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湖南省衡阳市衡南县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）
1．（2025八下·衡南期中）下列式子是分式的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八下·衡南期中）每到四月，许多地方的杨絮、柳絮如雪花漫天飞舞，人们不堪其忧，据测定，杨絮纤维的直径约为0.0000115 ，该数值用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025八下·衡南期中） 下列分式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八下·衡南期中）在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025八下·衡南期中）若直线y=kx-2经过二、三、四象限，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八下·衡南期中）已知反比例函数，则下列描述不正确的是(　　)
A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点
C．图象不可能与坐标轴相交 D．y随x的增大而减小
7．（2025八下·衡南期中）关于的分式方程的解是正数，则字母的取值范围是（　　）.
A． B． C． D．
8．（2025八下·衡南期中）函数与在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025八下·衡南期中）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，动点P从点A开始沿的路径匀速运动到D为止．在这个过程中，△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025八下·衡南期中）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点是轴上任意一点，，则的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．（2025八下·衡南期中）已知分式有意义，则的取值范围是　 　．
12．（2025八下·衡南期中）若关于x的分式方程有增根，则增根是　 　．
13．（2025八下·衡南期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的坐标为，则　 　．
14．（2025八下·衡南期中）将直线向上平移5个单位，得到的直线的解析式为　 　．
15．（2025八下·衡南期中）点P在第四象限，距离x轴3个单位长度，距离y轴5个单位长度，那么点P的坐标是　 　．
16．（2025八下·衡南期中）已知在函数的图象上，则的大小关系是：　 　．
17．（2025八下·衡南期中）如图，已知直线y＝﹣2x+b与直线y＝ax﹣1相交于点(2，﹣2)，由图象可得不等式﹣2x+b＞ax﹣1的解集是　 　．
18．（2025八下·衡南期中）如图，直线与直线相交于点，则关于x、y的方程组的解为　 　．
三、解答题（共8题，共66分）
19．（2025八下·衡南期中）计算：
20．（2025八下·衡南期中）解分式方程：．
21．（2025八下·衡南期中）先化简，再求值：，在，，2中选一个合适的数作代入求值．
22．（2025八下·衡南期中）小明家，新华书店，学校在一条笔直的公路旁，某天小明骑车上学，当他骑了一段后，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续骑车去学校，他本次骑车上学的过程中离家距离与所用的时间的关系如图所示，请根据图像提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的距离是 米；
（2）小明在书店停留了 分钟；
（3）本次上学途中，小明一共骑行了 米；
（4）买到书后，小明从新华书店到学校的骑车速度是多少？
23．（2025八下·衡南期中）已知函数．
（1）若这个函数经过原点，求m的值．
（2）若函数的图象平行于直线，求m的值；
（3）若这个函数是一次函数，且图象不经过第四象限，求m的取值范围．
24．（2025八下·衡南期中）某销售商准备在昆明采购一批茶叶，经调查，用元采购型茶叶的件数与用元采购型茶叶的件数相等，一件型茶叶进价比一件型茶叶进价多元．
（1）求一件型、型茶叶的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进型、型茶叶共件，其中型的件数不大于型的件数，且不少于件．若型的售价是元/件，销售成本为元/件；型的售价为元/件，销售成本为元/件．设购进型茶叶件．求销售这批茶叶的利润(元)与(件)的函数关系式，并求出当利润最大时的购买方案，求出最大利润（每件销售利润售价进价销售成本）．
25．（2025八下·衡南期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，交轴于点，交轴于点．
（1）求一次函数与反比例函数的函数关系式．
（2）连结，求的面积．
（3）根据图象直接写出时，的取值范围．
26．（2025八下·衡南期中）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）如图2，当时，在第二象限构造等腰直角，；
①直接写出　 　，　 　；
②点C的坐标是 ；
（2）如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变，请说明理由；
（3）【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系，点，过点B作轴于点A，作轴于点C，P为线段上的一个动点，点位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】，，都是整式，是分式．
故答案为：C．
【分析】根据分式的定义结合题意对选项逐一判断即可求解。
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】 绝对值小于1的正数科学记数法表示的一般形式为
故答案为：D.
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
3．【答案】C
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】A：，分子分母可同时约去x，则选项不是最简分式，不合题意；
B：分子分母可同时约去x-1，则选项不是最简分式，不合题意；
C：分子分母不含有公因式，不能再约分，则选项是最简分式，符合题意；
D：分子分母可同时约去x-1，则选项不是最简分式，不合题意；
故答案为 ： C
【分析】本题考查最简分式：分子和分母中不含有能约分的因数或因式，则为最简分式，根据定义对各选项进行判断即可。
4．【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由题意知，手在第二象限，
∴是可能的点坐标，
故答案为：B．
【分析】
根据第二象限的点的坐标特征为，即可解答．
5．【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx-2的图象经过二、三、四象限，
∴k＜0．
故答案为：B．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系可得答案。
6．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A．反比例函数，则图象位于第一、三象限，故此选项A正确，不合题意；
B．当时，，即图象必经过点，故此选项B正确，不合题意；
C．图象不可能与坐标轴相交，故此选项C正确，不合题意；
D．每个象限内，随的增大而减小，故此选项D不正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据反比例函数的性质，，当时，图象在第一、三象限，每个象限内，随增大而减小，再由反比例函数图象上点的坐标特点，分别判断即可.
7．【答案】D
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：分式方程去分母得：2x－m＝3x＋3，
解得：x＝－m－3，
由分式方程的解为正数，得到－m－3＞0，且－m－3≠－1，
解得：m＜－3，
故答案为：D．
【分析】先按步骤解分式方程，再根据题意列出不等式求解即可．
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由一次函数图象可知，由反比例函数图象可知，二者不一致，不符合题意；
B、由一次函数图象可知，由反比例函数图象可知，二者一致，符合题意；
C、由一次函数图象可知一次项系数大于0，常数项大于0，即，二者矛盾，不符合题意；
D、由一次函数图象可知一次项系数大于0，常数项大于0，即，二者矛盾，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据一次函数图象与系数的关系及反比例函数图象的性质即可逐一判断．
9．【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】当点P由A运动到B时，△APD的面积逐渐增大；
当点P由B运动到C时，△APD的面积不变；
当点P由C运动到D时，△APD的面积逐渐减小；
再观察图形可得AB＜CD，故△APD的面积由小到大的时间应小于△APD的面积由大到小的时间．
故答案为：D．
【分析】
根据三角形的面积公式及点P运动方式，AD不变为三角形的底，分段分析即可解答．
10．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：过作轴于，连接、，如图所示：
过点作轴的垂线交轴于点，
，解得，
故答案为：A．
【分析】
过作轴于，连接，如图所示，由反比例函数系数k的几何意义即可解答.
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】
根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，列出解不等式求出解集即可．
12．【答案】1
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解： 有增根，
∴方程的增根是使的x的值，
∴
故答案为：1.
【分析】根据分式方程的增根就是使最简公分母为0的根可得x-1=0，据此可得x的值.
13．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由点关于原点对称的坐标为，可知：，
∴；
故答案为：．
【分析】
点的坐标关于原点对称：横纵坐标都互为相反数；列出关于m的方程即可解答．
14．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线向上平移5个单位，得到：．
故答案为：．
【分析】
根据一次函数图象平移的规律“上加下减”即可解答．
15．【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P位于第四象限，且距离x轴3个单位长度，距离y轴5个单位长度，∴点P的纵坐标为-3，横坐标为5，即点P的坐标为（5，-3），
故答案为：（5，-3）．
【分析】由点到坐标轴的距离与点坐标的关系，到x轴的距离即为纵坐标的绝对值、到y轴的距离即为横坐标的绝对值及四个象限内点的坐标的符号特点．
16．【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵，，
∴y随x的增大而增大，
∵在函数的图象上，，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据一次函数的增减性，，y随x的增大而增大，即可判断m与n的大小关系．
17．【答案】x﹤2
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：求﹣2x+b＞ax﹣1的解集，就是求直线y＝﹣2x+b在直线y＝ax﹣1上方的区间，
当x＜2时，直线y＝﹣2x+b在直线y＝ax﹣1的上方，
根据图象可得不等式﹣2x+b＞ax﹣1的解集是x＜2．
故答案为：x＜2.
【分析】
根据一次函数与一元一次不等式的关系，结合函数图象即可解答.
18．【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线经过点，
∴，
∴，
∴关于x、y的方程组的解为：．
故答案为：．
【分析】根据二元一次方程组与一次函数的关系，两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解，将代入直线即可解答.
19．【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运用零次幂、负整数次幂、绝对值、算术平方根化简 ，然后再计算即可．
20．【答案】解：去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解．

【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】
依据解分式方程的步骤，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1，解出方程的解并检验即可.
21．【答案】解：原式
，
当时，分式无意义，
所以取，
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】
根据分式的基本运算，先将分式化简后，再根据分式有意义的条件选择合适的值代入即可解答.
22．【答案】（1）1500
（2）4
（3）2700
（4）解：根据图象可得：
买到书后，小明从新华书店到学校的骑车速度是米/分．
答：小明从新华书店到学校的骑车速度是450米/分
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）解：根据图象，学校的纵坐标为，小明家的纵坐标为，
∴小明家到学校的距离是米；
故答案为：1500
（2）解：根据图象，小明在书店停留的时间为从分钟到分钟，，
∴小明在书店停留了分钟；
故答案为：4
（3）解：根据图象可得：
本次上学途中，小明一共骑行了米．
故答案为：2700
【分析】（1）（2）（3）（4）结合函数图象信息即可解答；
（1）解：根据图象，学校的纵坐标为，小明家的纵坐标为，
∴小明家到学校的距离是米；
（2）解：根据图象，小明在书店停留的时间为从分钟到分钟，，
∴小明在书店停留了分钟；
（3）解：根据图象可得：
本次上学途中，小明一共骑行了米；
（4）解：根据图象可得：
买到书后，小明从新华书店到学校的骑车速度是米/分．
23．【答案】（1）解：∵关于x的函数的图象经过原点，
∴点满足函数的解析式，
∴，解得：
（2）解：∵函数的图象平行于直线，
∴，
解得：
（3）解：函数是一次函数，且图象不经过第四象限，
∴，解得：．
∴m的取值范围是
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据这个函数经过原点，将代入函数，即可解出ｍ的值；
（2）根据函数的图象平行于直线，列出方程即可解出ｍ的值；
（3）根据一次函数图象不经过第四象限，列出关于ｍ的不等式组，即可求得m的取值范围．
（1）解：∵关于x的函数的图象经过原点，
∴点满足函数的解析式，
∴，解得：．
（2）解：∵函数的图象平行于直线，
∴，解得：．
（3）解：函数是一次函数，且图象不经过第四象限，
∴，解得：．
∴m的取值范围是．
24．【答案】解：（1）设一件型茶叶的进价为元，则一件型茶叶的进价为元
由题意得，
解这个方程得，
经检验得是原方程的根：
则，
答：一件型、型茶叶的进价分别为元，元；
（2）由题意得，且，解得，
随的增大而增大，当时，元，
答：利润最大的购买方案：型购买件，型购买件，
最大利润为元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设一件A型茶叶的进价为x元，则一件B型茶叶的进价为（x 100）元．根据题意，由10000元采购A型茶叶的件数与用8000元采购B型茶叶的件数相等，列出分式方程求解即可；
（2）根据题中的不等关系列出不等式，即可得到m的取值范围，再表示出总利润关于m的一次函数表达式，根据一次函数的性质即可解答.
25．【答案】（1）解：把代入代入，得：，
，
把代入得：，
，
把、的坐标代入得：
，
解得：，，
，
反比例函数的表达式是，一次函数的表达式是；
（2）把代入得：，
，，
，
即的面积是；
（3）根据图象和、的坐标得出，
当或时，的值大于反比例函数的值．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点和原点型
【解析】【分析】（1）把的坐标代入反比例函数的解析式求出，把的坐标代入反比例函数解析式求出，把、的坐标代入一次函数的解析式得关于k、b的方程组，解方程组即可求解；
（2）求出一次函数与轴的交点坐标，然后根据三角形的面积公式计算即可求解；
（3）根据题意，结合图象和、的坐标即可求解．
26．【答案】（1）①3，6；②
（2）解：当变化时，的面积是定值，，
理由如下：
当变化时，点随之在轴负半轴上运动时，
，
过点作于，如图，
，
，
，
，
，
，
，，
．
，
．
变化时，的面积是定值，定值为18
（3）解：能，构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，，，过点Q作于E，交于F，
分两种情况：当点Q在下方时，如图，
∵，，
∴，
由“k型全等”可得，
∴，
∵，，
∴，，
∴
解得：；
当点Q在上方时，如图，
同理得：，
∴，
∵，，
∴，，
∴
解得：；
综上，当或时，能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；一次函数图象与坐标轴交点问题；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】（1）解：①若，则直线为，
当时，，
，
当时，，
，
，；
②作于，
，
，
是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
点C的坐标为；
【分析】（1）①若，则直线与轴，轴分别交于，两点，即可求解；
②作于，则．由全等三角形的性质得，，即可求解；
（2）由点随之在轴负半轴上运动时，可知，过点作于，则．由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解；
（3）过点Q作于E，交于F，分两种情况：当点Q在下方时；当点Q在上方时，分别 求出a值即可．
（1）解：①若，则直线为，
当时，，
，
当时，，
，
，；
②作于，
，
，
是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
点C的坐标为；
（2）解：当变化时，的面积是定值，，
理由如下：
当变化时，点随之在轴负半轴上运动时，
，
过点作于，如图，
，
，
，
，
，
，
，，
．
，
．
变化时，的面积是定值，定值为18．
（3）解：能，构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，，，
过点Q作于E，交于F，
分两种情况：当点Q在下方时，如图，
∵，，
∴，
由“k型全等”可得，
∴，
∵，，
∴，，
∴
解得：；
当点Q在上方时，如图，
同理得：，
∴，
∵，，
∴，，
∴
解得：；
综上，当或时，能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，
1 / 1湖南省衡阳市衡南县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项）
1．（2025八下·衡南期中）下列式子是分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的概念
【解析】【解答】，，都是整式，是分式．
故答案为：C．
【分析】根据分式的定义结合题意对选项逐一判断即可求解。
2．（2025八下·衡南期中）每到四月，许多地方的杨絮、柳絮如雪花漫天飞舞，人们不堪其忧，据测定，杨絮纤维的直径约为0.0000115 ，该数值用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】 绝对值小于1的正数科学记数法表示的一般形式为
故答案为：D.
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
3．（2025八下·衡南期中） 下列分式中，是最简分式的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】最简分式的概念
【解析】【解答】A：，分子分母可同时约去x，则选项不是最简分式，不合题意；
B：分子分母可同时约去x-1，则选项不是最简分式，不合题意；
C：分子分母不含有公因式，不能再约分，则选项是最简分式，符合题意；
D：分子分母可同时约去x-1，则选项不是最简分式，不合题意；
故答案为 ： C
【分析】本题考查最简分式：分子和分母中不含有能约分的因数或因式，则为最简分式，根据定义对各选项进行判断即可。
4．（2025八下·衡南期中）在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：由题意知，手在第二象限，
∴是可能的点坐标，
故答案为：B．
【分析】
根据第二象限的点的坐标特征为，即可解答．
5．（2025八下·衡南期中）若直线y=kx-2经过二、三、四象限，则k的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵一次函数y=kx-2的图象经过二、三、四象限，
∴k＜0．
故答案为：B．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系可得答案。
6．（2025八下·衡南期中）已知反比例函数，则下列描述不正确的是(　　)
A．图象位于第一，第三象限 B．图象必经过点
C．图象不可能与坐标轴相交 D．y随x的增大而减小
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：A．反比例函数，则图象位于第一、三象限，故此选项A正确，不合题意；
B．当时，，即图象必经过点，故此选项B正确，不合题意；
C．图象不可能与坐标轴相交，故此选项C正确，不合题意；
D．每个象限内，随的增大而减小，故此选项D不正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据反比例函数的性质，，当时，图象在第一、三象限，每个象限内，随增大而减小，再由反比例函数图象上点的坐标特点，分别判断即可.
7．（2025八下·衡南期中）关于的分式方程的解是正数，则字母的取值范围是（　　）.
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：分式方程去分母得：2x－m＝3x＋3，
解得：x＝－m－3，
由分式方程的解为正数，得到－m－3＞0，且－m－3≠－1，
解得：m＜－3，
故答案为：D．
【分析】先按步骤解分式方程，再根据题意列出不等式求解即可．
8．（2025八下·衡南期中）函数与在同一平面直角坐标系内的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、由一次函数图象可知，由反比例函数图象可知，二者不一致，不符合题意；
B、由一次函数图象可知，由反比例函数图象可知，二者一致，符合题意；
C、由一次函数图象可知一次项系数大于0，常数项大于0，即，二者矛盾，不符合题意；
D、由一次函数图象可知一次项系数大于0，常数项大于0，即，二者矛盾，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
根据一次函数图象与系数的关系及反比例函数图象的性质即可逐一判断．
9．（2025八下·衡南期中）如图，在四边形ABCD中，BC∥AD，动点P从点A开始沿的路径匀速运动到D为止．在这个过程中，△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】动点问题的函数图象
【解析】【解答】当点P由A运动到B时，△APD的面积逐渐增大；
当点P由B运动到C时，△APD的面积不变；
当点P由C运动到D时，△APD的面积逐渐减小；
再观察图形可得AB＜CD，故△APD的面积由小到大的时间应小于△APD的面积由大到小的时间．
故答案为：D．
【分析】
根据三角形的面积公式及点P运动方式，AD不变为三角形的底，分段分析即可解答．
10．（2025八下·衡南期中）如图，点是反比例函数的图象上一点，过点作轴的垂线交轴于点，点是轴上任意一点，，则的值为（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：过作轴于，连接、，如图所示：
过点作轴的垂线交轴于点，
，解得，
故答案为：A．
【分析】
过作轴于，连接，如图所示，由反比例函数系数k的几何意义即可解答.
二、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）
11．（2025八下·衡南期中）已知分式有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：，
解得：，
故答案为：．
【分析】
根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，列出解不等式求出解集即可．
12．（2025八下·衡南期中）若关于x的分式方程有增根，则增根是　 　．
【答案】1
【知识点】分式方程的增根
【解析】【解答】解： 有增根，
∴方程的增根是使的x的值，
∴
故答案为：1.
【分析】根据分式方程的增根就是使最简公分母为0的根可得x-1=0，据此可得x的值.
13．（2025八下·衡南期中）在平面直角坐标系中，点关于原点对称的坐标为，则　 　．
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由点关于原点对称的坐标为，可知：，
∴；
故答案为：．
【分析】
点的坐标关于原点对称：横纵坐标都互为相反数；列出关于m的方程即可解答．
14．（2025八下·衡南期中）将直线向上平移5个单位，得到的直线的解析式为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：直线向上平移5个单位，得到：．
故答案为：．
【分析】
根据一次函数图象平移的规律“上加下减”即可解答．
15．（2025八下·衡南期中）点P在第四象限，距离x轴3个单位长度，距离y轴5个单位长度，那么点P的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点P位于第四象限，且距离x轴3个单位长度，距离y轴5个单位长度，∴点P的纵坐标为-3，横坐标为5，即点P的坐标为（5，-3），
故答案为：（5，-3）．
【分析】由点到坐标轴的距离与点坐标的关系，到x轴的距离即为纵坐标的绝对值、到y轴的距离即为横坐标的绝对值及四个象限内点的坐标的符号特点．
16．（2025八下·衡南期中）已知在函数的图象上，则的大小关系是：　 　．
【答案】
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：∵，，
∴y随x的增大而增大，
∵在函数的图象上，，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据一次函数的增减性，，y随x的增大而增大，即可判断m与n的大小关系．
17．（2025八下·衡南期中）如图，已知直线y＝﹣2x+b与直线y＝ax﹣1相交于点(2，﹣2)，由图象可得不等式﹣2x+b＞ax﹣1的解集是　 　．
【答案】x﹤2
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：求﹣2x+b＞ax﹣1的解集，就是求直线y＝﹣2x+b在直线y＝ax﹣1上方的区间，
当x＜2时，直线y＝﹣2x+b在直线y＝ax﹣1的上方，
根据图象可得不等式﹣2x+b＞ax﹣1的解集是x＜2．
故答案为：x＜2.
【分析】
根据一次函数与一元一次不等式的关系，结合函数图象即可解答.
18．（2025八下·衡南期中）如图，直线与直线相交于点，则关于x、y的方程组的解为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：∵直线经过点，
∴，
∴，
∴关于x、y的方程组的解为：．
故答案为：．
【分析】根据二元一次方程组与一次函数的关系，两函数图象的交点坐标就是两函数组成的二元一次方程组的解，将代入直线即可解答.
三、解答题（共8题，共66分）
19．（2025八下·衡南期中）计算：
【答案】解：
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】先运用零次幂、负整数次幂、绝对值、算术平方根化简 ，然后再计算即可．
20．（2025八下·衡南期中）解分式方程：．
【答案】解：去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：，
检验，当时，，
∴是原方程的解．

【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】
依据解分式方程的步骤，按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1，解出方程的解并检验即可.
21．（2025八下·衡南期中）先化简，再求值：，在，，2中选一个合适的数作代入求值．
【答案】解：原式
，
当时，分式无意义，
所以取，
当时，原式．
【知识点】分式有无意义的条件；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】
根据分式的基本运算，先将分式化简后，再根据分式有意义的条件选择合适的值代入即可解答.
22．（2025八下·衡南期中）小明家，新华书店，学校在一条笔直的公路旁，某天小明骑车上学，当他骑了一段后，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续骑车去学校，他本次骑车上学的过程中离家距离与所用的时间的关系如图所示，请根据图像提供的信息回答下列问题：
（1）小明家到学校的距离是 米；
（2）小明在书店停留了 分钟；
（3）本次上学途中，小明一共骑行了 米；
（4）买到书后，小明从新华书店到学校的骑车速度是多少？
【答案】（1）1500
（2）4
（3）2700
（4）解：根据图象可得：
买到书后，小明从新华书店到学校的骑车速度是米/分．
答：小明从新华书店到学校的骑车速度是450米/分
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（1）解：根据图象，学校的纵坐标为，小明家的纵坐标为，
∴小明家到学校的距离是米；
故答案为：1500
（2）解：根据图象，小明在书店停留的时间为从分钟到分钟，，
∴小明在书店停留了分钟；
故答案为：4
（3）解：根据图象可得：
本次上学途中，小明一共骑行了米．
故答案为：2700
【分析】（1）（2）（3）（4）结合函数图象信息即可解答；
（1）解：根据图象，学校的纵坐标为，小明家的纵坐标为，
∴小明家到学校的距离是米；
（2）解：根据图象，小明在书店停留的时间为从分钟到分钟，，
∴小明在书店停留了分钟；
（3）解：根据图象可得：
本次上学途中，小明一共骑行了米；
（4）解：根据图象可得：
买到书后，小明从新华书店到学校的骑车速度是米/分．
23．（2025八下·衡南期中）已知函数．
（1）若这个函数经过原点，求m的值．
（2）若函数的图象平行于直线，求m的值；
（3）若这个函数是一次函数，且图象不经过第四象限，求m的取值范围．
【答案】（1）解：∵关于x的函数的图象经过原点，
∴点满足函数的解析式，
∴，解得：
（2）解：∵函数的图象平行于直线，
∴，
解得：
（3）解：函数是一次函数，且图象不经过第四象限，
∴，解得：．
∴m的取值范围是
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象的平移变换
【解析】【分析】（1）根据这个函数经过原点，将代入函数，即可解出ｍ的值；
（2）根据函数的图象平行于直线，列出方程即可解出ｍ的值；
（3）根据一次函数图象不经过第四象限，列出关于ｍ的不等式组，即可求得m的取值范围．
（1）解：∵关于x的函数的图象经过原点，
∴点满足函数的解析式，
∴，解得：．
（2）解：∵函数的图象平行于直线，
∴，解得：．
（3）解：函数是一次函数，且图象不经过第四象限，
∴，解得：．
∴m的取值范围是．
24．（2025八下·衡南期中）某销售商准备在昆明采购一批茶叶，经调查，用元采购型茶叶的件数与用元采购型茶叶的件数相等，一件型茶叶进价比一件型茶叶进价多元．
（1）求一件型、型茶叶的进价分别为多少元？
（2）若销售商购进型、型茶叶共件，其中型的件数不大于型的件数，且不少于件．若型的售价是元/件，销售成本为元/件；型的售价为元/件，销售成本为元/件．设购进型茶叶件．求销售这批茶叶的利润(元)与(件)的函数关系式，并求出当利润最大时的购买方案，求出最大利润（每件销售利润售价进价销售成本）．
【答案】解：（1）设一件型茶叶的进价为元，则一件型茶叶的进价为元
由题意得，
解这个方程得，
经检验得是原方程的根：
则，
答：一件型、型茶叶的进价分别为元，元；
（2）由题意得，且，解得，
随的增大而增大，当时，元，
答：利润最大的购买方案：型购买件，型购买件，
最大利润为元．
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设一件A型茶叶的进价为x元，则一件B型茶叶的进价为（x 100）元．根据题意，由10000元采购A型茶叶的件数与用8000元采购B型茶叶的件数相等，列出分式方程求解即可；
（2）根据题中的不等关系列出不等式，即可得到m的取值范围，再表示出总利润关于m的一次函数表达式，根据一次函数的性质即可解答.
25．（2025八下·衡南期中）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，交轴于点，交轴于点．
（1）求一次函数与反比例函数的函数关系式．
（2）连结，求的面积．
（3）根据图象直接写出时，的取值范围．
【答案】（1）解：把代入代入，得：，
，
把代入得：，
，
把、的坐标代入得：
，
解得：，，
，
反比例函数的表达式是，一次函数的表达式是；
（2）把代入得：，
，，
，
即的面积是；
（3）根据图象和、的坐标得出，
当或时，的值大于反比例函数的值．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点和原点型
【解析】【分析】（1）把的坐标代入反比例函数的解析式求出，把的坐标代入反比例函数解析式求出，把、的坐标代入一次函数的解析式得关于k、b的方程组，解方程组即可求解；
（2）求出一次函数与轴的交点坐标，然后根据三角形的面积公式计算即可求解；
（3）根据题意，结合图象和、的坐标即可求解．
26．（2025八下·衡南期中）【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“k型全等”．（不需要证明）
【迁移应用】已知：直线的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点．
（1）如图2，当时，在第二象限构造等腰直角，；
①直接写出　 　，　 　；
②点C的坐标是 ；
（2）如图3，当k的取值变化，点A随之在x轴负半轴上运动时，在y轴左侧过点B作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，请求出这个定值．若变，请说明理由；
（3）【拓展应用】如图4，在平面直角坐标系，点，过点B作轴于点A，作轴于点C，P为线段上的一个动点，点位于第一象限．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出a的值；若不能，请说明理由．
【答案】（1）①3，6；②
（2）解：当变化时，的面积是定值，，
理由如下：
当变化时，点随之在轴负半轴上运动时，
，
过点作于，如图，
，
，
，
，
，
，
，，
．
，
．
变化时，的面积是定值，定值为18
（3）解：能，构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，，，过点Q作于E，交于F，
分两种情况：当点Q在下方时，如图，
∵，，
∴，
由“k型全等”可得，
∴，
∵，，
∴，，
∴
解得：；
当点Q在上方时，如图，
同理得：，
∴，
∵，，
∴，，
∴
解得：；
综上，当或时，能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；一次函数图象与坐标轴交点问题；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【解答】（1）解：①若，则直线为，
当时，，
，
当时，，
，
，；
②作于，
，
，
是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
点C的坐标为；
【分析】（1）①若，则直线与轴，轴分别交于，两点，即可求解；
②作于，则．由全等三角形的性质得，，即可求解；
（2）由点随之在轴负半轴上运动时，可知，过点作于，则．由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解；
（3）过点Q作于E，交于F，分两种情况：当点Q在下方时；当点Q在上方时，分别 求出a值即可．
（1）解：①若，则直线为，
当时，，
，
当时，，
，
，；
②作于，
，
，
是以A为直角顶点的等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，，
，
点C的坐标为；
（2）解：当变化时，的面积是定值，，
理由如下：
当变化时，点随之在轴负半轴上运动时，
，
过点作于，如图，
，
，
，
，
，
，
，，
．
，
．
变化时，的面积是定值，定值为18．
（3）解：能，构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，，，
过点Q作于E，交于F，
分两种情况：当点Q在下方时，如图，
∵，，
∴，
由“k型全等”可得，
∴，
∵，，
∴，，
∴
解得：；
当点Q在上方时，如图，
同理得：，
∴，
∵，，
∴，，
∴
解得：；
综上，当或时，能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，
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