资源简介

江苏省南京市建邺区2025年中考一模数学试卷
1．（2025·建邺模拟）下列四个数中，是负数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的乘方法则；相反数的意义与性质；求有理数的绝对值的方法；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：A、是负数，符合题意；
B、，是正数，不符合题意；
C、，是正数，不符合题意；
D、，是正数，不符合题意；
故选：A．
【分析】
根据求绝对值、相反数、有理数的乘方和负数的定义，将各数分别化简即可．
2．（2025·建邺模拟）人眼可见的蓝光波长约为．用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】，
故选C．
【分析】把一个绝对值较小的数字常用科学记数法表示成的形式，其中取这个数字左边第一个非0数字前面0的个数．
3．（2025·建邺模拟）下列计算中，结果是a6的是（　　）
A．a3＋a3 B．a3·a3 C．（a3）3 D．a12÷a2
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，结果不是，故A选项不符合题意；
B、，结果是，故B选项符合题意；
C、，结果不是，故C选项不符合题意；
D、，结果不是，故D选项不符合题意；
故选：B．
【分析】
A、合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变；
B、同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；
C、幂的乘方，底数不变，指数相乘；
D、同底数幂的除法，底数不变，指数相减．
4．（2025·建邺模拟）如图，在中，点在上，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
，，
∴．
故选：．
【分析】先利用等腰三角形等边对等角结合三角形内角和定理得，再利用三角形外角的性质求解即可．
5．（2025·建邺模拟）已知实数x，y满足，，则下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等式的性质；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故A选项错误，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故B选项错误，不符合题意；
∵，，
∴，故C选项正确，符合题意；
∵，，
∴，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】A、先利用等式的性质可得 ，再代入到不等式中得；
B、同A先得，再代入到不等式得；
C、由和可得；
D、同C可得．
6．（2025·建邺模拟）如图，“十字形”几何体由5个相同的正方体搭建而成．若再添加一些相同的正方体，使得新几何体的三视图全等，则至少需要添加正方体的个数是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
【答案】B
【知识点】由三视图判断小正方体的个数；小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：如图所示，正方形内的数字表示正方形的个数，
至少需要添加正方体的个数是：（个）．
故选：B．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
7．（2025·建邺模拟）式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是　 　 ．
【答案】x≥3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意可得：x-3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
8．（2025·建邺模拟）方程 的解是　 　．
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以，得
解得：，
检验：把代入，得，
∴是原分式方程的解．
故答案为：．
【分析】先给方程两边同时乘以最简公母化分式方程为整式方程并求解得，再把这个解代入到最简分分母中检验并作答即可．
9．（2025·建邺模拟）计算的结果是　 　．
【答案】4
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：．
【分析】二次根式的乘除混合法则，即算术平方根的积等于积的算术平方根，算术平方根的商等于商的算术平方根．
10．（2025·建邺模拟）一个角比它的余角大，则这个角的补角等于　 　．
【答案】130
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；余角；补角
【解析】【解答】解：设这个角为，则这个角的补角为，余角为，
由题意得：，
解得：，
∴，
∴这个角的补角
故答案为：130．
【分析】设这个角为，则这个角的补角为，余角为，再根据相等关系列方程并求解即可．
11．（2025·建邺模拟）在评选活动中，6位评委的打分为：10，8，9，8，6，7，这组数据的方差为；去掉一个最高分和一个最低分后，方差为，则　 　（填“”“”或“”号）．
【答案】
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由题意得，第一组数据的平均数为，
；
∵去掉一个最高分和一个最低分后第二组数据的平均数为，
，
，
故答案为：．
【分析】
先利用平均数的定义求得两组数据的平均数，再根据方差的计算公式求解并对结果进行比较即可．
12．（2025·建邺模拟）已知等边三角形的边长为，则它的外接圆半径长为　 　．
【答案】
【知识点】等边三角形的性质；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】如图，连接、，过点作于，
∵为等边三角形，
∴，
由圆周角定理得：
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】如图，设等边三角形ABC的外接圆圆心为O，则连接、，再过点作于，由等边三角形的性质得，再由圆周角定理得，再由垂径定理并解直角三角形即可求出外接圆半径．
13．（2025·建邺模拟）小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如下表．现各买一杯，需要花费　 　元．
次数 口味 茉莉 桂花 蜜桃 总价
第一次 2杯 3杯 4杯 126元
第二次 4杯 3杯 2杯 120元
【答案】41
【知识点】三元一次方程组的应用；整体思想
【解析】【解答】解：设茉莉口味奶茶、桂花口味奶茶、蜜桃口味奶茶的单价分别为x元、y元、z元，根据题意得：
，
由得：，
∴，
即各买一杯，需要花费41元．
故答案为：41
【分析】茉莉口味奶茶、桂花口味奶茶、蜜桃口味奶茶的单价分别为x元、y元、z元，再根据题意，列出方程组，再利用整体思想求出即可．
14．（2025·建邺模拟）如图，在正八边形中，对角线，交于点P，则　 　°．
【答案】
【知识点】轴对称图形；正多边形的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵八边形是正八边形，
∴是它的一条对称轴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先由正八边形的内角和可得其内角，再根据轴对称图形的性质可得，又观察图形结合正八边形的性质可得对角线BE平行CD，则由平行线的性质可得即可．
15．（2025·建邺模拟）如图，在矩形中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C在y轴上．若反比例函数的图象经过点D，则　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点D作于点E，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
把代入，得，
解得．
故答案为：．
【分析】如图，先过点D作y轴的垂线段DE，再利用矩形的性质可证明，则，，再证明，由相似比可得，则OE=2，即，最后再利用待定系数法即可．
16．（2025·建邺模拟）如图，两条道路的宽分别为，，夹角．现修建圆弧形道路，其内侧与边界相切于点C，D，外侧与边界相切于点E，F，两弧的圆心均在直线上．，的长度m，n满足的数量关系为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，设所在圆圆心为O，所在圆圆心为I．连接，，延长交直线于N，过点I作于M，
设内侧弧所在圆的半径为，外侧所在圆的半径为
∵内侧与边界相切于点C，D，
∴，
∵
∴
由题意知
∴
∵外侧与边界相切于点E，F，
∴
∴
∴四边形是矩形，
∴
∴，，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
∴．
即．
故答案为：．
【分析】设所在圆圆心为O，所在圆圆心为I．连接，，延长交直线于N，过点I作于M，设和的半径分别为r和R，求得，，再切线的性质结合四边形的内角和可和，则，再由直角三角形中30度角的性质可得，求得，最后再利用弧长公式分别计算出 m，n 并作差即可．
17．（2025·建邺模拟）计算 ．
【答案】解：
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】分式的混合运算，先分别对括号内分式通分再进行分式的加法运算，再把除法化为乘法运算，再分别对分子分母分解因式，再约分化结果为最简分式或整式即可．
18．（2025·建邺模拟）（1）解方程：．
（2）方程的解是 ．
【答案】解：（1），
，
，
；
（2）81
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程；无理方程
【解析】【解答】解：（2）
，则，
，
解得：，
当时，，经检验，是原方程的增根，
当时，，经检验，是原方程的解，
【分析】（1）直接用因式分解法解方程即可；
（2）利用换元法设，可化原方程为，再同（1））得，，最后再分别求出两个根的平方即可．
19．（2025·建邺模拟）求证：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数.
【答案】证明：设这两个连续奇数分别为2n+1，2n+3(n为整数)，
则(2n+3)2-(2n+1)2
=(2n+3+2n+1)(2n+3-2n-1)
=2(4n+4)
=8(n+1)，
所以(2n+3)2-(2n+1)2一定是8的倍数
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】先设出两个连续的奇数，再利用平方差公式分解因式即可．
20．（2025·建邺模拟）从一副扑克牌中选取7张牌，分成左右两堆．左边四张牌的牌面数字分别是3，4，5，6，右边三张牌的牌面数字分别是3，4，5，将它们分别洗匀后正面向下放在桌面上．
（1）从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是 ；
（2）从两堆牌中各随机抽取一张牌，求抽出的两张牌数字相同的概率．
【答案】（1）
（2）解：从两堆牌中各随机抽取一张牌．所有可能出现的结果有：共有12种，它们出现的可能性相同．
所有结果中，满足两张牌数字相同的结果有3种，
所以抽出的两张牌数字相同的概率为
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】
解：根据题意得：从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是．
故答案为：
【分析】（1）直接利用简单事件概率公式解答即可；
（2）两步试验可通过画树状图或列表法求解，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：根据题意得：从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是．
故答案为：
（2）解：从两堆牌中各随机抽取一张牌．所有可能出现的结果有：共有12种，它们出现的可能性相同．
所有结果中，满足两张牌数字相同的结果有3种，
所以抽出的两张牌数字相同的概率为．
21．（2025·建邺模拟）如图，四边形是菱形，点E，F在直线上，．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）当＝ 时，四边形是正方形．
【答案】（1）解：四边形的形状是菱形，理由如下：连接，交于点，如图所示：
∵四边形是菱形，
，
点在直线上，，
，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形
（2）
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】
（2）
解：当时，四边形是正方形，理由如下：
当四边形是正方形时，则，
设，
则，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）连接交于点，由菱形的性质可得，再利用线段的和差关系可证即可；
（2）由于正方形的对角线互相垂直平分且相等，则，为便于计算可设，则，，即，再利用勾股定理可得，所以．
（1）解：四边形的形状是菱形，理由如下：
连接，交于点，如图1所示：
∵四边形是菱形，
，
点在直线上，，
，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：当时，四边形是正方形，理由如下：
当四边形是正方形时，则，
设，
则，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
22．（2025·建邺模拟）我国2015~2023年博士生招生增长率折线统计图如下．
（1）下列说法中，所有正确结论的序号是 ．
①博士生招生增长率的中位数是；
②博士生招生增长率的平均数不超过；
③2018年博士生招生增长的人数最多；
④2023年博士生招生人数最多．
（2）根据折线统计图，从两个不同的角度描述我国2015—2023年博士生招生变化情况．
【答案】（1）①②④
（2）解：从年增长率看，2015~2018年我国博士生招生增长率逐年增加，2019年以后的招生增长率在附近波动，趋于稳定；从增长的人数看，我国2015~2023年博士生招生人数逐年增加
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】（1）解：①该组数据共9个数，排序后第5个数为，所以中位数为，该选项正确，符合题意；
②该组数据的平均数为，该选项正确，符合题意；
③通过折线图可以看出2018年的增长率最高，并不能代表增长的人数最多，该选项错误，不符合题意；
④由折线图可以看出每年的增长率都为正数，所以每年招生人数都在增长，故2023年招生人数最多，该选项正确，符合题意；
故答案为：①②④；
【分析】（1）求中位数时，先按照从小到大顺序对所有数据进行排序，再取最中间一个或最中间两个数据的平均值；平均数指所有数据的和与数据个数的商；观察折线统计图可知2018年增长率最高，但由于2017年的基数未知，故不确定增长人数是否最多；由于从2015 ~2023年 博士生招生人数一直呈上升趋势，则2025年招生人数最多
（2）从增长率的角度进行分析即可（答案不唯一）．
（1）解：①该组数据共9个数，排序后第5个数为，所以中位数为，该选项正确，符合题意；
②该组数据的平均数为，该选项正确，符合题意；
③通过折线图可以看出2018年的增长率最高，并不能代表增长的人数最多，该选项错误，不符合题意；
④由折线图可以看出每年的增长率都为正数，所以每年招生人数都在增长，故2023年招生人数最多，该选项正确，符合题意；
故答案为：①②④；
（2）解：从年增长率看，2015~2018年我国博士生招生增长率逐年增加，2019年以后的招生增长率在附近波动，趋于稳定；从增长的人数看，我国2015~2023年博士生招生人数逐年增加．
23．（2025·建邺模拟）如图，某品牌滤水壶有净水区和蓄水区．给净水区加满水，净水区中的水匀速流向蓄水区，一段时间后再将净水区补满（不计加水时间）．已知净水区水面与蓄水区水面的距离h（）与水流时间t（）的函数图象如图所示．
（1）点B坐标的实际意义是 ；
（2）求线段的函数表达式；
（3）经过 后，净水区水面与蓄水区水面重合．
【答案】（1）水流时间3 时，净水区水面与蓄水区水面的距离为9
（2）解：设，把代入，得：，
∴，
∴
（3）6.5
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：由图象可知：点B坐标的实际意义是水流时间3时，净水区水面与蓄水区水面的距离为9；
（3）解：由（2）可知，水流速度为：，
∴经过后，净水区水面与蓄水区水面重合．
【分析】（1）观察图象并结合题意即可得点B的坐标的实际意义；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）由于注水和蓄水速度相同，则当h=0时净水区水面与蓄水区水面重合，此时观察图象知需要用时为分钟，再给结果加上3即可．
（1）解：由图象可知：点B坐标的实际意义是水流时间3时，净水区水面与蓄水区水面的距离为9；
（2）设，把代入，得：
，
∴，
∴；
（3）由（2）可知，水流速度为：，
∴经过后，净水区水面与蓄水区水面重合．
24．（2025·建邺模拟）如图，大坝的横截面是，坝高为．因防洪需要，将坝腰的土石推至坡脚（不计损耗），使坝面改造成长为的折线形坝面—，坝面的倾斜角为，坝面的倾斜角为．（参考数据：，．）
（1）求坝面的长度；
（2）求坡脚向前推进的距离的长度．
【答案】（1）解：如图，过点分别作交于，作交于，
，
又 在中，，
四边形为矩形，
，，
在中，，
，
在中，，
，
又 ，
∵，
∴．
解得
（2）解：由（1）可知，，
，，
在中，由勾股定理得，
，
同理，由勾股定理得，，
由题可知，改造前后大坝的横截面的面积相等，
，
，
解得 ，
【知识点】三角形的面积；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】
（1）分别过点作交于，作交于，可分别得矩形、和，再分别解直角三角形可得和，根据线段的和差列出方程求解即可；
（2）先利用勾股定理分别求出和，再利用等面积法列方程并求解可得BC的长，再利用线段的和差关系即可．
（1）解：如图，过点分别作交于，作交于，
，
又 在中，，
四边形为矩形，
，，
在中，，
，
在中，，
，
又 ，
∵，
∴．
解得 ；
（2）解：由（1）可知，，
，，
在中，由勾股定理得，
，
同理，由勾股定理得，，
由题可知，改造前后大坝的横截面的面积相等，
， ，
解得 ，
．
25．（2025·建邺模拟）如图，点E是的内心，的延长线与的外接圆相交于点D，与相交于点F．
（1）求证；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接．
∵点E是的内心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴，
∴，，
又，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接，由内心的概念可得，再由圆周角定理可得，再由三角形的外角性质结合角的和差关系可证明，再由等角对等边即可；
（2）由圆周角定理结合角内心的概念可证，由相似比可得，同理可证，由相似比可得，再结合线段的和差关系可得AD=9，则DF=4，再由（1）知DE=DB=6，即即可．
（1）证明：连接．
∵点E是的内心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴，
∴，，
又，
∴．
26．（2025·建邺模拟）已知二次函数（a为常数）．
（1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点．
（2）该函数图象的对称轴是直线 （用含a的代数式表示）．
（3）点在该函数图象上．对于，都有，直接写出a的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
∴，
∵，
∴，
∴该函数的图象与x轴总有两个公共点
（2）
（3）或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】（2）解：该函数图象的对称轴是直线；
故答案为：
（3）解：∵点在该函数图象上，函数图象的对称轴是直线，
∴点关于对称轴的对称点为，
∵，
∴，
∵，都有，
∴当时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴或，
解得：，
当时，抛物线开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴或，
解得：，
综上所述，a的取值范围为或．
【分析】（1）令函数值等于0，再利用一元二次方程根的判别式判定即可；
（2）对于二次函数，其对称轴为直线；
（3）先根据抛物线的对称性可得点关于对称轴的对称点为，再由，可得，然后分两种情况讨论，即当时在对称轴的右侧y随x的增大而增大，则有或；反之当时在对称轴的右侧y随x的增大而减小，即有或，再分别解不等式即可．
（1）解：当时，，
∴，
∵，
∴，
∴该函数的图象与x轴总有两个公共点．
（2）解：该函数图象的对称轴是直线；
故答案为：
（3）解：∵点在该函数图象上，函数图象的对称轴是直线，
∴点关于对称轴的对称点为，
∵，
∴，
∵，都有，
∴当时，抛物线开口向上，再对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴或，
解得：，
当时，抛物线开口向下，再对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴或，
解得：，
综上所述，a的取值范围为或．
27．（2025·建邺模拟）乘风破浪，最近遥望
（1）在两条平行的航线上，两艘轮船以相同的速度航行，航行方向如图①所示．当两船所在直线与航线的夹角α为时，两船之间的距离，求航行过程中两船的最近距离．
（2）在两条笔直的航线上，两艘轮船以相同的速度航行，航行方向如图②所示．当两船的距离最近时，求作两船的位置．（尺规作图，保留痕迹，并说明理由）
【答案】（1）解：如图，过点B作，垂足为C．
在中，°，
，
则航行过程中两船的最近距离为
（2）如图②，设两条航线相交于点O，以点O为圆心，分别以为半径画弧，交两直线于点C，D，线段BC，AD的中点M，N即为所求作的两船位置．
理由如下：
如图，设两船航行到E，F处，则．
由作图可知：，
．
再分别过点F作交MN的延长线于点G，过点M作，则．
连接，则四边形是平行四边形，
四边形FGHM是菱形
．
∴ 当两船在M，N位置时，两船的距离最近
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）两船之间的最短距离即两条平行线间的距离，如图，过点B作，垂足为C，再利用直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半即可求解；
（2）设两条航线相交点于，以为圆心为半径画画圆，分别交于，利用尺规作图确定的中点，则即为两船的位置．此时可分别在取AN和BM上取点E、F，使AN等于BF，则由题意知EN等于FM，此时再分别过点F作交MN的延长线于点G，过点M作，连接，则可得四边形FGHM是菱形，则对角线互相垂直，即EH垂FH，再由垂线段最短即可得MN最短.
（1）解：如图，过点B作，垂足为C．
在中，°，
，
则航行过程中两船的最近距离为．
（2）如图①，设两条航线相交于点O，以点O为圆心，分别以为半径画弧，交两
直线于点C，D，线段BC，AD的中点M，N即为所求作的两船位置．
理由如下：
如图②，设两船航行到E，F处，则．
由作图可知：，
．
过点M作，则．
连接，则四边形是平行四边形，
．
，
．
，
．
，
．
．
．
∴ 当两船在M，N位置时，两船的距离最近．
1 / 1江苏省南京市建邺区2025年中考一模数学试卷
1．（2025·建邺模拟）下列四个数中，是负数的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·建邺模拟）人眼可见的蓝光波长约为．用科学记数法表示是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·建邺模拟）下列计算中，结果是a6的是（　　）
A．a3＋a3 B．a3·a3 C．（a3）3 D．a12÷a2
4．（2025·建邺模拟）如图，在中，点在上，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·建邺模拟）已知实数x，y满足，，则下列判断正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·建邺模拟）如图，“十字形”几何体由5个相同的正方体搭建而成．若再添加一些相同的正方体，使得新几何体的三视图全等，则至少需要添加正方体的个数是（　　）
A．8 B．7 C．6 D．5
7．（2025·建邺模拟）式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是　 　 ．
8．（2025·建邺模拟）方程 的解是　 　．
9．（2025·建邺模拟）计算的结果是　 　．
10．（2025·建邺模拟）一个角比它的余角大，则这个角的补角等于　 　．
11．（2025·建邺模拟）在评选活动中，6位评委的打分为：10，8，9，8，6，7，这组数据的方差为；去掉一个最高分和一个最低分后，方差为，则　 　（填“”“”或“”号）．
12．（2025·建邺模拟）已知等边三角形的边长为，则它的外接圆半径长为　 　．
13．（2025·建邺模拟）小明两次购买三种口味奶茶的数量和总价如下表．现各买一杯，需要花费　 　元．
次数 口味 茉莉 桂花 蜜桃 总价
第一次 2杯 3杯 4杯 126元
第二次 4杯 3杯 2杯 120元
14．（2025·建邺模拟）如图，在正八边形中，对角线，交于点P，则　 　°．
15．（2025·建邺模拟）如图，在矩形中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C在y轴上．若反比例函数的图象经过点D，则　 　．
16．（2025·建邺模拟）如图，两条道路的宽分别为，，夹角．现修建圆弧形道路，其内侧与边界相切于点C，D，外侧与边界相切于点E，F，两弧的圆心均在直线上．，的长度m，n满足的数量关系为　 　．
17．（2025·建邺模拟）计算 ．
18．（2025·建邺模拟）（1）解方程：．
（2）方程的解是 ．
19．（2025·建邺模拟）求证：两个连续奇数的平方差一定是8的倍数.
20．（2025·建邺模拟）从一副扑克牌中选取7张牌，分成左右两堆．左边四张牌的牌面数字分别是3，4，5，6，右边三张牌的牌面数字分别是3，4，5，将它们分别洗匀后正面向下放在桌面上．
（1）从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是 ；
（2）从两堆牌中各随机抽取一张牌，求抽出的两张牌数字相同的概率．
21．（2025·建邺模拟）如图，四边形是菱形，点E，F在直线上，．
（1）判断四边形的形状，并说明理由；
（2）当＝ 时，四边形是正方形．
22．（2025·建邺模拟）我国2015~2023年博士生招生增长率折线统计图如下．
（1）下列说法中，所有正确结论的序号是 ．
①博士生招生增长率的中位数是；
②博士生招生增长率的平均数不超过；
③2018年博士生招生增长的人数最多；
④2023年博士生招生人数最多．
（2）根据折线统计图，从两个不同的角度描述我国2015—2023年博士生招生变化情况．
23．（2025·建邺模拟）如图，某品牌滤水壶有净水区和蓄水区．给净水区加满水，净水区中的水匀速流向蓄水区，一段时间后再将净水区补满（不计加水时间）．已知净水区水面与蓄水区水面的距离h（）与水流时间t（）的函数图象如图所示．
（1）点B坐标的实际意义是 ；
（2）求线段的函数表达式；
（3）经过 后，净水区水面与蓄水区水面重合．
24．（2025·建邺模拟）如图，大坝的横截面是，坝高为．因防洪需要，将坝腰的土石推至坡脚（不计损耗），使坝面改造成长为的折线形坝面—，坝面的倾斜角为，坝面的倾斜角为．（参考数据：，．）
（1）求坝面的长度；
（2）求坡脚向前推进的距离的长度．
25．（2025·建邺模拟）如图，点E是的内心，的延长线与的外接圆相交于点D，与相交于点F．
（1）求证；
（2）若，，，求的长．
26．（2025·建邺模拟）已知二次函数（a为常数）．
（1）求证：该函数的图象与x轴总有两个公共点．
（2）该函数图象的对称轴是直线 （用含a的代数式表示）．
（3）点在该函数图象上．对于，都有，直接写出a的取值范围．
27．（2025·建邺模拟）乘风破浪，最近遥望
（1）在两条平行的航线上，两艘轮船以相同的速度航行，航行方向如图①所示．当两船所在直线与航线的夹角α为时，两船之间的距离，求航行过程中两船的最近距离．
（2）在两条笔直的航线上，两艘轮船以相同的速度航行，航行方向如图②所示．当两船的距离最近时，求作两船的位置．（尺规作图，保留痕迹，并说明理由）
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的乘方法则；相反数的意义与性质；求有理数的绝对值的方法；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：A、是负数，符合题意；
B、，是正数，不符合题意；
C、，是正数，不符合题意；
D、，是正数，不符合题意；
故选：A．
【分析】
根据求绝对值、相反数、有理数的乘方和负数的定义，将各数分别化简即可．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】，
故选C．
【分析】把一个绝对值较小的数字常用科学记数法表示成的形式，其中取这个数字左边第一个非0数字前面0的个数．
3．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，结果不是，故A选项不符合题意；
B、，结果是，故B选项符合题意；
C、，结果不是，故C选项不符合题意；
D、，结果不是，故D选项不符合题意；
故选：B．
【分析】
A、合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的指数都不变；
B、同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；
C、幂的乘方，底数不变，指数相乘；
D、同底数幂的除法，底数不变，指数相减．
4．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵，，
，，
∴．
故选：．
【分析】先利用等腰三角形等边对等角结合三角形内角和定理得，再利用三角形外角的性质求解即可．
5．【答案】C
【知识点】不等式的性质；利用等式的性质将等式变形
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故A选项错误，不符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故B选项错误，不符合题意；
∵，，
∴，故C选项正确，符合题意；
∵，，
∴，故D选项错误，不符合题意；
故选：C．
【分析】A、先利用等式的性质可得 ，再代入到不等式中得；
B、同A先得，再代入到不等式得；
C、由和可得；
D、同C可得．
6．【答案】B
【知识点】由三视图判断小正方体的个数；小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：如图所示，正方形内的数字表示正方形的个数，
至少需要添加正方体的个数是：（个）．
故选：B．
【分析】根据组合体的三视图即可求出答案.
7．【答案】x≥3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】由题意可得：x-3≥0，
解得：x≥3，
故答案为：x≥3
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案.
8．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边同时乘以，得
解得：，
检验：把代入，得，
∴是原分式方程的解．
故答案为：．
【分析】先给方程两边同时乘以最简公母化分式方程为整式方程并求解得，再把这个解代入到最简分分母中检验并作答即可．
9．【答案】4
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：．
【分析】二次根式的乘除混合法则，即算术平方根的积等于积的算术平方根，算术平方根的商等于商的算术平方根．
10．【答案】130
【知识点】一元一次方程的其他应用；角的运算；余角；补角
【解析】【解答】解：设这个角为，则这个角的补角为，余角为，
由题意得：，
解得：，
∴，
∴这个角的补角
故答案为：130．
【分析】设这个角为，则这个角的补角为，余角为，再根据相等关系列方程并求解即可．
11．【答案】
【知识点】方差
【解析】【解答】解：由题意得，第一组数据的平均数为，
；
∵去掉一个最高分和一个最低分后第二组数据的平均数为，
，
，
故答案为：．
【分析】
先利用平均数的定义求得两组数据的平均数，再根据方差的计算公式求解并对结果进行比较即可．
12．【答案】
【知识点】等边三角形的性质；垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】如图，连接、，过点作于，
∵为等边三角形，
∴，
由圆周角定理得：
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】如图，设等边三角形ABC的外接圆圆心为O，则连接、，再过点作于，由等边三角形的性质得，再由圆周角定理得，再由垂径定理并解直角三角形即可求出外接圆半径．
13．【答案】41
【知识点】三元一次方程组的应用；整体思想
【解析】【解答】解：设茉莉口味奶茶、桂花口味奶茶、蜜桃口味奶茶的单价分别为x元、y元、z元，根据题意得：
，
由得：，
∴，
即各买一杯，需要花费41元．
故答案为：41
【分析】茉莉口味奶茶、桂花口味奶茶、蜜桃口味奶茶的单价分别为x元、y元、z元，再根据题意，列出方程组，再利用整体思想求出即可．
14．【答案】
【知识点】轴对称图形；正多边形的性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵八边形是正八边形，
∴是它的一条对称轴，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先由正八边形的内角和可得其内角，再根据轴对称图形的性质可得，又观察图形结合正八边形的性质可得对角线BE平行CD，则由平行线的性质可得即可．
15．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质；三角形全等的判定-AAS；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过点D作于点E，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
把代入，得，
解得．
故答案为：．
【分析】如图，先过点D作y轴的垂线段DE，再利用矩形的性质可证明，则，，再证明，由相似比可得，则OE=2，即，最后再利用待定系数法即可．
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，设所在圆圆心为O，所在圆圆心为I．连接，，延长交直线于N，过点I作于M，
设内侧弧所在圆的半径为，外侧所在圆的半径为
∵内侧与边界相切于点C，D，
∴，
∵
∴
由题意知
∴
∵外侧与边界相切于点E，F，
∴
∴
∴四边形是矩形，
∴
∴，，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴，
∴．
即．
故答案为：．
【分析】设所在圆圆心为O，所在圆圆心为I．连接，，延长交直线于N，过点I作于M，设和的半径分别为r和R，求得，，再切线的性质结合四边形的内角和可和，则，再由直角三角形中30度角的性质可得，求得，最后再利用弧长公式分别计算出 m，n 并作差即可．
17．【答案】解：
【知识点】分式的混合运算
【解析】【分析】分式的混合运算，先分别对括号内分式通分再进行分式的加法运算，再把除法化为乘法运算，再分别对分子分母分解因式，再约分化结果为最简分式或整式即可．
18．【答案】解：（1），
，
，
；
（2）81
【知识点】因式分解法解一元二次方程；换元法解一元二次方程；无理方程
【解析】【解答】解：（2）
，则，
，
解得：，
当时，，经检验，是原方程的增根，
当时，，经检验，是原方程的解，
【分析】（1）直接用因式分解法解方程即可；
（2）利用换元法设，可化原方程为，再同（1））得，，最后再分别求出两个根的平方即可．
19．【答案】证明：设这两个连续奇数分别为2n+1，2n+3(n为整数)，
则(2n+3)2-(2n+1)2
=(2n+3+2n+1)(2n+3-2n-1)
=2(4n+4)
=8(n+1)，
所以(2n+3)2-(2n+1)2一定是8的倍数
【知识点】因式分解的应用
【解析】【分析】先设出两个连续的奇数，再利用平方差公式分解因式即可．
20．【答案】（1）
（2）解：从两堆牌中各随机抽取一张牌．所有可能出现的结果有：共有12种，它们出现的可能性相同．
所有结果中，满足两张牌数字相同的结果有3种，
所以抽出的两张牌数字相同的概率为
【知识点】用列举法求概率
【解析】【解答】
解：根据题意得：从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是．
故答案为：
【分析】（1）直接利用简单事件概率公式解答即可；
（2）两步试验可通过画树状图或列表法求解，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据．
（1）解：根据题意得：从左边的牌中随机抽取一张牌，抽出牌面数字是偶数的概率是．
故答案为：
（2）解：从两堆牌中各随机抽取一张牌．所有可能出现的结果有：共有12种，它们出现的可能性相同．
所有结果中，满足两张牌数字相同的结果有3种，
所以抽出的两张牌数字相同的概率为．
21．【答案】（1）解：四边形的形状是菱形，理由如下：连接，交于点，如图所示：
∵四边形是菱形，
，
点在直线上，，
，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形
（2）
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【解答】
（2）
解：当时，四边形是正方形，理由如下：
当四边形是正方形时，则，
设，
则，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）连接交于点，由菱形的性质可得，再利用线段的和差关系可证即可；
（2）由于正方形的对角线互相垂直平分且相等，则，为便于计算可设，则，，即，再利用勾股定理可得，所以．
（1）解：四边形的形状是菱形，理由如下：
连接，交于点，如图1所示：
∵四边形是菱形，
，
点在直线上，，
，
，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：当时，四边形是正方形，理由如下：
当四边形是正方形时，则，
设，
则，，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
22．【答案】（1）①②④
（2）解：从年增长率看，2015~2018年我国博士生招生增长率逐年增加，2019年以后的招生增长率在附近波动，趋于稳定；从增长的人数看，我国2015~2023年博士生招生人数逐年增加
【知识点】折线统计图；平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】（1）解：①该组数据共9个数，排序后第5个数为，所以中位数为，该选项正确，符合题意；
②该组数据的平均数为，该选项正确，符合题意；
③通过折线图可以看出2018年的增长率最高，并不能代表增长的人数最多，该选项错误，不符合题意；
④由折线图可以看出每年的增长率都为正数，所以每年招生人数都在增长，故2023年招生人数最多，该选项正确，符合题意；
故答案为：①②④；
【分析】（1）求中位数时，先按照从小到大顺序对所有数据进行排序，再取最中间一个或最中间两个数据的平均值；平均数指所有数据的和与数据个数的商；观察折线统计图可知2018年增长率最高，但由于2017年的基数未知，故不确定增长人数是否最多；由于从2015 ~2023年 博士生招生人数一直呈上升趋势，则2025年招生人数最多
（2）从增长率的角度进行分析即可（答案不唯一）．
（1）解：①该组数据共9个数，排序后第5个数为，所以中位数为，该选项正确，符合题意；
②该组数据的平均数为，该选项正确，符合题意；
③通过折线图可以看出2018年的增长率最高，并不能代表增长的人数最多，该选项错误，不符合题意；
④由折线图可以看出每年的增长率都为正数，所以每年招生人数都在增长，故2023年招生人数最多，该选项正确，符合题意；
故答案为：①②④；
（2）解：从年增长率看，2015~2018年我国博士生招生增长率逐年增加，2019年以后的招生增长率在附近波动，趋于稳定；从增长的人数看，我国2015~2023年博士生招生人数逐年增加．
23．【答案】（1）水流时间3 时，净水区水面与蓄水区水面的距离为9
（2）解：设，把代入，得：，
∴，
∴
（3）6.5
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：由图象可知：点B坐标的实际意义是水流时间3时，净水区水面与蓄水区水面的距离为9；
（3）解：由（2）可知，水流速度为：，
∴经过后，净水区水面与蓄水区水面重合．
【分析】（1）观察图象并结合题意即可得点B的坐标的实际意义；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）由于注水和蓄水速度相同，则当h=0时净水区水面与蓄水区水面重合，此时观察图象知需要用时为分钟，再给结果加上3即可．
（1）解：由图象可知：点B坐标的实际意义是水流时间3时，净水区水面与蓄水区水面的距离为9；
（2）设，把代入，得：
，
∴，
∴；
（3）由（2）可知，水流速度为：，
∴经过后，净水区水面与蓄水区水面重合．
24．【答案】（1）解：如图，过点分别作交于，作交于，
，
又 在中，，
四边形为矩形，
，，
在中，，
，
在中，，
，
又 ，
∵，
∴．
解得
（2）解：由（1）可知，，
，，
在中，由勾股定理得，
，
同理，由勾股定理得，，
由题可知，改造前后大坝的横截面的面积相等，
，
，
解得 ，
【知识点】三角形的面积；解直角三角形的其他实际应用；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】
（1）分别过点作交于，作交于，可分别得矩形、和，再分别解直角三角形可得和，根据线段的和差列出方程求解即可；
（2）先利用勾股定理分别求出和，再利用等面积法列方程并求解可得BC的长，再利用线段的和差关系即可．
（1）解：如图，过点分别作交于，作交于，
，
又 在中，，
四边形为矩形，
，，
在中，，
，
在中，，
，
又 ，
∵，
∴．
解得 ；
（2）解：由（1）可知，，
，，
在中，由勾股定理得，
，
同理，由勾股定理得，，
由题可知，改造前后大坝的横截面的面积相等，
， ，
解得 ，
．
25．【答案】（1）证明：如图，连接．
∵点E是的内心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴，
∴，，
又，
∴
【知识点】等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；三角形的内切圆与内心；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）连接，由内心的概念可得，再由圆周角定理可得，再由三角形的外角性质结合角的和差关系可证明，再由等角对等边即可；
（2）由圆周角定理结合角内心的概念可证，由相似比可得，同理可证，由相似比可得，再结合线段的和差关系可得AD=9，则DF=4，再由（1）知DE=DB=6，即即可．
（1）证明：连接．
∵点E是的内心，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
∴，
∴，
∴，
∴，，
又，
∴．
26．【答案】（1）解：当时，，
∴，
∵，
∴，
∴该函数的图象与x轴总有两个公共点
（2）
（3）或
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】（2）解：该函数图象的对称轴是直线；
故答案为：
（3）解：∵点在该函数图象上，函数图象的对称轴是直线，
∴点关于对称轴的对称点为，
∵，
∴，
∵，都有，
∴当时，抛物线开口向上，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴或，
解得：，
当时，抛物线开口向下，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴或，
解得：，
综上所述，a的取值范围为或．
【分析】（1）令函数值等于0，再利用一元二次方程根的判别式判定即可；
（2）对于二次函数，其对称轴为直线；
（3）先根据抛物线的对称性可得点关于对称轴的对称点为，再由，可得，然后分两种情况讨论，即当时在对称轴的右侧y随x的增大而增大，则有或；反之当时在对称轴的右侧y随x的增大而减小，即有或，再分别解不等式即可．
（1）解：当时，，
∴，
∵，
∴，
∴该函数的图象与x轴总有两个公共点．
（2）解：该函数图象的对称轴是直线；
故答案为：
（3）解：∵点在该函数图象上，函数图象的对称轴是直线，
∴点关于对称轴的对称点为，
∵，
∴，
∵，都有，
∴当时，抛物线开口向上，再对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴或，
解得：，
当时，抛物线开口向下，再对称轴的右侧，y随x的增大而减小，
∴或，
解得：，
综上所述，a的取值范围为或．
27．【答案】（1）解：如图，过点B作，垂足为C．
在中，°，
，
则航行过程中两船的最近距离为
（2）如图②，设两条航线相交于点O，以点O为圆心，分别以为半径画弧，交两直线于点C，D，线段BC，AD的中点M，N即为所求作的两船位置．
理由如下：
如图，设两船航行到E，F处，则．
由作图可知：，
．
再分别过点F作交MN的延长线于点G，过点M作，则．
连接，则四边形是平行四边形，
四边形FGHM是菱形
．
∴ 当两船在M，N位置时，两船的距离最近
【知识点】垂线段最短及其应用；等腰三角形的判定与性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】（1）两船之间的最短距离即两条平行线间的距离，如图，过点B作，垂足为C，再利用直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半即可求解；
（2）设两条航线相交点于，以为圆心为半径画画圆，分别交于，利用尺规作图确定的中点，则即为两船的位置．此时可分别在取AN和BM上取点E、F，使AN等于BF，则由题意知EN等于FM，此时再分别过点F作交MN的延长线于点G，过点M作，连接，则可得四边形FGHM是菱形，则对角线互相垂直，即EH垂FH，再由垂线段最短即可得MN最短.
（1）解：如图，过点B作，垂足为C．
在中，°，
，
则航行过程中两船的最近距离为．
（2）如图①，设两条航线相交于点O，以点O为圆心，分别以为半径画弧，交两
直线于点C，D，线段BC，AD的中点M，N即为所求作的两船位置．
理由如下：
如图②，设两船航行到E，F处，则．
由作图可知：，
．
过点M作，则．
连接，则四边形是平行四边形，
．
，
．
，
．
，
．
．
．
∴ 当两船在M，N位置时，两船的距离最近．
1 / 1

展开更多......

收起↑