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湖南省祁阳市潘市红军学校2025年中考第一次模拟考试数学试卷
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2025·祁阳模拟）在，，，，，各数中，负数的个数是（　　）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；有理数的分类；化简多重符号有理数；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵，，，既不是正数，也不是负数；，
∴ 、 、， 是负数，
∴负数个数为4个，
故答案为：C．
【分析】先将个数进行化简，再根据负数概念逐个进行判断即可.
2．（2025·祁阳模拟）“九章三号”是中国科学家构建的光量子计算原型机，它在内所处理的最高复杂样本，需要当前最快的超级计算机超过200亿年才能完成.将用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|≤9，n由原数左边起第一个不为0的数字前面的“0”的个数决定，据此即可求解.
3．（2025·祁阳模拟）在第46个植树节来临之际，某校师生积极践行“绿水青山就是金山银山”理念，开展以小组为单位的植树活动，七个小组植树情况如下：
第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组
数量（棵） 5 6 5 4 6 5 7
则本组数据的众数与中位数分别为（　　）
A．5，4 B．5，5 C．6，4 D．6，5
【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵植树为5棵的小组有3个，小组数最多，
∴众数为5；
把植树数量从低到高排列，处在最中间的植树数量为5棵，
∴中位数为5，
故答案为：B．
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.
4．（2025·祁阳模拟）当时，下列式子有意义的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：A、∵当时，分式的分母，
∴分式无意义，故A错误；
B、∵当时，分式的分母，
∴分式有意义，故B正确；
C、∵当时，二次根式的被开方数，
∴二次根式无意义，故C错误；
D、∵当时，分式的分子的被开方数，
∴此分式无意义，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据分式有意义的条件：分母≠0和二次根式有意义的条件：被开方数≥0，逐项进行分析判断即可得出答案．
5．（2025·祁阳模拟）关于的一元二次方程方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根
C．没有实数 D．无法判定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程方程，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根，②当时，方程有两个相等的实数根，③当时，方程没有实数根，据此即可求解.
6．（2025·祁阳模拟）如图，是的直径，，是上的两点．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AD，如图所示：
∵∠ADC是的圆周角，∠AOC是的圆心角，且，
∴∠ADC=∠AOC=20°，
∵是的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=∠ADC+∠ADB=110°，
故答案为：B．
【分析】连接AD，由圆周角定理，得∠ADC=∠AOC=20°，∠ADB=90°，再根据∠CDB=∠ADC+∠ADB即可求出∠CDB的度数．
7．（2025·祁阳模拟）如图，在中，，设，，所对的边分别为a，b，c，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵ 在中，，，，所对的边分别为a，b，c，
∴，cosB=，，
∴，故A错误，B正确，
，故C错误，
a=cosB，故D错误，
故答案为：B．
【分析】根据三角函数的定义逐项进行分析判断即可得出答案.
8．（2025·祁阳模拟）某药店购进A，B两种的口罩，其中A种口罩的单价比B种口罩的单价低元．已知该店主购进A种口罩用了920元，购进B种口罩用了500元，且所购进的A种口罩的数量比B种口罩多20个．设药店购进A种款式的口罩x个，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，可列方程为，
故答案为：C．
【分析】根据得到A种口罩的单价与B种口罩的单价，然后根据A种口罩的单价比B种口罩的单价低元即可列出方程.
9．（2025·祁阳模拟）已知点A在反比例函数第一象限的图像上，、在x轴上，则下列说法中正确的是（　　）
①满足△ABC面积为4的点A有且只有一个
②满足△ABC是直角三角形的点A有且只有一个
③满足△ABC是等腰三角形的点A有且只有一个
④满足△ABC是等边三角形的点A有且只有一个
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆与函数的综合
【解析】【解答】解：∵ 点A在反比例函数第一象限的图像上，设点A(x，)（x＞0），
∴ ，，BC=4，
①，
即=4，
解得：x=3，
∴满足△ABC面积为4的点A只有一个，故①正确；
②∵点A在第一象限，
∴∠B≠90°，
当∠CAB=90°时，，
∴，
即（x2-2）2+32=0，
∴此方程无解，舍去，
当∠ACB=90°时， ，
∴ ．
解得∶x=2，
∴点A(2，3)，
综上可得，满足△ABC是直角三角形的点A有且只有一个，故②正确；
③∵点A在第一象限，点B在x轴的负半轴，
∴CA≠AB，
当BC=AC时，
∵当x=2时，y=3，
∴当以点C为圆心、BC=4为半径画圆，与反比例函数图象会有两个交点，
同理，当BC=AB时，以点B为圆心、BC=4为半径画圆，与反比例函数图象会有两个交点，故③错误；
④∵点A在第一象限，
∴AC≠AB，
∴△ABC不可能为等边三角形，故④错误；
综上所述，正确的序号有①②，
故答案为∶B．
【分析】 点A在反比例函数第一象限的图像上，设点A(x，)（x＞0），则BC=4， ，，①由△ABC的面积公式求得点A的坐标个数；②根据题意可知∠C≠90°，然后分∠ABC=90°，∠CAB=90°两种情况讨论；③根据题意可知CA≠AB，然后分BC=AC、BC=BA两种情况讨论；④由点A在第一象限和等边三角形的性质得知
△ABC不可能为等边三角形
10．（2025·祁阳模拟）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：①∵点是的内心，
∴平分，
∴，故①正确；
②如图，设外接圆圆心为，连接，
∴垂直平分，
∵点为的中点，
∴点为与的交点，
∴，故②正确；
③∵，
∴，
∵点是的内心，
∴平分，平分，
∴，，
∴，故③错误；
④∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确，
综上所述，正确的个数有3个，
故答案为：B．
【分析】根据三角形内心的性质可判断①正确；设外接圆圆心为，连接，根据三角形外心的性质得到垂直平分，从而得，即可判断②正确；利用三角形内角和定理求出，结合三角形内心的性质得到，即可判断③错误；根据圆周角定理得到，，结合三角形的外角性质得到，最后根据等腰三角形的判定得到，即可判断④正确.
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（2025·祁阳模拟）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用提取公因式法进行因式分解即可.
12．（2025·祁阳模拟）计算：　 　．
【答案】4
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：原式
故答案为：．
【分析】根据二次根式的乘除法则进行计算即可得出答案．
13．（2025·祁阳模拟）如图，已知，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形外角的性质得到的度数，然后根据两直线平行，内错角相等即可得到答案.
14．（2025·祁阳模拟）一个扇形的弧长为，面积为，则这个扇形的半径为　 　．
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设这个扇形的半径为，根据扇形面积公式可得：12π=×2πr，
解得：r=12，
故答案为：．
【分析】根据扇形的面积公式（其中为扇形的弧长，为扇形的半径）进行计算即可得出答案．
15．（2025·祁阳模拟）将二次函数y=2x2﹣1的图象沿y轴向上平移2个单位，所得图象对应的函数表达式为　 　．
【答案】y=2x2+1
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵二次函数y=2x2﹣1的图象沿y轴向上平移2个单位，
∴所得图象对应的函数表达式为：y=2x2﹣1+2=2x2+1．
故答案为：y=2x2+1．
【分析】利用二次函数与几何变换规律“上加下减”，进而求出图象对应的函数表达式．
16．（2025·祁阳模拟）小志和小强进行了十次剪刀石头布的对决，已知：①小志出了6次石头，1次剪刀，3次布：②小强出了4次石头，3次剪刀，3次布：③10次对决中没有平局；④你不知道他们的出拳顺序，则这十次对决中小志赢了　 　次．
【答案】6
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵10次对决中没有平局，
∴小志6次石头只能对应小强的3次剪刀3次布，
∴这6局中小志赢3局，
同理，小志1次剪刀，3次布只能对应小强4次石头，
∴这4局中小志赢3局，
∴小志共赢了局．
故答案为：6。
【分析】根据题干中的已知条件，可知10次对决中没有平局，而小志6次石头只能对应小强的3次剪刀3次布，6局中小志赢3局；小志1次剪刀，3次布只能对应小强4次石头，这4局中小志赢3局，据此可求出小志赢的局数。
17．（2025·祁阳模拟）如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段，的延长线上，且，点A与点F关于过点D的某条直线对称，从B运动到C的过程中，周长的变化规律是　 　．
【答案】先变小后变大
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC60°，AB=BC=AC，
∴∠DBE=∠FCD=180°-60°=120°，
∵点A与点F关于过点D的某条直线对称，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵∠BAC=∠DAE+∠DAF，∠ABC=∠DEA+∠EDB，
∴∠DAF=∠EDB，
∴∠EDB=∠DFA，
在△DBE和△FCD中，
，
∴△DBE≌△FCD（AAS），
∴，，
∴周长，
∵点D在边上从B至C的运动过程中，的长先变小后变大，
∴周长的变化规律是先变小后变大，
故答案为：先变小后变大．
【分析】根据等边三角形和轴对称的性质可得：∠DBE=∠FCD，，∠EDB=∠DFA，进而可证△DBE≌△FCD（AAS），由全等三角形的性质可得，，由此可得周长，根据AD的变化规律即可得出答案.
18．（2025·祁阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为（-1，2）、（1，1）．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于C、D两点，点C在点D左侧，当顶点在线段AB上移动时，点C横坐标的最小值为-2．在抛物线移动过程中，a-b+c的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵当顶点在线段上移动时，点横坐标的最小值为，
∴此时顶点在，，
∴抛物线的表达式为，
将代入表达式，得，
解得：，
∵当顶点在时，的值最小，
∴抛物线表达式为，
∴当时，，
故答案为：.
【分析】先得到点横坐标最小时，顶点在点，利用顶点式以及点坐标求出，然后根据当顶点在点时，的值最小，利用顶点式以及点坐标求出抛物线表达式，最后将代入表达式即可求解.
三、解答题（共9小题，满分72分）
19．（2025·祁阳模拟）计算： ．
【答案】解：原式=9+（2-）+3+6×
=9+2-+3+（-8）
=.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据实数混合运算的法则进行计算即可．
20．（2025·祁阳模拟）解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得_______；
（2）解不等式②，得_______；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来．
【答案】（1）
（2）
（3）解： 把不等式①和②的解集在数轴上分别表示为：
.
∴不等式组的解集为：.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：（1），
移项，得：，
合并同类型，得：，
系数化为1，得：，
故答案为：；
（2），
系数化为1，得：，
故答案为：；
【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤：移项、合并同类项、系数化为1，即可得出答案；
（2）根据不等式的性质解不等式即可得出答案；
（3）将不等式的解集在数轴上表示出来，即可得出答案．
（1）解：，
，
，
解得：，
故答案为：；
（2）解：，
解得：，
故答案为：；
（3）解：由上可得，不等式组的解集为：，
∴数轴表示为：
21．（2025·祁阳模拟）去年7月28日至8月8日在成都举行的世界大学生夏季运动会再次引发了成都市的校园运动热潮．我校在准备体育运动节期间在全校范围内邀请学生参加以下四项活动：A（足球），B（篮球），C（羽毛球），D（乒乓球）．为了解学生对这四项活动的参与意愿，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求参与调查的学生中，愿意参加篮球活动的学生人数，并补全条形统计图；
（2）若该校共有1000名学生，请你估计该校愿意参加羽手球活动的学生人数；
（3）若从参与调查的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，进行四项活动体验，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】（1）解：根据题意，得参与调查的学生总人数为：（人），
∴愿意参加篮球活动的学生人数为：（人），
∴补全条形统计图如下：

（2）解：∵（人），
∴估计该校愿意参加羽手球活动的学生人数为人；
（3）解：画树状图如下：
∴所有的等可能结果有12种，其中抽取的两名学生为1名男生和1名女生的结果共有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先用愿意参加足球球活动的学生人数除以其对应的百分比求出参与调查的学生总人数，从而用总人数减去已知项目的人数即可得到愿意参加篮球活动的学生人数，进而补全条形统计图即可；
（2）利用样本估计总体，用1000乘以愿意参加羽手球活动的学生人数的百分比，即可估计该校愿意参加羽手球活动的学生人数；
（3）画树状图得出所有的等可能结果数，从而得到抽取的两名学生为1名男生和1名女生的结果数，进而利用概率公式即可得出所求概率．
（1）解：参与调查的学生总数为（人），
∴愿意参加篮球活动的学生人数为（人），
补全条形统计图如下：
（2）（人），
答：估计该校愿意参加羽手球活动的学生人数为人；
（3）画树状图如下：
可知所有等可能的情况12种，其中抽取的两名学生为1名男生和1名女生共有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
答：恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
22．（2025·祁阳模拟）如图，是的直径，弦于点E，过延长线上一点F作的切线交的延长线于点G，切点为M，连接交于点N．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：连接OM，如图所示：
∵CD⊥AB，
∴∠AEN=90°，
∴∠EAN+∠ANE=90°，
∵FM是的切线，
∴OM⊥GF，
∴∠EMF=90°，
∴∠EMA+∠AMF=90°，
∵OM=OA，
∴∠EMA=∠EAM，
∴∠ANE=∠AMF，
∵∠ANE=∠FNM，
∴∠AMF=∠FNM，
∴FN=FM.
（2）解：连接OM、DM，如图所示：
∵AC∥FC，
∴∠ACN=∠F，
∵
∴∠ACN=∠AMD，
∴∠F=∠AMD，
∵∠MND=∠MNF，
∴△MND∽△FNM（AA），
∴，
∴MN2=FN·ND，
由（1）可知，FN=FM，
∵，，
∴FN=6，ND=FN-FD=2，
∴MN==，
答：MN的长为.
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，由垂直可得∠EAN+∠ANE=90°，根据切线的性质可得∠EMA+∠AMF=90°，
由此可得∠ANE=∠AMF，再结合等边对等角和对顶角相等即可得出∠AMF=∠FNM，进而即可得出答案；
（2）连接，根据平行线的性质可得∠ACN=∠F，根据等弧所对圆周角相等可得∠ACN=∠AMD，可推出∠F=∠AMD，可证得△MND∽△FNM，再根据相似三角形的性质可得MN2=FN·ND，结合（1）中的结论，即可得出答案.
（1）证明：连接，如图，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．（2025·祁阳模拟）“城是济南城，湖是大明湖，楼是超然楼”是网友为超然楼写的广告词．随旅游旺季的到来，大明湖超然楼景区的游客人数逐月增加，4月份游客人数约为16万人次，6月份游客人数约为25万人次．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）若增长率保持不变，请求出7月份的游客人数．
【答案】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率是x，
根据题意可列方程为：16（1+x）2=25，
解得：x=0.25或x=-2.25（不符合题意，故舍去），
∴0.25=25%，
答： 这两个月中该景区游客人数的月平均增长率是25%.
（2）解：根据题意可知，7月份的游客人数=25×（1+25%）=25×1.25=31.25万人，
答：7月份的游客人数是31.25万人.
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据4月份和6月份的游客人数列出一元二次方程，求解即可得出答案；
（2）由（1）可知月增长率，据此列式计算即可得出答案.
（1）解：设月平均增长率为x
由题意可得
解得，（不合题意，舍去）
答：这两个月平均增长率为．
（2）（万人）
答：7月份的游客人数为31.25万人．
24．（2025·祁阳模拟）如图，在四边形中，E是的中点，，交于点F，，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：∵DF=FB，
∴点F是BD的中点，
∵点E是AB的中点，
∴EF是△ADB的中点，
∴EF∥AD.
（2）解：∵∠EFB=90°，
∴∠CFB=90°，
∵tan∠FEB=3，EF=1，
∴BF=EF·tan∠EFB=3，
，∵EF是△ADB的中位线，
∴AD=2EF=2，
∵EF∥AD，AF∥DC，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∴CF=AD=2，
∴在Rt△BFC中，由勾股定理可得，BC==．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）由DF=FB可得点F是BD的中点，结合点E是AB的中点，可知EF是三角形中位线，再根据三角形中位线的定理即可得出答案；
（2）由∠EFB=90°可得∠CFB=90°，根据角的正切值可得BF=3，由三角形中位线定理可得AD=2，由EF∥AD，AF∥DC可证明四边形为平行四边形，得到，再利用勾股定理求解即可得出答案．
（1）证明：∵E是的中点，
，
，
是的中位线，
；
（2）解：是的中位线，
，
，
，
在中，，
，
，，
∴四边形是平行四边形，
，
在中， ．
25．（2025·祁阳模拟）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为．
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为M．与直线l交于点N，当点N是线段的三等分点时，求点P的坐标．
【答案】（1）解：，，直线的函数表达式为：；
理由：∵ 抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），
令y=0，得：，
解得：x1=-2，x2=6，
∴，，
∵ 直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为，
设直线的函数表达式为：，
将点A、点D的坐标，得：
，
解得： ，
∴直线的函数表达式为：.
（2）解：如图：
∵ 点P是抛物线上的点，与直线l交于点N，当点N是线段的三等分点时，
∴，M（m，0），，，
可以根据点N得位置，分为以下两种情况分析：
①当时，得，
整理得：
解得：，（舍去），
当时，，
点的坐标为；
②当时，得，
整理得：，
解得：，（舍去），
当时，，
点的坐标为
综上所述：当点是线段的三等分点时，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）令，求解可得两点的坐标，设直线的函数表达式为：，将点的坐标代入一次函数解析式即可得出答案；
（2）根据题意画出图形，分别表示点三点的坐标和的长度，再根据点P的位置分两种情况讨论即可得到答案．
（1）解：令
，，
设直线的函数表达式为：，
把代入得：
，
解得： ，
直线的函数表达式为：．
（2）解：解：如图，根据题意可知，点与点的坐标分别为
，．
，
，
，
分两种情况：
①当时，得．
解得：，（舍去），
当时，．
点的坐标为；
②当时，得．
解得：，（舍去），
当时，，
点的坐标为．
当点是线段的三等分点时，点的坐标为或．
26．（2025·祁阳模拟）如图，点C是以为直径的半圆O上的动点，连结，作圆心O关于的对称点，射线交半圆O于点D，连结，与交于点E．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求的值；
（3）当，时，求的面积．
【答案】（1）证明：如图所示，连接，
∵圆心O与点关于对称，
∴垂直平分，
∴，∠O'AC=∠OAC，
∵为直径，
∴，
∴OC=OA=OB=AB，BC⊥AC，
∴OC=O'A，∠OAC=∠ACO，
∴∠O'AC=∠ACO，
∴AO'∥OC，
∵，
∴，
∴四边形O'AOC是平行四边形，
∴O'C=AO，O'C∥AO，
∴O'C=OB，
∴四边形为平行四边形.
（2）解：如图所示，连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
设BD=3a，AD=4a，
在Rt△ADB中，由勾股定理可得，，
∴在Rt△ACB中，OC=AB=a，
∴O'A=a，O'D=AD-O'A=a，
∵AO'∥OC，
∴△O'ED∽△CEO，
∴.
（3）解：①当点O'在线段AD上时，延长AD、BC相交于点N，作CM⊥BD于点M，则CM∥BD，如图所示：
∵OA=5，O'D=2，
∴AB=10，AD=AO'+O'D=AO+O'D=7，
∴在Rt△ADB中，由勾股定理可得，BD==，
∵∠BAC=∠NAC，AC=AC，∠ACB=∠ACN=90°，
∴△ACB≌△ACN（ASA），
∴BC=NC，
∵CM∥BD，
∴CM是△BDN的中位线，
∴CM=BD=，
∴S△O'DC=O'D·CM=×2×=；
②当点O'在线段AD的延长线上时，延长AD、BC相交于点N，作CM⊥BD于点M，则CM∥BD，如图所示：
∵AD=AO'-O'D=3，
∴在Rt△ADB中，由勾股定理可得，BD==，
∴CM=BD=，
∴S△O'DC=O'D·CM=×2×=，
综上所述，的面积为或．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由轴对称的性质可得垂直平分，由圆周角定理可得OC=OA=OB=AB，BC⊥AC，进而得出AO'∥OC，，可求证四边形O'AOC是平行四边形，由平行四边形的性质可得O'C=AO，O'C∥AO，故O'C=OB，即可得出结论 ；
（2）连接BD，设BD=3a，AD=4a，则AB=5a，由直角三角形的性质可得O'A=OC=a，O'D=a，再由平行线可得△O'ED∽△CEO，根据相似三角形的性质即可得出答案；
（3）分①当点O'在线段AD上时和当点O'在线段AD的延长线上时两种情况，画出图形求解即可得出答案.
（1）证明：连接，如图，
∵圆心O与点关于对称，
∴垂直平分，
∴，
∴．
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴平分，
∴与互相平分，
∴四边形为平行四边形，
∴，．
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：连接，如图，
∵为直径，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
由（1）知：，四边形为平行四边形，
∴，．
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴；
（3）解：过点D作于点F，交于点H，如图，
∵，，
∴，，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
当点在线段的延长线上时，
延长交于点N，过点C作于点M，连接，如图，
∵，圆心O关于的对称点，
∴，
∴，
∴．
由（1）知：四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
综上，的面积为或．
1 / 1湖南省祁阳市潘市红军学校2025年中考第一次模拟考试数学试卷
一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（2025·祁阳模拟）在，，，，，各数中，负数的个数是（　　）
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
2．（2025·祁阳模拟）“九章三号”是中国科学家构建的光量子计算原型机，它在内所处理的最高复杂样本，需要当前最快的超级计算机超过200亿年才能完成.将用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·祁阳模拟）在第46个植树节来临之际，某校师生积极践行“绿水青山就是金山银山”理念，开展以小组为单位的植树活动，七个小组植树情况如下：
第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 第七组
数量（棵） 5 6 5 4 6 5 7
则本组数据的众数与中位数分别为（　　）
A．5，4 B．5，5 C．6，4 D．6，5
4．（2025·祁阳模拟）当时，下列式子有意义的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·祁阳模拟）关于的一元二次方程方程的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．两个相等的实数根
C．没有实数 D．无法判定
6．（2025·祁阳模拟）如图，是的直径，，是上的两点．若，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·祁阳模拟）如图，在中，，设，，所对的边分别为a，b，c，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·祁阳模拟）某药店购进A，B两种的口罩，其中A种口罩的单价比B种口罩的单价低元．已知该店主购进A种口罩用了920元，购进B种口罩用了500元，且所购进的A种口罩的数量比B种口罩多20个．设药店购进A种款式的口罩x个，则所列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·祁阳模拟）已知点A在反比例函数第一象限的图像上，、在x轴上，则下列说法中正确的是（　　）
①满足△ABC面积为4的点A有且只有一个
②满足△ABC是直角三角形的点A有且只有一个
③满足△ABC是等腰三角形的点A有且只有一个
④满足△ABC是等边三角形的点A有且只有一个
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
10．（2025·祁阳模拟）如图，点E是的内心，的延长线和的外接圆相交于点D，与相交于点G，则下列结论：①；②若点G为的中点，则；③连接，若，则；④．其中一定正确的个数是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）
11．（2025·祁阳模拟）分解因式：　 　．
12．（2025·祁阳模拟）计算：　 　．
13．（2025·祁阳模拟）如图，已知，则的度数为　 　．
14．（2025·祁阳模拟）一个扇形的弧长为，面积为，则这个扇形的半径为　 　．
15．（2025·祁阳模拟）将二次函数y=2x2﹣1的图象沿y轴向上平移2个单位，所得图象对应的函数表达式为　 　．
16．（2025·祁阳模拟）小志和小强进行了十次剪刀石头布的对决，已知：①小志出了6次石头，1次剪刀，3次布：②小强出了4次石头，3次剪刀，3次布：③10次对决中没有平局；④你不知道他们的出拳顺序，则这十次对决中小志赢了　 　次．
17．（2025·祁阳模拟）如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点B，C重合），连接，点E，F分别在线段，的延长线上，且，点A与点F关于过点D的某条直线对称，从B运动到C的过程中，周长的变化规律是　 　．
18．（2025·祁阳模拟）如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为（-1，2）、（1，1）．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于C、D两点，点C在点D左侧，当顶点在线段AB上移动时，点C横坐标的最小值为-2．在抛物线移动过程中，a-b+c的最小值是　 　．
三、解答题（共9小题，满分72分）
19．（2025·祁阳模拟）计算： ．
20．（2025·祁阳模拟）解不等式组．
请结合题意填空，完成本题的解答．
（1）解不等式①，得_______；
（2）解不等式②，得_______；
（3）把不等式①和②的解集在数轴上分别表示出来．
21．（2025·祁阳模拟）去年7月28日至8月8日在成都举行的世界大学生夏季运动会再次引发了成都市的校园运动热潮．我校在准备体育运动节期间在全校范围内邀请学生参加以下四项活动：A（足球），B（篮球），C（羽毛球），D（乒乓球）．为了解学生对这四项活动的参与意愿，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，通过分析整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求参与调查的学生中，愿意参加篮球活动的学生人数，并补全条形统计图；
（2）若该校共有1000名学生，请你估计该校愿意参加羽手球活动的学生人数；
（3）若从参与调查的2名男生和2名女生中随机抽取2名学生，进行四项活动体验，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
22．（2025·祁阳模拟）如图，是的直径，弦于点E，过延长线上一点F作的切线交的延长线于点G，切点为M，连接交于点N．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
23．（2025·祁阳模拟）“城是济南城，湖是大明湖，楼是超然楼”是网友为超然楼写的广告词．随旅游旺季的到来，大明湖超然楼景区的游客人数逐月增加，4月份游客人数约为16万人次，6月份游客人数约为25万人次．
（1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
（2）若增长率保持不变，请求出7月份的游客人数．
24．（2025·祁阳模拟）如图，在四边形中，E是的中点，，交于点F，，．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
25．（2025·祁阳模拟）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为．
（1）请直接写出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式；
（2）若点P是抛物线上的点，点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为M．与直线l交于点N，当点N是线段的三等分点时，求点P的坐标．
26．（2025·祁阳模拟）如图，点C是以为直径的半圆O上的动点，连结，作圆心O关于的对称点，射线交半圆O于点D，连结，与交于点E．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）若，求的值；
（3）当，时，求的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的乘方法则；有理数的分类；化简多重符号有理数；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：∵，，，既不是正数，也不是负数；，
∴ 、 、， 是负数，
∴负数个数为4个，
故答案为：C．
【分析】先将个数进行化简，再根据负数概念逐个进行判断即可.
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|≤9，n由原数左边起第一个不为0的数字前面的“0”的个数决定，据此即可求解.
3．【答案】B
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：∵植树为5棵的小组有3个，小组数最多，
∴众数为5；
把植树数量从低到高排列，处在最中间的植树数量为5棵，
∴中位数为5，
故答案为：B．
【分析】众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做众数，(众数可能有多个)；中位数：将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此求解即可.
4．【答案】B
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：A、∵当时，分式的分母，
∴分式无意义，故A错误；
B、∵当时，分式的分母，
∴分式有意义，故B正确；
C、∵当时，二次根式的被开方数，
∴二次根式无意义，故C错误；
D、∵当时，分式的分子的被开方数，
∴此分式无意义，故D错误；
故答案为：B．
【分析】根据分式有意义的条件：分母≠0和二次根式有意义的条件：被开方数≥0，逐项进行分析判断即可得出答案．
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于的一元二次方程方程，
∴，
∴方程有两个不相等的实数根，
故答案为：A．
【分析】根据一元二次方程根的判别式：①当时，方程有两个不相等的实数根，②当时，方程有两个相等的实数根，③当时，方程没有实数根，据此即可求解.
6．【答案】B
【知识点】角的运算；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AD，如图所示：
∵∠ADC是的圆周角，∠AOC是的圆心角，且，
∴∠ADC=∠AOC=20°，
∵是的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=∠ADC+∠ADB=110°，
故答案为：B．
【分析】连接AD，由圆周角定理，得∠ADC=∠AOC=20°，∠ADB=90°，再根据∠CDB=∠ADC+∠ADB即可求出∠CDB的度数．
7．【答案】B
【知识点】解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵ 在中，，，，所对的边分别为a，b，c，
∴，cosB=，，
∴，故A错误，B正确，
，故C错误，
a=cosB，故D错误，
故答案为：B．
【分析】根据三角函数的定义逐项进行分析判断即可得出答案.
8．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，可列方程为，
故答案为：C．
【分析】根据得到A种口罩的单价与B种口罩的单价，然后根据A种口罩的单价比B种口罩的单价低元即可列出方程.
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；圆与函数的综合
【解析】【解答】解：∵ 点A在反比例函数第一象限的图像上，设点A(x，)（x＞0），
∴ ，，BC=4，
①，
即=4，
解得：x=3，
∴满足△ABC面积为4的点A只有一个，故①正确；
②∵点A在第一象限，
∴∠B≠90°，
当∠CAB=90°时，，
∴，
即（x2-2）2+32=0，
∴此方程无解，舍去，
当∠ACB=90°时， ，
∴ ．
解得∶x=2，
∴点A(2，3)，
综上可得，满足△ABC是直角三角形的点A有且只有一个，故②正确；
③∵点A在第一象限，点B在x轴的负半轴，
∴CA≠AB，
当BC=AC时，
∵当x=2时，y=3，
∴当以点C为圆心、BC=4为半径画圆，与反比例函数图象会有两个交点，
同理，当BC=AB时，以点B为圆心、BC=4为半径画圆，与反比例函数图象会有两个交点，故③错误；
④∵点A在第一象限，
∴AC≠AB，
∴△ABC不可能为等边三角形，故④错误；
综上所述，正确的序号有①②，
故答案为∶B．
【分析】 点A在反比例函数第一象限的图像上，设点A(x，)（x＞0），则BC=4， ，，①由△ABC的面积公式求得点A的坐标个数；②根据题意可知∠C≠90°，然后分∠ABC=90°，∠CAB=90°两种情况讨论；③根据题意可知CA≠AB，然后分BC=AC、BC=BA两种情况讨论；④由点A在第一象限和等边三角形的性质得知
△ABC不可能为等边三角形
10．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：①∵点是的内心，
∴平分，
∴，故①正确；
②如图，设外接圆圆心为，连接，
∴垂直平分，
∵点为的中点，
∴点为与的交点，
∴，故②正确；
③∵，
∴，
∵点是的内心，
∴平分，平分，
∴，，
∴，故③错误；
④∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，故④正确，
综上所述，正确的个数有3个，
故答案为：B．
【分析】根据三角形内心的性质可判断①正确；设外接圆圆心为，连接，根据三角形外心的性质得到垂直平分，从而得，即可判断②正确；利用三角形内角和定理求出，结合三角形内心的性质得到，即可判断③错误；根据圆周角定理得到，，结合三角形的外角性质得到，最后根据等腰三角形的判定得到，即可判断④正确.
11．【答案】
【知识点】公因式的概念；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】利用提取公因式法进行因式分解即可.
12．【答案】4
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：原式
故答案为：．
【分析】根据二次根式的乘除法则进行计算即可得出答案．
13．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】根据三角形外角的性质得到的度数，然后根据两直线平行，内错角相等即可得到答案.
14．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设这个扇形的半径为，根据扇形面积公式可得：12π=×2πr，
解得：r=12，
故答案为：．
【分析】根据扇形的面积公式（其中为扇形的弧长，为扇形的半径）进行计算即可得出答案．
15．【答案】y=2x2+1
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵二次函数y=2x2﹣1的图象沿y轴向上平移2个单位，
∴所得图象对应的函数表达式为：y=2x2﹣1+2=2x2+1．
故答案为：y=2x2+1．
【分析】利用二次函数与几何变换规律“上加下减”，进而求出图象对应的函数表达式．
16．【答案】6
【知识点】推理与论证
【解析】【解答】解：∵10次对决中没有平局，
∴小志6次石头只能对应小强的3次剪刀3次布，
∴这6局中小志赢3局，
同理，小志1次剪刀，3次布只能对应小强4次石头，
∴这4局中小志赢3局，
∴小志共赢了局．
故答案为：6。
【分析】根据题干中的已知条件，可知10次对决中没有平局，而小志6次石头只能对应小强的3次剪刀3次布，6局中小志赢3局；小志1次剪刀，3次布只能对应小强4次石头，这4局中小志赢3局，据此可求出小志赢的局数。
17．【答案】先变小后变大
【知识点】三角形外角的概念及性质；等边三角形的性质；轴对称的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC60°，AB=BC=AC，
∴∠DBE=∠FCD=180°-60°=120°，
∵点A与点F关于过点D的某条直线对称，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵∠BAC=∠DAE+∠DAF，∠ABC=∠DEA+∠EDB，
∴∠DAF=∠EDB，
∴∠EDB=∠DFA，
在△DBE和△FCD中，
，
∴△DBE≌△FCD（AAS），
∴，，
∴周长，
∵点D在边上从B至C的运动过程中，的长先变小后变大，
∴周长的变化规律是先变小后变大，
故答案为：先变小后变大．
【分析】根据等边三角形和轴对称的性质可得：∠DBE=∠FCD，，∠EDB=∠DFA，进而可证△DBE≌△FCD（AAS），由全等三角形的性质可得，，由此可得周长，根据AD的变化规律即可得出答案.
18．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数-动态几何问题
【解析】【解答】解：∵当顶点在线段上移动时，点横坐标的最小值为，
∴此时顶点在，，
∴抛物线的表达式为，
将代入表达式，得，
解得：，
∵当顶点在时，的值最小，
∴抛物线表达式为，
∴当时，，
故答案为：.
【分析】先得到点横坐标最小时，顶点在点，利用顶点式以及点坐标求出，然后根据当顶点在点时，的值最小，利用顶点式以及点坐标求出抛物线表达式，最后将代入表达式即可求解.
19．【答案】解：原式=9+（2-）+3+6×
=9+2-+3+（-8）
=.
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】根据实数混合运算的法则进行计算即可．
20．【答案】（1）
（2）
（3）解： 把不等式①和②的解集在数轴上分别表示为：
.
∴不等式组的解集为：.
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：（1），
移项，得：，
合并同类型，得：，
系数化为1，得：，
故答案为：；
（2），
系数化为1，得：，
故答案为：；
【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤：移项、合并同类项、系数化为1，即可得出答案；
（2）根据不等式的性质解不等式即可得出答案；
（3）将不等式的解集在数轴上表示出来，即可得出答案．
（1）解：，
，
，
解得：，
故答案为：；
（2）解：，
解得：，
故答案为：；
（3）解：由上可得，不等式组的解集为：，
∴数轴表示为：
21．【答案】（1）解：根据题意，得参与调查的学生总人数为：（人），
∴愿意参加篮球活动的学生人数为：（人），
∴补全条形统计图如下：

（2）解：∵（人），
∴估计该校愿意参加羽手球活动的学生人数为人；
（3）解：画树状图如下：
∴所有的等可能结果有12种，其中抽取的两名学生为1名男生和1名女生的结果共有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】（1）先用愿意参加足球球活动的学生人数除以其对应的百分比求出参与调查的学生总人数，从而用总人数减去已知项目的人数即可得到愿意参加篮球活动的学生人数，进而补全条形统计图即可；
（2）利用样本估计总体，用1000乘以愿意参加羽手球活动的学生人数的百分比，即可估计该校愿意参加羽手球活动的学生人数；
（3）画树状图得出所有的等可能结果数，从而得到抽取的两名学生为1名男生和1名女生的结果数，进而利用概率公式即可得出所求概率．
（1）解：参与调查的学生总数为（人），
∴愿意参加篮球活动的学生人数为（人），
补全条形统计图如下：
（2）（人），
答：估计该校愿意参加羽手球活动的学生人数为人；
（3）画树状图如下：
可知所有等可能的情况12种，其中抽取的两名学生为1名男生和1名女生共有8种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
答：恰好抽到1名男生和1名女生的概率为．
22．【答案】（1）证明：连接OM，如图所示：
∵CD⊥AB，
∴∠AEN=90°，
∴∠EAN+∠ANE=90°，
∵FM是的切线，
∴OM⊥GF，
∴∠EMF=90°，
∴∠EMA+∠AMF=90°，
∵OM=OA，
∴∠EMA=∠EAM，
∴∠ANE=∠AMF，
∵∠ANE=∠FNM，
∴∠AMF=∠FNM，
∴FN=FM.
（2）解：连接OM、DM，如图所示：
∵AC∥FC，
∴∠ACN=∠F，
∵
∴∠ACN=∠AMD，
∴∠F=∠AMD，
∵∠MND=∠MNF，
∴△MND∽△FNM（AA），
∴，
∴MN2=FN·ND，
由（1）可知，FN=FM，
∵，，
∴FN=6，ND=FN-FD=2，
∴MN==，
答：MN的长为.
【知识点】等腰三角形的判定；圆周角定理；切线的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，由垂直可得∠EAN+∠ANE=90°，根据切线的性质可得∠EMA+∠AMF=90°，
由此可得∠ANE=∠AMF，再结合等边对等角和对顶角相等即可得出∠AMF=∠FNM，进而即可得出答案；
（2）连接，根据平行线的性质可得∠ACN=∠F，根据等弧所对圆周角相等可得∠ACN=∠AMD，可推出∠F=∠AMD，可证得△MND∽△FNM，再根据相似三角形的性质可得MN2=FN·ND，结合（1）中的结论，即可得出答案.
（1）证明：连接，如图，
∵为的切线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，，如图，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率是x，
根据题意可列方程为：16（1+x）2=25，
解得：x=0.25或x=-2.25（不符合题意，故舍去），
∴0.25=25%，
答： 这两个月中该景区游客人数的月平均增长率是25%.
（2）解：根据题意可知，7月份的游客人数=25×（1+25%）=25×1.25=31.25万人，
答：7月份的游客人数是31.25万人.
【知识点】有理数混合运算的实际应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据4月份和6月份的游客人数列出一元二次方程，求解即可得出答案；
（2）由（1）可知月增长率，据此列式计算即可得出答案.
（1）解：设月平均增长率为x
由题意可得
解得，（不合题意，舍去）
答：这两个月平均增长率为．
（2）（万人）
答：7月份的游客人数为31.25万人．
24．【答案】（1）证明：∵DF=FB，
∴点F是BD的中点，
∵点E是AB的中点，
∴EF是△ADB的中点，
∴EF∥AD.
（2）解：∵∠EFB=90°，
∴∠CFB=90°，
∵tan∠FEB=3，EF=1，
∴BF=EF·tan∠EFB=3，
，∵EF是△ADB的中位线，
∴AD=2EF=2，
∵EF∥AD，AF∥DC，
∴四边形AFCD是平行四边形，
∴CF=AD=2，
∴在Rt△BFC中，由勾股定理可得，BC==．
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；平行四边形的判定；三角形的中位线定理；已知正切值求边长
【解析】【分析】（1）由DF=FB可得点F是BD的中点，结合点E是AB的中点，可知EF是三角形中位线，再根据三角形中位线的定理即可得出答案；
（2）由∠EFB=90°可得∠CFB=90°，根据角的正切值可得BF=3，由三角形中位线定理可得AD=2，由EF∥AD，AF∥DC可证明四边形为平行四边形，得到，再利用勾股定理求解即可得出答案．
（1）证明：∵E是的中点，
，
，
是的中位线，
；
（2）解：是的中位线，
，
，
，
在中，，
，
，，
∴四边形是平行四边形，
，
在中， ．
25．【答案】（1）解：，，直线的函数表达式为：；
理由：∵ 抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），
令y=0，得：，
解得：x1=-2，x2=6，
∴，，
∵ 直线l与抛物线交于A，D两点，与y轴交于点E，点D的坐标为，
设直线的函数表达式为：，
将点A、点D的坐标，得：
，
解得： ，
∴直线的函数表达式为：.
（2）解：如图：
∵ 点P是抛物线上的点，与直线l交于点N，当点N是线段的三等分点时，
∴，M（m，0），，，
可以根据点N得位置，分为以下两种情况分析：
①当时，得，
整理得：
解得：，（舍去），
当时，，
点的坐标为；
②当时，得，
整理得：，
解得：，（舍去），
当时，，
点的坐标为
综上所述：当点是线段的三等分点时，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；坐标系中的两点距离公式；二次函数-线段定值（及比值）的存在性问题
【解析】【分析】（1）令，求解可得两点的坐标，设直线的函数表达式为：，将点的坐标代入一次函数解析式即可得出答案；
（2）根据题意画出图形，分别表示点三点的坐标和的长度，再根据点P的位置分两种情况讨论即可得到答案．
（1）解：令
，，
设直线的函数表达式为：，
把代入得：
，
解得： ，
直线的函数表达式为：．
（2）解：解：如图，根据题意可知，点与点的坐标分别为
，．
，
，
，
分两种情况：
①当时，得．
解得：，（舍去），
当时，．
点的坐标为；
②当时，得．
解得：，（舍去），
当时，，
点的坐标为．
当点是线段的三等分点时，点的坐标为或．
26．【答案】（1）证明：如图所示，连接，
∵圆心O与点关于对称，
∴垂直平分，
∴，∠O'AC=∠OAC，
∵为直径，
∴，
∴OC=OA=OB=AB，BC⊥AC，
∴OC=O'A，∠OAC=∠ACO，
∴∠O'AC=∠ACO，
∴AO'∥OC，
∵，
∴，
∴四边形O'AOC是平行四边形，
∴O'C=AO，O'C∥AO，
∴O'C=OB，
∴四边形为平行四边形.
（2）解：如图所示，连接，
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
设BD=3a，AD=4a，
在Rt△ADB中，由勾股定理可得，，
∴在Rt△ACB中，OC=AB=a，
∴O'A=a，O'D=AD-O'A=a，
∵AO'∥OC，
∴△O'ED∽△CEO，
∴.
（3）解：①当点O'在线段AD上时，延长AD、BC相交于点N，作CM⊥BD于点M，则CM∥BD，如图所示：
∵OA=5，O'D=2，
∴AB=10，AD=AO'+O'D=AO+O'D=7，
∴在Rt△ADB中，由勾股定理可得，BD==，
∵∠BAC=∠NAC，AC=AC，∠ACB=∠ACN=90°，
∴△ACB≌△ACN（ASA），
∴BC=NC，
∵CM∥BD，
∴CM是△BDN的中位线，
∴CM=BD=，
∴S△O'DC=O'D·CM=×2×=；
②当点O'在线段AD的延长线上时，延长AD、BC相交于点N，作CM⊥BD于点M，则CM∥BD，如图所示：
∵AD=AO'-O'D=3，
∴在Rt△ADB中，由勾股定理可得，BD==，
∴CM=BD=，
∴S△O'DC=O'D·CM=×2×=，
综上所述，的面积为或．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）由轴对称的性质可得垂直平分，由圆周角定理可得OC=OA=OB=AB，BC⊥AC，进而得出AO'∥OC，，可求证四边形O'AOC是平行四边形，由平行四边形的性质可得O'C=AO，O'C∥AO，故O'C=OB，即可得出结论 ；
（2）连接BD，设BD=3a，AD=4a，则AB=5a，由直角三角形的性质可得O'A=OC=a，O'D=a，再由平行线可得△O'ED∽△CEO，根据相似三角形的性质即可得出答案；
（3）分①当点O'在线段AD上时和当点O'在线段AD的延长线上时两种情况，画出图形求解即可得出答案.
（1）证明：连接，如图，
∵圆心O与点关于对称，
∴垂直平分，
∴，
∴．
∵为直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴
∵，
∴
∴平分，
∴与互相平分，
∴四边形为平行四边形，
∴，．
∵，
∴，
∴四边形为平行四边形；
（2）解：连接，如图，
∵为直径，
∴，
∵，，
∴，
设，则，
∴，
∴，
由（1）知：，四边形为平行四边形，
∴，．
∴，
∴，
∴，
∴．
∴．
∴；
（3）解：过点D作于点F，交于点H，如图，
∵，，
∴，，
设，则，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
当点在线段的延长线上时，
延长交于点N，过点C作于点M，连接，如图，
∵，圆心O关于的对称点，
∴，
∴，
∴．
由（1）知：四边形为平行四边形，
∴，，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵为圆的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的面积．
综上，的面积为或．
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