根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”即可求解．
7．（2025·苍溪模拟）向一个容器内匀速地注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度随时间的变化规律如图所示．这个容器的形状可能是图中的（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么高度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．∴ 这个容器的形状可能是B．
故答案为：B．
【分析】根据每一段函数图象的倾斜程度，反映了水面上升高度的快慢，再观察容器的粗细，即可判断求解．
8．（2025·苍溪模拟）已知某工程由甲、乙两队合做12天可完成，乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成所需时间的2倍少10天．甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天？设甲队单独完成需x天，根据题意列出的方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲单独完成这项工程需要天，则乙单独完成需要天，
由题意得：，
故答案为：A．
【分析】设甲单独完成这项工程需要天，则乙单独完成需要天，根据题中的相等关系“甲的效率+乙的效率=总工作效率”可得关于x的方程，结合各选项即可判断求解．
9．（2025·苍溪模拟）如图，四边形内接于是的直径．若的半径为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接．
四边形内接于，
∴，
∵，
∴．
∴，
∴，
∵的半径为6，
∴的长度为．
故答案为：B．
【分析】连接．根据圆内接四边形的性质“圆内接四边形的对角互补”可求得∠ABC的度数，根据圆周角定理“圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半”可求得∠AOC的度数，然后由平角的定义求得∠COE的度数，再根据弧长公式“l=”计算即可求解．
10．（2025·苍溪模拟）如图，已知顶点为的抛物线过点，给出下列结论：①；②对于任意的实数m，均有；③；④若，则；⑤；⑥已知点均在抛物线上，若，，则．其中正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由题意，设抛物线解析式为，
把代入得，
解得，
，
即，
，，，
，
∴结论正确；
②由①得：＞0，
∴当时，有最小值，
对于任意的，均有，
即am2+bm+c+6≥0，
∴结论错误；
③由①得：
=x2+3x-，
∴，，
，
∴结论正确；
④由①得，抛物线的对称轴为直线，
当或时，，
当时，或，
∴结论错误；
⑤由①得，，
∴结论正确；
⑥
，
∵，，
∴，，
∴，
解得：，
∴结论错误，
综上可得，正确的结论有3个．
故答案为：B．
【分析】①用待定系数法求出抛物线的解析式为，即，计算abc的积即可判断求解；
②结合①的解析式并根据二次函数的性质即可判断求解；
③由①的解析式可得a、c的值，把a、c的值代入5a-c计算即可判断求解；
④由①的解析式可求解；
⑤由①的解析式可求解；
⑥计算，得到，根据，可判断求解．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（2025·苍溪模拟）64的平方根是　 　．
【答案】±8
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：∵（±8）2=64，
∴64的平方根是±8．
故答案为：±8．
【分析】直接根据平方根的定义即可求解．
12．（2025·苍溪模拟）据统计，广元市2024年全年粮食播种面积万亩，比上年增长．数据万用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万，
万用科学记数法表示为．
故答案为：．
【分析】科学记数法是指，任何一个绝对值大于或等于1的数可以写成a×10n的形式，其中，n=整数位数-1.根据科学记数法的意义即可求解.
13．（2025·苍溪模拟）如图，已知的对角线与相交于点，将沿着直线翻折，得到，连接．若，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解： 四边形是平行四边形，，
．
根据折叠的性质知，，．
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴是等边三角形，
∴ ．
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得，再根据折叠的性质可得，然后根据有一个角等于60度的等腰三角形是等边三角形可证明是等边三角形，由等边三角形的各边都相等即可求解．
14．（2025·苍溪模拟）若实数满足，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
，
，
将代入，得：，
．
故答案为：．
【分析】根据题意，将变形得：，将所求代数式变形得：，然后整体代换即可求解．
15．（2025·苍溪模拟）如图，射线与函数图象相交于点，以点O为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线，交函数图象于点C，则点C的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形性质；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：把点代入，得，
∴，
∴，
设点，
如图，过点C作轴于E，于F，过点A作轴于G，
∵，
∴，，，
∴，
∴，
由作图方法可知，是的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵点C在第一象限，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】由题意，用待定系数法求得反比例函数的解析式为：，于是设点C的坐标为，过点C作轴于E，于F，过点A作轴于G，由锐角三角函数tan∠AOG=并结合特殊角的三角函数值可求得，再根据作图方法可知，是的平分线，得，解直角三角形OCE即可求解．
16．（2025·苍溪模拟）点P在平面内一动点，，，点M是上一点，且，连接，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】圆的相关概念；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：点P在平面内一动点，，，
点P在以为直径的圆上，
取中点C，连接，作于B，且，连接，
，，
，，
又，
，
，
在和中，
，
，
，
，
当点P在上方时，点M在以点O为圆心，3为半径的圆上，
当点M，O，A共线时，取最小值，
，
的最小值，
当点P在下方时，同理可得的最小值，
故答案为：．
【分析】取中点C，连接，作于B，且，连接，结合已知，用边角边可得，由全等三角形的对应边相等可得，然后可得点M在以点O为圆心，3为半径的圆上，因此求的最小值转化为求点A到距离的最小值，可知当点M，O，A共线时，取最小值．
三、解答题（本大题共10小题，共96分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·苍溪模拟）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】由绝对值的非负性化简绝对值，根据负整数指数幂的意义“任何一个不为0的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（）-1=-3，由零指数幂的意义“任何一个不为0的数的0次幂等于1”可得（9+）0=1，由特殊角的三角函数值可得cos45°=，然后根据实数的运用法则计算即可求解．
18．（2025·苍溪模拟）先化简，再从，，，中选取一个合适的数作为x的值，代入求值．
【答案】解：
，
且，
且，
当时，．（或当时，，答案不唯一）
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】由题意先将括号内的分式通分，再将每一个分式的分子和分母分解因式并约分，即可将分式化简，再取一个使分式有意义的值代入化简后的代数式计算即可求解．
19．（2025·苍溪模拟）如图，在中，平分，交于点．
（1）尺规作图：作的垂直平分线，分别交，于点，，连接，；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）求证：四边形是菱形．
【答案】（1）解：如图：即为所求；
（2）证明：平分，
，
的垂直平分线，
，，
，，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
为菱形
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定
【解析】【分析】（1）根据作线段的垂直平分线的基本步骤作图即可；
（2）根据角平分线的概念和线段的垂直平分线的性质以及等边对等角可得，，由平行线的判定“内错角相等，两直线平行”可得，，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形为平行四边形，然后根据“有一组邻边相等的平行四边形是菱形”即可求解．
（1）如图：即为所求；
（2）平分，
，
的垂直平分线，
，，
，，
，，
，，
四边形为平行四边形，
，
为菱形．
20．（2025·苍溪模拟）某学校为丰富课后服务内容，开设了足球、篮球、乒乓球、跳绳、排球五项体育课程．为了解学生对这五项体育课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行问卷调查（要求每位学生只能选择一门课程），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据图中信息，完成下列问题：
（1）补全条形统计图；扇形统计图中“乒乓球”所对应扇形的圆心角度数为_______；
（2）若全校共有名学生，请估计喜爱“排球”课程的学生人数；
（3）在汇报展示中，甲同学从“篮球”课程中分别标有“运球”“定点投篮”“三步上篮”的三个签中随机抽取一个后放回，乙同学再随机抽取一个，请用列表或画树状图的方法，求甲、乙两人至少有一人抽到“运球”的概率．
【答案】（1）如图；
（2）解：抽样中排球的人数是人，
人，
估计喜爱“排球”课程的学生人数约为人
（3）解：运用画树状图的方法把所有可能的结果表示如下：
共有种可能的结果，其中甲、乙两人至少有一人抽到“运球”的有、、、，，共种，
甲、乙两人至少有一人抽到“运球”的概率为
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：抽样中跳绳的有人，所占百分比为，
（人），
本次调查共抽取了名学生，
∴喜爱“篮球”的人数为：（人），
抽样中，喜爱乒乓球的有人，
对应的圆心角的度数为．
故答案为：120°.
【分析】（1）观察条形图和扇形图可知跳绳的人数和百分比，根据样本容量=频数÷百分比可求得抽样人数，根据样本容量等于各小组频数之和可求得篮球的人数，然后可补充完整条形图；再根据圆心角度数=百分比×360°可求得扇形统计图中“乒乓球”所对应扇形的圆心角度数；
（2）根据样本百分比估算总体数量的计算方法即可求解；
（3）由题意画出树状图，根据树状图中的信息可知共有种可能的结果，其中甲、乙两人至少有一人抽到“运球”的有5种，再根据概率公式计算即可求解．
（1）解：抽样中跳绳的有人，所占百分比为，
（人），
本次调查共抽取了名学生，
∴喜爱“篮球”的人数为：（人），
补全条形统计图如下，
抽样中，乒乓球的有人，
对应的圆心角的度数为．
（2）解：抽样中排球的人数是人，
人，
估计喜爱“排球”课程的学生人数约为人．
（3）解：运用画树状图的方法把所有可能的结果表示如下：
共有种可能的结果，其中甲、乙两人至少有一人抽到“运球”的有、、、，，共种，
甲、乙两人至少有一人抽到“运球”的概率为．
21．（2025·苍溪模拟）走钢丝在中国有着悠久的历史，汉代称“走索”“铜绳伎”，三国、魏晋称“高縆”“踏索”．如图1是某杂技演员正在表演走钢丝，其示意图如图2，杂技演员所在位置点到所在直线的距离，此时，当杂技演员走至钢丝中点时，恰好．表演过程中绳子总长不变．（参考数据：）
（1）求的长；
（2）求杂技演员从点走到点时，下降的高度（结果精确到）．
【答案】（1）解：在中，，
，
则的长为
（2）解：如图，过点作于点．
为钢丝中点，，
．
在中，，
，
．
在中，，
，
则杂技演员从点C走到点F时，下降的高度约为
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
（1）在中，根据锐角三角函数计算即可求解；
（2）过点作于点，在中，由锐角三角函数cos∠FAI=可求得AI的值，在中，用勾股定理可求得AH的值然后由线段的和差HI=AI-AH可求解．
（1）解：在中，，
，
则的长为．
（2）解：如图，过点作于点．
为钢丝中点，，
．
在中，，
，
．
在中，，
，
则杂技演员从点C走到点F时，下降的高度约为．
22．（2025·苍溪模拟）随着自媒体的盛行，网购及直播带货成为一种趋势，某农产基地准备借助自媒体对某种水果做营销，采用线上及线下两种销售方式，统计销售情况发现，该水果的销售量和总收入如表（总收入销售量单价）：
　 线上销售水果量（单位：） 线下销售水果量（单位：） 总收入（单位：元）
第一批
第二批
（1）求该水果线上、线下的销售单价各是多少元；
（2）若某公司计划从该地采购该水果，因保质期问题，准备采用线上、线下相结合的方式，因实际需要，线下采购该水果量不得少于线上采购该水果量的，请你帮该公司算一算，当线下采购多少水果时最省钱？
【答案】（1）解：设该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元
（2）解：设该公司线上采购该水果，则线下采购该水果，
根据题意得：，
解得：．
设该公司采购该水果共花费元，则，
即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值．
答：当线下采购该水果时最省钱
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】
（1）设该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元，根据题中的相等关系"总收入销售单价销售数量"可列关于，的二元一次方程组，解之即可求解；
（2）设该公司线上采购该水果，则线下采购该水果，根据题中的不等关系"线下采购该水果量不得少于线上采购该水果量的"可列关于的一元一次不等式，解之可得的取值范围；设该公司采购该水果共花费元，根据总价单价数量可得关于的函数关系式，再由一次函数的性质即可求解．
（1）解：设该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元，
根据题意得：，
解得：．
答：该水果线上的销售单价是元，线下的销售单价是元；
（2）解：设该公司线上采购该水果，则线下采购该水果，
根据题意得：，
解得：．
设该公司采购该水果共花费元，则，
即，
，
随的增大而减小，
当时，取得最小值．
答：当线下采购该水果时最省钱．
23．（2025·苍溪模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与y轴交于点M，与x轴交于点N．
（1）求直线的函数解析式；
（2）根据图象判断，当时，x的取值范围为_______；
（3）已知y轴正半轴上有一点P，，连接，，求四边形的面积．
【答案】（1）解：把，两点坐标分别代入反比例函数，
可得，，
解得：，
．
把代入一次函数，
可得，解得，
直线的解析式为
（2）
（3）解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵直线的解析式为，
∴点坐标为，
，
，
，，
四边形的面积
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】（2）解：∵，
∴，即一次函数的图象在反比例函数的上方，
又∵，
∴由图象可知．
故答案为：；
【分析】（1）把，两点坐标分别代入反比例函数可得关于m、n的方程组，解方程组求出的值，再用待定系数法即可求直线的解析式；
（2）根据，可知一次函数的图象在反比例函数的上方，根据两个图象的交点坐标即可求解；
（3）过点作轴于点，过点作轴于点，由题意知点坐标为，由线段的和差PM=OM-OP求得PM的长，然后根据四边形的面积计算即可求解．
（1）解：把，两点坐标分别代入反比例函数，可得，，
∴，
．
把代入一次函数，
可得，解得，
直线的解析式为．
（2）解：∵，
∴，即一次函数的图象在反比例函数的上方，
又∵，
∴由图象可知．
故答案为：；
（3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵直线的解析式为，
∴点坐标为，
，
，
，，
四边形的面积
．
24．（2025·苍溪模拟）如图，是的直径，点为上一点，过点作的垂线，交过点的切线于点，交于点，连接交于点．
（1）求证：．
（2）若的半径为10，，求的长．
【答案】（1）证明：∵是的切线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴
（2）解：连接，如图，
∵是的直径，的半径为10，
∴，．
∵在中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
设，则．
∵在中，，
∴，
∴（负值已舍去），
∴
【知识点】圆周角定理；切线的性质；已知余弦值求边长；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）由切线的性质“圆的切线垂直于经过切点的半径”可得∠OBD=；由得，由同角的余角相等可得；再由同弧对的圆周角相等得，然后根据等量代换即可求解；
（2）连接，由余弦函数关系cos∠A=可求得的值，用勾股定理求得的值；由垂径定理及线段垂直平分线的性质得的值，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，结合已知可得，设，则，在中，由勾股定理可得关于x的方程，解方程求得的值，把的值代入BH=3x计算即可求解．
（1）证明：∵是的切线，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴．
（2）解：连接，如图所示，
∵是的直径，的半径为10，
∴，．
∵在中，，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∴．
设，则．
∵在中，，
∴，
∴（负值已舍去），
∴
25．（2025·苍溪模拟）【知识技能】
（1）如图1，点，分别在正方形的边，上，，连接，试猜想，，之间的数量关系．
梳理解答思路并完成填空．
A．旋转法：把绕点逆时针旋转90°至，可使与重合，则，，可得，即，，三点共线． 易证______，故，，之间的数量关系为________．
B．截长补短法：延长至点，使得，由，，即，可以得到．
【数学理解】
（2）如图2，在中，，，点，均在边上，且，试猜想，，之间的数量关系，并说明理由．
【拓展探索】
（3）如图3，正方形的边长为，，连接，分别交，于点，．若恰好为线段上靠近点的三等分点，求线段的长．
【答案】（1）；
（2）．
理由：如图1，把绕点顺时针旋转得到，连接，
，，，，．
，，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
．
在中，，
；
（3）正方形的边长为，
，
．
如图2，将绕点顺时针旋转，得到，连接．
由（2），可得．
设，
，，
，
根据勾股定理可得，
解得，
.
【知识点】正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：（1），
，
，
，
在△AFG和△AFE中
，
，
故答案为：；；
【分析】（1）由旋转的性质和角的和差可得∠EAF=∠GAF，结合已知，用边角边可证△AFG≌△AFE，由全等三角形的对应边相等可得EF=FG，再结合线段的和差即可求解；
（2）把绕点顺时针旋转90°得到，连接，同理可证△AED≌△AEG，由全等三角形的对应边相等可得DE=EG，在中，用勾股定理即可求解；
（3）将绕点顺时针旋转90°，得到，连接，设，结合（2）中的结论，列关于y的方程，解方程即可求解．
26．（2025·苍溪模拟）如图所示，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过、两点，与轴的另一个交点为点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点是轴正半轴上一动点，过点作轴于点，交直线于点，交抛物线于点，连结．
①当点在线段上时，若与相似，求点的坐标；
②若，求出的值．
【答案】（1）解：把代入得：，故，
则的坐标为，
把代入中
得，
解得：，
∴抛物线的解析式的为：．
（2）解：①∵，令，则，
解得：或3，
∴，
又∵，
∴，，，
又轴，
，
，
，
∵，
∴，，
，
当，即时，
，
解得：（舍去）或，
故；
当，即时，
，
解得：（舍去）或，
故，
综上，或．
②∵点，，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴直线的解析式为：，
当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，则，解得：，
∴直线的解析式为：，
，
解得：（舍去）；
当点P在x轴下方时，如下图所示：
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，则，解得：，
∴直线的解析式为：，
，
解得：（舍去）；
综上所述，的值为：或5．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-角度的存在性问题；二次函数-相似三角形的存在性问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法先求出一次函数解析式，可得的坐标，再把代入中计算即可解答；
（2）①先求出，根据等腰直角三角形的性质求出，，由轴，得出，可设，得，根据两点之间的距离公式得到，分两种情况：当和当，利用相似三角形的性质建立方程分别计算即可解答；
②先用待定系数法求出直线的解析式；当点P在x轴上方时，如图连接，延长交x轴于N，利用AA证明，求出，从而求出直线的解析式，再联立一次函数解析式和二次函数解析式，计算可得m得值；当点P在x轴下方时，得出，全等三角形的性质求出，求出直线的解析式，再联立一次函数解析式和二次函数解析式，计算可得m得值；解答即可．
（1）解：把代入得：，
故，
则的坐标为，
把代入中
得，
解得：，
∴抛物线的解析式的为：．
（2）解：①∵，
令，则，解得：或3，
∴，
又∵，
∴，，，
又轴，
，
，
，
∵，
∴，，
，
当，即时，，
解得：（舍去）或，
故；
当，即时，，
解得：（舍去）或，
故，
综上，或．
②∵点，，
设直线的解析式为：，
则，解得：，
∴直线的解析式为：，
当点P在x轴上方时，如图，连接，延长交x轴于N，
，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，则，解得：，
∴直线的解析式为：，
，
解得：（舍去）；
当点P在x轴下方时，如下图所示：
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为：，则，解得：，
∴直线的解析式为：，
，
解得：（舍去）；
综上所述，的值为：或5．
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