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湖南省衡阳市衡山县2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题
一、单选题（30分）
1．（2025七下·衡山月考）已知，下列各式不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·衡山月考）下列方程是一元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025七下·衡山月考）将方程去括号正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025七下·衡山月考）下列各式中，为二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025七下·衡山月考）已知是方程的解，则的值是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·衡山月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七下·衡山月考）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何 ”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人 这个物品的价格是多少 设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025七下·衡山月考）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．
9．（2025七下·衡山月考）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·衡山月考）若关于、的二元一次方程组的解为，则关于、的二元一次方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（24分）
11．（2025七下·衡山月考）若是一元一次方程，则的值为　 　．
12．（2025七下·衡山月考）已知和是同类项，那么　 　．
13．（2025七下·衡山月考）若，则　 　，　 　，　 　．
14．（2025七下·衡山月考）已知x= - 1是关于x的方程的解，则代数式100-3a+3b=　 　。
15．（2025七下·衡山月考）若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则的值等于　 　．
16．（2025七下·衡山月考）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17）．照此方法，若圈出的5个数的和为115，则这5个数中的最大数为　 　．
17．（2025七下·衡山月考）已知关于的一元一次方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的值的积为　 　．
18．（2025七下·衡山月考）对于两个非零的有理数 ， ，规定 ，若 ，则 的值为　 　.
三、解答题（66分）
19．（2025七下·衡山月考）解下列方程或方程组
（1）
（2）
（3）
（4）；
20．（2025七下·衡山月考）若方程组和方程组有相同的解，求的值．
21．（2025七下·衡山月考）甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错②中的b，解得 ．
（1）求正确的a，b的值；
（2）求原方程组的正确解．
22．（2025七下·衡山月考）甲、乙两人加工机器零件，已知甲、乙两人一天共加工零件35个，甲每天加工零件的个数比乙每天加工零件的个数多5个．
（1）问甲、乙两人每天各加工多少个零件？
（2）现在工厂需要加工零件600个，先由两人合作一段时间，剩下的全部由乙单独完成，恰好20天完成任务，求两人合作的天数．
23．（2025七下·衡山月考）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多25件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：
（注：获利=售价进价）
　 甲 乙
进价（元/件） 20 30
售价（元/件） 26 40
（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
24．（2025七下·衡山月考）【数学问题】解方程组
【思路分析】小明观察后发现可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．
（1）【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程．
（2）【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组
25．（2025七下·衡山月考）规定：形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”．
（1）方程的“共轭二元一次方程”为_____________；
（2）若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的“共轭系数”．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、，
成立，故A不符合题意；
B、时，和无意义，故B不符合题意；
C、，
成立，故C不符合题意；
D、，
成立，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据等式的基本性质： 等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立 ； 等式两边同时乘以或除以同一个非零数或整式，等式仍然成立 ；逐项判断即可解答．
2．【答案】A
【知识点】判断是否为一元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、是一元一次方程，故此选项符合题意；B、未知数次数是2，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C、不是方程，故此选项不符合题意；
D、中有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用一元一次方程的定义（只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0，其中a，b是常数且a≠0）逐个分析判断即可.
3．【答案】A
【知识点】去括号法则及应用
【解析】【解答】解：，
去括号得：，
故答案为：A．
【分析】根据乘法分配律和去括号法则写出即可．
4．【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、是二元一次方程，A正确；
B、有3个未知数，不是二元一次方程，B错误；
C、不是整式方程，不是二元一次方程，C错误；
D、含有2次项，不是一次方程，不是二元一次方程，D错误；
故答案为：A．
【分析】根据二元一次方程的定义：含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，逐一判断即可．
5．【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是方程的解，
∴将代入方程中，
即，
∴.
故答案为：A．
【分析】把解代入方程，可得关于的一元一次方程，进而得出答案．
6．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A、，含有三个未知数，不是二元一次方程组，A错误；
B、是二元一次方程组，B正确；
C、中和都是分式，不是二元一次方程组，C错误；
D、中的次数是2，不是二元一次方程组，D错误；
故答案为：B．
【分析】根据二元一次方程组的定义：“方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，逐一判断即可得．
7．【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，可得．
故答案为：C．
【分析】设共有x人，物品的价格为y钱，根据“每人出11钱，就多了8钱”可将物品的价格表示为11x-8；根据“如果每人出9钱，就少了12钱”可将物品的价格表示为9x+12，进而根据物品的价格为y，即可列出方程组.
8．【答案】B
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
得，
将代入上式，得：，
解得：，
故答案为：B．
【分析】先计算方程①+方程②，得到，再整体代入计算求解即可．
9．【答案】A
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵关于x的一元一次方程的解为，
∴，
解得：，
∴关于y的一元一次方程的解为，
故答案为：A．
【分析】根据一元一次方程的解，列出关于y的方程，求解即可．
10．【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵关于、的二元一次方程组的解为，
∴，
∴关于、的二元一次方程组的解，即，
故答案为：D．
【分析】先根据二元一次方程的解得到，再将其代入求解即可．
11．【答案】
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵是一元一次方程，
∴且，
解得且，
∴．
故答案为：．
【分析】根据一元一次方程的定义：未知数x的指数必须为1，且一次项系数不为零，列出等式求解即可．
12．【答案】
【知识点】同类项的概念；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵和是同类项，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】根据同类项的定义：如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相等，则这两个单项式是同类项，列出二元一次方程组，求解即可.
13．【答案】；1；
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：由题意可得：
由②得
把代入③
得：
把，代入①
解得：
故答案为：，1，．
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性列出三元一次方程组，进行求解即可．
14．【答案】106
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵x= - 1是关于x的方程的解，
∴-2-a+b=0，
∴-a+b=2，
∴.
故答案为106.
【分析】将x= - 1是关于x的方程中得-a+b=2，再将原式变形为，然后代入计算即可.
15．【答案】
【知识点】二元一次方程的概念；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据二元一次方程组的定义列出方程，求出的值，再代入代数式计算求解即可．
16．【答案】30
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设中间数为n，则其左边数为，右边数是，其上边数为，下边数是，
∴五个数的和为，
∴，
解得：，
∴最大数是，
故答案为：30．
【分析】设中间数为n，则其左边数为，右边数是，其上边数为，下边数是，再求出五个数的和为5n，再列出方程求出n的值，最后求解即可.
17．【答案】0
【知识点】解一元一次方程；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
∵关于的一元一次方程的解是正整数，
∴是正整数，
∴符合条件的所有整数的值为，
∴符合条件的所有整数的值的积为，
故答案为：0．
【分析】先解一元一次方程得出x的代数式，再根据方程的解是正整数找出符合条件的所有整数，最后求积即可．
18．【答案】2
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】根据题中的新定义得： ，
，
，
解得： .
故答案为：2.
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可得到x的值.
19．【答案】（1）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（2）解：，
方程两边同乘以6去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（3）解：，
由①②得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
所以方程组的解为．
（4）解：，
由④③得：，
解得，
将代入③得：，
解得，
所以方程组的解为．
【知识点】解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先去括号、移项、再合并同类项、系数化为1即可；
（2）先去分母、去括号、移项、再合并同类项、系数化为1即可；
（3）利用①+②加减消元法得到x，进而求出y即可；
（4）先对第二个方程的两边同乘以2，再利用加减消元法得到x，进而求出y即可；
（1）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（2）解：，
方程两边同乘以6去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（3）解：，
由①②得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
所以方程组的解为．
（4）解：，
由④③得：，
解得，
将代入③得：，
解得，
所以方程组的解为．
20．【答案】解：解方程组得：，
把代入得：，
整理得
∴．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【分析】先解二元一次方程组求出x，y，再代入化简求值即可．
21．【答案】（1）解，根据题意， 乙看错②中的b，解得 ，则此解是①的正解，
故将代入①得，-a-4×2=-6，解得：a=-2，
同理可得：b=5，
故正确的a=-2，b=5.
（2）解：当a=-2，b=5时，原方程组的 得，
整理得：，
由④得：x=y+2⑤，
将⑤代入③得：y+2+2y=3，
解得：y=，
将y=代入⑤得，x=，
所以，原方程组的正确解为.
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【分析】（1）根据题意，将代入②，将代入①，即可求得结果；
（2）将a与b的值代入原方程组再求解即可.
（1）解：把代入②，得，
解得，
把代入①，得，
解得；
（2）解：将，代入原方程组，得，
整理得，
得：，
解得：，
将代入，得：，
解得：，
因此原方程组的正确解为．
22．【答案】（1）解：设乙每天加工零件个数为x个，则甲每天加工个，
根据题意得：，
解得：，
（个），
答：甲每天加工零件个数为20个，乙每天加工15个.
（2）解：设两个人合作的天数为y天，
根据题意得：，
解得：，
答：两人合作的天数15天．
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设乙每天加工零件个数为x个，则甲每天加工个，利用“ 甲、乙两人一天共加工零件35个 ”列出方程求解即可；
（2）设两个人合作的天数为y天，利用“ 工厂需要加工零件600个 ”列出方程，再求解即可.
23．【答案】（1）解：设第一次购进甲种商品件，则购进乙种商品件，由题意得：，
解得：，
∴．
答：该超市购进甲种商品150件、乙种商品100件．
（2）解：（元）．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1900元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据单价×数量=总价，列出的一元一次方程，求解即可；
（2）根据总利润=单件利润×销售数量，列式计算求解即可．
（1）解：设第一次购进甲种商品件，则购进乙种商品件，
根据题意得：，
解得：，
∴．
答：该超市购进甲种商品150件、乙种商品100件．
（2）解：（元）．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1900元．
24．【答案】（1）解：
把①代入②，得，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：
把①代入③得：，解得：，
把代入②得：，解得：，
把代入①得：，解得：，
∴原方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】（1）把x+y看成一个整体，把方程①代入②消去y，求出x的值，再把x的值代入①，求出y的值，从而即可得到该方程组的解；
（2）先把a+b看成一个整体，把方程①代入③消去a、b，求出c的值，再把c的值代入②，求出a的值，最后把a的值代入①，求出b的值，从而即可得到该方程组的解.
（1）解：
把①代入②，得，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：
把①代入③得：，解得：，
把代入②得：，解得：，
把代入①得：，解得：，
∴原方程组的解为．
25．【答案】（1）
（2）解：由题意，得，整理可得，
，得，
，得，解得，
把代入，得，解得，
，，
∴“共轭方程组”的“共轭系数”为．
【知识点】二元一次方程的概念；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）∵形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，
∴方程的共轭二元一次方程为，
故答案为：；
【分析】（1）根据共轭二元一次方程的定义写出即可；
（2）根据共轭二元一次方程的定义列出二元一次方程组，进而利用加减消元法求出a，b，再代入原方程组求解即可．
（1）解：∵形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，
∴方程的共辄二元一次方程为，
故答案为：；
（2）解：由题意，得，
整理，得，
，得，
，得，解得，
把代入，得，解得，
，，
故此“共轭方程组”的“共轭系数”为．
1 / 1湖南省衡阳市衡山县2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题
一、单选题（30分）
1．（2025七下·衡山月考）已知，下列各式不一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：A、，
成立，故A不符合题意；
B、时，和无意义，故B不符合题意；
C、，
成立，故C不符合题意；
D、，
成立，故D不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据等式的基本性质： 等式两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍然成立 ； 等式两边同时乘以或除以同一个非零数或整式，等式仍然成立 ；逐项判断即可解答．
2．（2025七下·衡山月考）下列方程是一元一次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】判断是否为一元一次方程的解
【解析】【解答】解：A、是一元一次方程，故此选项符合题意；B、未知数次数是2，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
C、不是方程，故此选项不符合题意；
D、中有两个未知数，不是一元一次方程，故此选项不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用一元一次方程的定义（只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是ax+b=0，其中a，b是常数且a≠0）逐个分析判断即可.
3．（2025七下·衡山月考）将方程去括号正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】去括号法则及应用
【解析】【解答】解：，
去括号得：，
故答案为：A．
【分析】根据乘法分配律和去括号法则写出即可．
4．（2025七下·衡山月考）下列各式中，为二元一次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的概念
【解析】【解答】解：A、是二元一次方程，A正确；
B、有3个未知数，不是二元一次方程，B错误；
C、不是整式方程，不是二元一次方程，C错误；
D、含有2次项，不是一次方程，不是二元一次方程，D错误；
故答案为：A．
【分析】根据二元一次方程的定义：含有2个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，逐一判断即可．
5．（2025七下·衡山月考）已知是方程的解，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵是方程的解，
∴将代入方程中，
即，
∴.
故答案为：A．
【分析】把解代入方程，可得关于的一元一次方程，进而得出答案．
6．（2025七下·衡山月考）下列方程组中，是二元一次方程组的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的概念
【解析】【解答】解：A、，含有三个未知数，不是二元一次方程组，A错误；
B、是二元一次方程组，B正确；
C、中和都是分式，不是二元一次方程组，C错误；
D、中的次数是2，不是二元一次方程组，D错误；
故答案为：B．
【分析】根据二元一次方程组的定义：“方程组中有两个未知数，含有未知数的项的次数都是1，并且一共有两个方程，逐一判断即可得．
7．（2025七下·衡山月考）《九章算术·盈不足》载，其文曰：“今有共买物，人出十一，盈八；人出九，不足十二．问人数、物价各几何 ”意思为：几个人一起去买东西，如果每人出11钱，就多了8钱；如果每人出9钱，就少了12钱．问一共有多少人 这个物品的价格是多少 设共有x人，物品的价格为y钱，则可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意，可得．
故答案为：C．
【分析】设共有x人，物品的价格为y钱，根据“每人出11钱，就多了8钱”可将物品的价格表示为11x-8；根据“如果每人出9钱，就少了12钱”可将物品的价格表示为9x+12，进而根据物品的价格为y，即可列出方程组.
8．（2025七下·衡山月考）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．
【答案】B
【知识点】已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：，
得，
将代入上式，得：，
解得：，
故答案为：B．
【分析】先计算方程①+方程②，得到，再整体代入计算求解即可．
9．（2025七下·衡山月考）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵关于x的一元一次方程的解为，
∴，
解得：，
∴关于y的一元一次方程的解为，
故答案为：A．
【分析】根据一元一次方程的解，列出关于y的方程，求解即可．
10．（2025七下·衡山月考）若关于、的二元一次方程组的解为，则关于、的二元一次方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二元一次方程组的解；解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵关于、的二元一次方程组的解为，
∴，
∴关于、的二元一次方程组的解，即，
故答案为：D．
【分析】先根据二元一次方程的解得到，再将其代入求解即可．
二、填空题（24分）
11．（2025七下·衡山月考）若是一元一次方程，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元一次方程的概念
【解析】【解答】解：∵是一元一次方程，
∴且，
解得且，
∴．
故答案为：．
【分析】根据一元一次方程的定义：未知数x的指数必须为1，且一次项系数不为零，列出等式求解即可．
12．（2025七下·衡山月考）已知和是同类项，那么　 　．
【答案】
【知识点】同类项的概念；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：∵和是同类项，
∴，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】根据同类项的定义：如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相等，则这两个单项式是同类项，列出二元一次方程组，求解即可.
13．（2025七下·衡山月考）若，则　 　，　 　，　 　．
【答案】；1；
【知识点】偶次方的非负性；绝对值的非负性；三元一次方程组及其解法
【解析】【解答】解：由题意可得：
由②得
把代入③
得：
把，代入①
解得：
故答案为：，1，．
【分析】根据绝对值和偶次方的非负性列出三元一次方程组，进行求解即可．
14．（2025七下·衡山月考）已知x= - 1是关于x的方程的解，则代数式100-3a+3b=　 　。
【答案】106
【知识点】一元一次方程的解
【解析】【解答】解：∵x= - 1是关于x的方程的解，
∴-2-a+b=0，
∴-a+b=2，
∴.
故答案为106.
【分析】将x= - 1是关于x的方程中得-a+b=2，再将原式变形为，然后代入计算即可.
15．（2025七下·衡山月考）若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则的值等于　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程的概念；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得，
∴，
故答案为：．
【分析】先根据二元一次方程组的定义列出方程，求出的值，再代入代数式计算求解即可．
16．（2025七下·衡山月考）如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个“十”字圈出5个数（如3，9，10，11，17）．照此方法，若圈出的5个数的和为115，则这5个数中的最大数为　 　．
【答案】30
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设中间数为n，则其左边数为，右边数是，其上边数为，下边数是，
∴五个数的和为，
∴，
解得：，
∴最大数是，
故答案为：30．
【分析】设中间数为n，则其左边数为，右边数是，其上边数为，下边数是，再求出五个数的和为5n，再列出方程求出n的值，最后求解即可.
17．（2025七下·衡山月考）已知关于的一元一次方程的解是正整数，则符合条件的所有整数的值的积为　 　．
【答案】0
【知识点】解一元一次方程；已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
∵关于的一元一次方程的解是正整数，
∴是正整数，
∴符合条件的所有整数的值为，
∴符合条件的所有整数的值的积为，
故答案为：0．
【分析】先解一元一次方程得出x的代数式，再根据方程的解是正整数找出符合条件的所有整数，最后求积即可．
18．（2025七下·衡山月考）对于两个非零的有理数 ， ，规定 ，若 ，则 的值为　 　.
【答案】2
【知识点】定义新运算
【解析】【解答】根据题中的新定义得： ，
，
，
解得： .
故答案为：2.
【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可得到x的值.
三、解答题（66分）
19．（2025七下·衡山月考）解下列方程或方程组
（1）
（2）
（3）
（4）；
【答案】（1）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（2）解：，
方程两边同乘以6去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（3）解：，
由①②得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
所以方程组的解为．
（4）解：，
由④③得：，
解得，
将代入③得：，
解得，
所以方程组的解为．
【知识点】解一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）先去括号、移项、再合并同类项、系数化为1即可；
（2）先去分母、去括号、移项、再合并同类项、系数化为1即可；
（3）利用①+②加减消元法得到x，进而求出y即可；
（4）先对第二个方程的两边同乘以2，再利用加减消元法得到x，进而求出y即可；
（1）解：，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（2）解：，
方程两边同乘以6去分母，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得．
（3）解：，
由①②得：，
解得，
将代入①得：，
解得，
所以方程组的解为．
（4）解：，
由④③得：，
解得，
将代入③得：，
解得，
所以方程组的解为．
20．（2025七下·衡山月考）若方程组和方程组有相同的解，求的值．
【答案】解：解方程组得：，
把代入得：，
整理得
∴．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；二元一次方程（组）的同解问题
【解析】【分析】先解二元一次方程组求出x，y，再代入化简求值即可．
21．（2025七下·衡山月考）甲、乙两人同解方程组 时，甲看错了方程①中的a，解得 ，乙看错②中的b，解得 ．
（1）求正确的a，b的值；
（2）求原方程组的正确解．
【答案】（1）解，根据题意， 乙看错②中的b，解得 ，则此解是①的正解，
故将代入①得，-a-4×2=-6，解得：a=-2，
同理可得：b=5，
故正确的a=-2，b=5.
（2）解：当a=-2，b=5时，原方程组的 得，
整理得：，
由④得：x=y+2⑤，
将⑤代入③得：y+2+2y=3，
解得：y=，
将y=代入⑤得，x=，
所以，原方程组的正确解为.
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【分析】（1）根据题意，将代入②，将代入①，即可求得结果；
（2）将a与b的值代入原方程组再求解即可.
（1）解：把代入②，得，
解得，
把代入①，得，
解得；
（2）解：将，代入原方程组，得，
整理得，
得：，
解得：，
将代入，得：，
解得：，
因此原方程组的正确解为．
22．（2025七下·衡山月考）甲、乙两人加工机器零件，已知甲、乙两人一天共加工零件35个，甲每天加工零件的个数比乙每天加工零件的个数多5个．
（1）问甲、乙两人每天各加工多少个零件？
（2）现在工厂需要加工零件600个，先由两人合作一段时间，剩下的全部由乙单独完成，恰好20天完成任务，求两人合作的天数．
【答案】（1）解：设乙每天加工零件个数为x个，则甲每天加工个，
根据题意得：，
解得：，
（个），
答：甲每天加工零件个数为20个，乙每天加工15个.
（2）解：设两个人合作的天数为y天，
根据题意得：，
解得：，
答：两人合作的天数15天．
【知识点】一元一次方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设乙每天加工零件个数为x个，则甲每天加工个，利用“ 甲、乙两人一天共加工零件35个 ”列出方程求解即可；
（2）设两个人合作的天数为y天，利用“ 工厂需要加工零件600个 ”列出方程，再求解即可.
23．（2025七下·衡山月考）某社区超市第一次用6000元购进甲、乙两种商品，其中乙商品的件数比甲商品件数的多25件，甲、乙两种商品的进价和售价如下表：
（注：获利=售价进价）
　 甲 乙
进价（元/件） 20 30
售价（元/件） 26 40
（1）该超市购进甲、乙两种商品各多少件？
（2）该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得多少利润？
【答案】（1）解：设第一次购进甲种商品件，则购进乙种商品件，由题意得：，
解得：，
∴．
答：该超市购进甲种商品150件、乙种商品100件．
（2）解：（元）．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1900元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元一次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据单价×数量=总价，列出的一元一次方程，求解即可；
（2）根据总利润=单件利润×销售数量，列式计算求解即可．
（1）解：设第一次购进甲种商品件，则购进乙种商品件，
根据题意得：，
解得：，
∴．
答：该超市购进甲种商品150件、乙种商品100件．
（2）解：（元）．
答：该超市将第一次购进的甲、乙两种商品全部卖完后一共可获得利润1900元．
24．（2025七下·衡山月考）【数学问题】解方程组
【思路分析】小明观察后发现可以把视为一个整体，把方程①直接代入到方程②中，这样，就可以将方程②直接转化为一元一次方程，从而达到“消元”的目的．
（1）【完成解答】请你按照小明的思路，完成解方程组的过程．
（2）【迁移运用】请你按照小明的方法，解方程组
【答案】（1）解：
把①代入②，得，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：
把①代入③得：，解得：，
把代入②得：，解得：，
把代入①得：，解得：，
∴原方程组的解为．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组；三元一次方程组及其解法
【解析】【分析】（1）把x+y看成一个整体，把方程①代入②消去y，求出x的值，再把x的值代入①，求出y的值，从而即可得到该方程组的解；
（2）先把a+b看成一个整体，把方程①代入③消去a、b，求出c的值，再把c的值代入②，求出a的值，最后把a的值代入①，求出b的值，从而即可得到该方程组的解.
（1）解：
把①代入②，得，
解得：，
把代入①得：，
解得：，
∴原方程组的解为；
（2）解：
把①代入③得：，解得：，
把代入②得：，解得：，
把代入①得：，解得：，
∴原方程组的解为．
25．（2025七下·衡山月考）规定：形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，其中．由这两个方程组成的方程组叫作“共轭方程组”，k，b称为“共轭系数”．
（1）方程的“共轭二元一次方程”为_____________；
（2）若关于x，y的二元一次方程组为“共轭方程组”，求此“共轭方程组”的“共轭系数”．
【答案】（1）
（2）解：由题意，得，整理可得，
，得，
，得，解得，
把代入，得，解得，
，，
∴“共轭方程组”的“共轭系数”为．
【知识点】二元一次方程的概念；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：（1）∵形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，
∴方程的共轭二元一次方程为，
故答案为：；
【分析】（1）根据共轭二元一次方程的定义写出即可；
（2）根据共轭二元一次方程的定义列出二元一次方程组，进而利用加减消元法求出a，b，再代入原方程组求解即可．
（1）解：∵形如与的两个关于x，y的方程互为“共轭二元一次方程”，
∴方程的共辄二元一次方程为，
故答案为：；
（2）解：由题意，得，
整理，得，
，得，
，得，解得，
把代入，得，解得，
，，
故此“共轭方程组”的“共轭系数”为．
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