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浙江省宁波市慈溪市慈溪实验中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷
1．（2025八上·慈溪期中）以下是中国几个历史文化名城的图标，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025八上·慈溪期中） 如图，在中，边上的高是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025八上·慈溪期中） 如图，在中，，的垂直平分线l交于点M，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025八上·慈溪期中） 对于命题“如果，那么、都大于”能说明它是假命题的反例是（　　）
A． B．，
C．， D．，
5．（2025八上·慈溪期中） 如图，在中，以点C为圆心，长为半径作弧与交于点D，连接，以点B为圆心，适当长为半径作弧分别与和交于点E和F，再分别以点E和F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点G，作射线交于点H，若，则的大小为（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025八上·慈溪期中） 为了探究物质的质量与体积的关系，同学们找来甲、乙、丙、丁四种物质做实验，分别测量它们的体积和质量m（g），并在如图的平面直角坐标系内依次画出了相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四种物质中密度最大的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
7．（2025八上·慈溪期中）如果关于x的方程（a-1）x-4=a（x+2）的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组 的解满足 则满足条件的整数a有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
8．（2025八上·慈溪期中） 如图放置的，都是以为直角顶点的三角形，点都在直线上，，点在轴上，，则点的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025八上·慈溪期中） 一次函数y1＝kx+1﹣2k（k≠0）的图象记作G1，一次函数y2＝2x+3（﹣1＜x＜2）的图象记作G2，对于这两个图象，有以下几种说法：
①当G1与G2有公共点时，y1随x增大而减小；
②当G1与G2没有公共点时，y1随x增大而增大；
③当k＝2时，G1与G2平行，且平行线之间的距离为．
下列选项中，描述准确的是（　　）
A．①②正确，③错误 B．①③正确，②错误
C．②③正确，①错误 D．①②③都正确
10．（2025八上·慈溪期中） 赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接与相交于点M，延长交于点N，若M是的中点，，则的长（　　）
A． B． C．2 D．
11．（2025八上·慈溪期中） 点 （a， b） 在y=3x-1的函数图象上， 则代数式 　 　.
12．（2025八上·慈溪期中） 小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则　 　．
13．（2025八上·慈溪期中）下列命题是真命题的是　 　（填序号）．①内错角相等；②周长相等的两个三角形全等；③若，则；④若，则．
14．（2025八上·慈溪期中） 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．若点的横坐标和纵坐标均为整数，且，则点的坐标为　 　．（写出一个正确的坐标即可）
15．（2025八上·慈溪期中）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为　 　．
16．（2025八上·慈溪期中） 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标分别为，其中，点是直线与轴的交点，点在直线上，若点关于直线的对称点恰好落在四边形内部（不包括正好落在边上），则的取值范围为　 　．
17．（2025八上·慈溪期中） 解不等式组：，将解集在数轴上表示出来，并求出满足条件的所有整数解的和．
18．（2025八上·慈溪期中） 在的正方形格点图中，有格点和，且和关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出4个这样的每个正方形个点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种
19．（2025八上·慈溪期中）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点逆时针旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．求证：EF＝BC．
20．（2025八上·慈溪期中） 每年4月23日是世界读书日，为了增强班级读书氛围，每个班级建立了如图所示的书架，已知书架的长度是，在该书架上按图示方式摆放科技类书和文学书，每本科技类书厚，每本文学书厚．
（1）如果科技类书和文学书共90本恰好摆满该书架，求书架上科技类书和文学书各多少本；
（2）如果书架上已摆放10本文学书，那么科技类书最多还可以摆多少本？
21．（2025八上·慈溪期中） 如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
22．（2025八上·慈溪期中） 如图①，在中，与的平分线相交于点．
（1）如果，求的度数；
（2）如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）．
（3）如图③，延长线段、交于点，当　 　时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）．
23．（2025八上·慈溪期中） 摩天轮是一种常见的游乐设施，在综合实践活动中，数学小组的同学们借助仪器准确测量并记录了某个摩天轮的旋转时间t（单位：）和一个座舱A距离地面的高度h（单位：），部分数据如下：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
30.00 15.36 10.00 15.36 30.00 50.00 70.00 84.64 90.00 84.64 70.00
请解决以下问题：
（1）通过分析数据，发现可以用函数刻画h与t之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①此摩天轮座舱距离地面的高度最高为　 　，转盘的半径约为　 　；
②此摩天轮转一圈所用时间为　 　；
③若当座舱A距离地面的高度为时，座舱B距离地面的高度是，则至少经过　 　（精确到0.1），这两个座舱的高度相同．
24．（2025八上·慈溪期中）王叔叔骑自行车匀速从甲地驶向乙地，在途中休息了一段时间后，仍按原速行驶，他离乙地的距离与时间的关系如图中折线所示。刘叔叔开车匀速从乙地驶向甲地，比王叔叔晚一段时间出发，他离乙地的距离与时间的关系如图中线段AB所示。
（1）刘叔叔到达甲地后，再经过　 　小时，王叔叔到达乙地；
（2）王叔叔骑自行车的速度是　 　千米/时（不包括休息时间），刘叔叔开车的速度是　 　千米/时；
（3）王叔叔出发多少小时后与刘叔叔相距15千米
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A选项：如下图所示，
把图形沿虚线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合，
这个图标是轴对称图形，
故A选项不符合题意；
B选项：图标沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能重合，
这个图标不是轴对称图形，
故B选项符合题意；
C选项：如下图所示，
把图形沿虚线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合，
这个图标是轴对称图形，
故C选项不符合题意；
D选项：如下图所示，
把图形沿虚线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合，
这个图标是轴对称图形，
故D选项不符合题意．
故答案为：B
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
2．【答案】B
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】过点A作BC的垂线段交BC的延长线于点F，则AF为的边BC上的高.
故正确答案为：B
【分析】过三角形的一个顶点向对边作垂线，这个顶点与垂足之间的线段叫这个三角形的一条高，因此三角形有三条高.
3．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接AM.
垂直平分AC
故正确答案为：B
【分析】连接AM，可由线段垂直平分线的性质得AM＝CM，再由线段的和差关系结合已知再等量代换得AB＝AM，再由等边对等角可得，再由三角形外角的性质得，再由三角形的内角和定理可得.
4．【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】证明：令，则
原命题是假命题
故正确答案为：C
【分析】用反例法证明一个命题是假命题，只需找一个满足条件且使结论不成立的例子即可，本命题的结论是“、都大于 ”，则举出符号题设全使或其中一个小于或等于的角度值即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-等边对等角；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【解答】解：
平分
故正确答案为：C
【分析】先由基本尺规作图知CD＝CA，则由等边对等角得，再由基本尺规作图知BH平分，则由角平分线的概念知，最后再借助三角形外角的性质得.
6．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息；正比例函数的图象
【解析】【解答】观察图象知，
故正确答案为D
【分析】求四种物质中那个密度最大，实质是求四条正比例函数的比例系数的最大值，观察图象那条直线x轴的夹角越大则对应的密度最大.
7．【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式组的特殊解；加减消元法解二元一次方程组；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：解关于x的方程((a-1)x-4=a(x+2)得x=-4-2a，
由题意知-4-2a≥0，
①+②得6x+6y=a+4，
∵关于x，y的二元一次方程组 的解满足
∴满足条件的整数a有-6，-5，-4，-3，-2，共5个，
故答案为：B.
【分析】先解一元一次方程得到x=-4-2a，根据方程的解为非负数列出不等式可求出a的取值范围；把方程组中的两个方程相加推出 则可得到 解不等式可确定a的取值范围，据此可得答案.
8．【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；探索规律-点的坐标规律；直角三角形的两锐角互余；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】如图，过点A1作x轴的垂线段A1C，设A1的坐标为.
，即B1、A1、C三点共线
轴
同理：，
当时，，即
故正确答案为：D
【分析】过点A1作x轴的垂线段A1C，由直线上点的坐标特征可设点，则由直线上两点间的距离可得OA1＝2x，则由直角三角形中30度角的性质可得，再由直角三角形两锐角互余可得，再由互为余角可得，再利用直角三角形中30度角的性质结合勾股定理可得，进而可得点，再由已知可利用HL判定，则可得，即B1、A1、C三点共线，则可得点，同理可依次得，，，再把代入计算即可.
9．【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象、性质与系数的关系；坐标系中的两点距离公式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：
直线必过定点
设这个定点为
① 当G1与G2有公共点时， 如图所示，设直线交直线于点
当时，
当时，
即图象G2为线段AB且不包括两个端点A、B
C、D两点都在直线上
即，此时y1随x增大而减小；
②当G1与G2没有公共点，如图所示，设直线交直线于点
C、E两点都在直线上
如图所示，设直线交直线于点
同理：
即，此时y1随x增大而减小；
③如图所示：设直线交 y轴于点C，直线分别交x轴、 y轴于点A、B两点，再过点C作直线的垂线段CD.
当时，
令，则
故结论正确.
综上，正确答案为：D
【分析】
先由直线上点的坐标特征知直线G1过定点，此时可设这个定点为C，同理可得一次函数y2＝2x+3（﹣1＜x＜2）的图象G2是线段AB但不包括其两个端点；
当G1与G2有公共点时，可设两图象的交点为D，则可由直线上点的坐标特征得，再结合定点，可利用待定系数法用含m的代数式表示出k，再结合m的取值范围可得；
同理，当G1与G2没有公共点时，可设两直线的交点坐标为，由于直线y2＝2x+3中y随x的增大而增大，再分别求出当或时都存在；
当k＝2时，G1与G2平行， 此时可设直线交 y轴于点C，直线分别交x轴、 y轴于点A、B两点，再过点C作直线的垂线段CD，再利用直线上点的坐标特征分别求出点A、B、C的坐标，再利用两点距离公式分别求出AB、AC、OB的长，再解直角三角形求出CD即可.
10．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】如图所示，连接HM.
四边形EFGH是正方形
四边形ABCD是正方形
、且
解得：
故正确答案为：C
【分析】由正方形的性质知DH垂直AE、CG垂直DH，由于点M平分DE，则连接HM，可得HM是直角三角形DHE的斜边DE上的中线，则HM＝DM，再由线段垂直平分线的性质定理得DG＝HG，再由全等三角形的性质结合正方形的性质可得AH＝DG＝HG＝HE，则DH垂直平分AE，同理可得DE＝AD，再由等腰三角形三线合一知DH平分，则由正方形的对边平行结合对顶角相等可得等于等于，再由全等三角形的对应角相等可得，等量代换可得，由等角对等边可得EN＝BN，再由正方形的性质可得DE＝AD＝AB＝DC＝CB＝8，则DN＝8+EN、CN＝8-EN，再在直角三角形DCN中应用勾股定理即可求得EN＝2.
11．【答案】3
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把 (a，b) 代入y=3x-1得b=3a-1，即3a-b=1
∴6a-2b+1=2(3a-b)+1=2×1+1=3，
故答案为：3.
【分析】将点的坐标代入函数解析式，得到a与b的关系式，再对所求代数式进行变形，最后整体代入求值.
12．【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】如图所示，
故正确答案为：
【分析】由于对顶角相等、直角三角形两锐角互余，则，再利用三角形外角的性质即可.
13．【答案】③
【知识点】三角形全等及其性质；真命题与假命题；不等式的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：①只有两直线平行时内错角相等，故原命题是假命题；
②全等三角形的周长相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，故原命题是假命题；
③若，则，该命题是真命题；
④若，则或，故原命题是假命题；
故答案为：③．
【分析】
分别利用平行线的性质、全等三角形的判定、等式的性质及不等式的性质，逐一进行判断即可．
14．【答案】
【知识点】圆周角定理；定点定长辅助圆模型；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】如图所示：
由勾股定理知，，则点A、B都在以P为圆心，为半径的圆上，则由圆周角定理知，点C必然在上，由于点C的坐标均为整数，即点C经过的格点，故满足条件的点C共有6个，任意写出一个即可.
【分析】由勾股定理知， ，则以点P为圆心，PA长为半径作，由圆周角定理知，经过的格点（点A、B除外）均满足条件，再根据图形特征写出任意一个点的坐标即可.
15．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；解直角三角形—边角关系；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点C作CG⊥l于点G，过点A作AH⊥BC于点H，设AC交l于点O.
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴△AHC是等腰直角三角形，AH＝HC＝，
∴AC＝，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CGD中，
，
∴△BFD≌△CGD（AAS），
∴BF＝CG，
∵ AE⊥l，CG⊥l，
∴AEAO、CGCO，
∴AE+BF＝AE+CKAO+CO＝AC=，
故答案为：
【分析】
过点C作CG⊥l于点G，过点A作AH⊥BC于点H，则可利用AAS证明△BFD≌△CGD，即有CG=BF，再根据垂线段最短可得AE+BFAC，再分别解直角三角形求出AC的长即可．
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：作点A关于直线BD的对称点A`，连接DA`，则.
令，则
如图1所示，当点A`在线段OC上时.
，即
如图2所示，当A`在线段BC上时.
四边形ADA`B是正方形
，即
点A`在四边形OABC内
故正确答案为：
【分析】先作点A关于直线BD的对称点A`，连接DA`，由折叠知DA＝DA`、，再由点的坐标特征知AD＝A`D＝2、OD＝1，且四边形OABC是矩形，由于点A`落在矩形OABC内部，可分别计算出A`在矩形的两边上时t的对应值即可，即当点A`在边OC上时，由直角三角形中30度的性质可得，则可计算得，所以有DB＝2AD＝4，再由勾股定理求出AB的长，即此时；而当点A`落在边BC上时，可证明四边形ADA`B是正方形，即AB＝AD＝2，即此时，故当点A`在矩形OABC内时，的取值范围为.
17．【答案】解：
解不等式得：
解不等式得：
把各解集表示在同一数轴上如下：
不等式组的整数解为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】
先解各不等式，再把各解集表示在同一数轴上，则公共部分为不等式组的解集，再根据题意找出所有满足条件的整数解，最后再对各整数解进行有理数的加法运算即可.
18．【答案】答：如图所示：
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】分别以AC所在直线为对称轴、以AB的中垂线为对称轴、以点C与AB的平行的格线为对称轴、以的平分线为对称轴作与的即可.
19．【答案】证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF，
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC＝AF，
在△ABC与△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF＝BC.
【知识点】手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】由手拉手全等模型证明△ABC≌△AEF即可得EF＝BC．
20．【答案】（1）解：设科技类为x本、文学书为y本，由题意列方程组得
解得：
答：书架上科技类书有60本，则有文学书30本
（2）解：设最多还可以摆放m本科技书，由题意列不等式得
解得：
答：科技类书最多还可以摆90本.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】
（1）设科技类为x本、文学书为y本，由相等关系“ 科技类书和文学书共90本恰好摆满该书架 ”列方程组并求解即可；
（2）设最多还可以摆放m本科技书，由不等关系“ 最多还可以摆多少本 ”列不等式并求解即可.
21．【答案】（1）证明：
平分、
（2）解：
平分、
答：BE等于6.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）由角平分线的性质定理得DE＝DC，再由HL可判定；
（2）先由角平分线的概念结合垂直的概念可利用AAS判定，再由全等的性质可得AE＝FC、BE＝BC，再利用线段的和差关系结合线段的和差关系并等量代换可得BE＝6.
22．【答案】（1）解：分别平分
答：的度数为；
（2）解：分别平分
（3）或或
【知识点】角的运算；角的双角平分线和型；三角形的双内角平分线模型；三角形的一内一外角平分线模型；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】
（3）解：
分别平分
平分
当时，，解得：；
当时，，解得：；
当时，，解得：；
故的度数可以为或或.
【分析】
（1）直接利用三角形双内角平分线模型求解即可；
（2）直接利用三角形双外角平分线模型求解即可；
（3）先分别利用三角形一内一外角平分线模型求得，再利用双角平分线和模型可得，再由（2）的结论得，此时再分类讨论，即当时，或时，或时，分别列关于的方程并求解即可.
23．【答案】（1）答：描点，连线，得函数图象如下：
（2）90；40；12；1.5或4.5
【知识点】矩形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息；用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】
（1）描点、连线，得函数图象为连续的两个抛物线；
（2） ① 观察图象知，函数的最大值为90，即摩天轮的最大高度为90米；由于最小高度为10米，则摩天轮的直径为80米，即半径为40米；
②从最底点到最高点共用时8-2＝6分钟，则转一圈用时12分钟；
③当座舱B在A的前面时，如图所示：设x分钟后A、B距离地面MN的高度相同.
分别连接OA、OB、OA1、OB2，再延长AO交A1B1于点C.
四边形OMNB是平行四边形
是矩形
点A旋转一周用时12分钟
点A每分钟旋转
解得：
当座舱B在A后面时，如图所示，
同理，可得：
解得：
答： 则至少经过1.5或4.5分钟，A、B两座舱的高度相同.
【分析】
（1）分别描点、连线可得函数图象；
（2） ① 观察抛物线可知摩天轮最低点距离地面10米，摩天轮最高点距离地面90米，则摩天的直径为80米，即半径为40米；
② 由于摩天轮的座舱A从最低点运行到最高点用时6分钟，即其运行半个圆周用6分钟，则运行一周需要12分钟；
③ 由于摩天轮运行一周用时12分钟，则每个座舱每分钟的旋转角度都是30度，则当座舱A位于最低点且座舱B距离地面50米时，则当A、B离地面高度相同时AB平行地面，由平行公理知过最低点的直径必然垂直AB，再由等腰三角形三线合一知该直径必然平分，此时再分类讨论，即当点B在A前面时或点B在A后面时，分别列方程并求解即可.
24．【答案】（1）1
（2）15；60
（3）解：设王叔叔出发x小时后与刘叔叔相距15千米，若两人在相遇前相距15千米，
则15x-1+60x-6+15=120，
解得：
若两人在相遇后相距15千米，
则15x-1+60x-6=120+15，
解得
答：王叔叔出发 小时或 小时后与刘叔叔相距15千米.
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)9-8=1(小时)。
故答案为：1.
(2)由图可知，从甲地到乙地共120千米，王叔叔骑车共用9-1=8(小时)，
所以王叔叔骑自行车的速度是120÷8=15(千米/时)，
刘叔叔开车共用8-6=2(小时)，
速度是120÷2=60(千米/时) ，
答：叔叔骑自行车的速度是15千米/时(不包括休息时间)，刘叔叔开车的速度是60千米/时.
故答案为： 15； 60.
【分析】(1)由图可知，刘叔叔在王叔叔出发8小时时到达甲地，王叔叔出发9小时到达乙地，据此即可求解；
(2)根据速度=路程÷时间即可求解；
(3)设王叔叔出发x小时后与刘叔叔相距15千米，分两人相遇前或相遇后相距15千米两种情况，分别列方程求解.
1 / 1浙江省宁波市慈溪市慈溪实验中学2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷
1．（2025八上·慈溪期中）以下是中国几个历史文化名城的图标，其中不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A选项：如下图所示，
把图形沿虚线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合，
这个图标是轴对称图形，
故A选项不符合题意；
B选项：图标沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能重合，
这个图标不是轴对称图形，
故B选项符合题意；
C选项：如下图所示，
把图形沿虚线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合，
这个图标是轴对称图形，
故C选项不符合题意；
D选项：如下图所示，
把图形沿虚线折叠后，直线两旁的部分可以完全重合，
这个图标是轴对称图形，
故D选项不符合题意．
故答案为：B
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴.
2．（2025八上·慈溪期中） 如图，在中，边上的高是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形的高
【解析】【解答】过点A作BC的垂线段交BC的延长线于点F，则AF为的边BC上的高.
故正确答案为：B
【分析】过三角形的一个顶点向对边作垂线，这个顶点与垂足之间的线段叫这个三角形的一条高，因此三角形有三条高.
3．（2025八上·慈溪期中） 如图，在中，，的垂直平分线l交于点M，，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：如图，连接AM.
垂直平分AC
故正确答案为：B
【分析】连接AM，可由线段垂直平分线的性质得AM＝CM，再由线段的和差关系结合已知再等量代换得AB＝AM，再由等边对等角可得，再由三角形外角的性质得，再由三角形的内角和定理可得.
4．（2025八上·慈溪期中） 对于命题“如果，那么、都大于”能说明它是假命题的反例是（　　）
A． B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】举反例判断命题真假
【解析】【解答】证明：令，则
原命题是假命题
故正确答案为：C
【分析】用反例法证明一个命题是假命题，只需找一个满足条件且使结论不成立的例子即可，本命题的结论是“、都大于 ”，则举出符号题设全使或其中一个小于或等于的角度值即可.
5．（2025八上·慈溪期中） 如图，在中，以点C为圆心，长为半径作弧与交于点D，连接，以点B为圆心，适当长为半径作弧分别与和交于点E和F，再分别以点E和F为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内部交于点G，作射线交于点H，若，则的大小为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；等腰三角形的性质-等边对等角；尺规作图-等腰（等边）三角形
【解析】【解答】解：
平分
故正确答案为：C
【分析】先由基本尺规作图知CD＝CA，则由等边对等角得，再由基本尺规作图知BH平分，则由角平分线的概念知，最后再借助三角形外角的性质得.
6．（2025八上·慈溪期中） 为了探究物质的质量与体积的关系，同学们找来甲、乙、丙、丁四种物质做实验，分别测量它们的体积和质量m（g），并在如图的平面直角坐标系内依次画出了相应的图象．根据图象及物理学知识，可判断这四种物质中密度最大的是（　　）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息；正比例函数的图象
【解析】【解答】观察图象知，
故正确答案为D
【分析】求四种物质中那个密度最大，实质是求四条正比例函数的比例系数的最大值，观察图象那条直线x轴的夹角越大则对应的密度最大.
7．（2025八上·慈溪期中）如果关于x的方程（a-1）x-4=a（x+2）的解为非负数，且关于x，y的二元一次方程组 的解满足 则满足条件的整数a有（　　）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】B
【知识点】解一元一次不等式；一元一次不等式组的特殊解；加减消元法解二元一次方程组；解系数含参的一元一次方程
【解析】【解答】解：解关于x的方程((a-1)x-4=a(x+2)得x=-4-2a，
由题意知-4-2a≥0，
①+②得6x+6y=a+4，
∵关于x，y的二元一次方程组 的解满足
∴满足条件的整数a有-6，-5，-4，-3，-2，共5个，
故答案为：B.
【分析】先解一元一次方程得到x=-4-2a，根据方程的解为非负数列出不等式可求出a的取值范围；把方程组中的两个方程相加推出 则可得到 解不等式可确定a的取值范围，据此可得答案.
8．（2025八上·慈溪期中） 如图放置的，都是以为直角顶点的三角形，点都在直线上，，点在轴上，，则点的坐标是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；探索规律-点的坐标规律；直角三角形的两锐角互余；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】如图，过点A1作x轴的垂线段A1C，设A1的坐标为.
，即B1、A1、C三点共线
轴
同理：，
当时，，即
故正确答案为：D
【分析】过点A1作x轴的垂线段A1C，由直线上点的坐标特征可设点，则由直线上两点间的距离可得OA1＝2x，则由直角三角形中30度角的性质可得，再由直角三角形两锐角互余可得，再由互为余角可得，再利用直角三角形中30度角的性质结合勾股定理可得，进而可得点，再由已知可利用HL判定，则可得，即B1、A1、C三点共线，则可得点，同理可依次得，，，再把代入计算即可.
9．（2025八上·慈溪期中） 一次函数y1＝kx+1﹣2k（k≠0）的图象记作G1，一次函数y2＝2x+3（﹣1＜x＜2）的图象记作G2，对于这两个图象，有以下几种说法：
①当G1与G2有公共点时，y1随x增大而减小；
②当G1与G2没有公共点时，y1随x增大而增大；
③当k＝2时，G1与G2平行，且平行线之间的距离为．
下列选项中，描述准确的是（　　）
A．①②正确，③错误 B．①③正确，②错误
C．②③正确，①错误 D．①②③都正确
【答案】D
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数图象、性质与系数的关系；坐标系中的两点距离公式；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：
直线必过定点
设这个定点为
① 当G1与G2有公共点时， 如图所示，设直线交直线于点
当时，
当时，
即图象G2为线段AB且不包括两个端点A、B
C、D两点都在直线上
即，此时y1随x增大而减小；
②当G1与G2没有公共点，如图所示，设直线交直线于点
C、E两点都在直线上
如图所示，设直线交直线于点
同理：
即，此时y1随x增大而减小；
③如图所示：设直线交 y轴于点C，直线分别交x轴、 y轴于点A、B两点，再过点C作直线的垂线段CD.
当时，
令，则
故结论正确.
综上，正确答案为：D
【分析】
先由直线上点的坐标特征知直线G1过定点，此时可设这个定点为C，同理可得一次函数y2＝2x+3（﹣1＜x＜2）的图象G2是线段AB但不包括其两个端点；
当G1与G2有公共点时，可设两图象的交点为D，则可由直线上点的坐标特征得，再结合定点，可利用待定系数法用含m的代数式表示出k，再结合m的取值范围可得；
同理，当G1与G2没有公共点时，可设两直线的交点坐标为，由于直线y2＝2x+3中y随x的增大而增大，再分别求出当或时都存在；
当k＝2时，G1与G2平行， 此时可设直线交 y轴于点C，直线分别交x轴、 y轴于点A、B两点，再过点C作直线的垂线段CD，再利用直线上点的坐标特征分别求出点A、B、C的坐标，再利用两点距离公式分别求出AB、AC、OB的长，再解直角三角形求出CD即可.
10．（2025八上·慈溪期中） 赵爽弦图由四个全等的直角三角形所组成，形成一个大正方形，中间是一个小正方形，连接与相交于点M，延长交于点N，若M是的中点，，则的长（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】如图所示，连接HM.
四边形EFGH是正方形
四边形ABCD是正方形
、且
解得：
故正确答案为：C
【分析】由正方形的性质知DH垂直AE、CG垂直DH，由于点M平分DE，则连接HM，可得HM是直角三角形DHE的斜边DE上的中线，则HM＝DM，再由线段垂直平分线的性质定理得DG＝HG，再由全等三角形的性质结合正方形的性质可得AH＝DG＝HG＝HE，则DH垂直平分AE，同理可得DE＝AD，再由等腰三角形三线合一知DH平分，则由正方形的对边平行结合对顶角相等可得等于等于，再由全等三角形的对应角相等可得，等量代换可得，由等角对等边可得EN＝BN，再由正方形的性质可得DE＝AD＝AB＝DC＝CB＝8，则DN＝8+EN、CN＝8-EN，再在直角三角形DCN中应用勾股定理即可求得EN＝2.
11．（2025八上·慈溪期中） 点 （a， b） 在y=3x-1的函数图象上， 则代数式 　 　.
【答案】3
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把 (a，b) 代入y=3x-1得b=3a-1，即3a-b=1
∴6a-2b+1=2(3a-b)+1=2×1+1=3，
故答案为：3.
【分析】将点的坐标代入函数解析式，得到a与b的关系式，再对所求代数式进行变形，最后整体代入求值.
12．（2025八上·慈溪期中） 小明把一副含，的直角三角板如图摆放，其中，，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形外角的概念及性质；对顶角及其性质；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】如图所示，
故正确答案为：
【分析】由于对顶角相等、直角三角形两锐角互余，则，再利用三角形外角的性质即可.
13．（2025八上·慈溪期中）下列命题是真命题的是　 　（填序号）．①内错角相等；②周长相等的两个三角形全等；③若，则；④若，则．
【答案】③
【知识点】三角形全等及其性质；真命题与假命题；不等式的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：①只有两直线平行时内错角相等，故原命题是假命题；
②全等三角形的周长相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，故原命题是假命题；
③若，则，该命题是真命题；
④若，则或，故原命题是假命题；
故答案为：③．
【分析】
分别利用平行线的性质、全等三角形的判定、等式的性质及不等式的性质，逐一进行判断即可．
14．（2025八上·慈溪期中） 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为．若点的横坐标和纵坐标均为整数，且，则点的坐标为　 　．（写出一个正确的坐标即可）
【答案】
【知识点】圆周角定理；定点定长辅助圆模型；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】如图所示：
由勾股定理知，，则点A、B都在以P为圆心，为半径的圆上，则由圆周角定理知，点C必然在上，由于点C的坐标均为整数，即点C经过的格点，故满足条件的点C共有6个，任意写出一个即可.
【分析】由勾股定理知， ，则以点P为圆心，PA长为半径作，由圆周角定理知，经过的格点（点A、B除外）均满足条件，再根据图形特征写出任意一个点的坐标即可.
15．（2025八上·慈溪期中）如图，在△ABC中，AB＝2，∠ABC＝60°，∠ACB＝45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AE⊥l，BF⊥l，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；解直角三角形—边角关系；倍长中线构造全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：如图，过点C作CG⊥l于点G，过点A作AH⊥BC于点H，设AC交l于点O.
在Rt△AHB中，
∵∠ABC＝60°，AB＝2，
∴BH＝1，AH＝，
在Rt△AHC中，∠ACB＝45°，
∴△AHC是等腰直角三角形，AH＝HC＝，
∴AC＝，
∵点D为BC中点，
∴BD＝CD，
在△BFD与△CGD中，
，
∴△BFD≌△CGD（AAS），
∴BF＝CG，
∵ AE⊥l，CG⊥l，
∴AEAO、CGCO，
∴AE+BF＝AE+CKAO+CO＝AC=，
故答案为：
【分析】
过点C作CG⊥l于点G，过点A作AH⊥BC于点H，则可利用AAS证明△BFD≌△CGD，即有CG=BF，再根据垂线段最短可得AE+BFAC，再分别解直角三角形求出AC的长即可．
16．（2025八上·慈溪期中） 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点的坐标分别为，其中，点是直线与轴的交点，点在直线上，若点关于直线的对称点恰好落在四边形内部（不包括正好落在边上），则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；正方形的判定与性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：作点A关于直线BD的对称点A`，连接DA`，则.
令，则
如图1所示，当点A`在线段OC上时.
，即
如图2所示，当A`在线段BC上时.
四边形ADA`B是正方形
，即
点A`在四边形OABC内
故正确答案为：
【分析】先作点A关于直线BD的对称点A`，连接DA`，由折叠知DA＝DA`、，再由点的坐标特征知AD＝A`D＝2、OD＝1，且四边形OABC是矩形，由于点A`落在矩形OABC内部，可分别计算出A`在矩形的两边上时t的对应值即可，即当点A`在边OC上时，由直角三角形中30度的性质可得，则可计算得，所以有DB＝2AD＝4，再由勾股定理求出AB的长，即此时；而当点A`落在边BC上时，可证明四边形ADA`B是正方形，即AB＝AD＝2，即此时，故当点A`在矩形OABC内时，的取值范围为.
17．（2025八上·慈溪期中） 解不等式组：，将解集在数轴上表示出来，并求出满足条件的所有整数解的和．
【答案】解：
解不等式得：
解不等式得：
把各解集表示在同一数轴上如下：
不等式组的整数解为：
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组；一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】
先解各不等式，再把各解集表示在同一数轴上，则公共部分为不等式组的解集，再根据题意找出所有满足条件的整数解，最后再对各整数解进行有理数的加法运算即可.
18．（2025八上·慈溪期中） 在的正方形格点图中，有格点和，且和关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出4个这样的每个正方形个点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是平行的，则视为一种
【答案】答：如图所示：
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【分析】分别以AC所在直线为对称轴、以AB的中垂线为对称轴、以点C与AB的平行的格线为对称轴、以的平分线为对称轴作与的即可.
19．（2025八上·慈溪期中）如图，△ABC中，点E在BC边上，AE＝AB，将线段AC绕A点逆时针旋转到AF的位置，使得∠CAF＝∠BAE，连接EF，EF与AC交于点G．求证：EF＝BC．
【答案】证明：∵∠CAF＝∠BAE，∴∠BAC＝∠EAF，
∵将线段AC绕A点旋转到AF的位置，
∴AC＝AF，
在△ABC与△AEF中，
，
∴△ABC≌△AEF（SAS），
∴EF＝BC.
【知识点】手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】由手拉手全等模型证明△ABC≌△AEF即可得EF＝BC．
20．（2025八上·慈溪期中） 每年4月23日是世界读书日，为了增强班级读书氛围，每个班级建立了如图所示的书架，已知书架的长度是，在该书架上按图示方式摆放科技类书和文学书，每本科技类书厚，每本文学书厚．
（1）如果科技类书和文学书共90本恰好摆满该书架，求书架上科技类书和文学书各多少本；
（2）如果书架上已摆放10本文学书，那么科技类书最多还可以摆多少本？
【答案】（1）解：设科技类为x本、文学书为y本，由题意列方程组得
解得：
答：书架上科技类书有60本，则有文学书30本
（2）解：设最多还可以摆放m本科技书，由题意列不等式得
解得：
答：科技类书最多还可以摆90本.
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-配套问题
【解析】【分析】
（1）设科技类为x本、文学书为y本，由相等关系“ 科技类书和文学书共90本恰好摆满该书架 ”列方程组并求解即可；
（2）设最多还可以摆放m本科技书，由不等关系“ 最多还可以摆多少本 ”列不等式并求解即可.
21．（2025八上·慈溪期中） 如图，在中，，平分交于点，于点，是线段上一点，连接．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：
平分、
（2）解：
平分、
答：BE等于6.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；三角形全等的判定-AAS；角平分线的概念；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）由角平分线的性质定理得DE＝DC，再由HL可判定；
（2）先由角平分线的概念结合垂直的概念可利用AAS判定，再由全等的性质可得AE＝FC、BE＝BC，再利用线段的和差关系结合线段的和差关系并等量代换可得BE＝6.
22．（2025八上·慈溪期中） 如图①，在中，与的平分线相交于点．
（1）如果，求的度数；
（2）如图②，作外角，的角平分线交于点，已知，求（用表示）．
（3）如图③，延长线段、交于点，当　 　时，中存在一个内角等于另一个内角的2倍（直接写出的度数）．
【答案】（1）解：分别平分
答：的度数为；
（2）解：分别平分
（3）或或
【知识点】角的运算；角的双角平分线和型；三角形的双内角平分线模型；三角形的一内一外角平分线模型；三角形的双外角平分线模型
【解析】【解答】
（3）解：
分别平分
平分
当时，，解得：；
当时，，解得：；
当时，，解得：；
故的度数可以为或或.
【分析】
（1）直接利用三角形双内角平分线模型求解即可；
（2）直接利用三角形双外角平分线模型求解即可；
（3）先分别利用三角形一内一外角平分线模型求得，再利用双角平分线和模型可得，再由（2）的结论得，此时再分类讨论，即当时，或时，或时，分别列关于的方程并求解即可.
23．（2025八上·慈溪期中） 摩天轮是一种常见的游乐设施，在综合实践活动中，数学小组的同学们借助仪器准确测量并记录了某个摩天轮的旋转时间t（单位：）和一个座舱A距离地面的高度h（单位：），部分数据如下：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
30.00 15.36 10.00 15.36 30.00 50.00 70.00 84.64 90.00 84.64 70.00
请解决以下问题：
（1）通过分析数据，发现可以用函数刻画h与t之间的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象；
（2）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：
①此摩天轮座舱距离地面的高度最高为　 　，转盘的半径约为　 　；
②此摩天轮转一圈所用时间为　 　；
③若当座舱A距离地面的高度为时，座舱B距离地面的高度是，则至少经过　 　（精确到0.1），这两个座舱的高度相同．
【答案】（1）答：描点，连线，得函数图象如下：
（2）90；40；12；1.5或4.5
【知识点】矩形的判定与性质；一元一次方程的实际应用-几何问题；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息；用表格表示变量间的关系
【解析】【解答】
（1）描点、连线，得函数图象为连续的两个抛物线；
（2） ① 观察图象知，函数的最大值为90，即摩天轮的最大高度为90米；由于最小高度为10米，则摩天轮的直径为80米，即半径为40米；
②从最底点到最高点共用时8-2＝6分钟，则转一圈用时12分钟；
③当座舱B在A的前面时，如图所示：设x分钟后A、B距离地面MN的高度相同.
分别连接OA、OB、OA1、OB2，再延长AO交A1B1于点C.
四边形OMNB是平行四边形
是矩形
点A旋转一周用时12分钟
点A每分钟旋转
解得：
当座舱B在A后面时，如图所示，
同理，可得：
解得：
答： 则至少经过1.5或4.5分钟，A、B两座舱的高度相同.
【分析】
（1）分别描点、连线可得函数图象；
（2） ① 观察抛物线可知摩天轮最低点距离地面10米，摩天轮最高点距离地面90米，则摩天的直径为80米，即半径为40米；
② 由于摩天轮的座舱A从最低点运行到最高点用时6分钟，即其运行半个圆周用6分钟，则运行一周需要12分钟；
③ 由于摩天轮运行一周用时12分钟，则每个座舱每分钟的旋转角度都是30度，则当座舱A位于最低点且座舱B距离地面50米时，则当A、B离地面高度相同时AB平行地面，由平行公理知过最低点的直径必然垂直AB，再由等腰三角形三线合一知该直径必然平分，此时再分类讨论，即当点B在A前面时或点B在A后面时，分别列方程并求解即可.
24．（2025八上·慈溪期中）王叔叔骑自行车匀速从甲地驶向乙地，在途中休息了一段时间后，仍按原速行驶，他离乙地的距离与时间的关系如图中折线所示。刘叔叔开车匀速从乙地驶向甲地，比王叔叔晚一段时间出发，他离乙地的距离与时间的关系如图中线段AB所示。
（1）刘叔叔到达甲地后，再经过　 　小时，王叔叔到达乙地；
（2）王叔叔骑自行车的速度是　 　千米/时（不包括休息时间），刘叔叔开车的速度是　 　千米/时；
（3）王叔叔出发多少小时后与刘叔叔相距15千米
【答案】（1）1
（2）15；60
（3）解：设王叔叔出发x小时后与刘叔叔相距15千米，若两人在相遇前相距15千米，
则15x-1+60x-6+15=120，
解得：
若两人在相遇后相距15千米，
则15x-1+60x-6=120+15，
解得
答：王叔叔出发 小时或 小时后与刘叔叔相距15千米.
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：(1)9-8=1(小时)。
故答案为：1.
(2)由图可知，从甲地到乙地共120千米，王叔叔骑车共用9-1=8(小时)，
所以王叔叔骑自行车的速度是120÷8=15(千米/时)，
刘叔叔开车共用8-6=2(小时)，
速度是120÷2=60(千米/时) ，
答：叔叔骑自行车的速度是15千米/时(不包括休息时间)，刘叔叔开车的速度是60千米/时.
故答案为： 15； 60.
【分析】(1)由图可知，刘叔叔在王叔叔出发8小时时到达甲地，王叔叔出发9小时到达乙地，据此即可求解；
(2)根据速度=路程÷时间即可求解；
(3)设王叔叔出发x小时后与刘叔叔相距15千米，分两人相遇前或相遇后相距15千米两种情况，分别列方程求解.
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