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甘肃省兰州市四校联考2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试卷
1．（2026七上·兰州期末） 的相反数是（　　）
A． B．2 C． D．
2．（2026七上·兰州期末）人工智能模型的参数量越大，理解能力越强．模型参数可达685000000000个，其中数685000000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2026七上·兰州期末）下列调查方式，你认为最合适的是（　　）
A．调查一批冬枣的甜度情况，采用全面调查
B．调查一批小米汽车电池的使用寿命，采用全面调查
C．调查全市观众对电影《浪浪山小妖怪》的喜爱程度，采用抽样调查
D．调查歼战斗机的零部件质量，采用抽样调查
4．（2026七上·兰州期末）若，为有理数，且，则的值为（　　）
A． B．1 C． D．2024
5．（2026七上·兰州期末）单项式的系数和次数分别是（　　）
A．， B．，4 C．，3 D．，4
6．（2026七上·兰州期末）若单项式与是同类项，则的值为（　　）
A．0 B．2 C．3 D．4
7．（2026七上·兰州期末）等式的性质在生活中广泛应用．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度，左边同学比右边同学高5厘米，图中两人的对话体现的数学原理可表示为（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
8．（2026七上·兰州期末）把有理数，表示在数轴上，对应点位置如图所示，下列式子中，不正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2026七上·兰州期末）如图，点A在点O的正北方向，点B在点O南偏东的方向上，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2026七上·兰州期末）某商品进价为1530元，按商品标价的九折出售时，利润率是，商品标价是多少元？设商品标价为x元，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
11．（2026七上·兰州期末）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　）
A．18 B．20 C．22 D．24
12．（2026七上·兰州期末）如图，跳高比赛时，只需两个支点就能固定横杆，这种做法依据的数学基本事实是　 　．
13．（2026七上·兰州期末）已知从n边形的一个顶点引出的所有对角线，恰好将该多边形分成10个三角形，则这个n边形的边数为　 　．
14．（2026七上·兰州期末）如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式的值等于　 　．
15．（2026七上·兰州期末）如图，在长方形中，点在上，且，分别以、为折痕进行折叠并压平．如图，若，则的度数为　 　．
16．（2026七上·兰州期末）计算：
（1）
（2）
17．（2026七上·兰州期末）解方程：
（1）；
（2）．
18．（2026七上·兰州期末）先化简，再求值：，其中．
19．（2026七上·兰州期末）按要求完成作图
（1）尺规作图：已知，求作，使得．（不写作法，但要保留作图痕迹）
（2）如图，延长线段到点C，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
20．（2026七上·兰州期末）为了解学生周末两天的读书时间，校团委随机调查了部分学生的读书时间x（单位：min），把统计数据分为四组A（），B（），C（），D（）．其中落在B组的数据为：85，60，70，75，65，78，80，62，75，78，85，76，80，70，65，72．根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图：
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是______；
（2）补全频数分布直方图；
（3）扇形统计图中C组所对应的扇形圆心角度数为______度；
（4）若本校七年级共有400人，请估计阅读时间（）的学生共有多少人？
21．（2026七上·兰州期末）已知关于的方程是一元一次方程．
（1）求的值．
（2）若关于的方程与方程的解相同，求的值．
22．（2026七上·兰州期末）年粤港澳大湾区跨境交通升级，深港两条跨境专线巴士分别从深圳龙岗候机楼和香港尖沙咀同时出发、相向而行，两地相距公里．已知深圳出发的巴士速度比香港出发的巴士快千米时，经过小时两车在莲塘口岸相遇．求香港出发的巴士和深圳出发的巴士的速度各是多少？
23．（2026七上·兰州期末）如图，已知点B、C、E都是线段上的点，，，点E是的中点．
（1）求的长；
（2）若点F是的中点，求的长．
24．（2026七上·兰州期末）小明不小心将作业本上一个正确的演算过程擦掉了一块，且擦掉的部分是多项式，过程如下所示，设擦掉的多项式为．
（）
（1）求多项式；
（2）已知，若的结果中不含的一次项，求的值．
25．（2026七上·兰州期末）【问题提出】小颖思考：数轴是“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系．那么点与点之间的关系，能否借助数轴来研究呢？在研究行程问题时，常将行驶的汽车抽象成点，能否借助数轴来解决行程问题呢？以下是他的研究片段：
【特例观察】已知：数轴上有三个点，其中点是线段中点．
（1）如图1，点和点表示的数分别是和4，则线段的中点表示的数为__________；
如图2，点和点表示的数分别是0和7，则线段的中点表示的数为__________；
【规律归纳】点为线段的中点
点表示的数 ．．． 0 1 2 ．．．．
点表示的数 ．．．． 3 4 8 ．．．
点表示的数 ．．． 1 2 5 ．．．．
（2）猜想：经过大量的观察，小颖发现：若点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数即为__________（用含，的代数式表示）；
经验证可得，猜想是合理的．
【迁移应用】（3）已知、两地相距，甲、乙、丙车分别从、两地同时沿同一路线朝同一方向驶往地，甲车从地出发速度是，乙车从地出发速度是，丙车从地出发速度是．以地为原点、以自向的方向为正方向，小颖建立了数轴如图3所示，请解决下列问题：
①小时后，甲车到达的位置用数轴上的数表示为__________，乙车到达的位置用数轴上的数表示为_________，丙车到达的位置用数轴上的数表示为_________；
②问：当为何值时其中一车正好到另外两辆车的距离相等？
26．（2026七上·兰州期末）【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”．
【问题感知】
（1）一个角的平分线__________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”）
【问题初探】
（2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，求的度数．
【问题推广】
（3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．请直接写出当为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含的式子表示出即可）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】因为- + ＝0，所以- 的相反数是 .
故答案为：D.
【分析】根据相反数的定义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前面加上“-”，从而可得到答案。
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】
将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，根据科学记数法的定义即可解答．
3．【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：、调查冬枣甜度具有破坏性，不宜全面调查；
、调查电池使用寿命具有破坏性，不宜全面调查；
、全市观众数量大，全面调查困难，抽样调查合适；
、歼零部件质量要求高，必须全面检查以确保安全；
故选：．
【分析】根据调查的方式逐项进行判断即可求出答案.
4．【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先利用非负数之和为0的性质求出a、b的值，再将其代入计算即可.
5．【答案】C
【知识点】单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：∵ 单项式的系数为，次数为的指数2与的指数1之和，即．
∴单项式的系数和次数分别是和3，
故选：C．
【分析】根据单项式相关量的定义即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】同类项的概念；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵ 单项式 与 是同类项，
∴，；
∴；
故答案为：B.
【分析】根据同类项的定义：相同字母的指数必须相等，求出x，y，代入计算即可.
7．【答案】A
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：由图可知，
根据等式的基本性质1，将的两边同时加，得，
∴A符合题意，BCD不符合题意，
故选：A．
【分析】本题考查等式的性质(等式两边同时加或减去同一个数，等式仍然成立），根据题意确定初始等式，再看两边同时进行的操作，结合等式性质判断选项是否符合.
8．【答案】B
【知识点】绝对值的概念与意义；有理数的大小比较-数轴比较法；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：、由数轴可得，，原选项正确，不符合题意；
、由数轴可得，，原选项错误，符合题意；
、由数轴可得，，，
∴，原选项正确，不符合题意；
、由数轴可得，，，
∴，原选项正确，不符合题意；
故答案为：．
【分析】先利用数轴判断出a<09．【答案】A
【知识点】常用角的度量单位及换算；方位角
【解析】【解答】解：由条件可知，
故答案为：A．
【分析】结合图形，利用角的运算和角的单位换算分析求解即可.
10．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设商品标价为元，则售价为元，
根据题意得：，
故答案为：A.
【分析】设商品标价为元，则售价为元，利用“ 利润=售价-进价=进价×利润率 ”列出方程即可.
11．【答案】B
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：由所给图形可知，第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：；
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：；
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：；
所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个．
当时，（个），
即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个．
故答案为：B．
【分析】根据前几幅图中氢原子的数量与序号的关系可得规律第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个，再将n=9代入计算即可.
12．【答案】两点确定一条直线
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】解：因为“两点确定一条直线”，所以跳高比赛时，只需两个支点就能固定横杆．
故答案为：两点确定一条直线．
【分析】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．
13．【答案】12
【知识点】多边形的对角线；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数是n，
根据题意可得：，
解得：，
∴这个多边形的边数是12，
故答案为：12．
【分析】利用多边形的对角线的定义及数量与边数的关系（连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出n（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n-3）（n≥3，且n为整数））分析求解即可.
14．【答案】
【知识点】有理数的倒数；求代数式的值-直接代入求值；含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：由图可得：“”与“4”相对，
“”与“2”相对，
“”与“”相对，
相对面上的两个数互为倒数，
∴，，，
∴的值，
故答案为：．
【分析】利用正方体展开图的特征求出所有相对面，再利用倒数的定义求出a、b、c的值，最后将其代入计算即可.
15．【答案】
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由折叠可得平分，平分 ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用折叠的定义可得平分，平分 ，再利用角平分线的定义求出，再利用角的运算求出，最后求出即可.
16．【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）利用有理数的乘法分配律的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用含乘方的混合运算的计算方法（先计算乘方，再计算括号，然后计算乘除，最后计算加减）分析求解即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
17．【答案】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：
．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）利用解一元一次方程的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可；
（2）利用解一元一次方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：
．
18．【答案】解：原式
∵，
∴原式
【知识点】利用整式的加减运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】去括号，合并同类项化简，再将x，y值代入即可求出答案.
19．【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；线段的和、差、倍、分的简单计算；尺规作图-角的和差
【解析】【分析】（1）利用角的作图方法及角的运算作出图形即可；
（2）利用线段的和差及线段的作图方法作出图形即可.
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，
20．【答案】（1）40
（2）解：根据题意，可知落在B组的数据共计16个，
则落在D组的数据个数为（个），
故可补全频数分布直方图如图所示：
（3）
（4）解：（人）．
答：估计阅读时间（）的学生共有160人．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：这次抽样调查的样本容量是．
故答案为：40；
（3）扇形统计图中C组所对应的扇形圆心角度数为．
故答案为：.
【分析】（1）利用“A”的人数除以对应的百分比可得总人数；
（2）先求出“B”和“D”的人数，再作出条形统计图即可；
（3）先求出“C”的百分比，再乘以360°即可；
（4）先求出“ 阅读时间（）的学生 ”的百分比，再乘以400可得答案.
（1）解：这次抽样调查的样本容量是．
故答案为：40；
（2）根据题意，可知落在B组的数据共计16个，
则落在D组的数据个数为（个），
故可补全频数分布直方图如图所示：
（3）扇形统计图中C组所对应的扇形圆心角度数为．
故答案为：；
（4）（人）．
答：估计阅读时间（）的学生共有160人．
21．【答案】（1）解：由题意，得：且，
∴.
（2）解：由（1）可知：方程为：，
∵，
∴，
∴，
∵关于的方程与方程的解相同，
∴把代入，得：，
解得：．
【知识点】一元一次方程的概念；解含绝对值符号的一元一次方程；一元一次方程-同解问题
【解析】【分析】（1）利用一元一次方程的定义可得且，再求出k的值即可；
（2）先求出方程的解为x=2，再将其代入题干中的方程可得，最后求出m的值即可.
（1）解：由题意，得：且，
∴；
（2）由（1）可知：方程为：，
∵，
∴，
∴，
∵关于的方程与方程的解相同，
∴把代入，得：，
解得：．
22．【答案】解：设香港出发的巴士速度为千米时，则深圳出发的巴士速度为千米时，
根据题意得，，
解得：，
∴深圳出发的巴士速度为：，
答：香港出发的巴士速度为千米时，深圳出发的巴士速度为千米时．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设香港出发的巴士速度为千米时，则深圳出发的巴士速度为千米时，利用“ 两地相距公里 ”列出方程，再求解即可.
23．【答案】（1）解：因为，
所以．
因为，
所以．
因为点是的中点，
所以．
（2）解：因为，
所以．
因为，，
所以．
因为点是的中点，
所以，
所以．
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）先利用线段的和差求出AB的长，再利用线段中点的性质求出AE的长即可；
（2）先求出CD的长，再利用线段中点的性质求出CF的长，最后利用线段的和差求出EF的长即可.
（1）解：因为，
所以．
因为，
所以．
因为点是的中点，
所以．
（2）解：因为，
所以．
因为，，
所以．
因为点是的中点，
所以，
所以．
24．【答案】（1）解：由题意可得：
.
（2）解：∵，
∴，
∵的结果中不含的一次项，
∴，
解得：.
【知识点】整式的加减运算；解一元一次方程；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】（1）根据题意列出算式，再利用整式的加减法求解即可；
（2）先求出，再利用“结果中不含的一次项”可得，最后求出a的值即可.
（1）解：由题意可得：
；
（2）解：∵，
∴，
∵的结果中不含的一次项，
∴，
解得：.
25．【答案】（1），；
（2）；
（3）①，，；
②由①可得：甲、乙之间的距离为，甲、丙之间的距离为，乙、丙之间的距离为，
∵其中一车正好到另外两辆车的距离相等，
∴当甲车到乙车和丙车的距离相等时，，
解得：或；
当乙车到甲车和丙车的距离相等时，，
解得：或；
当丙车到甲车和乙车的距离相等时，，
解得：或；
综上所述，当为或或或或或时，其中一车正好到另外两辆车的距离相等．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴的三要素及其画法；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）由图可得：如图1，点和点表示的数分别是和4，则线段的中点表示的数为；
如图2，点和点表示的数分别是0和7，则线段的中点表示的数为；
（2）由表格可得：若点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数即为；
（3）①由题意可得：小时后，甲车到达的位置用数轴上的数表示为，乙车到达的位置用数轴上的数表示为，丙车到达的位置用数轴上的数表示为；
【分析】（1）根据数轴上点的位置，结合线段中点即可求出答案.
（2）根据（1）中结论，总结规律即可求出答案.
（3）①根据路程速度时间，结合数轴上点的位置关系即可求出答案.
②根据数轴上两点间距离可得甲乙、乙丙、甲丙之间的距离，分情况讨论：当甲车到乙车和丙车的距离相等时，当乙车到甲车和丙车的距离相等时，当丙车到甲车和乙车的距离相等时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
26．【答案】解：（1）是
（2），若射线是的“量尺金线”，分种情况讨论：
①如图，当时，；
②如图，当时，；
③如图，当时，；
综上所述，，若射线是的“量尺金线”，的度数为或或；
（3）当为或或时，射线是的“量尺金线”
【知识点】角的运算；角平分线的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）角平分线会将角分成两个相等的角，此时一个角（原角）是另一个角（分角）的倍，满足“量尺金线”的定义，故填 “是”；
故答案为：是；
（3）旋转后，，，
射线是的“量尺金线”， 分种情况讨论：
①如图，当时，，解得；
②如图，当时，，解得；
③如图，时，，解得；
综上所述，当为或或时，射线是的“量尺金线”．
故答案为：或或.
【分析】（1）利用“ 量尺金线 ”的定义分析求解即可；
（2）分类讨论：①当时，②当时，③当时，先分别画出图形，再利用角的运算求解即可；
（3）先求出，，再分类讨论：①当时，②当时，③时，先分别画出图形，再列出方程求解即可.
1 / 1甘肃省兰州市四校联考2025-2026学年七年级上学期1月期末数学试卷
1．（2026七上·兰州期末） 的相反数是（　　）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】因为- + ＝0，所以- 的相反数是 .
故答案为：D.
【分析】根据相反数的定义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前面加上“-”，从而可得到答案。
2．（2026七上·兰州期末）人工智能模型的参数量越大，理解能力越强．模型参数可达685000000000个，其中数685000000000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】
将一个数表示成的形式，其中，为整数，这种记数方法叫做科学记数法，根据科学记数法的定义即可解答．
3．（2026七上·兰州期末）下列调查方式，你认为最合适的是（　　）
A．调查一批冬枣的甜度情况，采用全面调查
B．调查一批小米汽车电池的使用寿命，采用全面调查
C．调查全市观众对电影《浪浪山小妖怪》的喜爱程度，采用抽样调查
D．调查歼战斗机的零部件质量，采用抽样调查
【答案】C
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：、调查冬枣甜度具有破坏性，不宜全面调查；
、调查电池使用寿命具有破坏性，不宜全面调查；
、全市观众数量大，全面调查困难，抽样调查合适；
、歼零部件质量要求高，必须全面检查以确保安全；
故选：．
【分析】根据调查的方式逐项进行判断即可求出答案.
4．（2026七上·兰州期末）若，为有理数，且，则的值为（　　）
A． B．1 C． D．2024
【答案】B
【知识点】有理数的乘方法则；偶次方的非负性；绝对值的非负性
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】先利用非负数之和为0的性质求出a、b的值，再将其代入计算即可.
5．（2026七上·兰州期末）单项式的系数和次数分别是（　　）
A．， B．，4 C．，3 D．，4
【答案】C
【知识点】单项式的次数与系数
【解析】【解答】解：∵ 单项式的系数为，次数为的指数2与的指数1之和，即．
∴单项式的系数和次数分别是和3，
故选：C．
【分析】根据单项式相关量的定义即可求出答案.
6．（2026七上·兰州期末）若单项式与是同类项，则的值为（　　）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】同类项的概念；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵ 单项式 与 是同类项，
∴，；
∴；
故答案为：B.
【分析】根据同类项的定义：相同字母的指数必须相等，求出x，y，代入计算即可.
7．（2026七上·兰州期末）等式的性质在生活中广泛应用．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度，左边同学比右边同学高5厘米，图中两人的对话体现的数学原理可表示为（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【知识点】等式的基本性质
【解析】【解答】解：由图可知，
根据等式的基本性质1，将的两边同时加，得，
∴A符合题意，BCD不符合题意，
故选：A．
【分析】本题考查等式的性质(等式两边同时加或减去同一个数，等式仍然成立），根据题意确定初始等式，再看两边同时进行的操作，结合等式性质判断选项是否符合.
8．（2026七上·兰州期末）把有理数，表示在数轴上，对应点位置如图所示，下列式子中，不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】绝对值的概念与意义；有理数的大小比较-数轴比较法；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：、由数轴可得，，原选项正确，不符合题意；
、由数轴可得，，原选项错误，符合题意；
、由数轴可得，，，
∴，原选项正确，不符合题意；
、由数轴可得，，，
∴，原选项正确，不符合题意；
故答案为：．
【分析】先利用数轴判断出a<09．（2026七上·兰州期末）如图，点A在点O的正北方向，点B在点O南偏东的方向上，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】常用角的度量单位及换算；方位角
【解析】【解答】解：由条件可知，
故答案为：A．
【分析】结合图形，利用角的运算和角的单位换算分析求解即可.
10．（2026七上·兰州期末）某商品进价为1530元，按商品标价的九折出售时，利润率是，商品标价是多少元？设商品标价为x元，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设商品标价为元，则售价为元，
根据题意得：，
故答案为：A.
【分析】设商品标价为元，则售价为元，利用“ 利润=售价-进价=进价×利润率 ”列出方程即可.
11．（2026七上·兰州期末）醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（　　）
A．18 B．20 C．22 D．24
【答案】B
【知识点】有理数的加减乘除混合运算的法则；探索数与式的规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：由所给图形可知，第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：；
第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：；
第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是：；
所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个．
当时，（个），
即第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是20个．
故答案为：B．
【分析】根据前几幅图中氢原子的数量与序号的关系可得规律第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是个，再将n=9代入计算即可.
12．（2026七上·兰州期末）如图，跳高比赛时，只需两个支点就能固定横杆，这种做法依据的数学基本事实是　 　．
【答案】两点确定一条直线
【知识点】两点确定一条直线
【解析】【解答】解：因为“两点确定一条直线”，所以跳高比赛时，只需两个支点就能固定横杆．
故答案为：两点确定一条直线．
【分析】根据公理“两点确定一条直线”来解答即可．
13．（2026七上·兰州期末）已知从n边形的一个顶点引出的所有对角线，恰好将该多边形分成10个三角形，则这个n边形的边数为　 　．
【答案】12
【知识点】多边形的对角线；一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数是n，
根据题意可得：，
解得：，
∴这个多边形的边数是12，
故答案为：12．
【分析】利用多边形的对角线的定义及数量与边数的关系（连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．n边形从一个顶点出发可引出（n-3）条对角线．从n个顶点出发引出n（n-3）条，而每条重复一次，所以n边形对角线的总条数为：n（n-3）（n≥3，且n为整数））分析求解即可.
14．（2026七上·兰州期末）如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式的值等于　 　．
【答案】
【知识点】有理数的倒数；求代数式的值-直接代入求值；含图案的正方体的展开图
【解析】【解答】解：由图可得：“”与“4”相对，
“”与“2”相对，
“”与“”相对，
相对面上的两个数互为倒数，
∴，，，
∴的值，
故答案为：．
【分析】利用正方体展开图的特征求出所有相对面，再利用倒数的定义求出a、b、c的值，最后将其代入计算即可.
15．（2026七上·兰州期末）如图，在长方形中，点在上，且，分别以、为折痕进行折叠并压平．如图，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；翻折变换（折叠问题）；角平分线的概念
【解析】【解答】解：由折叠可得平分，平分 ，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先利用折叠的定义可得平分，平分 ，再利用角平分线的定义求出，再利用角的运算求出，最后求出即可.
16．（2026七上·兰州期末）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
；
（2）解：
．
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的加减乘除混合运算的法则；有理数混合运算法则（含乘方）
【解析】【分析】（1）利用有理数的乘法分配律的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用含乘方的混合运算的计算方法（先计算乘方，再计算括号，然后计算乘除，最后计算加减）分析求解即可.
（1）解：
；
（2）解：
．
17．（2026七上·兰州期末）解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：
．
【知识点】解含括号的一元一次方程；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】（1）利用解一元一次方程的计算方法及步骤（先去括号，再移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可；
（2）利用解一元一次方程的计算方法及步骤（先去分母，再去括号，然后移项并合并同类项，最后系数化为“1”即可）分析求解即可.
（1）解：，
，
，
，
；
（2）解：
．
18．（2026七上·兰州期末）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
∵，
∴原式
【知识点】利用整式的加减运算化简求值；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【分析】去括号，合并同类项化简，再将x，y值代入即可求出答案.
19．（2026七上·兰州期末）按要求完成作图
（1）尺规作图：已知，求作，使得．（不写作法，但要保留作图痕迹）
（2）如图，延长线段到点C，使得．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，
【知识点】尺规作图-直线、射线、线段；线段的和、差、倍、分的简单计算；尺规作图-角的和差
【解析】【分析】（1）利用角的作图方法及角的运算作出图形即可；
（2）利用线段的和差及线段的作图方法作出图形即可.
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，
20．（2026七上·兰州期末）为了解学生周末两天的读书时间，校团委随机调查了部分学生的读书时间x（单位：min），把统计数据分为四组A（），B（），C（），D（）．其中落在B组的数据为：85，60，70，75，65，78，80，62，75，78，85，76，80，70，65，72．根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图：
请根据以上信息，回答下列问题：
（1）这次抽样调查的样本容量是______；
（2）补全频数分布直方图；
（3）扇形统计图中C组所对应的扇形圆心角度数为______度；
（4）若本校七年级共有400人，请估计阅读时间（）的学生共有多少人？
【答案】（1）40
（2）解：根据题意，可知落在B组的数据共计16个，
则落在D组的数据个数为（个），
故可补全频数分布直方图如图所示：
（3）
（4）解：（人）．
答：估计阅读时间（）的学生共有160人．
【知识点】总体、个体、样本、样本容量；频数（率）分布直方图；扇形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：这次抽样调查的样本容量是．
故答案为：40；
（3）扇形统计图中C组所对应的扇形圆心角度数为．
故答案为：.
【分析】（1）利用“A”的人数除以对应的百分比可得总人数；
（2）先求出“B”和“D”的人数，再作出条形统计图即可；
（3）先求出“C”的百分比，再乘以360°即可；
（4）先求出“ 阅读时间（）的学生 ”的百分比，再乘以400可得答案.
（1）解：这次抽样调查的样本容量是．
故答案为：40；
（2）根据题意，可知落在B组的数据共计16个，
则落在D组的数据个数为（个），
故可补全频数分布直方图如图所示：
（3）扇形统计图中C组所对应的扇形圆心角度数为．
故答案为：；
（4）（人）．
答：估计阅读时间（）的学生共有160人．
21．（2026七上·兰州期末）已知关于的方程是一元一次方程．
（1）求的值．
（2）若关于的方程与方程的解相同，求的值．
【答案】（1）解：由题意，得：且，
∴.
（2）解：由（1）可知：方程为：，
∵，
∴，
∴，
∵关于的方程与方程的解相同，
∴把代入，得：，
解得：．
【知识点】一元一次方程的概念；解含绝对值符号的一元一次方程；一元一次方程-同解问题
【解析】【分析】（1）利用一元一次方程的定义可得且，再求出k的值即可；
（2）先求出方程的解为x=2，再将其代入题干中的方程可得，最后求出m的值即可.
（1）解：由题意，得：且，
∴；
（2）由（1）可知：方程为：，
∵，
∴，
∴，
∵关于的方程与方程的解相同，
∴把代入，得：，
解得：．
22．（2026七上·兰州期末）年粤港澳大湾区跨境交通升级，深港两条跨境专线巴士分别从深圳龙岗候机楼和香港尖沙咀同时出发、相向而行，两地相距公里．已知深圳出发的巴士速度比香港出发的巴士快千米时，经过小时两车在莲塘口岸相遇．求香港出发的巴士和深圳出发的巴士的速度各是多少？
【答案】解：设香港出发的巴士速度为千米时，则深圳出发的巴士速度为千米时，
根据题意得，，
解得：，
∴深圳出发的巴士速度为：，
答：香港出发的巴士速度为千米时，深圳出发的巴士速度为千米时．
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设香港出发的巴士速度为千米时，则深圳出发的巴士速度为千米时，利用“ 两地相距公里 ”列出方程，再求解即可.
23．（2026七上·兰州期末）如图，已知点B、C、E都是线段上的点，，，点E是的中点．
（1）求的长；
（2）若点F是的中点，求的长．
【答案】（1）解：因为，
所以．
因为，
所以．
因为点是的中点，
所以．
（2）解：因为，
所以．
因为，，
所以．
因为点是的中点，
所以，
所以．
【知识点】线段的中点；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【分析】（1）先利用线段的和差求出AB的长，再利用线段中点的性质求出AE的长即可；
（2）先求出CD的长，再利用线段中点的性质求出CF的长，最后利用线段的和差求出EF的长即可.
（1）解：因为，
所以．
因为，
所以．
因为点是的中点，
所以．
（2）解：因为，
所以．
因为，，
所以．
因为点是的中点，
所以，
所以．
24．（2026七上·兰州期末）小明不小心将作业本上一个正确的演算过程擦掉了一块，且擦掉的部分是多项式，过程如下所示，设擦掉的多项式为．
（）
（1）求多项式；
（2）已知，若的结果中不含的一次项，求的值．
【答案】（1）解：由题意可得：
.
（2）解：∵，
∴，
∵的结果中不含的一次项，
∴，
解得：.
【知识点】整式的加减运算；解一元一次方程；多项式的项、系数与次数
【解析】【分析】（1）根据题意列出算式，再利用整式的加减法求解即可；
（2）先求出，再利用“结果中不含的一次项”可得，最后求出a的值即可.
（1）解：由题意可得：
；
（2）解：∵，
∴，
∵的结果中不含的一次项，
∴，
解得：.
25．（2026七上·兰州期末）【问题提出】小颖思考：数轴是“数形结合”的工具之一，它揭示了数与点之间的内在联系．那么点与点之间的关系，能否借助数轴来研究呢？在研究行程问题时，常将行驶的汽车抽象成点，能否借助数轴来解决行程问题呢？以下是他的研究片段：
【特例观察】已知：数轴上有三个点，其中点是线段中点．
（1）如图1，点和点表示的数分别是和4，则线段的中点表示的数为__________；
如图2，点和点表示的数分别是0和7，则线段的中点表示的数为__________；
【规律归纳】点为线段的中点
点表示的数 ．．． 0 1 2 ．．．．
点表示的数 ．．．． 3 4 8 ．．．
点表示的数 ．．． 1 2 5 ．．．．
（2）猜想：经过大量的观察，小颖发现：若点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数即为__________（用含，的代数式表示）；
经验证可得，猜想是合理的．
【迁移应用】（3）已知、两地相距，甲、乙、丙车分别从、两地同时沿同一路线朝同一方向驶往地，甲车从地出发速度是，乙车从地出发速度是，丙车从地出发速度是．以地为原点、以自向的方向为正方向，小颖建立了数轴如图3所示，请解决下列问题：
①小时后，甲车到达的位置用数轴上的数表示为__________，乙车到达的位置用数轴上的数表示为_________，丙车到达的位置用数轴上的数表示为_________；
②问：当为何值时其中一车正好到另外两辆车的距离相等？
【答案】（1），；
（2）；
（3）①，，；
②由①可得：甲、乙之间的距离为，甲、丙之间的距离为，乙、丙之间的距离为，
∵其中一车正好到另外两辆车的距离相等，
∴当甲车到乙车和丙车的距离相等时，，
解得：或；
当乙车到甲车和丙车的距离相等时，，
解得：或；
当丙车到甲车和乙车的距离相等时，，
解得：或；
综上所述，当为或或或或或时，其中一车正好到另外两辆车的距离相等．
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题；数轴的三要素及其画法；有理数在数轴上的表示；数轴上两点之间的距离
【解析】【解答】解：（1）由图可得：如图1，点和点表示的数分别是和4，则线段的中点表示的数为；
如图2，点和点表示的数分别是0和7，则线段的中点表示的数为；
（2）由表格可得：若点表示的数是，点表示的数是，则线段的中点表示的数即为；
（3）①由题意可得：小时后，甲车到达的位置用数轴上的数表示为，乙车到达的位置用数轴上的数表示为，丙车到达的位置用数轴上的数表示为；
【分析】（1）根据数轴上点的位置，结合线段中点即可求出答案.
（2）根据（1）中结论，总结规律即可求出答案.
（3）①根据路程速度时间，结合数轴上点的位置关系即可求出答案.
②根据数轴上两点间距离可得甲乙、乙丙、甲丙之间的距离，分情况讨论：当甲车到乙车和丙车的距离相等时，当乙车到甲车和丙车的距离相等时，当丙车到甲车和乙车的距离相等时，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
26．（2026七上·兰州期末）【问题背景】如图1，已知射线在的内部，若，和三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“量尺金线”．
【问题感知】
（1）一个角的平分线__________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”）
【问题初探】
（2）如图2，．若射线是的“量尺金线”，求的度数．
【问题推广】
（3）在（2）中，若，，射线从位置开始，以每秒旋转的速度绕点按逆时针方向旋转，当首次等于时停止旋转，设旋转的时间为．请直接写出当为何值时，射线是的“量尺金线”？（用含的式子表示出即可）
【答案】解：（1）是
（2），若射线是的“量尺金线”，分种情况讨论：
①如图，当时，；
②如图，当时，；
③如图，当时，；
综上所述，，若射线是的“量尺金线”，的度数为或或；
（3）当为或或时，射线是的“量尺金线”
【知识点】角的运算；角平分线的概念；分类讨论
【解析】【解答】解：（1）角平分线会将角分成两个相等的角，此时一个角（原角）是另一个角（分角）的倍，满足“量尺金线”的定义，故填 “是”；
故答案为：是；
（3）旋转后，，，
射线是的“量尺金线”， 分种情况讨论：
①如图，当时，，解得；
②如图，当时，，解得；
③如图，时，，解得；
综上所述，当为或或时，射线是的“量尺金线”．
故答案为：或或.
【分析】（1）利用“ 量尺金线 ”的定义分析求解即可；
（2）分类讨论：①当时，②当时，③当时，先分别画出图形，再利用角的运算求解即可；
（3）先求出，，再分类讨论：①当时，②当时，③时，先分别画出图形，再列出方程求解即可.
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