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浙江省杭州市浙江大学附属中学2025-2026学年高一上学期12月考试数学试题
1．（2025高一上·西湖月考）不等式的解集是（　　）
A．或 B．或 C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：得，且函数的图象开口向上，
所以不等式的解集为.
故答案为：D
【分析】这道题的核心是解一元二次不等式，关键步骤是先求出对应方程的根，再根据二次函数的开口方向，确定不等式的解集区间。
2．（2025高一上·西湖月考）下面四组函数中，与表示同一个函数的是（　　）．
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A，函数的定义域为，函数的定义域为，所以这两个函数不是相等函数；
B，函数的定义域为，函数的定义域为，所以这两个函数不是相等函数；
C，函数，两个函数的定义域都是，所以这两个函数是相等函数；
D，，两个函数的定义域都是，又，所以这两个函数不是相等函数.
故答案为：C.
【分析】判断两个函数是否为同一个函数，必须同时满足两个条件：定义域完全相同，且对应法则完全相同。
3．（2025高一上·西湖月考）函数图象的一个对称中心是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：令，解得，
当时，，所以函数图象的一个对称中心是.
故答案为：D.
【分析】根据正弦型函数的对称性，可得，令k=0，可得解.
4．（2025高一上·西湖月考）函数的图象的大致形状是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象；正弦函数的图象
【解析】【解答】解：，定义域为，关于原点对称；
，所以为偶函数，
图象关于y轴对称；排除B、D.
当 时，，则，所以，C满足.
故答案为：C
【分析】这道题的核心是通过分析函数的奇偶性和特殊区间的符号，来排除错误选项，从而确定正确的图像。
5．（2025高一上·西湖月考）已知，且，则最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，
又，可得，
且，
当且仅当，时等号成立．
即最小值为.
故答案为：B．
【分析】这道题的核心是利用基本不等式求最小值，关键在于先对表达式进行化简，再结合已知条件x+y=1进行“1”的代换，最后用基本不等式求解。
6．（2025高一上·西湖月考）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由题意得，函数是定义在上的偶函数，
所以，解得，即函数的定义域为，
当时，单调递增，所以当时，单调递减，
关于的不等式，即，
所以，解得，
所以原不等式解集为.
故答案为：A
【分析】这道题的核心是利用偶函数的性质，先求出参数 的值，确定函数的定义域和单调性，再根据偶函数的性质 来解不等式。
7．（2025高一上·西湖月考）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】正切函数的图象与性质；函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由的定义域为，
时，，
结合正切函数的单调性可知，
解得，
由可知，
由可知，即，
即，而，故只能为0或1，
时，结合可知；时，，
于是.
故答案为：D
【分析】先由x范围求出的范围，结合正切函数的单调性得出范围，由区间成立的条件及，可确定k，反代回区间范围可得解.
8．（2025高一上·西湖月考）已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（　　）
A． B．函数的图象关于点对称
C． D．若，则
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：A，令，代入已知等式得，得，故A错误；
B，取，满足及，
因为，所以的图象不关于点对称.
令，得.所以函数的图象不关于点对称，故B错误；
C，令，，代入已知等式得，
可得，结合得，，
再令，代入已知等式得，
将，代入上式，得，所以函数为奇函数.
令，，代入已知等式，得，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，故C错误；
D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，，
两式相加易得，所以有，
即：，
有：，
即：，所以为周期函数，且最小正周期为3，
因为，所以，所以，，
所以，
所以，故D正确.
故答案为：D.
【分析】这道题的核心是通过对抽象函数关系式 f(x y)=f(x)g(y) g(x)f(y) 进行赋值，推导出函数 f(x) 和 g(x) 的性质，包括奇偶性、周期性等，进而判断各个选项的正误。
9．（2025高一上·西湖月考）设a>b>1，c<0，则下列结论正确的是（　　）
A． B．acC．a(b－c)>b(a－c) D．
【答案】A,B,C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、∵a>b>1，c<0，∴>0，∴，该选项正确，符合题意；
B、∵－c>0，∴a·(－c)>b·(－c)，∴－ac>－bc，∴acC、∵a>b>1，∴a(b－c)－b(a－c)＝ab－ac－ab＋bc＝－c(a－b)>0，∴a(b－c)>b(a－c)，该选项正确，符合题意；
D、∵<0，a>b>0，∴，该选项错误，不合题意．
故答案为：ABC.
【分析】作差得>0，可判断A；由c>0得－c>0，故a·(－c)>b·(－c)，得－ac>－bc，可判断B；作差得a(b－c)－b(a－c)＝ab－ac－ab＋bc＝－c(a－b)>0，可判断C；<0，a>b>0，得，可判断D．
10．（2025高一上·西湖月考）定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”.已知，则下列角中，可能与角“广义互余”的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：A、∵，∴，若，则，所以，该选项正确，符合题意；
B、，该选项错误，不合题意；
C、，即，又，∴，该选项正确，符合题意；
D、，即，又，∴，该选项错误，不合题意.
故答案为：AC.
【分析】由诱导公式得，，可判断A；由诱导公式得，可判断B；由同角三角函数关系式商得关系得，又，∴，可判断C；由C方法得，可判断D.
11．（2025高一上·西湖月考）定义，，则下列说法正确的是（　　）
A．，使得
B．
C．的最小正周期为
D．当时，的最大值为2
【答案】B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：A：，
因为，所以恒成立，故A错误；
B：，故B正确；
C：因为
而，
所以只有当时，才有，所以不是函数的周期，故C错误；
D：当时，，当，，
所以.
因为，所以当，即时，取得最大值2，即；
当时，，
所以，
因为，所以，所以，即；
当时，.
综上可知，当时，的最大值为2，故D正确.
故答案为：BD
【分析】这道题的核心是分析两个分段三角函数 和 的性质，包括它们的平方和、周期性、以及特定区间内的最值。
12．（2025高一上·西湖月考）若幂函数的图象经过点，则　 　．
【答案】4
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由题意设，
∵幂函数的图象经过点，
∴，则，
∴，则，
故答案为：4
【分析】这道题的核心是求解幂函数的解析式，再代入自变量计算函数值。关键是利用已知点的坐标求出幂指数 α。
13．（2025高一上·西湖月考）为了研究中学生远程网络学习的学习效率，某研究小组将学习注意力的集中情况用注意力指数进行量化，通过调查研究发现研究对象在40分钟的远程网络学习中，注意力指数与时间之间的关系近似满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分，根据专家研究发现，当注意力指数不低于80时，学习效率最佳．据此可以判断，研究对象在40分钟的远程网络学习过程中，学习效率最佳的时间共有　 　分钟．（参考数据：（结果保留小数点后两位有效数字）
【答案】22.83
【知识点】对数的性质与运算法则；“对数增长”模型
【解析】【解答】解：由图可设当时，.
因为，所以，所以.
所以当时，.
，所以.
所以当时，.
所以.
当时，由，得，
所以，即.
当时，由，得，所以.
综上所述，.
所以，研究对象在40分钟的远程网络学习过程中，学习效率最佳的时间共有约分钟 .
故答案为：.
【分析】这道题的核心是求解分段函数在不同区间内满足y≥80的时间范围，然后将两段时间相加得到总时长，先确定两段函数的解析式，再分别解不等式。
14．（2025高一上·西湖月考）计算：　 　.（填近似值不得分）
【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：令，则，故，
由
，而，
所以，可得，故（负值舍），
所以.
故答案为：
【分析】
令，则，则由正弦两角和公式将展开，j将利用两倍角公式展开，可得 ，可得，得解.
15．（2025高一上·西湖月考）若集合，集合．
（1）若，求；
（2）当时，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：当时，，
则，
又，
所以
（2）解：当时，，
所以，
所以实数的取值范围为
【知识点】交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】(1)先代入 求出集合 ，再求出 在实数集 中的补集 ，最后与集合 求交集。
(2)由 可知 ，根据子集的定义列出关于 的不等式组，解不等式组即可求出 的取值范围。
（1）当时，，
则或，
又，
所以
（2）当时，，
所以，
所以实数的取值范围为
16．（2025高一上·西湖月考）已知函数．
（1）把化成的形式；
（2）若，且，求的值．
（3）在中，若，求的取值范围．
【答案】（1）解：
.
（2）解：由（1）知，则，
由，得，则，
则
.
（3）解：在中，，由，得，
则，解得，则，
于是，
由，得，则，即，
所以的取值范围为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】(1)利用三角恒等变换，先通过积化和差公式化简 ，再结合二倍角公式和辅助角公式，将函数化为 的标准形式。
(2)将 代入化简后的函数表达式，求出 的值，再根据角的范围求出 ，最后用拆角公式 计算 。
(3)由 求出角 ，再利用三角形内角和将 化为关于 的三角函数，结合角的范围求出取值范围。
（1）.
（2）由（1）知，则，
由，得，则，
则
.
（3）在中，，由，得，
则，解得，则，
于是，
由，得，则，即，
所以的取值范围为.
17．（2025高一上·西湖月考）某学校为迎接校庆，拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中小圆弧所在圆的半径为12米，设大圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为（）（弧度）．
（1）求关于x的函数解析式，并求出的取值范围；
（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为32元/米，弧线部分的装饰费用为8元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y．
（ⅰ）求y关于x的函数解析式；
（ⅱ）求出y的最大值和y取最大值时的x的值．
【答案】（1）解：由题可知，解得．
又由，可得，
所以关于的函数解析式为，．
因为函数在时单调递减，
所以，可得．
（2）（ⅰ）解：花坛的面积为，
装饰总费用为，
所以花坛的面积与装饰总费用之比为，．
（ⅱ）解：令，
则，
当且仅当，即时取等号，此时，故的最大值为，此时．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；扇形的弧长与面积
【解析】【分析】(1)扇环的周长由大圆弧、小圆弧和两条直边组成，根据周长公式建立方程，可直接解出圆心角θ关于x的函数，再根据θ>0求出x和θ的取值范围。
(2)(i)先计算扇环的面积，再分别计算直线部分和弧线部分的装饰费用，从而求出面积与总费用的比值y。
(ii)对y进行变形，利用基本不等式求出最大值及对应的x值。
（1）由题可知，解得．
又由，可得，
所以关于的函数解析式为，．
因为函数在时单调递减，
所以，可得．
（2）（ⅰ）花坛的面积为，
装饰总费用为，
所以花坛的面积与装饰总费用之比为，．
（ⅱ）令，
则，
当且仅当，即时取等号，此时，故的最大值为，此时．
18．（2025高一上·西湖月考）已知函数的最小正周期为.
（1）求函数在区间上的单调递增区间；
（2）已知函数的最小值为1；
①求的值；
②若，使得，求实数m的取值范围.
【答案】（1）解：由题意可知，∴，即，
令，
则，
∴函数单调递增区间为，.
（2）解：①令，则，
当时，函数开口向下，则或为函数的最小值，
即或，
解得（舍去）或.
当时，，此时最小值为，不合题意舍去.
当时，，不合题意舍去.
当时，函数的对称轴，
当，即，此时函数最小值为，解得（舍去）；
当，即，此时函数最小值为，
整理得，即，解得（舍去）或；
∴.
②由①可知当时，函数，
由（1）可知函数在区间上单调递增，在上单调递减，
∴时，，
当时，，不合题意舍去，
当时，，由题意得，
即，解得，
当时，，由题意得，
即，解得，
∴.
【知识点】函数的单调性及单调区间；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1)先根据周期公式求出 ，得到函数 的解析式，再根据正弦函数的单调性求出单调递增区间，并与 取交集。
(2)① 令 ，将函数 转化为关于 的二次函数，根据 的取值范围讨论最小值，从而求出 的值。
② 先求出 和 的值域，再根据题意建立集合的包含关系，求出实数 的取值范围。
（1）由题意可知，∴，即，
令，则，
∴函数单调递增区间为，.
（2）①令，则，
当时，函数开口向下，则或为函数的最小值，
即或，
解得（舍去）或.
当时，，此时最小值为，不合题意舍去.
当时，，不合题意舍去.
当时，函数的对称轴，
当，即，此时函数最小值为，解得（舍去）；
当，即，此时函数最小值为，整理得，即，解得（舍去）或；
∴.
②由①可知当时，函数，
由（1）可知函数在区间上单调递增，在上单调递减，
∴时，，
当时，，不合题意舍去，
当时，，由题意得，
即，解得，
当时，，由题意得，
即，解得，
∴.
19．（2025高一上·西湖月考）意大利著名天文学家伽利略曾错误的猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年雅各布×伯努利正式提出该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案.1961年他的弟弟约翰×伯努利和莱布尼茨、惠更斯三人各自得到了正确答案．至今这类函数在物理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是一类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数为，
（1）对任意实数，是否为定值，若是定值，请求出定值；
（2）证明：两角和的双曲余弦公式；
（3）证明：有唯一的正零点，并比较和的大小．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴对任意实数，为定值，定值为.
（2）证明：，
.
（3）证明：由题意得，
因为在上均单调递增，
易知在上单调递增，
且，即，
由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得，
可得有唯一的正零点，且，，
可得，两边同时取对数可得，
所以，
因为在上单调递增，
所以，
因此，
可得．
【知识点】有理数指数幂的运算性质；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)直接代入双曲正弦函数 和双曲余弦函数 的表达式，对 进行化简，即可判断其是否为定值。
(2)将 、 和 分别用指数形式展开，然后比较两边的表达式，即可证明两角和的双曲余弦公式。
(3)先化简 ，分析其单调性以证明存在唯一的正零点 ，再通过构造函数或不等式放缩比较 和 的大小。
（1）∵，，
∴，
∴对任意实数，为定值，定值为.
（2），
，得证.
（3）依题意可得，
因为在上均单调递增，
易知在上单调递增，
且，即，
由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得，
可得有唯一的正零点，且，，
可得，两边同时取对数可得，
所以，
因为在上单调递增，
所以，
因此，
可得．
1 / 1浙江省杭州市浙江大学附属中学2025-2026学年高一上学期12月考试数学试题
1．（2025高一上·西湖月考）不等式的解集是（　　）
A．或 B．或 C． D．
2．（2025高一上·西湖月考）下面四组函数中，与表示同一个函数的是（　　）．
A．， B．，
C．， D．，
3．（2025高一上·西湖月考）函数图象的一个对称中心是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高一上·西湖月考）函数的图象的大致形状是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025高一上·西湖月考）已知，且，则最小值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高一上·西湖月考）已知定义在上的偶函数，且当时，单调递增，则关于的不等式的解集是（　　）
A． B． C． D．
7．（2025高一上·西湖月考）已知函数在区间上单调，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高一上·西湖月考）已知，都是定义在上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（　　）
A． B．函数的图象关于点对称
C． D．若，则
9．（2025高一上·西湖月考）设a>b>1，c<0，则下列结论正确的是（　　）
A． B．acC．a(b－c)>b(a－c) D．
10．（2025高一上·西湖月考）定义：角与都是任意角，若满足，则称与“广义互余”.已知，则下列角中，可能与角“广义互余”的是（　　）
A． B． C． D．
11．（2025高一上·西湖月考）定义，，则下列说法正确的是（　　）
A．，使得
B．
C．的最小正周期为
D．当时，的最大值为2
12．（2025高一上·西湖月考）若幂函数的图象经过点，则　 　．
13．（2025高一上·西湖月考）为了研究中学生远程网络学习的学习效率，某研究小组将学习注意力的集中情况用注意力指数进行量化，通过调查研究发现研究对象在40分钟的远程网络学习中，注意力指数与时间之间的关系近似满足如图所示的曲线．当时，曲线是二次函数图象的一部分，当时，曲线是函数图象的一部分，根据专家研究发现，当注意力指数不低于80时，学习效率最佳．据此可以判断，研究对象在40分钟的远程网络学习过程中，学习效率最佳的时间共有　 　分钟．（参考数据：（结果保留小数点后两位有效数字）
14．（2025高一上·西湖月考）计算：　 　.（填近似值不得分）
15．（2025高一上·西湖月考）若集合，集合．
（1）若，求；
（2）当时，求实数的取值范围．
16．（2025高一上·西湖月考）已知函数．
（1）把化成的形式；
（2）若，且，求的值．
（3）在中，若，求的取值范围．
17．（2025高一上·西湖月考）某学校为迎接校庆，拟建一个扇环形状的花坛（如图所示），按设计要求扇环的周长为36米，其中小圆弧所在圆的半径为12米，设大圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为（）（弧度）．
（1）求关于x的函数解析式，并求出的取值范围；
（2）已知对花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为32元/米，弧线部分的装饰费用为8元/米，设花坛的面积与装饰总费用之比为y．
（ⅰ）求y关于x的函数解析式；
（ⅱ）求出y的最大值和y取最大值时的x的值．
18．（2025高一上·西湖月考）已知函数的最小正周期为.
（1）求函数在区间上的单调递增区间；
（2）已知函数的最小值为1；
①求的值；
②若，使得，求实数m的取值范围.
19．（2025高一上·西湖月考）意大利著名天文学家伽利略曾错误的猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线．直到1690年雅各布×伯努利正式提出该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案.1961年他的弟弟约翰×伯努利和莱布尼茨、惠更斯三人各自得到了正确答案．至今这类函数在物理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是一类与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数为，
（1）对任意实数，是否为定值，若是定值，请求出定值；
（2）证明：两角和的双曲余弦公式；
（3）证明：有唯一的正零点，并比较和的大小．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
【解析】【解答】解：得，且函数的图象开口向上，
所以不等式的解集为.
故答案为：D
【分析】这道题的核心是解一元二次不等式，关键步骤是先求出对应方程的根，再根据二次函数的开口方向，确定不等式的解集区间。
2．【答案】C
【知识点】同一函数的判定
【解析】【解答】解：A，函数的定义域为，函数的定义域为，所以这两个函数不是相等函数；
B，函数的定义域为，函数的定义域为，所以这两个函数不是相等函数；
C，函数，两个函数的定义域都是，所以这两个函数是相等函数；
D，，两个函数的定义域都是，又，所以这两个函数不是相等函数.
故答案为：C.
【分析】判断两个函数是否为同一个函数，必须同时满足两个条件：定义域完全相同，且对应法则完全相同。
3．【答案】D
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：令，解得，
当时，，所以函数图象的一个对称中心是.
故答案为：D.
【分析】根据正弦型函数的对称性，可得，令k=0，可得解.
4．【答案】C
【知识点】函数的奇偶性；函数的图象；正弦函数的图象
【解析】【解答】解：，定义域为，关于原点对称；
，所以为偶函数，
图象关于y轴对称；排除B、D.
当 时，，则，所以，C满足.
故答案为：C
【分析】这道题的核心是通过分析函数的奇偶性和特殊区间的符号，来排除错误选项，从而确定正确的图像。
5．【答案】B
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：，
又，可得，
且，
当且仅当，时等号成立．
即最小值为.
故答案为：B．
【分析】这道题的核心是利用基本不等式求最小值，关键在于先对表达式进行化简，再结合已知条件x+y=1进行“1”的代换，最后用基本不等式求解。
6．【答案】A
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由题意得，函数是定义在上的偶函数，
所以，解得，即函数的定义域为，
当时，单调递增，所以当时，单调递减，
关于的不等式，即，
所以，解得，
所以原不等式解集为.
故答案为：A
【分析】这道题的核心是利用偶函数的性质，先求出参数 的值，确定函数的定义域和单调性，再根据偶函数的性质 来解不等式。
7．【答案】D
【知识点】正切函数的图象与性质；函数y=Atan（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：由的定义域为，
时，，
结合正切函数的单调性可知，
解得，
由可知，
由可知，即，
即，而，故只能为0或1，
时，结合可知；时，，
于是.
故答案为：D
【分析】先由x范围求出的范围，结合正切函数的单调性得出范围，由区间成立的条件及，可确定k，反代回区间范围可得解.
8．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：A，令，代入已知等式得，得，故A错误；
B，取，满足及，
因为，所以的图象不关于点对称.
令，得.所以函数的图象不关于点对称，故B错误；
C，令，，代入已知等式得，
可得，结合得，，
再令，代入已知等式得，
将，代入上式，得，所以函数为奇函数.
令，，代入已知等式，得，
因为，所以，
又因为，所以，
因为，所以，故C错误；
D，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，，
两式相加易得，所以有，
即：，
有：，
即：，所以为周期函数，且最小正周期为3，
因为，所以，所以，，
所以，
所以，故D正确.
故答案为：D.
【分析】这道题的核心是通过对抽象函数关系式 f(x y)=f(x)g(y) g(x)f(y) 进行赋值，推导出函数 f(x) 和 g(x) 的性质，包括奇偶性、周期性等，进而判断各个选项的正误。
9．【答案】A,B,C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、∵a>b>1，c<0，∴>0，∴，该选项正确，符合题意；
B、∵－c>0，∴a·(－c)>b·(－c)，∴－ac>－bc，∴acC、∵a>b>1，∴a(b－c)－b(a－c)＝ab－ac－ab＋bc＝－c(a－b)>0，∴a(b－c)>b(a－c)，该选项正确，符合题意；
D、∵<0，a>b>0，∴，该选项错误，不合题意．
故答案为：ABC.
【分析】作差得>0，可判断A；由c>0得－c>0，故a·(－c)>b·(－c)，得－ac>－bc，可判断B；作差得a(b－c)－b(a－c)＝ab－ac－ab＋bc＝－c(a－b)>0，可判断C；<0，a>b>0，得，可判断D．
10．【答案】A,C
【知识点】同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：A、∵，∴，若，则，所以，该选项正确，符合题意；
B、，该选项错误，不合题意；
C、，即，又，∴，该选项正确，符合题意；
D、，即，又，∴，该选项错误，不合题意.
故答案为：AC.
【分析】由诱导公式得，，可判断A；由诱导公式得，可判断B；由同角三角函数关系式商得关系得，又，∴，可判断C；由C方法得，可判断D.
11．【答案】B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：A：，
因为，所以恒成立，故A错误；
B：，故B正确；
C：因为
而，
所以只有当时，才有，所以不是函数的周期，故C错误；
D：当时，，当，，
所以.
因为，所以当，即时，取得最大值2，即；
当时，，
所以，
因为，所以，所以，即；
当时，.
综上可知，当时，的最大值为2，故D正确.
故答案为：BD
【分析】这道题的核心是分析两个分段三角函数 和 的性质，包括它们的平方和、周期性、以及特定区间内的最值。
12．【答案】4
【知识点】幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：由题意设，
∵幂函数的图象经过点，
∴，则，
∴，则，
故答案为：4
【分析】这道题的核心是求解幂函数的解析式，再代入自变量计算函数值。关键是利用已知点的坐标求出幂指数 α。
13．【答案】22.83
【知识点】对数的性质与运算法则；“对数增长”模型
【解析】【解答】解：由图可设当时，.
因为，所以，所以.
所以当时，.
，所以.
所以当时，.
所以.
当时，由，得，
所以，即.
当时，由，得，所以.
综上所述，.
所以，研究对象在40分钟的远程网络学习过程中，学习效率最佳的时间共有约分钟 .
故答案为：.
【分析】这道题的核心是求解分段函数在不同区间内满足y≥80的时间范围，然后将两段时间相加得到总时长，先确定两段函数的解析式，再分别解不等式。
14．【答案】
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式
【解析】【解答】解：令，则，故，
由
，而，
所以，可得，故（负值舍），
所以.
故答案为：
【分析】
令，则，则由正弦两角和公式将展开，j将利用两倍角公式展开，可得 ，可得，得解.
15．【答案】（1）解：当时，，
则，
又，
所以
（2）解：当时，，
所以，
所以实数的取值范围为
【知识点】交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】(1)先代入 求出集合 ，再求出 在实数集 中的补集 ，最后与集合 求交集。
(2)由 可知 ，根据子集的定义列出关于 的不等式组，解不等式组即可求出 的取值范围。
（1）当时，，
则或，
又，
所以
（2）当时，，
所以，
所以实数的取值范围为
16．【答案】（1）解：
.
（2）解：由（1）知，则，
由，得，则，
则
.
（3）解：在中，，由，得，
则，解得，则，
于是，
由，得，则，即，
所以的取值范围为.
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】(1)利用三角恒等变换，先通过积化和差公式化简 ，再结合二倍角公式和辅助角公式，将函数化为 的标准形式。
(2)将 代入化简后的函数表达式，求出 的值，再根据角的范围求出 ，最后用拆角公式 计算 。
(3)由 求出角 ，再利用三角形内角和将 化为关于 的三角函数，结合角的范围求出取值范围。
（1）.
（2）由（1）知，则，
由，得，则，
则
.
（3）在中，，由，得，
则，解得，则，
于是，
由，得，则，即，
所以的取值范围为.
17．【答案】（1）解：由题可知，解得．
又由，可得，
所以关于的函数解析式为，．
因为函数在时单调递减，
所以，可得．
（2）（ⅰ）解：花坛的面积为，
装饰总费用为，
所以花坛的面积与装饰总费用之比为，．
（ⅱ）解：令，
则，
当且仅当，即时取等号，此时，故的最大值为，此时．
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；扇形的弧长与面积
【解析】【分析】(1)扇环的周长由大圆弧、小圆弧和两条直边组成，根据周长公式建立方程，可直接解出圆心角θ关于x的函数，再根据θ>0求出x和θ的取值范围。
(2)(i)先计算扇环的面积，再分别计算直线部分和弧线部分的装饰费用，从而求出面积与总费用的比值y。
(ii)对y进行变形，利用基本不等式求出最大值及对应的x值。
（1）由题可知，解得．
又由，可得，
所以关于的函数解析式为，．
因为函数在时单调递减，
所以，可得．
（2）（ⅰ）花坛的面积为，
装饰总费用为，
所以花坛的面积与装饰总费用之比为，．
（ⅱ）令，
则，
当且仅当，即时取等号，此时，故的最大值为，此时．
18．【答案】（1）解：由题意可知，∴，即，
令，
则，
∴函数单调递增区间为，.
（2）解：①令，则，
当时，函数开口向下，则或为函数的最小值，
即或，
解得（舍去）或.
当时，，此时最小值为，不合题意舍去.
当时，，不合题意舍去.
当时，函数的对称轴，
当，即，此时函数最小值为，解得（舍去）；
当，即，此时函数最小值为，
整理得，即，解得（舍去）或；
∴.
②由①可知当时，函数，
由（1）可知函数在区间上单调递增，在上单调递减，
∴时，，
当时，，不合题意舍去，
当时，，由题意得，
即，解得，
当时，，由题意得，
即，解得，
∴.
【知识点】函数的单调性及单调区间；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】(1)先根据周期公式求出 ，得到函数 的解析式，再根据正弦函数的单调性求出单调递增区间，并与 取交集。
(2)① 令 ，将函数 转化为关于 的二次函数，根据 的取值范围讨论最小值，从而求出 的值。
② 先求出 和 的值域，再根据题意建立集合的包含关系，求出实数 的取值范围。
（1）由题意可知，∴，即，
令，则，
∴函数单调递增区间为，.
（2）①令，则，
当时，函数开口向下，则或为函数的最小值，
即或，
解得（舍去）或.
当时，，此时最小值为，不合题意舍去.
当时，，不合题意舍去.
当时，函数的对称轴，
当，即，此时函数最小值为，解得（舍去）；
当，即，此时函数最小值为，整理得，即，解得（舍去）或；
∴.
②由①可知当时，函数，
由（1）可知函数在区间上单调递增，在上单调递减，
∴时，，
当时，，不合题意舍去，
当时，，由题意得，
即，解得，
当时，，由题意得，
即，解得，
∴.
19．【答案】（1）解：∵，，
∴，
∴对任意实数，为定值，定值为.
（2）证明：，
.
（3）证明：由题意得，
因为在上均单调递增，
易知在上单调递增，
且，即，
由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得，
可得有唯一的正零点，且，，
可得，两边同时取对数可得，
所以，
因为在上单调递增，
所以，
因此，
可得．
【知识点】有理数指数幂的运算性质；函数零点存在定理
【解析】【分析】(1)直接代入双曲正弦函数 和双曲余弦函数 的表达式，对 进行化简，即可判断其是否为定值。
(2)将 、 和 分别用指数形式展开，然后比较两边的表达式，即可证明两角和的双曲余弦公式。
(3)先化简 ，分析其单调性以证明存在唯一的正零点 ，再通过构造函数或不等式放缩比较 和 的大小。
（1）∵，，
∴，
∴对任意实数，为定值，定值为.
（2），
，得证.
（3）依题意可得，
因为在上均单调递增，
易知在上单调递增，
且，即，
由零点存在定理可得在上存在唯一实数，使得，
可得有唯一的正零点，且，，
可得，两边同时取对数可得，
所以，
因为在上单调递增，
所以，
因此，
可得．
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