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湖北省武汉市2025年中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1．（2025·武汉模拟）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【分析】
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2．（2025·武汉模拟）成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（　　）
A．画饼充饥 B．不期而遇 C．水涨船高 D．水中捞月
【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A．画饼充饥是不可能事件；
B．不期而遇时随机事件；
C．水涨船高时必然事件；
D．水中捞月是不可能事件；
故选B．
【分析】不可能事件是指在一定条件下不可能发生的事件，是必然事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（2025·武汉模拟）如图是一个由8个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：A．
【分析】
主视图即找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在主视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．
4．（2025·武汉模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：，故A错误，不符合题意；
，故B正确，符合题意；
，故C错误，不符合题意；
，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据整式的相关运算法则逐项判断即可.
5．（2025·武汉模拟）为传承中华优秀传统文化，交流展示闽粤赣三省四地“大客家”文化生态保护区建设成果及广龙、厦龙合作和两岸融合发展成果，根据市政府安排，“龙行天‘非’同寻常”闽粤赣客家文化生态保护区建设成果交流展示活动于2024年9月14日至16日在龙岩中心城区举行，其中9月14日“龙行天下”大型游龙活动吸引来了本地外地游客累计500000人.500000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为；
故选：A．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
6．（2025·武汉模拟）1687年，牛顿通过观察苹果落地的现象，发现任何物体之间都有相互吸引力，从而提出万有引力定律，下面的哪一幅图可以大致刻画出苹果整个下落过程中（即落地前）的速度变化情况（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：苹果从树上落下来，基本是自由落体运动，
即，g为定值，故v与t成正比例函数，v随t的增大而增大．
符合条件的只有选项B．
故选：B．
【分析】本题主要考查了利用函数的图象解决实际问题，由苹果从树上落下来，基本是自由落体运动，根据自由落体运动速度与事件的关系，得到，进行分析判定，即可得到答案．
7．（2025·武汉模拟）如图，是的角平分线，交BC于点E，垂足为F，连接DE．若，，则的度数为（　　）
A．75° B．80° C．85° D．90°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵∠ABC=35°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-35°-50°=95°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABF=∠EBF，
∵BD⊥AE，
∴∠AFB=∠EFB=90°，
∴∠BAF=∠BEF，
∴AB=BE，
在△BDA和△BDE中，
∵AB=AE，∠ABD=∠EBD，BD=BD，
∴△BDA≌△BDE（SAS），
∴∠BED=∠BAD=95°，
∴∠CED=180°-95°=85°．
故选：C
【分析】
先利用三角形内角和定理求出∠BAC=95°，再利用角平分线的概念结合等角的余角相等可得∠BAF=∠BEF，再由等角对等边可得AB=EB，再利用SAS可证明△BDA≌△BDE，再由全等的性质可得∠BED=∠BAD即可．
8．（2025·武汉模拟）如图，四张卡片除正面标有的数字不同外，其余完全相同，将四张卡片背面朝上，事件“从A，B，C三张卡片中先抽取一张记下数字后放回，洗匀后再抽取一张记下数字，两张卡片数字之和为正数”的概率为，事件“从A，B，C，D四张卡片中抽取一张，卡片数字为奇数”的概率为，则与的大小关系为（　　）
A． B． C． D．无法确定
【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
1 0
1 2 1
0 1 0
共有9种等可能的结果，其中抽取的两张卡片数字之和为正数，共有3种情况，
∴，
从四张卡片中抽取一张，其中抽取的卡片数字为奇数，共有2种情况，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】两步试验可用列表法或树状图法求概率，列表时注意对角线栏目上是否填写数据，画树状图时注意不重复不遗漏．
9．（2025·武汉模拟）如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为，
故选：C．
【分析】
的度即圆心角的度数，故可分别连接，由等边对等角结合三角形内角和可依次得，，，再根据周角的概念求解即可．
10．（2025·武汉模拟）如图，，，，…，都是斜边在轴上的等腰直角三角形，直角顶点，，，…，都在反比例函数（）的图象上，则（为正整数）的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线；探索规律-函数图象与几何图形的规律
【解析】【解答】解：过作轴于，如图，
是等腰直角三角形，
是的中点，且，
设，则，代入反比例函数解析式，
得，
解得，
，
，
同理，过作轴于，则是的中点，，
设，则，代入反比例函数解析式，
得，
解得，（负值已经舍去）
，
同理可得，……，，
，
故选：A．
【分析】
如图，
过作轴于，由等腰直角三角形的性质可知是的中点，且，则，；同理，过作轴于，则是的中点，，
设，则，代入反比例函数解析式，可得，
则，同理可得、．
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．（2025·武汉模拟）2023年深圳市生产总值同比增，记作，而尼日利亚国内生产总值同比下滑，应记作　 　．
【答案】
【知识点】正数、负数的实际应用；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：2023年深圳市生产总值同比增，记作，而尼日利亚国内生产总值同比下滑，应记作，
故答案为：．
【分析】
正负数是一对具有相反意义的量，若同比增长用“”，那么同比下滑就用“”表示．
12．（2025·武汉模拟）函数中，在每个象限内，y随x的增大而　 　．
【答案】增大
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵函数中，，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
【分析】对于反比例函数，当时，图象在每一象限内，y随x增大而减小，当时，图象在每一象限内，y随x增大而增大．
13．（2025·武汉模拟）方程的解是．
【答案】解：，
两边同时乘以，得
，即，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】解分式方程．先去分母化分式方程为整式方程，再解整式方程，再验根，最后再根据验根的结果写根．
14．（2025·武汉模拟）视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与　 　所成的角叫做仰角．
【答案】水平线
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角．
故答案为：水平线．
【分析】在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角.
15．（2025·武汉模拟）抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：
①；②；③（为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为，其中正确的是　 　．
【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由函数图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴交于负半轴，
，，，
，
，①结论正确；
由函数图象可知，当时，，
，
，
，②结论正确；
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，有最大值；
当时，，
，
，
，
，
，③结论错误；
和点满足，
和点关于对称轴直线对称，
，
，，
，
，，
，④结论正确，
故答案为：①②④
【分析】观察函数图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴交于负半轴，得到，，，可判断①结论；由函数图象可知，当时，，可判断②结论；根据当时，有最大值，可判断③结论；根据和点关于对称轴直线对称，可判断④结论．
三、解答题
16．（2025·武汉模拟）解不等式组，并写出它的整数解．
【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴它的整数解为，，0，1．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别求解两个不等式，再利用口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集，然后求出符合条件的整数解即可．
17．（2025·武汉模拟）约公元263年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理．如图，边长为的正方形的边在边长为的正方形的边上．边长为的正方形的顶点在上．试对验证方法加以说明．
【答案】证明：正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，
，，，
在和中，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
作于，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
正方形的面积正方形的面积正方形的面积，
，
在中，斜边，直角边，，
即证明了勾股定理
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】如图所示：
根据正方形的性质可证明，则，再证，作于，可证，则有，，则可得，再利用割补法可得，再结合中，斜边，直角边，即可．
18．（2025·武汉模拟）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF，求证：
（1）△ADE≌△CDF；
（2）四边形ABCD是菱形．
【答案】证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠AED=∠CFD=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C．
在△AED和△CFD中：∵，
∴△AED≌△CFD（AAS）．
（2）∵△AED≌△CFD
∴AD=CD．
∵四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对角相等可得∠A=∠C，再利用垂直的概念结合已知可利用AAS判定结论成立；
（2）先由全等的性质得DA=DC，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可．
19．（2025·武汉模拟）某校对参加绘画、书法、舞蹈、乐器这四个社团的人员分布情况进行了抽样调查，并根据抽样调查的数据绘制了两幅统计图．如果该校共有名学生参加了这个社团活动，按照抽样统计各社团所占百分比推算，全校参加舞蹈社团的一共约有多少人？
【答案】解：由条形统计图可知：参加绘画社团的人数是人，由扇形统计图可知：参加绘画社团的人数占，
∴此次抽样调查的总人数为：（人），
∴参加舞蹈社团所占的百分比为：，
∴全校参加舞蹈社团的一共有：（人），
答：参加舞蹈社团的一共约人
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】观察条形统计图及扇形统计图，可利用绘画人数及占比得总人数为（人），然后用乘以舞蹈社团人数所占百分比即可．
20．（2025·武汉模拟）如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．点在的延长线上，且．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
即，
，
，
，
，
，
，
即，
是的直径，
是的切线
（2）解：过点作于点，
在中，，，
，，
，，
，
在中，，，
，，
，
，
，
即，
解得，
经检验是原方程的解，
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）由于直径所对的圆周角是直角，则连接AE可得，再利用等腰三角形三线合一可得AE平分，再结合已知可得，再等量代换可得即可；
（2）过点作于点，先根据解直角三角形ABE可得BE的长，即BC可知，同理再解直角三角形可得CG，再利用勾股定理可得BG，再由平行公理可得CG平行AB，则由三角形相似的预备定理可证明，再利用相似比即可．
（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
即，
，
，
，
，
，
，
即，
是的直径，
是的切线；
（2）解：过点作于点，
在中，，，
，，
，，
，
在中，，，
，，
，
，
，
即，
解得，
经检验是原方程的解，
．
21．（2025·武汉模拟）如图，在中，．
（1）画出关于点A成中心对称的图形，这两个图形成轴对称吗？
（2）画出关于点B成中心对称的图形，这两个图形成轴对称吗？
（3）画出关于的中点O成中心对称的图形，这两个图形成轴对称吗？
（4）画出关于的中点成中心对称的图形，这两个图形成轴对称吗？你发现了什么结论？
【答案】（1）解：如图所示，即为所求，这两个图形成轴对称；
（2）解：如图所示，即为所求，这两个图形不成轴对称；
（3）解：如图所示，即为所求，这两个图形不成轴对称；
（4）解：如图所示，即为所求，这两个图形成轴对称；
发现：以等腰直角三角形直角顶点或斜边的中点为对称中心作中心对称图形，这两个图形成轴对称
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】关于某点成中心对称的两个图形各对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分；关于某条直线成轴对称的两个图形各对应点都关于这条直线对称，即对称轴垂直平分各对应点的连线；
（1）（2）（3）根据中心对称的性质作图即可，再根据轴对称的定义判断即可；
（4）根据中心对称的性质作图即可，再根据轴对称的定义判断即可，结合以上即可总结规律．
（1）解：如图所示，即为所求，这两个图形成轴对称；
（2）解：如图所示，即为所求，这两个图形不成轴对称；
（3）解：如图所示，即为所求，这两个图形不成轴对称；
（4）解：如图所示，即为所求，这两个图形成轴对称；
发现：以等腰直角三角形直角顶点或斜边的中点为对称中心作中心对称图形，这两个图形成轴对称．
22．（2025·武汉模拟）某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为米，跳板距水面的高为米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系．
（1）画出平面直角坐标系，并求当时，这条抛物线的解析式；
（2）当时，求运动员落水点与点C的距离；
（3）图中米．米，若跳水运动员在区域内（不含点）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围．
【答案】（1）解：如图所示：
根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，点，
∴设抛物线的解析式为，
把点代入得，，解得，，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：根据题意，抛物线解析式为：，
把点代入解析式得：，
解得：，
抛物线解析式为：，
由题意可得：当，则，
解得：，，
故抛物线与x轴交点为：，，
当时，运动员落水点与点C的距离为米
（3）解：根据题意，∵跳板长为米，跳板距水面的高为米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离米时达到距水面最大高度米，是固定不变的，
∴设抛物线的解析式为，且过点，
∴，则，
∵米，米，
∴当时，，则，解得，；
当时，，则，解得，；
综上所述，
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，且过点，则可设顶点式，再代入点A的坐标即可求解；
（2）同（1）求出函数解析式，令，求出即可；
（3）若跳水运动员在区域内（含点）入水达到训练要求，设函数设抛物线的解析式为，再由题意知当米时，，当米时，，再解不等式即可得．
（1）解：如图所示：
根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，点，
∴设抛物线的解析式为，
把点代入得，，解得，，
∴抛物线的解析式为．
（2）根据题意，抛物线解析式为：，
把点代入解析式得：，
解得：，
抛物线解析式为：，
由题意可得：当，则，
解得：，，
故抛物线与x轴交点为：，，
当时，运动员落水点与点C的距离为米；
（3）解：根据题意，
∵跳板长为米，跳板距水面的高为米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离米时达到距水面最大高度米，是固定不变的，
∴设抛物线的解析式为，且过点，
∴，则，
∵米，米，
∴当时，，则，解得，；
当时，，则，解得，；
综上所述，．
23．（2025·武汉模拟）综合与实践
如图1，在矩形中，，，点，分别是边，上的两点，连接，交于点，且．
数学思考：（1）求的值．
类比探究：（2）如图2，当四边形为平行四边形时，其他条件不变，求的值．
拓展延伸：（3）在（2）的基础上，若，，请直接写出此时的长．
【答案】（1）解：∵四边形是矩形，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，在上取点Q，使得，连接．
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过A作于H，则，
，，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
【知识点】勾股定理；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由K字型相似模型可得，再利用相似比即可；
（2）如图，在上取点Q，使得，连接，由平行四边形的性质可证，再由相似比即可；
（3）过A作于H，则，由平行四边形的性质和含的直角三角形的特征求出，再根据勾股定理求出，再利用（2）的结论求值即可．
24．（2025·武汉模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作，垂足为D，作轴，垂足为E，交于点F，设的面积为，的面积为，当时，求点P坐标；
（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线垂直平分线段？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：抛物线经过点和点，
，
解得，
抛物线解析式为，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
（2）解：如图，设直线与轴交于点，
由，令，得，则，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
中，，
设的面积为，的面积为，
，
，
，
即，
设，则，
，
解得或（舍），
当时，，

（3）存在或
【知识点】解直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；相似三角形的性质-对应面积；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】
（3）解：
设直线交轴于点，设交于点，连接，，，如图，
由，令，得，则
设过直线的解析式为，
解得
直线的解析式为，
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
直线垂直平分线段
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
解得
或即或
【分析】
（1）直接利用待定系数法分别求解即可；
（2）先由直线上点的坐标可得直线AB与y轴交点的坐标，由于PE垂直x轴，则解析直角三角形可得BF与BE的数量比为5：3，再利用AA可证明，则由相似的性质结合已知可得相似比，即，此时再利用抛物线上点的坐标特征可设点P的坐标为，则、，即PF、EF均可用含m的代数式表示，再联立方程并求解即可；
（3）设直线交轴于点，设交于点，连接，，，则由抛物线上点的坐标特征可得C(0，4)，即OB=OC，则是等腰直角三角形，又PN垂直BC，则可得也是等腰直角三角形，再由平行线的性质结合垂直平分线的性质定理可得也是等腰直角三角形，此时可利用抛物线上点的坐标特征设，则，，根据列出方程，即可求解．
（1）解：抛物线经过点和点，
，
解得，
抛物线解析式为，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
（2）如图，设直线与轴交于点，
由，令，得，则，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
中，，
设的面积为，的面积为，
，
，
，
即，
设，则，
，
解得或（舍），
当时，，
（3）设直线交轴于点，设交于点，连接，，，如图，
由，令，得，则
设过直线的解析式为，
解得
过直线的解析式为，
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
直线垂直平分线段
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
解得
或即或
1 / 1湖北省武汉市2025年中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（每小题3分，满分30分）
1．（2025·武汉模拟）中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标，其图标是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·武汉模拟）成语是中国语言文化的缩影，有着深厚丰富的文化底蕴，学习成语，运用成语，了解成语当中所包含的语言文化现象，是我们学习语言、学习中国传统文化必不可少的一个环节和目的．下列成语所描述的事件中，属于随机事件的是（　　）
A．画饼充饥 B．不期而遇 C．水涨船高 D．水中捞月
3．（2025·武汉模拟）如图是一个由8个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·武汉模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·武汉模拟）为传承中华优秀传统文化，交流展示闽粤赣三省四地“大客家”文化生态保护区建设成果及广龙、厦龙合作和两岸融合发展成果，根据市政府安排，“龙行天‘非’同寻常”闽粤赣客家文化生态保护区建设成果交流展示活动于2024年9月14日至16日在龙岩中心城区举行，其中9月14日“龙行天下”大型游龙活动吸引来了本地外地游客累计500000人.500000用科学记数法可表示为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·武汉模拟）1687年，牛顿通过观察苹果落地的现象，发现任何物体之间都有相互吸引力，从而提出万有引力定律，下面的哪一幅图可以大致刻画出苹果整个下落过程中（即落地前）的速度变化情况（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·武汉模拟）如图，是的角平分线，交BC于点E，垂足为F，连接DE．若，，则的度数为（　　）
A．75° B．80° C．85° D．90°
8．（2025·武汉模拟）如图，四张卡片除正面标有的数字不同外，其余完全相同，将四张卡片背面朝上，事件“从A，B，C三张卡片中先抽取一张记下数字后放回，洗匀后再抽取一张记下数字，两张卡片数字之和为正数”的概率为，事件“从A，B，C，D四张卡片中抽取一张，卡片数字为奇数”的概率为，则与的大小关系为（　　）
A． B． C． D．无法确定
9．（2025·武汉模拟）如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·武汉模拟）如图，，，，…，都是斜边在轴上的等腰直角三角形，直角顶点，，，…，都在反比例函数（）的图象上，则（为正整数）的坐标是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每小题3分，满分18分）
11．（2025·武汉模拟）2023年深圳市生产总值同比增，记作，而尼日利亚国内生产总值同比下滑，应记作　 　．
12．（2025·武汉模拟）函数中，在每个象限内，y随x的增大而　 　．
13．（2025·武汉模拟）方程的解是．
14．（2025·武汉模拟）视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与　 　所成的角叫做仰角．
15．（2025·武汉模拟）抛物线的图象如图所示，对称轴为直线．下列说法：
①；②；③（为全体实数）；④若图象上存在点和点，当时，满足，则m的取值范围为，其中正确的是　 　．
三、解答题
16．（2025·武汉模拟）解不等式组，并写出它的整数解．
17．（2025·武汉模拟）约公元263年，三国时代魏国的数学家刘徽为古籍《九章算术》作注释时，用“出入相补法”证明了勾股定理．如图，边长为的正方形的边在边长为的正方形的边上．边长为的正方形的顶点在上．试对验证方法加以说明．
18．（2025·武汉模拟）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别是E、F，并且DE=DF，求证：
（1）△ADE≌△CDF；
（2）四边形ABCD是菱形．
19．（2025·武汉模拟）某校对参加绘画、书法、舞蹈、乐器这四个社团的人员分布情况进行了抽样调查，并根据抽样调查的数据绘制了两幅统计图．如果该校共有名学生参加了这个社团活动，按照抽样统计各社团所占百分比推算，全校参加舞蹈社团的一共约有多少人？
20．（2025·武汉模拟）如图，在中，，以为直径的分别交、于点、．点在的延长线上，且．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，，求的长．
21．（2025·武汉模拟）如图，在中，．
（1）画出关于点A成中心对称的图形，这两个图形成轴对称吗？
（2）画出关于点B成中心对称的图形，这两个图形成轴对称吗？
（3）画出关于的中点O成中心对称的图形，这两个图形成轴对称吗？
（4）画出关于的中点成中心对称的图形，这两个图形成轴对称吗？你发现了什么结论？
22．（2025·武汉模拟）某跳水运动员在进行跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示的一条抛物线，已知跳板长为米，跳板距水面的高为米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离1米时达到距水面最大高度k米，现以为横轴，为纵轴建立直角坐标系．
（1）画出平面直角坐标系，并求当时，这条抛物线的解析式；
（2）当时，求运动员落水点与点C的距离；
（3）图中米．米，若跳水运动员在区域内（不含点）入水时才能达到训练要求，求k的取值范围．
23．（2025·武汉模拟）综合与实践
如图1，在矩形中，，，点，分别是边，上的两点，连接，交于点，且．
数学思考：（1）求的值．
类比探究：（2）如图2，当四边形为平行四边形时，其他条件不变，求的值．
拓展延伸：（3）在（2）的基础上，若，，请直接写出此时的长．
24．（2025·武汉模拟）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点，与y轴交于点C，点P为抛物线上一动点．
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）如图，点P为第一象限内抛物线上的点，过点P作，垂足为D，作轴，垂足为E，交于点F，设的面积为，的面积为，当时，求点P坐标；
（3）点N为抛物线对称轴上的动点，是否存在点N，使得直线垂直平分线段？若存在，请直接写出点N坐标，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】生活中的轴对称现象；轴对称图形
【解析】【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
B．是轴对称图形，故此选项符合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意．
故选：B．
【分析】
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2．【答案】B
【知识点】事件的分类
【解析】【解答】解：A．画饼充饥是不可能事件；
B．不期而遇时随机事件；
C．水涨船高时必然事件；
D．水中捞月是不可能事件；
故选B．
【分析】不可能事件是指在一定条件下不可能发生的事件，是必然事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面看，底层是三个小正方形，上层的左边是一个小正方形，
故选：A．
【分析】
主视图即找到从正面看所得到的图形即可，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在主视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．
4．【答案】B
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：，故A错误，不符合题意；
，故B正确，符合题意；
，故C错误，不符合题意；
，故D错误，不符合题意；
故选：B．
【分析】根据整式的相关运算法则逐项判断即可.
5．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：用科学记数法表示为；
故选：A．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数．
6．【答案】B
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：苹果从树上落下来，基本是自由落体运动，
即，g为定值，故v与t成正比例函数，v随t的增大而增大．
符合条件的只有选项B．
故选：B．
【分析】本题主要考查了利用函数的图象解决实际问题，由苹果从树上落下来，基本是自由落体运动，根据自由落体运动速度与事件的关系，得到，进行分析判定，即可得到答案．
7．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；三角形全等的判定-SAS；角平分线的概念；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵∠ABC=35°，∠C=50°，
∴∠BAC=180°-35°-50°=95°，
∵BD是△ABC的角平分线，
∴∠ABF=∠EBF，
∵BD⊥AE，
∴∠AFB=∠EFB=90°，
∴∠BAF=∠BEF，
∴AB=BE，
在△BDA和△BDE中，
∵AB=AE，∠ABD=∠EBD，BD=BD，
∴△BDA≌△BDE（SAS），
∴∠BED=∠BAD=95°，
∴∠CED=180°-95°=85°．
故选：C
【分析】
先利用三角形内角和定理求出∠BAC=95°，再利用角平分线的概念结合等角的余角相等可得∠BAF=∠BEF，再由等角对等边可得AB=EB，再利用SAS可证明△BDA≌△BDE，再由全等的性质可得∠BED=∠BAD即可．
8．【答案】B
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
1 0
1 2 1
0 1 0
共有9种等可能的结果，其中抽取的两张卡片数字之和为正数，共有3种情况，
∴，
从四张卡片中抽取一张，其中抽取的卡片数字为奇数，共有2种情况，
∴，
∴，
故选：B．
【分析】两步试验可用列表法或树状图法求概率，列表时注意对角线栏目上是否填写数据，画树状图时注意不重复不遗漏．
9．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的度数为，
故选：C．
【分析】
的度即圆心角的度数，故可分别连接，由等边对等角结合三角形内角和可依次得，，，再根据周角的概念求解即可．
10．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程；等腰直角三角形；反比例函数图象上点的坐标特征；直角三角形斜边上的中线；探索规律-函数图象与几何图形的规律
【解析】【解答】解：过作轴于，如图，
是等腰直角三角形，
是的中点，且，
设，则，代入反比例函数解析式，
得，
解得，
，
，
同理，过作轴于，则是的中点，，
设，则，代入反比例函数解析式，
得，
解得，（负值已经舍去）
，
同理可得，……，，
，
故选：A．
【分析】
如图，
过作轴于，由等腰直角三角形的性质可知是的中点，且，则，；同理，过作轴于，则是的中点，，
设，则，代入反比例函数解析式，可得，
则，同理可得、．
11．【答案】
【知识点】正数、负数的实际应用；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：2023年深圳市生产总值同比增，记作，而尼日利亚国内生产总值同比下滑，应记作，
故答案为：．
【分析】
正负数是一对具有相反意义的量，若同比增长用“”，那么同比下滑就用“”表示．
12．【答案】增大
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵函数中，，
∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
【分析】对于反比例函数，当时，图象在每一象限内，y随x增大而减小，当时，图象在每一象限内，y随x增大而增大．
13．【答案】解：，
两边同时乘以，得
，即，
经检验，是原方程的解，
故答案为：．
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】解分式方程．先去分母化分式方程为整式方程，再解整式方程，再验根，最后再根据验根的结果写根．
14．【答案】水平线
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：视线在水平线以上时，在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角．
故答案为：水平线．
【分析】在视线所在的垂直平面内，视线与水平线所成的角叫做仰角.
15．【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：由函数图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴交于负半轴，
，，，
，
，①结论正确；
由函数图象可知，当时，，
，
，
，②结论正确；
抛物线开口向下，对称轴为直线，
当时，有最大值；
当时，，
，
，
，
，
，③结论错误；
和点满足，
和点关于对称轴直线对称，
，
，，
，
，，
，④结论正确，
故答案为：①②④
【分析】观察函数图象可知，抛物线开口向下，对称轴为直线，与轴交于负半轴，得到，，，可判断①结论；由函数图象可知，当时，，可判断②结论；根据当时，有最大值，可判断③结论；根据和点关于对称轴直线对称，可判断④结论．
16．【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
∴它的整数解为，，0，1．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别求解两个不等式，再利用口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集，然后求出符合条件的整数解即可．
17．【答案】证明：正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，
，，，
在和中，
，，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
作于，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
正方形的面积正方形的面积正方形的面积，
，
在中，斜边，直角边，，
即证明了勾股定理
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】如图所示：
根据正方形的性质可证明，则，再证，作于，可证，则有，，则可得，再利用割补法可得，再结合中，斜边，直角边，即可．
18．【答案】证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥BC，
∴∠AED=∠CFD=90°．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C．
在△AED和△CFD中：∵，
∴△AED≌△CFD（AAS）．
（2）∵△AED≌△CFD
∴AD=CD．
∵四边形ABCD是平行四边形
∴四边形ABCD是菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】（1）由平行四边形的对角相等可得∠A=∠C，再利用垂直的概念结合已知可利用AAS判定结论成立；
（2）先由全等的性质得DA=DC，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可．
19．【答案】解：由条形统计图可知：参加绘画社团的人数是人，由扇形统计图可知：参加绘画社团的人数占，
∴此次抽样调查的总人数为：（人），
∴参加舞蹈社团所占的百分比为：，
∴全校参加舞蹈社团的一共有：（人），
答：参加舞蹈社团的一共约人
【知识点】用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】观察条形统计图及扇形统计图，可利用绘画人数及占比得总人数为（人），然后用乘以舞蹈社团人数所占百分比即可．
20．【答案】（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
即，
，
，
，
，
，
，
即，
是的直径，
是的切线
（2）解：过点作于点，
在中，，，
，，
，，
，
在中，，，
，，
，
，
，
即，
解得，
经检验是原方程的解，
【知识点】圆周角定理；切线的判定；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）由于直径所对的圆周角是直角，则连接AE可得，再利用等腰三角形三线合一可得AE平分，再结合已知可得，再等量代换可得即可；
（2）过点作于点，先根据解直角三角形ABE可得BE的长，即BC可知，同理再解直角三角形可得CG，再利用勾股定理可得BG，再由平行公理可得CG平行AB，则由三角形相似的预备定理可证明，再利用相似比即可．
（1）证明：如图，连接，
是的直径，
，
即，
，
，
，
，
，
，
即，
是的直径，
是的切线；
（2）解：过点作于点，
在中，，，
，，
，，
，
在中，，，
，，
，
，
，
即，
解得，
经检验是原方程的解，
．
21．【答案】（1）解：如图所示，即为所求，这两个图形成轴对称；
（2）解：如图所示，即为所求，这两个图形不成轴对称；
（3）解：如图所示，即为所求，这两个图形不成轴对称；
（4）解：如图所示，即为所求，这两个图形成轴对称；
发现：以等腰直角三角形直角顶点或斜边的中点为对称中心作中心对称图形，这两个图形成轴对称
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【分析】关于某点成中心对称的两个图形各对应点的连线都经过对称中心，且被对称中心平分；关于某条直线成轴对称的两个图形各对应点都关于这条直线对称，即对称轴垂直平分各对应点的连线；
（1）（2）（3）根据中心对称的性质作图即可，再根据轴对称的定义判断即可；
（4）根据中心对称的性质作图即可，再根据轴对称的定义判断即可，结合以上即可总结规律．
（1）解：如图所示，即为所求，这两个图形成轴对称；
（2）解：如图所示，即为所求，这两个图形不成轴对称；
（3）解：如图所示，即为所求，这两个图形不成轴对称；
（4）解：如图所示，即为所求，这两个图形成轴对称；
发现：以等腰直角三角形直角顶点或斜边的中点为对称中心作中心对称图形，这两个图形成轴对称．
22．【答案】（1）解：如图所示：
根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，点，
∴设抛物线的解析式为，
把点代入得，，解得，，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：根据题意，抛物线解析式为：，
把点代入解析式得：，
解得：，
抛物线解析式为：，
由题意可得：当，则，
解得：，，
故抛物线与x轴交点为：，，
当时，运动员落水点与点C的距离为米
（3）解：根据题意，∵跳板长为米，跳板距水面的高为米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离米时达到距水面最大高度米，是固定不变的，
∴设抛物线的解析式为，且过点，
∴，则，
∵米，米，
∴当时，，则，解得，；
当时，，则，解得，；
综上所述，
【知识点】二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，且过点，则可设顶点式，再代入点A的坐标即可求解；
（2）同（1）求出函数解析式，令，求出即可；
（3）若跳水运动员在区域内（含点）入水达到训练要求，设函数设抛物线的解析式为，再由题意知当米时，，当米时，，再解不等式即可得．
（1）解：如图所示：
根据题意可得，抛物线的顶点坐标为，点，
∴设抛物线的解析式为，
把点代入得，，解得，，
∴抛物线的解析式为．
（2）根据题意，抛物线解析式为：，
把点代入解析式得：，
解得：，
抛物线解析式为：，
由题意可得：当，则，
解得：，，
故抛物线与x轴交点为：，，
当时，运动员落水点与点C的距离为米；
（3）解：根据题意，
∵跳板长为米，跳板距水面的高为米，训练时跳水曲线在离起跳点水平距离米时达到距水面最大高度米，是固定不变的，
∴设抛物线的解析式为，且过点，
∴，则，
∵米，米，
∴当时，，则，解得，；
当时，，则，解得，；
综上所述，．
23．【答案】（1）解：∵四边形是矩形，，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如图，在上取点Q，使得，连接．
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：过A作于H，则，
，，
，
∵四边形是平行四边形，
，
，
，
在中，，
在中，，
，
【知识点】勾股定理；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由K字型相似模型可得，再利用相似比即可；
（2）如图，在上取点Q，使得，连接，由平行四边形的性质可证，再由相似比即可；
（3）过A作于H，则，由平行四边形的性质和含的直角三角形的特征求出，再根据勾股定理求出，再利用（2）的结论求值即可．
24．【答案】（1）解：抛物线经过点和点，
，
解得，
抛物线解析式为，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
（2）解：如图，设直线与轴交于点，
由，令，得，则，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
中，，
设的面积为，的面积为，
，
，
，
即，
设，则，
，
解得或（舍），
当时，，

（3）存在或
【知识点】解直角三角形；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质；相似三角形的性质-对应面积；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】
（3）解：
设直线交轴于点，设交于点，连接，，，如图，
由，令，得，则
设过直线的解析式为，
解得
直线的解析式为，
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
直线垂直平分线段
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
解得
或即或
【分析】
（1）直接利用待定系数法分别求解即可；
（2）先由直线上点的坐标可得直线AB与y轴交点的坐标，由于PE垂直x轴，则解析直角三角形可得BF与BE的数量比为5：3，再利用AA可证明，则由相似的性质结合已知可得相似比，即，此时再利用抛物线上点的坐标特征可设点P的坐标为，则、，即PF、EF均可用含m的代数式表示，再联立方程并求解即可；
（3）设直线交轴于点，设交于点，连接，，，则由抛物线上点的坐标特征可得C(0，4)，即OB=OC，则是等腰直角三角形，又PN垂直BC，则可得也是等腰直角三角形，再由平行线的性质结合垂直平分线的性质定理可得也是等腰直角三角形，此时可利用抛物线上点的坐标特征设，则，，根据列出方程，即可求解．
（1）解：抛物线经过点和点，
，
解得，
抛物线解析式为，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
（2）如图，设直线与轴交于点，
由，令，得，则，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
中，，
设的面积为，的面积为，
，
，
，
即，
设，则，
，
解得或（舍），
当时，，
（3）设直线交轴于点，设交于点，连接，，，如图，
由，令，得，则
设过直线的解析式为，
解得
过直线的解析式为，
是等腰直角三角形
是等腰直角三角形
直线垂直平分线段
是等腰直角三角形，
，
设，则，
，
解得
或即或
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