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广西壮族自治区柳州市部分学校2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·柳州月考）某天小李要坐动车或高铁从广州出发去北京，已知当天动车的车次有2个，高铁的车次有10个，则小李当天从广州出发去北京的车次的选择共有（　　）
A．2种 B．10种 C．12种 D．20种
2．（2025高二下·柳州月考）已知某商店月份月利润（单位：万元）关于其对应的月份代码（月份的月份代码依次为）的经验回归方程为，且，则（　　）
A．3.6 B．1.5 C．1.4 D．1.8
3．（2025高二下·柳州月考）直线：与圆：交于，两点，若，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高二下·柳州月考）某中学4位任课老师和班上10名学生站成一排，则4位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025高二下·柳州月考）给定一个数列，记，则把数列称为的一阶差数列.若数列的一阶差数列的通项公式为，则（　　）
A．556 B．557 C．292 D．291
6．（2025高二下·柳州月考）已知是抛物线：的焦点，是上一点，，则到轴的距离为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高二下·柳州月考）刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为．若正四棱锥的侧面与底面的夹角的正切值为，则四棱锥在顶点S处的曲率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高二下·柳州月考）若的展开式各项系数的绝对值之和为512，则的展开式中的系数为（ ）
A． B．56 C． D．70
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·柳州月考）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为30，且，则（　　）
A． B．公比为2 C． D．
10．（2025高二下·柳州月考）某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，依据小概率的独立性检验，零假设为：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立，则下列结论正确的是（　　）
参考公式与数据：，其中.
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
A．可以推断成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时无关
B．可以推断不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时有关
C．学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率为
D．学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率为
11．（2025高二下·柳州月考）已知曲线，点，则（ ）
A．当P为C上的动点时，的取值范围是
B．当P为C上的动点时，的取值范围是
C．存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列
D．存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二下·柳州月考）某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有　 　个．
附：若，则．
13．（2025高二下·柳州月考）设随机变量，且，则　 　；若随机变量满足，则的方差为　 　.
14．（2025高二下·柳州月考）《九章算术 商功》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.在堑堵中，，，则堑堵体积的最大值为　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·柳州月考）如图，在正三棱柱中，，为的中点．
（1）求点到直线的距离；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
16．（2025高二下·柳州月考）已知数列的前n项和满足为常数，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
17．（2025高二下·柳州月考）正比例手办是按照动漫角色的一定比例制作的手办，细节丰富，高度还原角色形象.已知某店内共有20个正比例手办，其中有8个正比例手办采用树脂材质制成，有12个正比例手办采用PVC材质制成，树脂材质的正比例手办中有2个是比例手办，6个是比例手办，PVC材质的正比例手办中有4个是比例手办，8个是比例手办.该店举行了一个抽奖活动，将这20个正比例手办编号为1，2，3，…20，盒子内有编号分别为1，2，3，…，20的20张小纸条，消费者抽到编号为的纸条即视为抽到编号为i的正比例手办，消费者一次性从盒子内随机抽取2张纸条，每位消费者只有一次机会.
（1）记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均相同”，求；
（2）若消费者抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同，则无奖励；若仅材质或仅比例相同，则奖励100元；若材质与比例均相同，则奖励200元.记消费者小曲获得的奖金金额为元，请写出的分布列及期望.
18．（2025高二下·柳州月考）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是的右顶点，且，.
（1）求的方程；
（2）是上一点，且，求的面积；
（3）已知，是上不同的两点，直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点.
19．（2025高二下·柳州月考）定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”．
（1）若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围．
（2）若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”．
①求b的取值范围；
②证明：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：根据分类加法计数原理可知：小李当天从广州出发去北京的车次的选择共有种.
故答案为：C.
【分析】根据分类加法计数原理求解即可.
2．【答案】B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：易知，
因为，所以该经验回归直线经过样本点中心，
则，解得.
故答案为：B.
【分析】先计算月份代码的平均值，根据经验回归直线必过样本点中心求解即可.
3．【答案】C
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离，由题意可得，解得.
故答案为：C.
【分析】易知圆心和半径，利用点到直线的距离公式，结合弦长求解即可.
4．【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：4位任课老师站在一起的排法种数为，
将排完的4位任课教师作为一个整体，与剩下的10名学生站成一排的排法种数有，
再根据分步乘法计数原理可得排列种数为.
故选：A.
【分析】用捆绑法将4位任课教师作为一个整体即可，再根据分步乘法计数原理计算可得排列数.
5．【答案】C
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题意可得：，
则，
即，又因为，所以.
故答案为：C.
【分析】由一阶差数列的定义求得数列的递推关系式，再利用累加法结合分组求和求即可.
6．【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设，由抛物线的定义可得：，解得，
则，解得，故到轴的距离为.
故答案为：C.
【分析】设，由题意，利用抛物线的定义求得，再利用点在抛物线上求得，即可的到轴的距离 .
7．【答案】D
【知识点】棱锥的结构特征；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：连接，，设，连接，则平面，
取的中点，连接，，如图所示：
由正四棱锥的结构特征可知，为侧面与底面所成的角，
设，则，
在中，，，
因为，所以，所以正四棱锥的每个侧面均为正三角形，
所以顶点的每个面角均为，故正四棱锥在顶点处的曲率为.
故答案为：D.
【分析】连接，，设，连接，则平面，取的中点，连接，，利用正四棱锥的结构特征，得到为侧面与底面所成的角，利用勾股定理推得正四棱锥的每个侧面均为正三角形，再利用“曲率”的定义求解即可.
8．【答案】A
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：易知的展开式各项系数的绝对值之和等于的展开式各项系数之和，
则，解得，则，
因为的展开式中没有的项，所以的展开式中的系数为的展开式中的系数，即.
故答案为：A.
【分析】易知的展开式各项系数的绝对值之和为的展开式各项系数之和，根据二项式系数的和求得，再由二项式的展开式代入计算即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，易知，，
由题意得，解得，，
则，.
故答案为：ABD.
【分析】设等比数列的公比为，由题意，利用等比数列的通项公式列方程组，求得基本量运算即可判断.
10．【答案】B,C
【知识点】独立性检验的应用；全概率公式；2×2列联表
【解析】【解答】解：由题意可得：列联表为
每周的锻炼时间 短跑成绩 合计
短跑成绩合格 短跑成绩不合格
每周的锻炼时间超过5小时 35 10 45
每周的锻炼时间不超过5小时 25 30 55
合计 60 40 100
零假设为：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立，
根据表中的数据，可得，
根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，
即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关，
设事件“学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”，
事件“学生甲每周的锻炼时间超过5小时，短跑成绩不合格”，
“学生甲每周的锻炼时间不超过5小时，短跑成绩不合格”，
则，，，，
，
故从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训后，
学生甲短跑成绩合格的概率为.
故答案为：BC.
【分析】由题意，列列联表，先进行零假设，再计算卡方值，即可判断AB；记事件，利用全概率计算公式求解即可判断CD.
11．【答案】A,B,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、由，可得或，
则曲线C由椭圆与直线组成，
易知，为椭圆的两个焦点，
若点在椭圆上时，则；
若点是原点时，则；
若点是曲线上的其他点，则，
则的取值范围是，故A正确；
B、当点P在直线上时，；
当点P在椭圆上时，，
由，得，故B正确；
D、设该方程的两个根为，，联立，消元整理得，
则，即，由韦达定理可得，，
由，得，假设存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为，
则+=，解得，故D正确；
C、当时，介于x1，x2之间，假设存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列，则，即=，得，显然该方程无实数解，故C错误.
故答案为：ABD.
【分析】化简可知曲线C由椭圆与直线组成，易知，为椭圆的两个焦点，讨论的位置，即可判断AB；联立直线与曲线方程，并求与轴的交点，利用韦达定理，即可判断CD.
12．【答案】1587
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布 可知：，
故其中单果质量超过的草莓约有个．
故答案为：1587.
【分析】根据正态分布的概率性质求解即可.
13．【答案】；
【知识点】极差、方差与标准差；二项分布
【解析】【解答】解：随机变量，且，
则，即，解得，
则，
因为，所以，则.
故答案为：；.
【分析】由题意，利用二项分布的概率公式，结合组合数公式以及求出的值，再根据二项分布方差公式以及方差的性质求的值即可.
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意，，
令，由，得，
则堑堵体积，
当且仅当，即时取等号，
故堑堵体积的最大值为.
故答案为：.
【分析】作出图形，令，由，得，再根据棱柱的体积公式，结合基本不等式求解即可.
15．【答案】（1）解：取的中点，连接，因为三棱柱为正三棱柱，
所以为正三角形，所以，
又平面，平面，所以平面平面，
又平面平面，平面，所以平面，
以为坐标原点，直线，分别为，轴，在面内过作的平行线作为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
所以，，
所以，，
，
则点到直线的距离；
（2）解：因为，，
所以，
则异面直线与BD所成角的余弦值为．
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，利用线面垂直的判定定理证明平面，以为坐标原点，直线，分别为，轴，在面内过作的平行线作为轴，建立空间直角坐标，利用空间向量法求点到直线的距离即可；
（2）由（1）的空间直角坐标系，求出直线与的方向向量，利用空间向量法求异面直线的夹角余弦值即可.
（1）取的中点，连接，因为三棱柱为正三棱柱，
所以为正三角形，所以，
又平面，平面，所以平面平面，
又平面平面，平面，所以平面，
以为坐标原点，直线，分别为，轴，在面内过作的平行线作为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，．
所以，，
所以，，
，
则点到直线的距离.
（2）因为，．
所以．
所以异面直线与BD所成角的余弦值为．
16．【答案】（1）解： 数列的前n项和满足为常数，且 ，
则，解得，即①，
当时，，得，
当时，②，
联立①②可得，即，
当时，成立，
故；
（2）解：由（1）可得，
，
，
，
，
则.
【知识点】数列的求和；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据，求的值，再利用的关系求数列的通项公式即可；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可.
（1）由条件可知，，得，
即，当时，，得，
当时，，
所以，
得，
当时，成立，
所以；
（2）因为，
所以，
，
，
，
所以.
17．【答案】（1）解：；
（2）解：记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办仅材质或仅比例相同”，
记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同”，
则由（1）得，，
，
则的分布列为：
0 100 200
P
.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）由题意，利用组合数公式，结合古典概型概率公式求解即可；
（2）先记事件，利用古典概型概率公式分别求的概率，列分布列，求数学期望即可.
（1）.
（2）记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办仅材质或仅比例相同”，
记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同”，
则由（1）得，，
，
则的分布列为：
0 100 200
P
则.
18．【答案】（1）解：由题意得，，解得，，，故的方程为；
（2）解：设，，由双曲线的定义可得，
在中，由余弦定理得，
解得，
则的面积为；
（3）证明：如图所示：易知，设，，
显然直线不与轴垂直，则设的方程为，且，
联立，消去得，由韦达定理可得，，
因为，所以，
化简得，即，
又，化简得，所以直线过定点.
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，列关于的方程，结合双曲线中的关系，求基本量，即可得双曲线方程；
（2）设，，根据双曲线的定义，结合余弦定理、三角形面积公式求解即可；
（3）易知，设，，结合题意先排除特殊情况，进而设出的方程，再联立并使用韦达定理得到，，最后利用斜率公式结合求出定点即可.
（1）由题意得，，
解得，，得到，故的方程为.
（2）设，，由双曲线的定义可得，
在中，由余弦定理得
，
解得，
则的面积为.
（3）易知，如图，设，，
显然直线不与轴垂直，则设的方程为，且.
联立，消去得，
所以，，
因为，
所以，
化简得，
即，
又，化简得，所以直线过定点.
19．【答案】（1）解：由与为“契合函数”，
得，使，
令，依题意，方程有唯一解，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，则，
当时，，时，，，
又和只有一个“契合点”，则直线与函数的图象只有1个交点，则或，
所以实数a的取值范围是.
（2）①解：由与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”，
得存在，使，
即关于的方程有两个相异正根，令函数，
求导得，
由，得，得当时，；当时，，
则函数在上递增，在上递减，则，
当从大于0的方向趋近于0时，；当时，，
因此当时，直线与函数的图象有两个不同交点，
所以b的取值范围是.
②证明：由（1）知，当时，，令，
求导得，
令，求导得，
当时，，函数在上单调递减，，，
函数在上单调递减，，因此当时，，
而，则，又，于是，
又，函数在上递减，则，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）参数范围：将 “契合函数” 转化为方程有唯一解，构造函数后利用导数分析单调性与最值，结合函数图象得参数范围。
（2）① 参数范围：同理转化为方程有两个正根，构造函数后分析单调性、最值及极限趋势，得参数范围。
② 不等式证明：利用函数单调性，将双变量不等式转化为单变量不等式，结合函数性质证明。
（1）由与为“契合函数”，得，使
，令，依题意，方程有唯一解，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，则，
当时，，时，，，
又和只有一个“契合点”，则直线与函数的图象只有1个交点，则或，
所以实数a的取值范围是.
（2）①由与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”，
得存在，使，
即关于的方程有两个相异正根，令函数，
求导得，
由，得，得当时，；当时，，
则函数在上递增，在上递减，则，
当从大于0的方向趋近于0时，；当时，，
因此当时，直线与函数的图象有两个不同交点，
所以b的取值范围是.
②由（1）知，当时，，令，
求导得，
令，求导得，
当时，，函数在上单调递减，，，
函数在上单调递减，，因此当时，，
而，则，又，于是，
又，函数在上递减，则，
所以.
1 / 1广西壮族自治区柳州市部分学校2024-2025学年高二下学期5月月考数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高二下·柳州月考）某天小李要坐动车或高铁从广州出发去北京，已知当天动车的车次有2个，高铁的车次有10个，则小李当天从广州出发去北京的车次的选择共有（　　）
A．2种 B．10种 C．12种 D．20种
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理
【解析】【解答】解：根据分类加法计数原理可知：小李当天从广州出发去北京的车次的选择共有种.
故答案为：C.
【分析】根据分类加法计数原理求解即可.
2．（2025高二下·柳州月考）已知某商店月份月利润（单位：万元）关于其对应的月份代码（月份的月份代码依次为）的经验回归方程为，且，则（　　）
A．3.6 B．1.5 C．1.4 D．1.8
【答案】B
【知识点】线性回归方程
【解析】【解答】解：易知，
因为，所以该经验回归直线经过样本点中心，
则，解得.
故答案为：B.
【分析】先计算月份代码的平均值，根据经验回归直线必过样本点中心求解即可.
3．（2025高二下·柳州月考）直线：与圆：交于，两点，若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与圆相交的性质；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离，由题意可得，解得.
故答案为：C.
【分析】易知圆心和半径，利用点到直线的距离公式，结合弦长求解即可.
4．（2025高二下·柳州月考）某中学4位任课老师和班上10名学生站成一排，则4位任课老师站在一起的排法种数可以用排列数表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：4位任课老师站在一起的排法种数为，
将排完的4位任课教师作为一个整体，与剩下的10名学生站成一排的排法种数有，
再根据分步乘法计数原理可得排列种数为.
故选：A.
【分析】用捆绑法将4位任课教师作为一个整体即可，再根据分步乘法计数原理计算可得排列数.
5．（2025高二下·柳州月考）给定一个数列，记，则把数列称为的一阶差数列.若数列的一阶差数列的通项公式为，则（　　）
A．556 B．557 C．292 D．291
【答案】C
【知识点】数列的求和；数列的递推公式；数列的通项公式
【解析】【解答】解：由题意可得：，
则，
即，又因为，所以.
故答案为：C.
【分析】由一阶差数列的定义求得数列的递推关系式，再利用累加法结合分组求和求即可.
6．（2025高二下·柳州月考）已知是抛物线：的焦点，是上一点，，则到轴的距离为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：设，由抛物线的定义可得：，解得，
则，解得，故到轴的距离为.
故答案为：C.
【分析】设，由题意，利用抛物线的定义求得，再利用点在抛物线上求得，即可的到轴的距离 .
7．（2025高二下·柳州月考）刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为．若正四棱锥的侧面与底面的夹角的正切值为，则四棱锥在顶点S处的曲率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】棱锥的结构特征；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：连接，，设，连接，则平面，
取的中点，连接，，如图所示：
由正四棱锥的结构特征可知，为侧面与底面所成的角，
设，则，
在中，，，
因为，所以，所以正四棱锥的每个侧面均为正三角形，
所以顶点的每个面角均为，故正四棱锥在顶点处的曲率为.
故答案为：D.
【分析】连接，，设，连接，则平面，取的中点，连接，，利用正四棱锥的结构特征，得到为侧面与底面所成的角，利用勾股定理推得正四棱锥的每个侧面均为正三角形，再利用“曲率”的定义求解即可.
8．（2025高二下·柳州月考）若的展开式各项系数的绝对值之和为512，则的展开式中的系数为（ ）
A． B．56 C． D．70
【答案】A
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质
【解析】【解答】解：易知的展开式各项系数的绝对值之和等于的展开式各项系数之和，
则，解得，则，
因为的展开式中没有的项，所以的展开式中的系数为的展开式中的系数，即.
故答案为：A.
【分析】易知的展开式各项系数的绝对值之和为的展开式各项系数之和，根据二项式系数的和求得，再由二项式的展开式代入计算即可.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高二下·柳州月考）已知各项均为正数的等比数列的前4项和为30，且，则（　　）
A． B．公比为2 C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，易知，，
由题意得，解得，，
则，.
故答案为：ABD.
【分析】设等比数列的公比为，由题意，利用等比数列的通项公式列方程组，求得基本量运算即可判断.
10．（2025高二下·柳州月考）某兴趣小组调查了某校100名学生100米短跑成绩的情况，其中有60名学生的短跑成绩合格.这100名学生中有45名学生每周的锻炼时间超过5小时，60名短跑成绩合格的学生中有35名学生每周的锻炼时间超过5小时.现对短跑成绩不合格的学生进行跑步技巧培训，已知每周的锻炼时间超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为，每周的锻炼时间不超过5小时的学生参加跑步技巧培训后，学生的短跑成绩合格的概率为.用频率代替概率，从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训，依据小概率的独立性检验，零假设为：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立，则下列结论正确的是（　　）
参考公式与数据：，其中.
0.01 0.005 0.001
6.635 7.879 10.828
A．可以推断成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时无关
B．可以推断不成立，即认为学生短跑成绩合格与每周锻炼时间超过5小时有关
C．学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率为
D．学生甲参加培训后短跑成绩合格的概率为
【答案】B,C
【知识点】独立性检验的应用；全概率公式；2×2列联表
【解析】【解答】解：由题意可得：列联表为
每周的锻炼时间 短跑成绩 合计
短跑成绩合格 短跑成绩不合格
每周的锻炼时间超过5小时 35 10 45
每周的锻炼时间不超过5小时 25 30 55
合计 60 40 100
零假设为：学生短跑成绩合格与每周锻炼时间相互独立，
根据表中的数据，可得，
根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，
即认为学生短跑成绩合格与每周的锻炼时间超过5小时有关，
设事件“学生甲参加跑步技巧培训后短跑成绩合格”，
事件“学生甲每周的锻炼时间超过5小时，短跑成绩不合格”，
“学生甲每周的锻炼时间不超过5小时，短跑成绩不合格”，
则，，，，
，
故从短跑成绩不合格的学生中随机抽取1名学生（记为甲）进行跑步技巧培训后，
学生甲短跑成绩合格的概率为.
故答案为：BC.
【分析】由题意，列列联表，先进行零假设，再计算卡方值，即可判断AB；记事件，利用全概率计算公式求解即可判断CD.
11．（2025高二下·柳州月考）已知曲线，点，则（ ）
A．当P为C上的动点时，的取值范围是
B．当P为C上的动点时，的取值范围是
C．存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列
D．存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为
【答案】A,B,D
【知识点】椭圆的定义；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：A、由，可得或，
则曲线C由椭圆与直线组成，
易知，为椭圆的两个焦点，
若点在椭圆上时，则；
若点是原点时，则；
若点是曲线上的其他点，则，
则的取值范围是，故A正确；
B、当点P在直线上时，；
当点P在椭圆上时，，
由，得，故B正确；
D、设该方程的两个根为，，联立，消元整理得，
则，即，由韦达定理可得，，
由，得，假设存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为，
则+=，解得，故D正确；
C、当时，介于x1，x2之间，假设存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列，则，即=，得，显然该方程无实数解，故C错误.
故答案为：ABD.
【分析】化简可知曲线C由椭圆与直线组成，易知，为椭圆的两个焦点，讨论的位置，即可判断AB；联立直线与曲线方程，并求与轴的交点，利用韦达定理，即可判断CD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2025高二下·柳州月考）某林业科学院培育新品种草莓，新培育的草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有该新品种草莓10000个，估计其中单果质量超过的草莓有　 　个．
附：若，则．
【答案】1587
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：由草莓单果质量（单位：g）近似服从正态分布 可知：，
故其中单果质量超过的草莓约有个．
故答案为：1587.
【分析】根据正态分布的概率性质求解即可.
13．（2025高二下·柳州月考）设随机变量，且，则　 　；若随机变量满足，则的方差为　 　.
【答案】；
【知识点】极差、方差与标准差；二项分布
【解析】【解答】解：随机变量，且，
则，即，解得，
则，
因为，所以，则.
故答案为：；.
【分析】由题意，利用二项分布的概率公式，结合组合数公式以及求出的值，再根据二项分布方差公式以及方差的性质求的值即可.
14．（2025高二下·柳州月考）《九章算术 商功》中，将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵.在堑堵中，，，则堑堵体积的最大值为　 　.
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图所示：
由题意，，
令，由，得，
则堑堵体积，
当且仅当，即时取等号，
故堑堵体积的最大值为.
故答案为：.
【分析】作出图形，令，由，得，再根据棱柱的体积公式，结合基本不等式求解即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（2025高二下·柳州月考）如图，在正三棱柱中，，为的中点．
（1）求点到直线的距离；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）解：取的中点，连接，因为三棱柱为正三棱柱，
所以为正三角形，所以，
又平面，平面，所以平面平面，
又平面平面，平面，所以平面，
以为坐标原点，直线，分别为，轴，在面内过作的平行线作为轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
所以，，
所以，，
，
则点到直线的距离；
（2）解：因为，，
所以，
则异面直线与BD所成角的余弦值为．
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；平面的法向量；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【分析】（1）取的中点，连接，利用线面垂直的判定定理证明平面，以为坐标原点，直线，分别为，轴，在面内过作的平行线作为轴，建立空间直角坐标，利用空间向量法求点到直线的距离即可；
（2）由（1）的空间直角坐标系，求出直线与的方向向量，利用空间向量法求异面直线的夹角余弦值即可.
（1）取的中点，连接，因为三棱柱为正三棱柱，
所以为正三角形，所以，
又平面，平面，所以平面平面，
又平面平面，平面，所以平面，
以为坐标原点，直线，分别为，轴，在面内过作的平行线作为轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，．
所以，，
所以，，
，
则点到直线的距离.
（2）因为，．
所以．
所以异面直线与BD所成角的余弦值为．
16．（2025高二下·柳州月考）已知数列的前n项和满足为常数，且．
（1）求的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】（1）解： 数列的前n项和满足为常数，且 ，
则，解得，即①，
当时，，得，
当时，②，
联立①②可得，即，
当时，成立，
故；
（2）解：由（1）可得，
，
，
，
，
则.
【知识点】数列的求和；数列的通项公式；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据，求的值，再利用的关系求数列的通项公式即可；
（2）由（1）可得，利用错位相减法求和即可.
（1）由条件可知，，得，
即，当时，，得，
当时，，
所以，
得，
当时，成立，
所以；
（2）因为，
所以，
，
，
，
所以.
17．（2025高二下·柳州月考）正比例手办是按照动漫角色的一定比例制作的手办，细节丰富，高度还原角色形象.已知某店内共有20个正比例手办，其中有8个正比例手办采用树脂材质制成，有12个正比例手办采用PVC材质制成，树脂材质的正比例手办中有2个是比例手办，6个是比例手办，PVC材质的正比例手办中有4个是比例手办，8个是比例手办.该店举行了一个抽奖活动，将这20个正比例手办编号为1，2，3，…20，盒子内有编号分别为1，2，3，…，20的20张小纸条，消费者抽到编号为的纸条即视为抽到编号为i的正比例手办，消费者一次性从盒子内随机抽取2张纸条，每位消费者只有一次机会.
（1）记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均相同”，求；
（2）若消费者抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同，则无奖励；若仅材质或仅比例相同，则奖励100元；若材质与比例均相同，则奖励200元.记消费者小曲获得的奖金金额为元，请写出的分布列及期望.
【答案】（1）解：；
（2）解：记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办仅材质或仅比例相同”，
记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同”，
则由（1）得，，
，
则的分布列为：
0 100 200
P
.
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列
【解析】【分析】（1）由题意，利用组合数公式，结合古典概型概率公式求解即可；
（2）先记事件，利用古典概型概率公式分别求的概率，列分布列，求数学期望即可.
（1）.
（2）记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办仅材质或仅比例相同”，
记事件为“消费者小曲抽到的2个正比例手办的材质与比例均不相同”，
则由（1）得，，
，
则的分布列为：
0 100 200
P
则.
18．（2025高二下·柳州月考）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是的右顶点，且，.
（1）求的方程；
（2）是上一点，且，求的面积；
（3）已知，是上不同的两点，直线，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点.
【答案】（1）解：由题意得，，解得，，，故的方程为；
（2）解：设，，由双曲线的定义可得，
在中，由余弦定理得，
解得，
则的面积为；
（3）证明：如图所示：易知，设，，
显然直线不与轴垂直，则设的方程为，且，
联立，消去得，由韦达定理可得，，
因为，所以，
化简得，即，
又，化简得，所以直线过定点.
【知识点】双曲线的定义；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，列关于的方程，结合双曲线中的关系，求基本量，即可得双曲线方程；
（2）设，，根据双曲线的定义，结合余弦定理、三角形面积公式求解即可；
（3）易知，设，，结合题意先排除特殊情况，进而设出的方程，再联立并使用韦达定理得到，，最后利用斜率公式结合求出定点即可.
（1）由题意得，，
解得，，得到，故的方程为.
（2）设，，由双曲线的定义可得，
在中，由余弦定理得
，
解得，
则的面积为.
（3）易知，如图，设，，
显然直线不与轴垂直，则设的方程为，且.
联立，消去得，
所以，，
因为，
所以，
化简得，
即，
又，化简得，所以直线过定点.
19．（2025高二下·柳州月考）定义：若函数与在公共定义域内存在，使得，则称与为“契合函数”，为“契合点”．
（1）若与为“契合函数”，且只有一个“契合点”，求实数a的取值范围．
（2）若与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”．
①求b的取值范围；
②证明：．
【答案】（1）解：由与为“契合函数”，
得，使，
令，依题意，方程有唯一解，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，则，
当时，，时，，，
又和只有一个“契合点”，则直线与函数的图象只有1个交点，则或，
所以实数a的取值范围是.
（2）①解：由与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”，
得存在，使，
即关于的方程有两个相异正根，令函数，
求导得，
由，得，得当时，；当时，，
则函数在上递增，在上递减，则，
当从大于0的方向趋近于0时，；当时，，
因此当时，直线与函数的图象有两个不同交点，
所以b的取值范围是.
②证明：由（1）知，当时，，令，
求导得，
令，求导得，
当时，，函数在上单调递减，，，
函数在上单调递减，，因此当时，，
而，则，又，于是，
又，函数在上递减，则，
所以.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）参数范围：将 “契合函数” 转化为方程有唯一解，构造函数后利用导数分析单调性与最值，结合函数图象得参数范围。
（2）① 参数范围：同理转化为方程有两个正根，构造函数后分析单调性、最值及极限趋势，得参数范围。
② 不等式证明：利用函数单调性，将双变量不等式转化为单变量不等式，结合函数性质证明。
（1）由与为“契合函数”，得，使
，令，依题意，方程有唯一解，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，则，
当时，，时，，，
又和只有一个“契合点”，则直线与函数的图象只有1个交点，则或，
所以实数a的取值范围是.
（2）①由与为“契合函数”，且有两个不同的“契合点”，
得存在，使，
即关于的方程有两个相异正根，令函数，
求导得，
由，得，得当时，；当时，，
则函数在上递增，在上递减，则，
当从大于0的方向趋近于0时，；当时，，
因此当时，直线与函数的图象有两个不同交点，
所以b的取值范围是.
②由（1）知，当时，，令，
求导得，
令，求导得，
当时，，函数在上单调递减，，，
函数在上单调递减，，因此当时，，
而，则，又，于是，
又，函数在上递减，则，
所以.
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