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广东省惠州市第八中学2025-2026学年高二上学期第二次段考（1月）数学试题
1．（2026高二上·惠城月考）已知直线经过点，则直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，则，则.
故答案为：B.
【分析】
由斜率公式得及直线倾斜角与斜率的关系k=tan得，，得解.
2．（2026高二上·惠城月考）方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：由方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，得，解得，
所以k 的取值范围为.
故答案为：C
【分析】由椭圆方程定义得，解不等式即可.
3．（2026高二上·惠城月考）据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（　　）
A．38盏 B．32盏 C．26盏 D．18盏
【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意知：塔的每层灯数构成等差数列，
则首项为，公差，项数，，
根据等差数列前 项和公式，
得：，
则，
化简得：
则，
根据等差数列通项公式，
代入、、，
得：.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件，将实际问题转化为等差数列的问题，再利用等差数列的求和公式和等差数列的通项公式，从而得出塔的底层共有的灯数.
4．（2026高二上·惠城月考）圆和圆的公共弦长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由圆，
得，
因为圆，
两圆方程作差，可得两圆交点所在的直线方程为，
又因为圆心到直线的距离，
所以，两圆公共弦长为．
故答案为：A．
【分析】先利用两圆作差求出公共弦的方程，再利用点到直线的距离公式和弦长公式，从而得出圆和圆的公共弦长.
5．（2026高二上·惠城月考）设数列满足，且，则（　　）
A． B． C． D．3
【答案】C
【知识点】函数的周期性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：在数列中，，且，
则，，
因此，数列是周期为4的数列，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知的递推公式，从而计算出数列前5项，再结合函数的周期性确定数列的周期，再利用数列的周期性，从而得出的值.
6．（2026高二上·惠城月考）已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，可得，
则，可得，
所以 点到直线的距离.
故答案为：D.
【分析】建系，利用空间向量求点到线的距离.
7．（2026高二上·惠城月考）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为是斜率为1的直线，
则将曲线转化为，
此曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，画出它们的图象如图，
当直线与圆相切时，，
解得或（舍去），
当直线过时，，直线与半圆有两个公共点，
由图可以看出：当时，直线与半圆有两个公共点.
故答案为：B.
【分析】曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而作出直线和半圆的图象，再利用直线与半圆有两个交点，从而求出实数b的取值范围.
8．（2026高二上·惠城月考）已知椭圆的左焦点为，直线与相交于，两点，且，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：如图，作出符合题意的图形，找到椭圆的右焦点，连接，
由椭圆的对称性，可得四边形是平行四边形，
因为，所以四边形是矩形，
可得，
因为，所以，
则是等边三角形，
由矩形性质，得，
由等边三角形性质，得，，
结合题意，可得，
由椭圆的定义，得，
可得，
化简得.
故答案为：A.
【分析】先作出符合题意的图形，再利用椭圆图形的对称性判断出四边形是平行四边形，再根据判断出四边形是矩形，从而可得，再利用等边三角形的定义，从而判断出是等边三角形，再根据矩形的性质和等边三角形的性质以及椭圆的定义，从而得出a，c的关系式，再由椭圆的离心率公式变形得出椭圆C的离心率的值.
9．（2026高二上·惠城月考）已知空间向量，，下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则在上的投影向量为
C．若，则
D．若与的夹角为钝角，则
【答案】A,B
【知识点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角；空间向量垂直的坐标表示；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：对于A：若，则，
解得，故A正确；
对于B：当时，，
则，
，
所以在上的投影向量，故B正确；
对于C：若，则，
解得，故C错误；
对于D：若与的夹角为钝角，
则，
解得，
若，则，方程无解，
所以与不共线，
若与的夹角为钝角，
则，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出x的值，则判断出选项A；利用数量积求投影向量的公式，则判断出选项B；利用向量的模的坐标表示，从而得出x的值，则判断出选项C；利用数量积求向量夹角公式和余弦值所在象限的符号，从而得出x的取值范围，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2026高二上·惠城月考）已知点A是圆上任意一点，点是直线与轴的交点，为坐标原点，则（　　）
A．以线段为直径的圆周长最小值为
B．面积的最大值为
C．以线段为直径的圆不可能过坐标原点
D．的最大值为25
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；圆的标准方程；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意得圆圆心，半径，点，
：如图所示，易知，
当且仅当三点共线，且点在线段上时，等号成立，故线段为直径的圆周长最小值为，故正确；
：，
，
所以当时，面积的最大，最大值为，故正确；
：若以线段为直径圆过坐标原点，由直径所对的圆周角为直角可得，
易知当点在轴上时，满足题意，所以以线段为直径的圆可能过坐标原点，故错误；
：设点，易知，，则，
所以，即的最大值为25，故正确；
故答案为：.
【分析】三角形中，两边之差小于第三边，当三点共线，，可判断；求面积最大值，先写出面积的表达式，，当时，面积最大，可判断；设以线段为直径的圆过坐标原点，利用直径所对的圆周角为直角可判断；设点，利用数量积的坐标运算可得到的表达式，即可求出最大值，进而可判断.
11．（2026高二上·惠城月考）已知正方体ABCD－EFGH棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则（　　）
A．存在点P，使得
B．存在唯一点P，使得
C．当，此时点P的轨迹长度为
D．当P为底面EFGH的中心时，三棱锥P－ABM的外接球体积为
【答案】B,C,D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；球的表面积与体积公式及应用；空间中直线与直线之间的位置关系；球内接多面体；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：以D为原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，设P点坐标为，
则，，为求的最小值，
又因为点A关于平面的对称点，
设该点为，则点坐标为，
∴，故选项A错误；
由，
可得，故选项B正确；
当时，则，
又因为，
得到，
所以，点P轨迹是棱中点与棱中点间的线段，其长度为线段的一半，长为．故选项C正确；
当P为底面的中心时，由选项B知，且，
∴外接球球心为棱的中点，
则球半径为，
所以，故选项D正确．
故答案为：BCD.
【分析】先建系得出点的坐标和向量的坐标，再结合点关于平面对称，从而得出距离和的最小值，则判断出选项A；利用空间向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示以及点轨迹求解方法，则判断出选项B和选项C；利用选项B和直角三角形性质得出线线垂直，再利用勾股定理和中点的性质，从而得出球心坐标和半径长，再结合球的体积公式判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．（2026高二上·惠城月考）已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为　 　.
【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，可知，
因为，
所以，
又因为双曲线的焦点在轴上，
所以渐近线方程为.
故答案为：.
【分析】根据椭圆的焦距得出c的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出的值，再代入焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程，从而得出该双曲线的渐近线方程.
13．（2026高二上·惠城月考）已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为　 　.
【答案】13
【知识点】抛物线的定义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，所以，
记抛物线C的准线为l，则直线，
记点P到l的距离为d，点到直线l的距离为，
所以.
故答案为：
【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再利用抛物线的定义将的周长进行转化，再根据几何法求最值，从而求出周长的最小值.
14．（2026高二上·惠城月考）已知直线，圆，直线l与圆C交于两点，则弦长的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：如图：
，
直线经过直线与的交点，
圆的圆心为，半径为，
点到圆心的距离，
则点位于圆内，
当时，取得最小值，最小值为．
故答案为：．
【分析】先根据已知直线方程求出直线所过的定点坐标，再利用两点距离公式求出定点到圆心的距离，再比较与半径的大小判断出定点与圆的位置关系，从而确定弦长最小时直线与圆的位置关系，最后利用弦长公式得出弦长的最小值．
15．（2026高二上·惠城月考）已知是等差数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）n为何值时，取得最大值并求其最大值.
【答案】（1）解：由题意，可知：，
当时，；
当时，，
当时，，符合，
∴数列的通项公式.
（2）解：方法一：因为，
由二次函数图象和，知或时，取得最大值56.
方法二：当时，；
当时，；
当时，，
所以，当或时，有最大值.
【知识点】函数的最大（小）值；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据与的关系式和分类讨论的方法以及检验法，从而得出数列的通项公式.
（2）利用两种方法求解.
方法一：利用等差数列前n项和公式和二次函数求最值的方法，从而得出的最大值并求出此时对应的n的值.
方法二：由分类讨论的方法和项的符号，从而得出的最大值并求出此时对应的n的值.
（1）由题意可知：，
当时，，
当时，，
当时，，符合，
∴数列的通项公式；
（2）法一：，
由二次函数图象及知或时，取得最大值56.
法二：当时，，
当时，，
当时，，
所以当或时，有最大值.
16．（2026高二上·惠城月考）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．
【答案】（1）解：设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，
则，
因为，所以，
则直线的方程为，
由，
得，
所以圆心，半径，
则圆的方程为．
（2）解：设点．
因为点的坐标为，
所以
则
又因为点在圆上运动，
所以，
则线段的中点的轨迹方程为．
【知识点】用斜率判定两直线垂直；两条直线的交点坐标；平面内两点间的距离公式；圆的标准方程；轨迹方程
【解析】【分析】（1）先利用中点坐标得出线段的中点，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出线段的垂直平分线的斜率，从而得出线段的垂直平分线方程，再联立两直线方程得出圆心坐标，再根据两点距离公式得出圆的半径长，从而得出圆的标准方程.
（2）设出点的坐标，用点的坐标表示点的坐标，再将点的坐标代入圆的方程，从而化简求出点的轨迹方程.
（1）设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，则．
因为，所以，
所以直线的方程为．
由，得，
所以圆心，
半径，
所以圆的方程为．
（2）设点．
因为点的坐标为，所以即
又点在圆上运动，所以，
即线段的中点的轨迹方程为．
17．（2026高二上·惠城月考）已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值．
【答案】（1）解：由题意得：，所以，
点在椭圆上，所以，解得，
所以椭圆的方程为：．
（2）解：
直线的方程为：
联立，消去后，得关于的一元二次方程，
化简得，
由题意知，解得或，
由韦达定理可得，，
所以，
所以，化简得，解得，即，
经检验符合题意.
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得，联立解方程组可得，a，b，得解 ；
（2）由（1）得椭圆的方程为：，与直线方程联立消元，由求出的范围，列出韦达定理代入弦长公式，列出关于的方程，求解即可.
（1）由题意得：，所以，
点在椭圆上，所以，解得，
所以椭圆的方程为：．
（2）直线的方程为：
联立，消去后，得关于的一元二次方程，
化简得，
由题意知，解得或，
由韦达定理可得，，
所以，
所以，化简得，解得，即，
经检验符合题意.
18．（2026高二上·惠城月考）如图，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值；
（3）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长.
【答案】（1）证明：由平面平面，
平面平面，平面，
则，
得直线平面，
又因为四边形是正方形，
所以直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
依题意，则是平面的一个法向量，
又因为，
所以，
又因为直线平面，
所以平面.
（2）解：因为，
设平面CPB的法向量为 ，
则，取，得，
设平面PQB的法向量为 ，
则，取，得 ，
设平面与平面夹角为，
则，
则，
所以平面与平面夹角的正弦值为.
（3）解：由点H在PD上，设，
则，
依题意，得，
又因为，
解得，
所以线段的长为.
【知识点】异面直线所成的角；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据已知条件证出直线两两垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量坐标，再利用法向量定义得出平面的一个法向量，根据两向量垂直数量积为0的等价关系，从而证出平面.
（2）由（1）中的坐标系，利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面的法向量与平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面夹角的正弦值.
（3）由点H在PD上，设出点坐标，即，再利用数量积求向量夹角公式和t的取值范围，从而得出t的值，进而得出线段的长.
（1）由平面平面，平面平面，平面，
，得直线平面，而四边形是正方形，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
，
依题意，是平面的一个法向量，又，
则，而直线平面，所以平面.
（2），
设平面CPB的法向量为 ，则，取，得，
设平面PQB的法向量为 ，则，取，得 ，
设平面与平面夹角为，则，
，所以平面与平面夹角的正弦值为.
（3）由点H在PD上，设，则，
依题意，，而，解得，
所以线段的长为.
19．（2026高二上·惠城月考）已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和．
（1）求抛物线的标准方程及其准线方程．
（2）求证：为定值．
（3）求证：直线过定点，并求出该定点．
【答案】（1）解：由题意知抛物线的标准方程为（）且，∴，抛物线的标准方程为，准线方程为；
（2）证明：设点P的坐标为，，由题意，过点与抛物线相切的直线的斜率存在且不为0，
设切线的斜率为，则切线的方程为，
联立方程组，消去，得，
∴得（*），
又、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值；
（3）证明：由题知，直线的斜率不为，设直线的方程为，，，
联立，整理得，，
∴，，
∵，
∴，
整理得，
代入有，
∴，
∴且，
∴，故直线过定点．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意知抛物线的标准方程为（）且，解出p代入可得解；
（2）由题意设出切线的方程，联立抛物线方程，消元，利用韦达定理得解；
（3）由题意直线的斜率不为，反设方程，将其与抛物线方程联立，消元、利用韦达定理及（2）结论，可得且，可得直线AB的方程，继而得解
（1）由题意知抛物线的标准方程为（）且，
∴，抛物线的标准方程为，准线方程为；
（2）设点P的坐标为，，
由题意，过点与抛物线相切的直线的斜率存在且不为0，
设切线的斜率为，则切线的方程为，
联立方程组，消去，得，
∴得（*），
又、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值；
（3）由题知，直线的斜率不为，
设直线的方程为，，，
联立，整理得，，
∴，，
∵，
∴，
整理得，
代入有，
∴，
∴且，
∴，故直线过定点．
1 / 1广东省惠州市第八中学2025-2026学年高二上学期第二次段考（1月）数学试题
1．（2026高二上·惠城月考）已知直线经过点，则直线的倾斜角为（　　）
A． B． C． D．
2．（2026高二上·惠城月考）方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
3．（2026高二上·惠城月考）据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（　　）
A．38盏 B．32盏 C．26盏 D．18盏
4．（2026高二上·惠城月考）圆和圆的公共弦长为（　　）
A． B． C． D．
5．（2026高二上·惠城月考）设数列满足，且，则（　　）
A． B． C． D．3
6．（2026高二上·惠城月考）已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（　　）
A． B． C． D．
7．（2026高二上·惠城月考）直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2026高二上·惠城月考）已知椭圆的左焦点为，直线与相交于，两点，且，则的离心率为（　　）
A． B． C． D．
9．（2026高二上·惠城月考）已知空间向量，，下列说法正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则在上的投影向量为
C．若，则
D．若与的夹角为钝角，则
10．（2026高二上·惠城月考）已知点A是圆上任意一点，点是直线与轴的交点，为坐标原点，则（　　）
A．以线段为直径的圆周长最小值为
B．面积的最大值为
C．以线段为直径的圆不可能过坐标原点
D．的最大值为25
11．（2026高二上·惠城月考）已知正方体ABCD－EFGH棱长为2，M为棱CG的中点，P为底面EFGH上的动点，则（　　）
A．存在点P，使得
B．存在唯一点P，使得
C．当，此时点P的轨迹长度为
D．当P为底面EFGH的中心时，三棱锥P－ABM的外接球体积为
12．（2026高二上·惠城月考）已知双曲线的焦距为，则该双曲线的渐近线方程为　 　.
13．（2026高二上·惠城月考）已知抛物线的焦点为F，点P在C上，若点，则周长的最小值为　 　.
14．（2026高二上·惠城月考）已知直线，圆，直线l与圆C交于两点，则弦长的最小值为　 　．
15．（2026高二上·惠城月考）已知是等差数列的前n项和，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）n为何值时，取得最大值并求其最大值.
16．（2026高二上·惠城月考）已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上．
（1）求圆的方程；
（2）若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程．
17．（2026高二上·惠城月考）已知椭圆的长轴长为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）设直线与椭圆相交于不同的两点和，当时，求实数的值．
18．（2026高二上·惠城月考）如图，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面夹角的正弦值；
（3）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长.
19．（2026高二上·惠城月考）已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和．
（1）求抛物线的标准方程及其准线方程．
（2）求证：为定值．
（3）求证：直线过定点，并求出该定点．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】直线的倾斜角；斜率的计算公式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系
【解析】【解答】解：设直线的倾斜角为，则，则.
故答案为：B.
【分析】
由斜率公式得及直线倾斜角与斜率的关系k=tan得，，得解.
2．【答案】C
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程
【解析】【解答】解：由方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，得，解得，
所以k 的取值范围为.
故答案为：C
【分析】由椭圆方程定义得，解不等式即可.
3．【答案】C
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】解：由题意知：塔的每层灯数构成等差数列，
则首项为，公差，项数，，
根据等差数列前 项和公式，
得：，
则，
化简得：
则，
根据等差数列通项公式，
代入、、，
得：.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件，将实际问题转化为等差数列的问题，再利用等差数列的求和公式和等差数列的通项公式，从而得出塔的底层共有的灯数.
4．【答案】A
【知识点】圆与圆的位置关系及其判定
【解析】【解答】解：由圆，
得，
因为圆，
两圆方程作差，可得两圆交点所在的直线方程为，
又因为圆心到直线的距离，
所以，两圆公共弦长为．
故答案为：A．
【分析】先利用两圆作差求出公共弦的方程，再利用点到直线的距离公式和弦长公式，从而得出圆和圆的公共弦长.
5．【答案】C
【知识点】函数的周期性；数列的递推公式
【解析】【解答】解：在数列中，，且，
则，，
因此，数列是周期为4的数列，
所以.
故答案为：C.
【分析】根据已知的递推公式，从而计算出数列前5项，再结合函数的周期性确定数列的周期，再利用数列的周期性，从而得出的值.
6．【答案】D
【知识点】点、线、面间的距离计算；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，可得，
则，可得，
所以 点到直线的距离.
故答案为：D.
【分析】建系，利用空间向量求点到线的距离.
7．【答案】B
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：因为是斜率为1的直线，
则将曲线转化为，
此曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，画出它们的图象如图，
当直线与圆相切时，，
解得或（舍去），
当直线过时，，直线与半圆有两个公共点，
由图可以看出：当时，直线与半圆有两个公共点.
故答案为：B.
【分析】曲线是以原点为圆心，2为半径的右半圆，从而作出直线和半圆的图象，再利用直线与半圆有两个交点，从而求出实数b的取值范围.
8．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】解：如图，作出符合题意的图形，找到椭圆的右焦点，连接，
由椭圆的对称性，可得四边形是平行四边形，
因为，所以四边形是矩形，
可得，
因为，所以，
则是等边三角形，
由矩形性质，得，
由等边三角形性质，得，，
结合题意，可得，
由椭圆的定义，得，
可得，
化简得.
故答案为：A.
【分析】先作出符合题意的图形，再利用椭圆图形的对称性判断出四边形是平行四边形，再根据判断出四边形是矩形，从而可得，再利用等边三角形的定义，从而判断出是等边三角形，再根据矩形的性质和等边三角形的性质以及椭圆的定义，从而得出a，c的关系式，再由椭圆的离心率公式变形得出椭圆C的离心率的值.
9．【答案】A,B
【知识点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角；空间向量垂直的坐标表示；空间向量的投影向量
【解析】【解答】解：对于A：若，则，
解得，故A正确；
对于B：当时，，
则，
，
所以在上的投影向量，故B正确；
对于C：若，则，
解得，故C错误；
对于D：若与的夹角为钝角，
则，
解得，
若，则，方程无解，
所以与不共线，
若与的夹角为钝角，
则，故D错误.
故答案为：AB.
【分析】根据两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出x的值，则判断出选项A；利用数量积求投影向量的公式，则判断出选项B；利用向量的模的坐标表示，从而得出x的值，则判断出选项C；利用数量积求向量夹角公式和余弦值所在象限的符号，从而得出x的取值范围，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；圆的标准方程；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由题意得圆圆心，半径，点，
：如图所示，易知，
当且仅当三点共线，且点在线段上时，等号成立，故线段为直径的圆周长最小值为，故正确；
：，
，
所以当时，面积的最大，最大值为，故正确；
：若以线段为直径圆过坐标原点，由直径所对的圆周角为直角可得，
易知当点在轴上时，满足题意，所以以线段为直径的圆可能过坐标原点，故错误；
：设点，易知，，则，
所以，即的最大值为25，故正确；
故答案为：.
【分析】三角形中，两边之差小于第三边，当三点共线，，可判断；求面积最大值，先写出面积的表达式，，当时，面积最大，可判断；设以线段为直径的圆过坐标原点，利用直径所对的圆周角为直角可判断；设点，利用数量积的坐标运算可得到的表达式，即可求出最大值，进而可判断.
11．【答案】B,C,D
【知识点】与直线有关的动点轨迹方程；球的表面积与体积公式及应用；空间中直线与直线之间的位置关系；球内接多面体；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：以D为原点，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，设P点坐标为，
则，，为求的最小值，
又因为点A关于平面的对称点，
设该点为，则点坐标为，
∴，故选项A错误；
由，
可得，故选项B正确；
当时，则，
又因为，
得到，
所以，点P轨迹是棱中点与棱中点间的线段，其长度为线段的一半，长为．故选项C正确；
当P为底面的中心时，由选项B知，且，
∴外接球球心为棱的中点，
则球半径为，
所以，故选项D正确．
故答案为：BCD.
【分析】先建系得出点的坐标和向量的坐标，再结合点关于平面对称，从而得出距离和的最小值，则判断出选项A；利用空间向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示以及点轨迹求解方法，则判断出选项B和选项C；利用选项B和直角三角形性质得出线线垂直，再利用勾股定理和中点的性质，从而得出球心坐标和半径长，再结合球的体积公式判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题意，可知，
因为，
所以，
又因为双曲线的焦点在轴上，
所以渐近线方程为.
故答案为：.
【分析】根据椭圆的焦距得出c的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出的值，再代入焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程，从而得出该双曲线的渐近线方程.
13．【答案】13
【知识点】抛物线的定义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：因为，所以，
记抛物线C的准线为l，则直线，
记点P到l的距离为d，点到直线l的距离为，
所以.
故答案为：
【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再利用抛物线的定义将的周长进行转化，再根据几何法求最值，从而求出周长的最小值.
14．【答案】
【知识点】直线与圆相交的性质
【解析】【解答】解：如图：
，
直线经过直线与的交点，
圆的圆心为，半径为，
点到圆心的距离，
则点位于圆内，
当时，取得最小值，最小值为．
故答案为：．
【分析】先根据已知直线方程求出直线所过的定点坐标，再利用两点距离公式求出定点到圆心的距离，再比较与半径的大小判断出定点与圆的位置关系，从而确定弦长最小时直线与圆的位置关系，最后利用弦长公式得出弦长的最小值．
15．【答案】（1）解：由题意，可知：，
当时，；
当时，，
当时，，符合，
∴数列的通项公式.
（2）解：方法一：因为，
由二次函数图象和，知或时，取得最大值56.
方法二：当时，；
当时，；
当时，，
所以，当或时，有最大值.
【知识点】函数的最大（小）值；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；通项与前n项和的关系
【解析】【分析】（1）根据与的关系式和分类讨论的方法以及检验法，从而得出数列的通项公式.
（2）利用两种方法求解.
方法一：利用等差数列前n项和公式和二次函数求最值的方法，从而得出的最大值并求出此时对应的n的值.
方法二：由分类讨论的方法和项的符号，从而得出的最大值并求出此时对应的n的值.
（1）由题意可知：，
当时，，
当时，，
当时，，符合，
∴数列的通项公式；
（2）法一：，
由二次函数图象及知或时，取得最大值56.
法二：当时，，
当时，，
当时，，
所以当或时，有最大值.
16．【答案】（1）解：设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，
则，
因为，所以，
则直线的方程为，
由，
得，
所以圆心，半径，
则圆的方程为．
（2）解：设点．
因为点的坐标为，
所以
则
又因为点在圆上运动，
所以，
则线段的中点的轨迹方程为．
【知识点】用斜率判定两直线垂直；两条直线的交点坐标；平面内两点间的距离公式；圆的标准方程；轨迹方程
【解析】【分析】（1）先利用中点坐标得出线段的中点，再利用两直线垂直斜率之积等于-1，从而得出线段的垂直平分线的斜率，从而得出线段的垂直平分线方程，再联立两直线方程得出圆心坐标，再根据两点距离公式得出圆的半径长，从而得出圆的标准方程.
（2）设出点的坐标，用点的坐标表示点的坐标，再将点的坐标代入圆的方程，从而化简求出点的轨迹方程.
（1）设点为线段的中点，直线为线段的垂直平分线，则．
因为，所以，
所以直线的方程为．
由，得，
所以圆心，
半径，
所以圆的方程为．
（2）设点．
因为点的坐标为，所以即
又点在圆上运动，所以，
即线段的中点的轨迹方程为．
17．【答案】（1）解：由题意得：，所以，
点在椭圆上，所以，解得，
所以椭圆的方程为：．
（2）解：
直线的方程为：
联立，消去后，得关于的一元二次方程，
化简得，
由题意知，解得或，
由韦达定理可得，，
所以，
所以，化简得，解得，即，
经检验符合题意.
【知识点】椭圆的定义；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据题意可得，联立解方程组可得，a，b，得解 ；
（2）由（1）得椭圆的方程为：，与直线方程联立消元，由求出的范围，列出韦达定理代入弦长公式，列出关于的方程，求解即可.
（1）由题意得：，所以，
点在椭圆上，所以，解得，
所以椭圆的方程为：．
（2）直线的方程为：
联立，消去后，得关于的一元二次方程，
化简得，
由题意知，解得或，
由韦达定理可得，，
所以，
所以，化简得，解得，即，
经检验符合题意.
18．【答案】（1）证明：由平面平面，
平面平面，平面，
则，
得直线平面，
又因为四边形是正方形，
所以直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
依题意，则是平面的一个法向量，
又因为，
所以，
又因为直线平面，
所以平面.
（2）解：因为，
设平面CPB的法向量为 ，
则，取，得，
设平面PQB的法向量为 ，
则，取，得 ，
设平面与平面夹角为，
则，
则，
所以平面与平面夹角的正弦值为.
（3）解：由点H在PD上，设，
则，
依题意，得，
又因为，
解得，
所以线段的长为.
【知识点】异面直线所成的角；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）根据已知条件证出直线两两垂直，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量坐标，再利用法向量定义得出平面的一个法向量，根据两向量垂直数量积为0的等价关系，从而证出平面.
（2）由（1）中的坐标系，利用两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而求出平面的法向量与平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式，从而得出平面与平面夹角的正弦值.
（3）由点H在PD上，设出点坐标，即，再利用数量积求向量夹角公式和t的取值范围，从而得出t的值，进而得出线段的长.
（1）由平面平面，平面平面，平面，
，得直线平面，而四边形是正方形，则直线两两垂直，
以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
，
依题意，是平面的一个法向量，又，
则，而直线平面，所以平面.
（2），
设平面CPB的法向量为 ，则，取，得，
设平面PQB的法向量为 ，则，取，得 ，
设平面与平面夹角为，则，
，所以平面与平面夹角的正弦值为.
（3）由点H在PD上，设，则，
依题意，，而，解得，
所以线段的长为.
19．【答案】（1）解：由题意知抛物线的标准方程为（）且，∴，抛物线的标准方程为，准线方程为；
（2）证明：设点P的坐标为，，由题意，过点与抛物线相切的直线的斜率存在且不为0，
设切线的斜率为，则切线的方程为，
联立方程组，消去，得，
∴得（*），
又、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值；
（3）证明：由题知，直线的斜率不为，设直线的方程为，，，
联立，整理得，，
∴，，
∵，
∴，
整理得，
代入有，
∴，
∴且，
∴，故直线过定点．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；抛物线的定义；抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意知抛物线的标准方程为（）且，解出p代入可得解；
（2）由题意设出切线的方程，联立抛物线方程，消元，利用韦达定理得解；
（3）由题意直线的斜率不为，反设方程，将其与抛物线方程联立，消元、利用韦达定理及（2）结论，可得且，可得直线AB的方程，继而得解
（1）由题意知抛物线的标准方程为（）且，
∴，抛物线的标准方程为，准线方程为；
（2）设点P的坐标为，，
由题意，过点与抛物线相切的直线的斜率存在且不为0，
设切线的斜率为，则切线的方程为，
联立方程组，消去，得，
∴得（*），
又、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值；
（3）由题知，直线的斜率不为，
设直线的方程为，，，
联立，整理得，，
∴，，
∵，
∴，
整理得，
代入有，
∴，
∴且，
∴，故直线过定点．
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