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广东省广州市实验外语学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题
1．（2025高一上·广州月考）已知，则“”是“”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．（2025高一上·广州月考）已知集合，，则等于（　　）．
A． B． C． D．
3．（2025高一上·广州月考）已知点在角的终边上，若，则（　　）
A． B．为第二象限的角
C． D．
4．（2025高一上·广州月考）设，，，则，，的大小关系是（　　）.
A． B． C． D．
5．（2025高一上·广州月考）若，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025高一上·广州月考）函数的部分图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025高一上·广州月考）某种药物作用在农作物上的分解率为，与时间（小时）满足函数关系式（其中为非零常数），若经过12小时该药物的分解率为，经过24小时该药物的分解率为，那么这种药物完全分解，至少需要经过（　　）（参考数据：）
A．48小时 B．52小时 C．64小时 D．120小时
8．（2025高一上·广州月考）已知函数，若函数满足：对于任意的，，当时，都有，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025高一上·广州月考）设正实数、满足，则（　　）
A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
10．（2025高一上·广州月考）已知函数，则（ ）
A．函数的图象关于对称 B．函数的单调递减区间是
C．函数的值域是 D．不等式的解集是
11．（2025高一上·广州月考）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（　　）
A．若，则函数为奇函数
B．若，则
C．函数的图象必有对称中心
D．，
12．（2025高一上·广州月考）计算：
（1）　 　
（2）　 　
13．（2025高一上·广州月考）已知一扇形的周长为20，则该扇形面积的最大值为　 　.
14．（2025高一上·广州月考）已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数m的取值范围为　 　
15．（2025高一上·广州月考）计算：
（1）已知为第二象限角，，求
（2）（i）求的值
（ii）求的值
16．（2025高一上·广州月考）设全集．集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17．（2025高一上·广州月考）设函数．
（1）命题，使得成立．若p为假命题，求实数a的取值范围；
（2）求不等式的解集．
18．（2025高一上·广州月考）已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求、的值；
（2）判断的单调性并证明；
（3）若存在，使成立，求实数的取值范围.
19．（2025高一上·广州月考）已知函数.
（1）当时，求该函数的值域；
（2）求不等式的解集；
（3）若于恒成立，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：因为，当时，幂函数为上的增函数，
所以，
则“”“”，
若，
则，
因为，
所以，
则指数函数为上的增函数，
所以，
则“”“”，
综上所述，若，则“”是“”的充分而不必要条件.
故答案为：A.
【分析】利用指数函数的单调性、幂函数的单调性结合充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
2．【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
所以或，
又因为，
所以=.
故答案为：D.
【分析】先解一元二次不等式求出集合M，再根据对数型复合函数定义域求解方法，从而求出集合，再根据补集的运算法则和交集的运算法则，从而得出集合.
3．【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由题意可得，解得，
所以，则为第三象限的角，
所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】先利用三角函数的定义可得，即，再利用同角三角函数的关系即可求解.
4．【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；利用对数函数的单调性比较大小；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：依题意，，所以.
故答案为：B
【分析】由指数运算性质得，再运用指数函数单调性及对数性质得.
5．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、，因为，所以，即，该选项正确，不符合题意，
B、，所以，该选项正确，不符合题意，
C、，当，时，，此时，该选项不正确，符合题意，
D、，因为，所以，即，该选项正确，不符合题意.
故答案为：C
【分析】将A中式子作差得，可判断A；，得可判断B；将式子作差得，得该式>0，可判断C；同C方法，作差可判断D.
6．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：A、因为，又函数的定义域为，故为奇函数，该选项错误，不合题意；
B、由A得，该选项错误，不合题意；
C、根据指数函数的性质，在上单调递增，当时，，故，则，该选项错误，不合题意；；
D、综上，该选项正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】由，又函数的定义域为，故为奇函数，可判断AB；在上单调递增，当时，，故，则，可判断C.
7．【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：由题意可得，解得，所以，
这种药物完全分解，即当时，有，即，
解得．
故答案为：B．
【分析】先由材料得出，可得；完全分解，即当，结合对数运算性质可得t=52．
8．【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由，
得，
对于任意的，当时成立，
则函数是R上的减函数，
又因为，
所以，
解得.
故答案为：D.
【分析】根据题中已知条件，将问题转化为为减函数，再根据分段函数的单调性得出实数a的取值范围.
9．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为正实数、满足，
对于选项A，因为，
当且仅当时，即当时，等号成立，
则有最小值，故选项A对；
对于选项B，由基本不等式，可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
则有最大值，故选项B对；
对于选项C，因为，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，
则有最大值，故选项C错；
对于选项D，因为，
所以，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
则有最小值，故选项D对.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件和基本不等式求最值的方法，从而逐项判断找出正确的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】函数的值域；函数的单调性及单调区间；对数函数的单调性与特殊点；图形的对称性
【解析】【解答】解：对于选项A，因为，
所以函数的图象关于对称，故A正确；
对于选项B，由，可得或，
所以函数的定义域为，
因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
且函数为增函数，
所以函数的单调递减区间是，故B错误；
对于选项C，由选项B知，函数的定义域为，
当或时，函数值域为，
所以函数的值域是，故C正确；
对于选项D，由，可得，
解得或，
所以不等式的解集是，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用函数图象的对称性可判断选项A；根据复合函数单调性，即“同增异减”，再结合对数函数的单调性和二次函数的单调性，则可判断选项B； 由选项B和二次函数的值域求解方法，从而得出对数型函数的值域，则判断出选项C；利用对数型函数的单调性和一元二次不等式求解方法，从而得出不等式的解集，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数恒成立问题；函数的值
【解析】【解答】解：对于选项A，记．
因为，
所以为奇函数，故选项A正确；
对于选项B，由选项A可知，
则，
所以，故选项B错误；
对于选项C，记，
若为奇函数，则，，
所以，
则，
所以．
上式化简得，．
则，
解得
则当时，的图象必关于点对称，故选项C正确；
对于选项D，由选项C可知，，
当时，是减函数，，
所以，故选项D正确．
故答案为：ACD．
【分析】利用中心对称函数的性质，再利用函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则判断出选项A；再利用选项A可知，从而得出，进而得出的值，则判断出选项B；利用已知条件和图象的对称性，则判断出选项C；利用选项C和不等式恒成立问题求解方法以及函数的单调性，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．【答案】,
（1）
（2）
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：（1）.
（2）
．
【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则化简求值.
（2）利用对数的运算法则化简求值．
13．【答案】25
【知识点】函数的最大（小）值；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形的半径为，弧长为，
则，
所以，扇形的面积为：，
当时，取得最大值，最大值为25，
则扇形面积的最大值为25.
故答案为：25.
【分析】利用扇形的周长公式和扇形的面积公式，再结合二次函数求最值的方法，从而得出该扇形面积的最大值.
14．【答案】或
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，
所以或，
如图，画出函数的大致图象，
当时，与的图象有3个交点，
所以与的图象只能有2个交点，
则或，
所以或.
故答案为：或.
【分析】先由函数的零点定义，令方程得出或，再画出分段函数的图象，再利用数形结合结合函数零点与两函数交点横坐标的等价关系，再由已知条件求出实数的取值范围.
15．【答案】（1）解：由为第二象限角，
得，
由，
得，
所以.
（2）解：（i）由，得.
（ii）由，
得.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和角所在的象限，再利用同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
（2）（i）利用已知条件和同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
（ii）利用已知条件和同角三角函数基本关系式以及转化法，从而得出的值.
（1）由为第二象限角，得，由，得，
所以.
（2）由，得（i）；
（ii）.
16．【答案】（1）解：当时，或，
，
则或.
（2）解：因为命题，命题，且是的充分不必要条件，
所以是的真子集，
当时，或，
要使得是的真子集，则，
所以；
当时，，此时，不符合题意；
当时，或，
要使得是的真子集，则，
所以，
综上所述，实数的取值范围是或.
【知识点】并集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）当时，利用一元二次不等式求解方法求出集合，再利用分式不等式求解方法求出集合，再利用并集的运算法则求出集合.
（2）利用是的充分不必要条件可知是的真子集，再对实数的取值进行分类讨论，再根据集合的包含关系得出关于实数的不等式，从而得出实数的取值范围.
（1）当时，或，
，此时或.
（2）因为命题，命题，且是的充分不必要条件，则是的真子集，
当时，或，
要使得是的真子集，则，所以；
当时，，此时，不符合题意；
当时，或，
要使得是的真子集，则，所以.
综上所述，实数的取值范围是或.
17．【答案】（1）解：为假命题，
，为真命题，
则不等式在R上恒成立，
当时，恒成立，则满足题意；
当时，需满足，
解得，
综上所述，实数a的取值范围．
（2）解：因为不等式等价于．
当时，不等式可化为，解得；
当时，，由不等式解得；
当时，则，原不等式即为，解得；
当时，则，解得或；
当时，则，解得或，
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或．
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）由题意可得不等式在R上恒成立，再讨论a是否为0，再结合判别式法得出实数a的取值范围.
（2）将不等式等价于，再分类讨论a的取值范围，再确定与1的大小关系，从而得出不等式的解集.
（1）为假命题，
，为真命题，即不等式在R上恒成立，
当时，恒成立，则满足题意；
当时，需满足，解得，
综上，实数a的取值范围．
（2）不等式等价于．
当时，不等式可化为，解得；
当时，，由不等式解得；
当时，则，原不等式即为，解得；
当时，则，解得或；
当时，则，解得或；
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或．
18．【答案】（1）解：因为函数是定义域为的奇函数，则，解得，
所以，，
因为，，
由奇函数的定义可得，可得，解得，
故，则，下面验证函数为奇函数，
因为函数的定义域为，
则，即函数为奇函数，
因此，满足题意.
（2）解：函数为上的减函数，理由如下：
任取，，且，则，
所以，
，即，
故函数在上为减函数.
（3）解：存在，使，
则，所以，，则，
由题意可得，因此，实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）由奇函数性质得，得；奇函数的定义可得，代入得，验证得解；
（2）原函数可化为，任取，，且，化简成因式乘积形式，判断与0的大小关系，结合指数函数单调性可证明单调性；
（3）原不等式化简结合函数奇偶性以及单调性，得，则为存在，成立，由二次函数的最值，得解.
（1）因为函数是定义域为的奇函数，则，解得，
所以，，
因为，，
由奇函数的定义可得，可得，解得，
故，则，下面验证函数为奇函数，
因为函数的定义域为，
则，即函数为奇函数，
因此，满足题意.
（2）函数为上的减函数，理由如下：
任取，，且，则，
所以，
，即，
故函数在上为减函数.
（3）存在，使，
则，所以，，则，
由题意可得，因此，实数的取值范围是.
19．【答案】（1）解：令，，则，
函数转化为，，
则二次函数，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5，
故当时，函数的值域为.
（2）解：由题得，令，则，即，解得或，
当时，即，解得；当时，即，解得，故不等式的解集为或．
（3）解：由于对于上恒成立，
令，，则即在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为函数在上单调递增，也在上单调递增，
所以函数在上单调递增，它的最大值为，
故时，对于恒成立．
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点；对数函数图象与性质的综合应用；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）先利用换元法，将函数转化为，注意t的范围，，结合二次函数单调性性质求得值域.
（2）将原不等式化为利用换元法，令，则，解一元二次不等式得或，再解对数不等式可得解.
（3）由（2）方法得令，，即，由函数的单调性求得函数最大值为，得解
（1）令，，则，
函数转化为，，
则二次函数，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5，
故当时，函数的值域为.
（2）由题得，令，则，即，解得或，
当时，即，解得；当时，即，解得，故不等式的解集为或．
（3）由于对于上恒成立，
令，，则即在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为函数在上单调递增，也在上单调递增，
所以函数在上单调递增，它的最大值为，
故时，对于恒成立．
1 / 1广东省广州市实验外语学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题
1．（2025高一上·广州月考）已知，则“”是“”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数单调性的应用
【解析】【解答】解：因为，当时，幂函数为上的增函数，
所以，
则“”“”，
若，
则，
因为，
所以，
则指数函数为上的增函数，
所以，
则“”“”，
综上所述，若，则“”是“”的充分而不必要条件.
故答案为：A.
【分析】利用指数函数的单调性、幂函数的单调性结合充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
2．（2025高一上·广州月考）已知集合，，则等于（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：因为，
所以或，
又因为，
所以=.
故答案为：D.
【分析】先解一元二次不等式求出集合M，再根据对数型复合函数定义域求解方法，从而求出集合，再根据补集的运算法则和交集的运算法则，从而得出集合.
3．（2025高一上·广州月考）已知点在角的终边上，若，则（　　）
A． B．为第二象限的角
C． D．
【答案】D
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由题意可得，解得，
所以，则为第三象限的角，
所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】先利用三角函数的定义可得，即，再利用同角三角函数的关系即可求解.
4．（2025高一上·广州月考）设，，，则，，的大小关系是（　　）.
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；利用对数函数的单调性比较大小；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：依题意，，所以.
故答案为：B
【分析】由指数运算性质得，再运用指数函数单调性及对数性质得.
5．（2025高一上·广州月考）若，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、，因为，所以，即，该选项正确，不符合题意，
B、，所以，该选项正确，不符合题意，
C、，当，时，，此时，该选项不正确，符合题意，
D、，因为，所以，即，该选项正确，不符合题意.
故答案为：C
【分析】将A中式子作差得，可判断A；，得可判断B；将式子作差得，得该式>0，可判断C；同C方法，作差可判断D.
6．（2025高一上·广州月考）函数的部分图像大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；函数的图象
【解析】【解答】解：A、因为，又函数的定义域为，故为奇函数，该选项错误，不合题意；
B、由A得，该选项错误，不合题意；
C、根据指数函数的性质，在上单调递增，当时，，故，则，该选项错误，不合题意；；
D、综上，该选项正确，符合题意；
故答案为：D
【分析】由，又函数的定义域为，故为奇函数，可判断AB；在上单调递增，当时，，故，则，可判断C.
7．（2025高一上·广州月考）某种药物作用在农作物上的分解率为，与时间（小时）满足函数关系式（其中为非零常数），若经过12小时该药物的分解率为，经过24小时该药物的分解率为，那么这种药物完全分解，至少需要经过（　　）（参考数据：）
A．48小时 B．52小时 C．64小时 D．120小时
【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；“指数爆炸”模型
【解析】【解答】解：由题意可得，解得，所以，
这种药物完全分解，即当时，有，即，
解得．
故答案为：B．
【分析】先由材料得出，可得；完全分解，即当，结合对数运算性质可得t=52．
8．（2025高一上·广州月考）已知函数，若函数满足：对于任意的，，当时，都有，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：由，
得，
对于任意的，当时成立，
则函数是R上的减函数，
又因为，
所以，
解得.
故答案为：D.
【分析】根据题中已知条件，将问题转化为为减函数，再根据分段函数的单调性得出实数a的取值范围.
9．（2025高一上·广州月考）设正实数、满足，则（　　）
A．有最小值 B．有最大值
C．有最小值 D．有最小值
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为正实数、满足，
对于选项A，因为，
当且仅当时，即当时，等号成立，
则有最小值，故选项A对；
对于选项B，由基本不等式，可得，
当且仅当时，即当时，等号成立，
则有最大值，故选项B对；
对于选项C，因为，
所以，
当且仅当时，即当时，等号成立，
则有最大值，故选项C错；
对于选项D，因为，
所以，
则，
当且仅当时，即当时，等号成立，
则有最小值，故选项D对.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件和基本不等式求最值的方法，从而逐项判断找出正确的选项.
10．（2025高一上·广州月考）已知函数，则（ ）
A．函数的图象关于对称 B．函数的单调递减区间是
C．函数的值域是 D．不等式的解集是
【答案】A,C
【知识点】函数的值域；函数的单调性及单调区间；对数函数的单调性与特殊点；图形的对称性
【解析】【解答】解：对于选项A，因为，
所以函数的图象关于对称，故A正确；
对于选项B，由，可得或，
所以函数的定义域为，
因为函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
且函数为增函数，
所以函数的单调递减区间是，故B错误；
对于选项C，由选项B知，函数的定义域为，
当或时，函数值域为，
所以函数的值域是，故C正确；
对于选项D，由，可得，
解得或，
所以不等式的解集是，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】利用函数图象的对称性可判断选项A；根据复合函数单调性，即“同增异减”，再结合对数函数的单调性和二次函数的单调性，则可判断选项B； 由选项B和二次函数的值域求解方法，从而得出对数型函数的值域，则判断出选项C；利用对数型函数的单调性和一元二次不等式求解方法，从而得出不等式的解集，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
11．（2025高一上·广州月考）函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，该结论可以推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数．（　　）
A．若，则函数为奇函数
B．若，则
C．函数的图象必有对称中心
D．，
【答案】A,C,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数恒成立问题；函数的值
【解析】【解答】解：对于选项A，记．
因为，
所以为奇函数，故选项A正确；
对于选项B，由选项A可知，
则，
所以，故选项B错误；
对于选项C，记，
若为奇函数，则，，
所以，
则，
所以．
上式化简得，．
则，
解得
则当时，的图象必关于点对称，故选项C正确；
对于选项D，由选项C可知，，
当时，是减函数，，
所以，故选项D正确．
故答案为：ACD．
【分析】利用中心对称函数的性质，再利用函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，则判断出选项A；再利用选项A可知，从而得出，进而得出的值，则判断出选项B；利用已知条件和图象的对称性，则判断出选项C；利用选项C和不等式恒成立问题求解方法以及函数的单调性，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
12．（2025高一上·广州月考）计算：
（1）　 　
（2）　 　
【答案】,
（1）
（2）
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：（1）.
（2）
．
【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则化简求值.
（2）利用对数的运算法则化简求值．
13．（2025高一上·广州月考）已知一扇形的周长为20，则该扇形面积的最大值为　 　.
【答案】25
【知识点】函数的最大（小）值；扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：设扇形的半径为，弧长为，
则，
所以，扇形的面积为：，
当时，取得最大值，最大值为25，
则扇形面积的最大值为25.
故答案为：25.
【分析】利用扇形的周长公式和扇形的面积公式，再结合二次函数求最值的方法，从而得出该扇形面积的最大值.
14．（2025高一上·广州月考）已知函数，若函数有5个不同的零点，则实数m的取值范围为　 　
【答案】或
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：令，
所以或，
如图，画出函数的大致图象，
当时，与的图象有3个交点，
所以与的图象只能有2个交点，
则或，
所以或.
故答案为：或.
【分析】先由函数的零点定义，令方程得出或，再画出分段函数的图象，再利用数形结合结合函数零点与两函数交点横坐标的等价关系，再由已知条件求出实数的取值范围.
15．（2025高一上·广州月考）计算：
（1）已知为第二象限角，，求
（2）（i）求的值
（ii）求的值
【答案】（1）解：由为第二象限角，
得，
由，
得，
所以.
（2）解：（i）由，得.
（ii）由，
得.
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【分析】（1）利用已知条件和角所在的象限，再利用同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
（2）（i）利用已知条件和同角三角函数基本关系式，从而得出的值.
（ii）利用已知条件和同角三角函数基本关系式以及转化法，从而得出的值.
（1）由为第二象限角，得，由，得，
所以.
（2）由，得（i）；
（ii）.
16．（2025高一上·广州月考）设全集．集合，集合．
（1）当时，求；
（2）若命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，或，
，
则或.
（2）解：因为命题，命题，且是的充分不必要条件，
所以是的真子集，
当时，或，
要使得是的真子集，则，
所以；
当时，，此时，不符合题意；
当时，或，
要使得是的真子集，则，
所以，
综上所述，实数的取值范围是或.
【知识点】并集及其运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【分析】（1）当时，利用一元二次不等式求解方法求出集合，再利用分式不等式求解方法求出集合，再利用并集的运算法则求出集合.
（2）利用是的充分不必要条件可知是的真子集，再对实数的取值进行分类讨论，再根据集合的包含关系得出关于实数的不等式，从而得出实数的取值范围.
（1）当时，或，
，此时或.
（2）因为命题，命题，且是的充分不必要条件，则是的真子集，
当时，或，
要使得是的真子集，则，所以；
当时，，此时，不符合题意；
当时，或，
要使得是的真子集，则，所以.
综上所述，实数的取值范围是或.
17．（2025高一上·广州月考）设函数．
（1）命题，使得成立．若p为假命题，求实数a的取值范围；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）解：为假命题，
，为真命题，
则不等式在R上恒成立，
当时，恒成立，则满足题意；
当时，需满足，
解得，
综上所述，实数a的取值范围．
（2）解：因为不等式等价于．
当时，不等式可化为，解得；
当时，，由不等式解得；
当时，则，原不等式即为，解得；
当时，则，解得或；
当时，则，解得或，
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或．
【知识点】函数恒成立问题；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）由题意可得不等式在R上恒成立，再讨论a是否为0，再结合判别式法得出实数a的取值范围.
（2）将不等式等价于，再分类讨论a的取值范围，再确定与1的大小关系，从而得出不等式的解集.
（1）为假命题，
，为真命题，即不等式在R上恒成立，
当时，恒成立，则满足题意；
当时，需满足，解得，
综上，实数a的取值范围．
（2）不等式等价于．
当时，不等式可化为，解得；
当时，，由不等式解得；
当时，则，原不等式即为，解得；
当时，则，解得或；
当时，则，解得或；
综上所述，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或．
18．（2025高一上·广州月考）已知定义域为的函数是奇函数.
（1）求、的值；
（2）判断的单调性并证明；
（3）若存在，使成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为函数是定义域为的奇函数，则，解得，
所以，，
因为，，
由奇函数的定义可得，可得，解得，
故，则，下面验证函数为奇函数，
因为函数的定义域为，
则，即函数为奇函数，
因此，满足题意.
（2）解：函数为上的减函数，理由如下：
任取，，且，则，
所以，
，即，
故函数在上为减函数.
（3）解：存在，使，
则，所以，，则，
由题意可得，因此，实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合；其他不等式的解法
【解析】【分析】（1）由奇函数性质得，得；奇函数的定义可得，代入得，验证得解；
（2）原函数可化为，任取，，且，化简成因式乘积形式，判断与0的大小关系，结合指数函数单调性可证明单调性；
（3）原不等式化简结合函数奇偶性以及单调性，得，则为存在，成立，由二次函数的最值，得解.
（1）因为函数是定义域为的奇函数，则，解得，
所以，，
因为，，
由奇函数的定义可得，可得，解得，
故，则，下面验证函数为奇函数，
因为函数的定义域为，
则，即函数为奇函数，
因此，满足题意.
（2）函数为上的减函数，理由如下：
任取，，且，则，
所以，
，即，
故函数在上为减函数.
（3）存在，使，
则，所以，，则，
由题意可得，因此，实数的取值范围是.
19．（2025高一上·广州月考）已知函数.
（1）当时，求该函数的值域；
（2）求不等式的解集；
（3）若于恒成立，求的取值范围．
【答案】（1）解：令，，则，
函数转化为，，
则二次函数，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5，
故当时，函数的值域为.
（2）解：由题得，令，则，即，解得或，
当时，即，解得；当时，即，解得，故不等式的解集为或．
（3）解：由于对于上恒成立，
令，，则即在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为函数在上单调递增，也在上单调递增，
所以函数在上单调递增，它的最大值为，
故时，对于恒成立．
【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数的单调性与特殊点；对数函数图象与性质的综合应用；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；指、对数不等式的解法
【解析】【分析】（1）先利用换元法，将函数转化为，注意t的范围，，结合二次函数单调性性质求得值域.
（2）将原不等式化为利用换元法，令，则，解一元二次不等式得或，再解对数不等式可得解.
（3）由（2）方法得令，，即，由函数的单调性求得函数最大值为，得解
（1）令，，则，
函数转化为，，
则二次函数，在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取到最小值为，当时，取到最大值为5，
故当时，函数的值域为.
（2）由题得，令，则，即，解得或，
当时，即，解得；当时，即，解得，故不等式的解集为或．
（3）由于对于上恒成立，
令，，则即在上恒成立，
所以在上恒成立，
因为函数在上单调递增，也在上单调递增，
所以函数在上单调递增，它的最大值为，
故时，对于恒成立．
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