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湖南省怀化市九县十校2024-2025学年七年级下学期“新课标 新中考“联合调研考试数学试题
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（2025七下·怀化月考）下列是一元一次不等式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025七下·怀化月考）下列各多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025七下·怀化月考）已知实数（两个1之间依次多一个0），，则无理数的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．（2025七下·怀化月考）设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025七下·怀化月考）已知那么的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025七下·怀化月考）若不等式无解，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025七下·怀化月考）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025七下·怀化月考）如图，，在上，过作，平分∠FEC，平分．若，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　）个
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
9．（2025七下·怀化月考）如图，的平分线与的平分线交于点E，且，则=（　　）
A． B． C． D．
10．（2025七下·怀化月考）式子此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即），一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即），如，则4叫做以3为底81的对数，记为则同理由此可以得到下列式子：根据以上的信息及运关系，若则 （　　）
A． B． C．7 D．
二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）
11．（2025七下·怀化月考）若 是完全平方式，则 的值等于　 　．
12．（2025七下·怀化月考）的立方根是　 　；的平方根是　 　．
13．（2025七下·怀化月考）将一副直角三角板如图放置，点C在的延长线上，，，则的度数为　 　．
14．（2025七下·怀化月考）已知，，则　 　．
15．（2025七下·怀化月考）已知关于x的不等式x﹣a﹥0的最小整数解为2a－6，则a＝　 　．
16．（2025七下·怀化月考）已知的整数部分，的小数部分，则的值为　 　．
17．（2025七下·怀化月考）如图，在四边形ABCD中，．在BC，CD上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为　 　．
18．（2025七下·怀化月考）阅读理解：给定次序的n个数a1，a2，…，an，记Sk=a1+a2+…ak，为前k个数的和（1≤k≤n），定义A=（S1+S2+…+Sn）÷n称它们的“凯森和”，如a1=2，a2=3，a3=3，则S1=2，S2=5，S3=8，凯森和A=（2+5+8）÷3=5，若有99个数a1，a2，…，a99的“凯森和”为100，则添上21后的100个数21，a1，a2，…，a99的凯森和为　 　．
三、解答题（共8小题，共66分）
19．（2025七下·怀化月考）计算
（1）
（2）
20．（2025七下·怀化月考）实数计算和解不等式组
（1）
（2）
21．（2025七下·怀化月考）如图，，，平分，．
（1）吗？请说明理由；
（2）若，求的度数．
22．（2025七下·怀化月考）已知关于x的不等式组 有且仅有6个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，求所有满足条件的整数a的值．
23．（2025七下·怀化月考）在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．其中，深度学习作为人工智能的核心领域之一，依赖于强大的计算能力来训练复杂的模型．为了提升AI模型训练效率，某实验室需采购两种类型的GPU卡∶甲型(高性能)和乙型(节能型)．已知购买10块甲型GPU和5块乙型GPU需200万元；购买15块甲型GPU和10块乙型GPU需325万元．
（1）甲型、乙型GPU单价各是多少万元？
（2）若预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的16倍，有几种采购方案？
（3）若售出甲型每块利润为5万元，乙型为4万元，在（2）的条件下，实验室如何采购商家获得利润最大？最大利润是多少？
24．（2025七下·怀化月考）如图1是长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2)
（1）自主探究：
请你写出之间的等量关系是___；
（2）知识迁移：
设求的值；
（3）知识延伸：
若求的值．
25．（2025七下·怀化月考）我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“理想数”，例如，10是“理想数”，理由：因为所以10是“理想数”．
（1）解决问题：已知53是“理想数”，请将它写成（，是整数）的形式；
（2）探究问题：已知，则______
（3）融会贯通：已知（是整数，是常数）要使S为“理想数”，试求出符合条件的值，并说明理由；
（4）举一反三：已知实数，满足，求最值．
26．（2025七下·怀化月考）已知AD和BE相交于点C，，．
（1）如图（1），求证：；
（2）如图（2），点P是线段BC上一点，连结AP．
①求证：；
②若，请直接写出的度数；
（3）如图（3），若点M是射线BA上一点，作直线AD于点H，与的角平分线相交于点N，请直接写出的度数．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：、为整式，不是一元一次不等式，A错误；
、中未知数的次数是，是一元二次不等式，B错误；
、中含有个未知数，是二元一次不等式，C错误；
、中含有个未知数，未知数的次数是，是一元一次不等式，D正确；
故答案为：．
【分析】根据一元一次不等式的定义：含有个未知数，未知数的次数是，逐一判断即可．
2．【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，不能用平方差公式计算，A符合题意；
B、，可以用平方差公式计算，B不符合题意；
C、，可以用平方差公式计算，C不符合题意；
D、，可以用平方差公式计算，D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据平方差公式的结构，一组互为相反数，一组相等数，逐一判断求解即可．
3．【答案】C
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，
∴，，，（两个1之间依次多一个0）是无理数，共4个，
故答案为：C．
【分析】根据无理数的概念逐一判断即可.
4．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；偶次方的非负性；绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
，，
，，
，
，
故答案为：B．
【分析】先根据绝对值和平方的非负性得到二元一次方程组求出a，b，再根据三角形的三边关系求解即可．
5．【答案】B
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值；分母有理化
【解析】【解答】解：∵
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】先求出a，b，c的倒数，再比较大小即可.
6．【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为，
无解，
，
故答案为：D．
【分析】根据绝对值的几何意义：数轴上对应点到和对应点的距离之和，求出绝对值和的最小值即可.
7．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：原式
；
故答案为：B．
【分析】先根据平方差公式进行展开，再化简求值即可.
8．【答案】A
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念；余角；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：①∵平分
，
设，
，
，
，
，，
∴，
，，
，即，
，
，①正确；
②∵平分，
∴，②正确；
③∵，
∴，即③正确；
④，，
∴，即，
∴，
∴，④正确；
综上所述：正确的结论是①②③④．
故答案为：A．
【分析】先根据角平分线的定义得到，再根据角的关系和互余可判断①；根据角平分线的性质可判断②；根据三角形的内角和定理可判断③；根据角的运算可判断④；
9．【答案】B
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点F作，如图所示，
∴，
∵，的平分线与的平分线交于点E
∴，，，
∴，，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的定义和角的运算得到，根据三角形外角的性质求出∠E，最后根据角的关系求解即可.
10．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设，，，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：A．
【分析】先根据新定义和同底数幂的乘法得到和，再根据新定义得到一元二次方程，求解即可.
11．【答案】 或
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：因为： ，
所以
解得： 或
故答案为： 或
【分析】由 ，
观察积的2倍项的系数特点得 可得答案．
12．【答案】；
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴的立方根是；
∵
∴的平方根是．
故答案为．
【分析】根据平方根、立方根的定义计算求解即可．
13．【答案】
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵∠EDF=45°，
∴.
故答案为：.
【分析】根据平行线的性质可得，则，再结合三角形外角的性质即可求解．
14．【答案】4
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：4．
【分析】先根据幂的乘方得到，再根据同底数幂的除法和积的乘方逆运算求解即可.
15．【答案】6.5或7
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：解不等式x﹣a﹥0得，
∵最小整数解为2a－6，
∴，且2a－6为整数，
解得，
∴a＝6.5或7，
故答案为：6.5或7.
【分析】先解一元一次不等式，再根据最小整数解求出a的范围，再结合a为整数，2a－6为整数，求出值即可.
16．【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；无理数的估值；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴．
∵，x为的整数部分，y为的小数部分，
∴，．
∴．
故答案为：．
【分析】先根据绝对值和被开方数的非负性求出a+b，进而求出x，y，再代入计算即可.
17．【答案】160°
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点A关于BC和CD的对称点，连接，交BC于M，交CD于N，如图所示，
则即为周长最小值
，
故答案为：160°．
【分析】先找出点A关于BC和CD的对称点，再根据三角形的内角和求出，再根据角的关系求解即可.
18．【答案】120
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】∵99个数a1，a2，…，a99的“凯森和”为100，
∴（S1+S2+…+S99）÷99=100，
∴S1+S2+…+S99=9900，
（21+S1+21+S2+21+…+S99+21）÷100
=（21×100+S1+S2+…+S99）÷100
=（21×100+9900）÷100
=21+99
=120．
故答案是：120．
【分析】首先求出S1+S2+…+S99的值，然后再求添上21后的100个数21，a1，a2，…，a99的凯森和．
19．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）先根据积的乘方与幂的乘方法则进行运算，再合并同类项即可；
（2）先根据平方差公式与完全平方差公式、多项式乘以多项式法则展开，再去括号，合并同类项即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．【答案】（1）解：
；
（2）解：解不等式①，得；
解不等式②，得；
∴不等式组的解为．
【知识点】解一元一次不等式组；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先根据算术平方根，立方根，绝对值，乘方进行化简，再利用实数的加减运算法则加减即可；
（2）先分别求解一元一次不等式，再得到一元一次不等式组的解即可．
（1）解：
；
（2）解：
解不等式①，得；
解不等式②，得；
∴不等式组的解为．
21．【答案】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-证明问题；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）先根据两直线平行，内错角相等得到，再根据同旁内角互补，两直线平行证出即可；
（2）先根据两直线平行，同位角相等得到得出，，再根据角平分线的定义得到∠2，再根据角的运算计算即可．
（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
22．【答案】解：，解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是，
∵不等式组有且仅有6个整数解，
，
解得：，
解方程得：，
，
，
解得：，
∵a为整数，
∴a为15或16或17．
【知识点】解一元一次不等式组；已知一元一次方程的解求参数；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【分析】先分别解不等式，再得到求出不等式组的解集，根据整数解的个数求出的范围，再求出关于y方程的解，求出的范围，取公共部分，得到答案即可．
23．【答案】（1）解：设甲型、乙型GPU单价各是万元，万元，依题意，得
，
解得．
答：甲型、乙型GPU单价各是15万元，10万元．
（2）解：设购买甲型a块，由题意得，
解得，
∵a，为整数
∴a的取值为，共3种采购方案．
（3）解：当时，（万元）；
当时，（万元）；
当时，（万元）．
∴当时，，则（万元）．
答：实验室采购甲型60块、乙型10块商家获得利润最大，最大利润是340万元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据采购方法列出二元一次方程组，求解即可；
（2）根据甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的16倍，列出一元一次不等式组，求出a的范围，再根据a，为整数，求解即可．
（3）根据（2）中a的取值，逐一计算，求出最大利润即可．
（1）解：设甲型、乙型GPU单价各是万元，万元，依题意，得
，
解得．
答：甲型、乙型GPU单价各是15万元，10万元．
（2）设购买甲型a块，依题意，得
，
解得，
∵a，为整数
∴a的取值为，共3种采购方案．
（3）当时，（万元）；
当时，（万元）；
当时，（万元）．
∴当时，，则（万元）．
答：实验室采购甲型60块、乙型10块商家获得利润最大，最大利润是340万元．
24．【答案】（1）
（2）解：∵，，，∴
；
（3）解：∵，∴，
∴，
，
，
∴，
∵，
∴，
则．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）∵图1大长方形的面积等于图2中空白部分的面积，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据图1大长方形的面积和图2中空白部分的面积相等列出等式即可；
（2）将A，B整体代入（1）中结论，求解即可；
（3）先求出，再利用完全平方公式和整式加减求解即可．
（1）解：∵图1大长方形的面积等于图2中空白部分的面积，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，，，
∴
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
，
，
∴，
∵，
∴，
则．
25．【答案】（1）解：由题意可得.
（2）1
（3）解：，理由如下：
，
∵S为“理想数”，
∴，
∴；
（4）解：∵，∴，
∴，
∵，
∴的最小值为，无最大值．
【知识点】完全平方公式及运用；有理数的乘方法则；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：（2）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴；
【分析】（1）根据理想数的定义写出即可；
（2）先根据完全平方公式配方，再根据偶次方的非负性求出x，y，最后代入代数式计算即可；
（3）先将s配方，再根据理想数的定义求解即可；
（4）先根据原方程表示出y-x，进行配方，再根据偶次方的非负性质求解即可．
（1）解：由题意可得：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴；
（3）解：，理由如下：
，
∵S为“理想数”，
∴，
∴；
（4）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为，无最大值．
26．【答案】（1）证明：∵，， ，
∴
∴．
（2）①证明：过点P作PQ∥AB，如图所示，
可得
又∵
∴
∴
∵
∴
②∵AB∥DE，
∴∠BAD=∠EDC，
又∵∠EDC=∠DCE，
∴∠BAD=∠DCE，
又∵∠APE=∠BAD=2∠CED，
∴∠EDC=∠DCE=2∠CED，
∵∠EDC+∠DCE+∠CED=180°，
∴5∠CED=180°，
∴∠CED=36°；
（3）45°或135°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（3）当点M在点A、B之间时，MN与AD交于点F，如图所示，
∵MH⊥AD，
∴∠AHM=90°，
∴∠MAF+∠AMH=90°，
∵AB∥CD，
∴∠MAF=∠ADE，
∵∠ADE与∠AMH的角平分线相交于点N，
∴∠AMF=∠AMH，∠FDN=∠ADE=∠MAF，
∵∠AFM=∠DFN，
∴∠DNM+∠AND=∠MAF+∠AMF，
∴∠DNM+∠MAF=∠MAF+∠AMH，
∴∠DNM=（∠MAF+∠AMH）=×90°=45°；
当点E在点A的左侧时，设DM交直线AD于点G，如图所示，
∵MH⊥AD，
∴∠AHM=90°，
∴∠MAG+∠AMH=90°，
∵AB∥CD，
∴∠MAG=∠ADE，
∵∠ADE与∠AMH的角平分线相交于点N，
∴∠HMG=∠AMH，∠GDN=∠ADE=∠MAG，
∴∠DNM=∠GDN+∠DGN
=∠GDN+∠HMG+∠MHG
=∠MAG+∠AMH+∠MHG
=（∠MAG+∠AMH）+∠MHG
=×90°+90°=135°；
综上所述，的度数为45°或135°．
【分析】（1）根据角的关系得到，再根据内错角相等，两直线平行证出即可；
（2）①根据两直线平行，内错角相等得到，再根据角的运算证明即可；
②根据两直线平行，内错角相等得到∠BAD=∠EDC，进而得到∠BAD=∠DCE，再根据角的运算和三角形的内角和定理求解即可；
（3）分当点M在点A、B之间时和当点E在点A的左侧时，两种情况讨论即可．
（1）证明：∵，．
∴
∴．
（2）①证明：过点P作PQ∥AB，则
又∵
∴
∴
∵
∴
②∵AB∥DE，
∴∠BAD=∠EDC，
又∵∠EDC=∠DCE，
∴∠BAD=∠DCE，
又∵∠APE=∠BAD=2∠CED，
∴∠EDC=∠DCE=2∠CED，
∵∠EDC+∠DCE+∠CED=180°，
∴5∠CED=180°，
∴∠CED=36°；
（3）解：当点M在点A、B之间时，如图所示，MN与AD交于点F
∵MH⊥AD，
∴∠AHM=90°，
∴∠MAF+∠AMH=90°，
∵AB∥CD，
∴∠MAF=∠ADE，
∵∠ADE与∠AMH的角平分线相交于点N，
∴∠AMF=∠AMH，∠FDN=∠ADE=∠MAF，
∵∠AFM=∠DFN，
∴∠DNM+∠AND=∠MAF+∠AMF，
∴∠DNM+∠MAF=∠MAF+∠AMH，
∴∠DNM=（∠MAF+∠AMH）=×90°=45°；
当点E在点A的左侧时，设DM交直线AD于点G，
∵MH⊥AD，
∴∠AHM=90°，
∴∠MAG+∠AMH=90°，
∵AB∥CD，
∴∠MAG=∠ADE，
∵∠ADE与∠AMH的角平分线相交于点N，
∴∠HMG=∠AMH，∠GDN=∠ADE=∠MAG，
∴∠DNM=∠GDN+∠DGN
=∠GDN+∠HMG+∠MHG
=∠MAG+∠AMH+∠MHG
=（∠MAG+∠AMH）+∠MHG
=×90°+90°=135°；
综上所述，的度数为45°或135°．
1 / 1湖南省怀化市九县十校2024-2025学年七年级下学期“新课标 新中考“联合调研考试数学试题
一、选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．（2025七下·怀化月考）下列是一元一次不等式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次不等式的概念
【解析】【解答】解：、为整式，不是一元一次不等式，A错误；
、中未知数的次数是，是一元二次不等式，B错误；
、中含有个未知数，是二元一次不等式，C错误；
、中含有个未知数，未知数的次数是，是一元一次不等式，D正确；
故答案为：．
【分析】根据一元一次不等式的定义：含有个未知数，未知数的次数是，逐一判断即可．
2．（2025七下·怀化月考）下列各多项式的乘法中，不能用平方差公式计算的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：A、，不能用平方差公式计算，A符合题意；
B、，可以用平方差公式计算，B不符合题意；
C、，可以用平方差公式计算，C不符合题意；
D、，可以用平方差公式计算，D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据平方差公式的结构，一组互为相反数，一组相等数，逐一判断求解即可．
3．（2025七下·怀化月考）已知实数（两个1之间依次多一个0），，则无理数的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】C
【知识点】实数的概念与分类；无理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：，
∴，，，（两个1之间依次多一个0）是无理数，共4个，
故答案为：C．
【分析】根据无理数的概念逐一判断即可.
4．（2025七下·怀化月考）设的三边分别为其中满足，则最长边c的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；偶次方的非负性；绝对值的非负性；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：，
，，
，，
，
，
故答案为：B．
【分析】先根据绝对值和平方的非负性得到二元一次方程组求出a，b，再根据三角形的三边关系求解即可．
5．（2025七下·怀化月考）已知那么的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值；分母有理化
【解析】【解答】解：∵
∴，，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】先求出a，b，c的倒数，再比较大小即可.
6．（2025七下·怀化月考）若不等式无解，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】解一元一次不等式；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：表示数轴上对应点到和对应点的距离之和，最小值为，
无解，
，
故答案为：D．
【分析】根据绝对值的几何意义：数轴上对应点到和对应点的距离之和，求出绝对值和的最小值即可.
7．（2025七下·怀化月考）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用；探索数与式的规律
【解析】【解答】解：原式
；
故答案为：B．
【分析】先根据平方差公式进行展开，再化简求值即可.
8．（2025七下·怀化月考）如图，，在上，过作，平分∠FEC，平分．若，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（　　）个
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【知识点】角的运算；三角形内角和定理；角平分线的概念；余角；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：①∵平分
，
设，
，
，
，
，，
∴，
，，
，即，
，
，①正确；
②∵平分，
∴，②正确；
③∵，
∴，即③正确；
④，，
∴，即，
∴，
∴，④正确；
综上所述：正确的结论是①②③④．
故答案为：A．
【分析】先根据角平分线的定义得到，再根据角的关系和互余可判断①；根据角平分线的性质可判断②；根据三角形的内角和定理可判断③；根据角的运算可判断④；
9．（2025七下·怀化月考）如图，的平分线与的平分线交于点E，且，则=（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；平行公理的推论；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：过点F作，如图所示，
∴，
∵，的平分线与的平分线交于点E
∴，，，
∴，，
即，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的定义和角的运算得到，根据三角形外角的性质求出∠E，最后根据角的关系求解即可.
10．（2025七下·怀化月考）式子此时，3叫做以2为底8的对数，记为（即），一般地，若（且），则n叫做以a为底b的对数，记为（即），如，则4叫做以3为底81的对数，记为则同理由此可以得到下列式子：根据以上的信息及运关系，若则 （　　）
A． B． C．7 D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设，，，
∴，，，，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：A．
【分析】先根据新定义和同底数幂的乘法得到和，再根据新定义得到一元二次方程，求解即可.
二、填空题（共8小题，每题3分，共24分）
11．（2025七下·怀化月考）若 是完全平方式，则 的值等于　 　．
【答案】 或
【知识点】完全平方式
【解析】【解答】解：因为： ，
所以
解得： 或
故答案为： 或
【分析】由 ，
观察积的2倍项的系数特点得 可得答案．
12．（2025七下·怀化月考）的立方根是　 　；的平方根是　 　．
【答案】；
【知识点】开平方（求平方根）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：∵，
∴的立方根是；
∵
∴的平方根是．
故答案为．
【分析】根据平方根、立方根的定义计算求解即可．
13．（2025七下·怀化月考）将一副直角三角板如图放置，点C在的延长线上，，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵∠EDF=45°，
∴.
故答案为：.
【分析】根据平行线的性质可得，则，再结合三角形外角的性质即可求解．
14．（2025七下·怀化月考）已知，，则　 　．
【答案】4
【知识点】同底数幂的除法；幂的乘方运算；积的乘方运算的逆用
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：4．
【分析】先根据幂的乘方得到，再根据同底数幂的除法和积的乘方逆运算求解即可.
15．（2025七下·怀化月考）已知关于x的不等式x﹣a﹥0的最小整数解为2a－6，则a＝　 　．
【答案】6.5或7
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：解不等式x﹣a﹥0得，
∵最小整数解为2a－6，
∴，且2a－6为整数，
解得，
∴a＝6.5或7，
故答案为：6.5或7.
【分析】先解一元一次不等式，再根据最小整数解求出a的范围，再结合a为整数，2a－6为整数，求出值即可.
16．（2025七下·怀化月考）已知的整数部分，的小数部分，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；无理数的估值；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴．
∵，x为的整数部分，y为的小数部分，
∴，．
∴．
故答案为：．
【分析】先根据绝对值和被开方数的非负性求出a+b，进而求出x，y，再代入计算即可.
17．（2025七下·怀化月考）如图，在四边形ABCD中，．在BC，CD上分别找一点M，N，使周长最小，则的度数为　 　．
【答案】160°
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：作点A关于BC和CD的对称点，连接，交BC于M，交CD于N，如图所示，
则即为周长最小值
，
故答案为：160°．
【分析】先找出点A关于BC和CD的对称点，再根据三角形的内角和求出，再根据角的关系求解即可.
18．（2025七下·怀化月考）阅读理解：给定次序的n个数a1，a2，…，an，记Sk=a1+a2+…ak，为前k个数的和（1≤k≤n），定义A=（S1+S2+…+Sn）÷n称它们的“凯森和”，如a1=2，a2=3，a3=3，则S1=2，S2=5，S3=8，凯森和A=（2+5+8）÷3=5，若有99个数a1，a2，…，a99的“凯森和”为100，则添上21后的100个数21，a1，a2，…，a99的凯森和为　 　．
【答案】120
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】∵99个数a1，a2，…，a99的“凯森和”为100，
∴（S1+S2+…+S99）÷99=100，
∴S1+S2+…+S99=9900，
（21+S1+21+S2+21+…+S99+21）÷100
=（21×100+S1+S2+…+S99）÷100
=（21×100+9900）÷100
=21+99
=120．
故答案是：120．
【分析】首先求出S1+S2+…+S99的值，然后再求添上21后的100个数21，a1，a2，…，a99的凯森和．
三、解答题（共8小题，共66分）
19．（2025七下·怀化月考）计算
（1）
（2）
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【分析】（1）先根据积的乘方与幂的乘方法则进行运算，再合并同类项即可；
（2）先根据平方差公式与完全平方差公式、多项式乘以多项式法则展开，再去括号，合并同类项即可．
（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
20．（2025七下·怀化月考）实数计算和解不等式组
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：解不等式①，得；
解不等式②，得；
∴不等式组的解为．
【知识点】解一元一次不等式组；实数的绝对值；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】（1）先根据算术平方根，立方根，绝对值，乘方进行化简，再利用实数的加减运算法则加减即可；
（2）先分别求解一元一次不等式，再得到一元一次不等式组的解即可．
（1）解：
；
（2）解：
解不等式①，得；
解不等式②，得；
∴不等式组的解为．
21．（2025七下·怀化月考）如图，，，平分，．
（1）吗？请说明理由；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
【知识点】角平分线的概念；平行线的应用-证明问题；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）先根据两直线平行，内错角相等得到，再根据同旁内角互补，两直线平行证出即可；
（2）先根据两直线平行，同位角相等得到得出，，再根据角平分线的定义得到∠2，再根据角的运算计算即可．
（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
22．（2025七下·怀化月考）已知关于x的不等式组 有且仅有6个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，求所有满足条件的整数a的值．
【答案】解：，解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集是，
∵不等式组有且仅有6个整数解，
，
解得：，
解方程得：，
，
，
解得：，
∵a为整数，
∴a为15或16或17．
【知识点】解一元一次不等式组；已知一元一次方程的解求参数；已知不等式的解（集）求参数
【解析】【分析】先分别解不等式，再得到求出不等式组的解集，根据整数解的个数求出的范围，再求出关于y方程的解，求出的范围，取公共部分，得到答案即可．
23．（2025七下·怀化月考）在当今数字化时代，人工智能技术正以前所未有的速度发展，成为推动各行业变革的关键力量．其中，深度学习作为人工智能的核心领域之一，依赖于强大的计算能力来训练复杂的模型．为了提升AI模型训练效率，某实验室需采购两种类型的GPU卡∶甲型(高性能)和乙型(节能型)．已知购买10块甲型GPU和5块乙型GPU需200万元；购买15块甲型GPU和10块乙型GPU需325万元．
（1）甲型、乙型GPU单价各是多少万元？
（2）若预算为1000万元，且甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的16倍，有几种采购方案？
（3）若售出甲型每块利润为5万元，乙型为4万元，在（2）的条件下，实验室如何采购商家获得利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：设甲型、乙型GPU单价各是万元，万元，依题意，得
，
解得．
答：甲型、乙型GPU单价各是15万元，10万元．
（2）解：设购买甲型a块，由题意得，
解得，
∵a，为整数
∴a的取值为，共3种采购方案．
（3）解：当时，（万元）；
当时，（万元）；
当时，（万元）．
∴当时，，则（万元）．
答：实验室采购甲型60块、乙型10块商家获得利润最大，最大利润是340万元．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一元一次不等式组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据采购方法列出二元一次方程组，求解即可；
（2）根据甲型数量不低于乙型的5倍且不超过乙型的16倍，列出一元一次不等式组，求出a的范围，再根据a，为整数，求解即可．
（3）根据（2）中a的取值，逐一计算，求出最大利润即可．
（1）解：设甲型、乙型GPU单价各是万元，万元，依题意，得
，
解得．
答：甲型、乙型GPU单价各是15万元，10万元．
（2）设购买甲型a块，依题意，得
，
解得，
∵a，为整数
∴a的取值为，共3种采购方案．
（3）当时，（万元）；
当时，（万元）；
当时，（万元）．
∴当时，，则（万元）．
答：实验室采购甲型60块、乙型10块商家获得利润最大，最大利润是340万元．
24．（2025七下·怀化月考）如图1是长为4a，宽为b的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2)
（1）自主探究：
请你写出之间的等量关系是___；
（2）知识迁移：
设求的值；
（3）知识延伸：
若求的值．
【答案】（1）
（2）解：∵，，，∴
；
（3）解：∵，∴，
∴，
，
，
∴，
∵，
∴，
则．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；平方差公式及应用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：（1）∵图1大长方形的面积等于图2中空白部分的面积，
∴，
∴，
故答案为：；
【分析】（1）根据图1大长方形的面积和图2中空白部分的面积相等列出等式即可；
（2）将A，B整体代入（1）中结论，求解即可；
（3）先求出，再利用完全平方公式和整式加减求解即可．
（1）解：∵图1大长方形的面积等于图2中空白部分的面积，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：∵，，，
∴
；
（3）解：∵，
∴，
∴，
，
，
∴，
∵，
∴，
则．
25．（2025七下·怀化月考）我们定义：一个整数能表示成（，是整数）的形式，则称这个数为“理想数”，例如，10是“理想数”，理由：因为所以10是“理想数”．
（1）解决问题：已知53是“理想数”，请将它写成（，是整数）的形式；
（2）探究问题：已知，则______
（3）融会贯通：已知（是整数，是常数）要使S为“理想数”，试求出符合条件的值，并说明理由；
（4）举一反三：已知实数，满足，求最值．
【答案】（1）解：由题意可得.
（2）1
（3）解：，理由如下：
，
∵S为“理想数”，
∴，
∴；
（4）解：∵，∴，
∴，
∵，
∴的最小值为，无最大值．
【知识点】完全平方公式及运用；有理数的乘方法则；偶次方的非负性；配方法的应用
【解析】【解答】解：（2）∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴；
【分析】（1）根据理想数的定义写出即可；
（2）先根据完全平方公式配方，再根据偶次方的非负性求出x，y，最后代入代数式计算即可；
（3）先将s配方，再根据理想数的定义求解即可；
（4）先根据原方程表示出y-x，进行配方，再根据偶次方的非负性质求解即可．
（1）解：由题意可得：；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，，
∴；
（3）解：，理由如下：
，
∵S为“理想数”，
∴，
∴；
（4）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴的最小值为，无最大值．
26．（2025七下·怀化月考）已知AD和BE相交于点C，，．
（1）如图（1），求证：；
（2）如图（2），点P是线段BC上一点，连结AP．
①求证：；
②若，请直接写出的度数；
（3）如图（3），若点M是射线BA上一点，作直线AD于点H，与的角平分线相交于点N，请直接写出的度数．
【答案】（1）证明：∵，， ，
∴
∴．
（2）①证明：过点P作PQ∥AB，如图所示，
可得
又∵
∴
∴
∵
∴
②∵AB∥DE，
∴∠BAD=∠EDC，
又∵∠EDC=∠DCE，
∴∠BAD=∠DCE，
又∵∠APE=∠BAD=2∠CED，
∴∠EDC=∠DCE=2∠CED，
∵∠EDC+∠DCE+∠CED=180°，
∴5∠CED=180°，
∴∠CED=36°；
（3）45°或135°
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题；平行公理的推论
【解析】【解答】解：（3）当点M在点A、B之间时，MN与AD交于点F，如图所示，
∵MH⊥AD，
∴∠AHM=90°，
∴∠MAF+∠AMH=90°，
∵AB∥CD，
∴∠MAF=∠ADE，
∵∠ADE与∠AMH的角平分线相交于点N，
∴∠AMF=∠AMH，∠FDN=∠ADE=∠MAF，
∵∠AFM=∠DFN，
∴∠DNM+∠AND=∠MAF+∠AMF，
∴∠DNM+∠MAF=∠MAF+∠AMH，
∴∠DNM=（∠MAF+∠AMH）=×90°=45°；
当点E在点A的左侧时，设DM交直线AD于点G，如图所示，
∵MH⊥AD，
∴∠AHM=90°，
∴∠MAG+∠AMH=90°，
∵AB∥CD，
∴∠MAG=∠ADE，
∵∠ADE与∠AMH的角平分线相交于点N，
∴∠HMG=∠AMH，∠GDN=∠ADE=∠MAG，
∴∠DNM=∠GDN+∠DGN
=∠GDN+∠HMG+∠MHG
=∠MAG+∠AMH+∠MHG
=（∠MAG+∠AMH）+∠MHG
=×90°+90°=135°；
综上所述，的度数为45°或135°．
【分析】（1）根据角的关系得到，再根据内错角相等，两直线平行证出即可；
（2）①根据两直线平行，内错角相等得到，再根据角的运算证明即可；
②根据两直线平行，内错角相等得到∠BAD=∠EDC，进而得到∠BAD=∠DCE，再根据角的运算和三角形的内角和定理求解即可；
（3）分当点M在点A、B之间时和当点E在点A的左侧时，两种情况讨论即可．
（1）证明：∵，．
∴
∴．
（2）①证明：过点P作PQ∥AB，则
又∵
∴
∴
∵
∴
②∵AB∥DE，
∴∠BAD=∠EDC，
又∵∠EDC=∠DCE，
∴∠BAD=∠DCE，
又∵∠APE=∠BAD=2∠CED，
∴∠EDC=∠DCE=2∠CED，
∵∠EDC+∠DCE+∠CED=180°，
∴5∠CED=180°，
∴∠CED=36°；
（3）解：当点M在点A、B之间时，如图所示，MN与AD交于点F
∵MH⊥AD，
∴∠AHM=90°，
∴∠MAF+∠AMH=90°，
∵AB∥CD，
∴∠MAF=∠ADE，
∵∠ADE与∠AMH的角平分线相交于点N，
∴∠AMF=∠AMH，∠FDN=∠ADE=∠MAF，
∵∠AFM=∠DFN，
∴∠DNM+∠AND=∠MAF+∠AMF，
∴∠DNM+∠MAF=∠MAF+∠AMH，
∴∠DNM=（∠MAF+∠AMH）=×90°=45°；
当点E在点A的左侧时，设DM交直线AD于点G，
∵MH⊥AD，
∴∠AHM=90°，
∴∠MAG+∠AMH=90°，
∵AB∥CD，
∴∠MAG=∠ADE，
∵∠ADE与∠AMH的角平分线相交于点N，
∴∠HMG=∠AMH，∠GDN=∠ADE=∠MAG，
∴∠DNM=∠GDN+∠DGN
=∠GDN+∠HMG+∠MHG
=∠MAG+∠AMH+∠MHG
=（∠MAG+∠AMH）+∠MHG
=×90°+90°=135°；
综上所述，的度数为45°或135°．
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