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浙江省杭州市临平区树兰实验学校2025-2026学年上学期九年级数学期末独立作业 （1月）
1．（2026九上·临平期末）下列说法正确的是（　　）
A．“经过有交通信号的路口遇到红灯”是必然事件
B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次
C．投掷一枚硬币正面朝上是随机事件
D．明天太阳从东方升起是随机事件
【答案】C
【知识点】事件的分类；概率的意义；事件发生的可能性
【解析】【解答】A、“经过有交通信号的路口遇到红灯”是随机事件，故A不符合题意；
B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次可能投中6次，故B不符合题意；
C、投掷一枚硬币正面朝上是随机事件，故C符合题意；
D、明天太阳从东方升起是必然事件，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件及事件发生的可能性的大小，对各选项逐一判断可得答案．
2．（2026九上·临平期末）将抛物线向下平移3个单位长度，得到的新抛物线对应的函数解析式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式是，
故答案为：A．
【分析】利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求解即可.
3．（2026九上·临平期末）如图，在中，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求余弦值
【解析】【解答】解：根据锐角三角函数的定义，可得，
故答案为：D．
【分析】
根据锐角三角函数的定义即可求解．
4．（2026九上·临平期末）和是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是，，的中点，若的面积是2，则的面积是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵点D，E，F分别是，，的中点，
∴，
∴和的相似比是，
∴，即，
解得：．
故答案为：D．
【分析】
由位似的性质得到，再根据相似三角形的性质及中位线的性质即可解答．
5．（2026九上·临平期末）在半径为12cm的圆中，长为cm的弧所对的圆心角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设所对圆心角的度数为n，
由题意，得，
解得，
故答案为：B．
【分析】
根据弧长公式，列出方程即可求解．
6．（2026九上·临平期末）如图为一座拱形桥示意图，桥身AB（弦AB）长度为8，半径OC垂直AB于点D，，则桥拱高CD为（　　）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接OA，如图所示：
∵OC⊥AB，AB=8，
∴AD=BD=AB=4，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，OA==5，
∴OC=OA=5，
∴CD=OC-OD=2，
故答案为：C．
【分析】根据垂径定理、勾股定理进行计算即可.
7．（2026九上·临平期末）一个不透明的袋子里装有4个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀；不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（　　）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】A
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.2附近，故摸到白球的频率会接近0.2，
∵袋中白球的个数为4，
∴估计袋子中共有个球，
则可估计袋子中黑球的个数为个，
故答案为：A．
【分析】
根据统计图可知摸到白球的频率稳定到的常数，再根据大量重复试验中事件发生的频率等于事件发生的概率，确定出摸到白球的概率，再由概率公式即可计算答案.
8．（2026九上·临平期末）二次函数的图象如图所示，给出下列说法中：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵图象开口向下，
∴ ，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，，
∵抛物线交轴于正半轴，
∴，
∴，故正确；
∵当时，，
∴，故正确；
∵图象和轴交于两点，
∴，故正确；
由图象可知，当时，，故正确；
所以正确的序号是，共5个．
故答案为：D．
【分析】
根据二次函数图象的开口可确定，再结合对称轴，可确定，图象与轴的交点位置，可确定，由此可以判断①，令x=1代入函数求函数值，即可判断②，根据图象与轴的交点个数可确定判断③，根据对称轴公式判断④，结合图象及不等式之间的关系判断⑤.
9．（2026九上·临平期末）已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点A，B都在直线的下方，且则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 二次函数（a是常数，） 可得开口向上，对称轴为
∴二次函数图象上的点，离对称轴越远越大，
当h或者时，，
∵ 点A，B都在直线 的下方， 且
∴解得
∴
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，二次函数 开口向上，对称轴为，当h或者时，，再根据题意，列不等式求解即可。
10．（2026九上·临平期末）如图，在中，是角平分线的交点，若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值
【解析】【解答】解：∵，是角平分线，
∴，，
∴，
如图，过点O作，交于点F，
∵是角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理得出BC、AD，再过点O作的垂线，利用角平分线定理，结合正切函数的定义即可解答.
11．（2026九上·临平期末）二次函数 的图象的顶点坐标是　 　.
【答案】(2，3)
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由解析式可知，该二次函数图象的顶点坐标为(2，3).
故答案为：(2，3) .
【分析】二次函数的顶点坐标为(h，k).
12．（2026九上·临平期末）在分别写有数字，，的三张小卡片中卡片只有数字不同，其余完全一样，随机抽出两张卡片，则卡片上数字和为偶数的概率为　 　．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
　 2 3 5
2 　 (2，3) (2，5)
3 (3，2) 　 (3，5)
5 (5，2) (5，3) 　
共有6种等可能的结果，其中卡片上数字和为偶数的结果有：(3，5)，(5，3)，共2种，
∴卡片上数字和为偶数的概率为.
故答案为：.
【分析】根据题意，列出所有可能的情况，再根据概率的计算公式，求出卡片上数字和为偶数的概率.
13．（2026九上·临平期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD的度数是　 　．
【答案】136°．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】由圆周角定理得，∠A=∠BOD=44°，
由圆内接四边形的性质得，∠BCD=180°-∠A=136°
【分析】
根据圆周角定理及圆内接四边形的性质即可解答.
14．（2026九上·临平期末）黄金分割是构图的重要手法．如图，生成的图片中，是直径的两个黄金分割点，已知，则　 　．（答案保留根号）
【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意，可知，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据黄金分割点的定义，表示出，，之间的比例关系，列出比例式即可解答.（也可直接利用黄金分割比，计算出，再计算出）．
15．（2026九上·临平期末）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；求正弦值
【解析】【解答】解：如图，作，连接，
，
令正方形网格的边长为，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【分析】作，连接，可以得到，再利用勾股定理得到BE、AE、AB的长，得到，然后利用正弦的定义解题即可．
16．（2026九上·临平期末）如图，半圆的直径，点在半圆上，，点在上，于点，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理；解直角三角形；定角定弦辅助圆模型
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴点Q在以为直径的圆上，记该圆圆心为D，
如图，当点Q在上时最小，连接，
∵为直径，
∴，
∴，，
∴，即半径为3，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
由，可知点Q在以为直径的圆上，再由点圆最值模型，连接BD即可找到BQ的最小值，利用勾股定理及解三角形的知识即可解答.
17．（2026九上·临平期末）已知一个布袋里装有3个除颜色外，其余均完全相同的球，其中2个红球，1个白球．
（1）求摸出一个球是红球的概率；
（2）从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．列表或画树状图求两次都摸到红球的概率．
【答案】（1）解：由概率公式可得，摸出一个球是红球的概率是；
（2）解：由题意，列表如下：
第二次 第一次 白 红 红
白 白，白 白，红 白，红
红 红，白 红，红 红，红
红 红，白 红，红 红，红
由表可知，共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有4种，
故两次都摸到红球的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】
（1）根据题意，由概率公式计算即可解答；
（2）根据题意，利用列表法或画树状图法列出所有可能情况后，即可利用概率公式计算．
（1）解：由概率公式可得，摸出一个球是红球的概率是；
（2）解：由题意，列表如下：
第二次 第一次 白 红 红
白 白，白 白，红 白，红
红 红，白 红，红 红，红
红 红，白 红，红 红，红
由表可知，共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有4种，
故两次都摸到红球的概率为．
18．（2026九上·临平期末）有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为6，桥洞的跨度为12，如图建立直角坐标系．
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）求离对称轴2处，桥洞离水面的高是多少？
【答案】（1）解：由题意可得，抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，
∵抛物线过点，
∴，解得，
∴这条抛物线所对应的函数表达式为；
（2）解：由题意可知该抛物线的对称轴为，则对称轴右边2处为，
将代入，
可得，解得，
答：离对称轴2处，桥洞离水面的高是．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）结合题意，理解实际数量与抛物线的对应关系，设抛物线解析式为顶点式，然后根据抛物线过点，代入即可求解；
（2）根据题意，先求出抛物线的对称轴为，得出对称轴右边2处为，代入即可求解．
（1）解：由题意可得，抛物线顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
∵抛物线过点，
∴，解得，
∴这条抛物线所对应的函数表达式为；
（2）解：由题意可知该抛物线的对称轴为，则对称轴右边2处为，
将代入，
可得，解得，
答：离对称轴2处，桥洞离水面的高是．
19．（2026九上·临平期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接．有以下四个条件：①；②；③；④．
（1）请你从中任选一个条件，使得，并说明理由．
注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分．
（2）在（1）的前提下，若点为中点，，求线段的长．
【答案】（1）解：选择①，
∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵点为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）由AA判定三角形相似知，可选择①即可得证；
（2）由题意可得，，再由相似比可得，再代入计算即可．
（1）解：若选择①，
∵，，
∴；
若选择②，
∵，，
∴，
∵，
∴；
若选择③，
∵，
∴，
∵，
∴；
若选择④，
∵，而夹角不一定相等，
∴与不一定相似；
（2）解：∵，
∴，
∵点为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．（2026九上·临平期末）如图，是中的中点，点在上，交于点．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：点是的中点，∴，
∴，
，
∴．
（2）解：由（1）得．∴，即，
，，
∴，
∴或（不合题意，舍去），
∴．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）先利用点E为的中点，由圆周角定理得到，再借助公共角，由两个角分别相等的两个三角形相似即可证明；
（2）利用（1）中的相似三角形得到对应线段的比例关系，再代入得到关于的方程，求解即可．
（1）证明：点是的中点，
∴，
∴，
，
∴．
（2）解：由（1）得．
∴，即，
，，
∴，
∴或（不合题意，舍去），
∴．
21．（2026九上·临平期末）如图，在中，点分别在边上，连结，与相交于点．已知四边形是平行四边形，且．
（1）若，求线段的长．
（2）若四边形的面积为32，求的面积．
【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，∴．
∵，
∴，
∴，∴．
（2）解：由（1），得，，∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】
（1）先根据平行四边形的性质得出，再通过平行关系证出，，最后利用相似三角形的对应边成比例，通过比例关系求解即可；
（2）利用（1）中的相似三角形，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得到，最后求出图中三角形的面积关系，即可解答．
（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，∴．
∵，
∴，
∴，∴．
（2）由（1），得，，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
22．（2026九上·临平期末）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．
（1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）；
（2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．（参考数据：，，）
【答案】（1）解：如图，过点作于点，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为．
（2）解∶如图，过点作于点，于点，过点作于点，
则，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：线段的长度为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
（1）过点作于点，构造直角三角形后，利用余弦求，即可得的长度；
（2）过点作于点，于点，过点作于点，构造直角三角形后，解直角三角形，先求出和，再求出，利用得，即可求解．
（1）解：如图，过点作于点，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为．
（2）解∶如图，过点作于点，于点，过点作于点，
则，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：线段的长度为．
23．（2026九上·临平期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1）用含的式子表示，并求抛物线的对称轴．
（2）是直线下方抛物线上的一点．
①当时，求面积的最大值；
②点在轴上，当面积最大时，求的面积小于的面积时的取值范围．
【答案】（1）解：将点代入抛物线，
可得，解得；则，对称轴为直线．

（2）解：①若，则该抛物线的表达式为，，设直线的表达式为，则，解得，
∴直线的表达式为，
设，如图，过点作轴的垂线交于点，则，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值，为．
②设，
同①可得，
故当时，取得最大值，为，
，
令，
∵，
∴解得．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（1）将点的坐标代入抛物线解析式，求得与的关系，再结合对称轴为直线代入化简即可解答；
（2）①代入，求出抛物线与直线的表达式，如图，过点作轴的垂线交于点，设出点P的坐标，再根据坐标系中三角形面积的求解方法表示出的面积，通过二次函数的最值求解即可；
②同①，分别用含a的式子表示出面积的最大值和的面积，再列不等式求解即可．
（1）解：将点代入抛物线，
可得，解得；则，对称轴为直线．
（2）解：①若，则该抛物线的表达式为，，
设直线的表达式为，则，解得，
∴直线的表达式为，
设，如图，过点作轴的垂线交于点，则，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值，为．
②设，
同①可得，
故当时，取得最大值，为，
，
令，
∵，
∴解得．
24．（2026九上·临平期末）如图，四边形为的内接四边形，且．
（1）求的度数．
（2）若的半径为5．
①如图2，连结，求的长．
②如图3，连结，若平分，求的最大值．
（3）如图4，若是的直径，直接写出线段之间的等量关系．
【答案】（1）解：由图可知，四边形是圆内接四边形，
∴，
又，
∴，
∴；
（2）解：①如图，连接，，作于点E，
则，，
∴，
∴，
∴，
由垂径定理，得，
∴；
②连接，延长至点F，使得，则，
∵平分，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
由①，得，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴点F在以为弦，所对圆周角为60°的圆上，
∴当为所在圆直径时，的长最大，
此时，
∴，
∴，
∴，
∴，即为最大值，
∴的最大值为10；
（3）
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆与三角形的综合
【解析】【解答】（3）解：如图，延长，，交于点G，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又，
∴．
故答案为：．
【分析】
（1）根据圆内接四边形对角互补即可解答；
（2）①连接，，作于点E，利用圆周角定理，求出，再利用特殊角和垂径定理即可求出；
②利用60°角构造等边三角形， 将转化为相等的线段长，再利用定弦定角，找到这条相等线段的最大值即可；
（3）延长，，构造直角三角形，利用60°，30°角，找到线段之间的联系即可．
（1）解：由图可知，四边形是圆内接四边形，
∴，
又，
∴，
∴；
（2）解：①如图，连接，，作于点E，
则，，
∴，
∴，
∴，
由垂径定理，得，
∴；
②连接，延长至点F，使得，则，
∵平分，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
由①，得，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴点F在以为弦，所对圆周角为60°的圆上，
∴当为所在圆直径时，的长最大，
此时，
∴，
∴，
∴，
∴，即为最大值，
∴的最大值为10；
（3）解：如图，延长，，交于点G，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又，
∴．
1 / 1浙江省杭州市临平区树兰实验学校2025-2026学年上学期九年级数学期末独立作业 （1月）
1．（2026九上·临平期末）下列说法正确的是（　　）
A．“经过有交通信号的路口遇到红灯”是必然事件
B．已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次一定可投中6次
C．投掷一枚硬币正面朝上是随机事件
D．明天太阳从东方升起是随机事件
2．（2026九上·临平期末）将抛物线向下平移3个单位长度，得到的新抛物线对应的函数解析式为（　　）
A． B． C． D．
3．（2026九上·临平期末）如图，在中，，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2026九上·临平期末）和是位似图形，点O是位似中心，点D，E，F分别是，，的中点，若的面积是2，则的面积是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．（2026九上·临平期末）在半径为12cm的圆中，长为cm的弧所对的圆心角的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2026九上·临平期末）如图为一座拱形桥示意图，桥身AB（弦AB）长度为8，半径OC垂直AB于点D，，则桥拱高CD为（　　）
A．3 B．2.5 C．2 D．1.5
7．（2026九上·临平期末）一个不透明的袋子里装有4个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀；不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图．估计袋子里黑球的个数为（　　）
A．16 B．18 C．20 D．22
8．（2026九上·临平期末）二次函数的图象如图所示，给出下列说法中：①；②；③；④；⑤当时，．其中正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（2026九上·临平期末）已知二次函数（a是常数，）的图象上有和两点．若点A，B都在直线的下方，且则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2026九上·临平期末）如图，在中，是角平分线的交点，若，则的值是（　　）
A． B． C． D．
11．（2026九上·临平期末）二次函数 的图象的顶点坐标是　 　.
12．（2026九上·临平期末）在分别写有数字，，的三张小卡片中卡片只有数字不同，其余完全一样，随机抽出两张卡片，则卡片上数字和为偶数的概率为　 　．
13．（2026九上·临平期末）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠BOD=88°，则∠BCD的度数是　 　．
14．（2026九上·临平期末）黄金分割是构图的重要手法．如图，生成的图片中，是直径的两个黄金分割点，已知，则　 　．（答案保留根号）
15．（2026九上·临平期末）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为　 　．
16．（2026九上·临平期末）如图，半圆的直径，点在半圆上，，点在上，于点，则的最小值为　 　．
17．（2026九上·临平期末）已知一个布袋里装有3个除颜色外，其余均完全相同的球，其中2个红球，1个白球．
（1）求摸出一个球是红球的概率；
（2）从布袋里摸出1个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出1个球．列表或画树状图求两次都摸到红球的概率．
18．（2026九上·临平期末）有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为6，桥洞的跨度为12，如图建立直角坐标系．
（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）求离对称轴2处，桥洞离水面的高是多少？
19．（2026九上·临平期末）如图，在中，点，分别在边，上，连接．有以下四个条件：①；②；③；④．
（1）请你从中任选一个条件，使得，并说明理由．
注：如果选择多个结论分别作答，按第一个解答计分．
（2）在（1）的前提下，若点为中点，，求线段的长．
20．（2026九上·临平期末）如图，是中的中点，点在上，交于点．
（1）求证：．
（2）若，求的长．
21．（2026九上·临平期末）如图，在中，点分别在边上，连结，与相交于点．已知四边形是平行四边形，且．
（1）若，求线段的长．
（2）若四边形的面积为32，求的面积．
22．（2026九上·临平期末）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，，试管倾斜角为．
（1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度（结果精确到）；
（2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点在一条直线上），经测得：，，，求线段的长度（结果精确到）．（参考数据：，，）
23．（2026九上·临平期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
（1）用含的式子表示，并求抛物线的对称轴．
（2）是直线下方抛物线上的一点．
①当时，求面积的最大值；
②点在轴上，当面积最大时，求的面积小于的面积时的取值范围．
24．（2026九上·临平期末）如图，四边形为的内接四边形，且．
（1）求的度数．
（2）若的半径为5．
①如图2，连结，求的长．
②如图3，连结，若平分，求的最大值．
（3）如图4，若是的直径，直接写出线段之间的等量关系．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】事件的分类；概率的意义；事件发生的可能性
【解析】【解答】A、“经过有交通信号的路口遇到红灯”是随机事件，故A不符合题意；
B、已知某篮球运动员投篮投中的概率为0.6，则他投10次可能投中6次，故B不符合题意；
C、投掷一枚硬币正面朝上是随机事件，故C符合题意；
D、明天太阳从东方升起是必然事件，故D不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件及事件发生的可能性的大小，对各选项逐一判断可得答案．
2．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：将抛物线向下平移3个单位长度，得到新的抛物线的解析式是，
故答案为：A．
【分析】利用函数图象（解析式）平移的特征：左加右减，上加下减分析求解即可.
3．【答案】D
【知识点】求余弦值
【解析】【解答】解：根据锐角三角函数的定义，可得，
故答案为：D．
【分析】
根据锐角三角函数的定义即可求解．
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵点D，E，F分别是，，的中点，
∴，
∴和的相似比是，
∴，即，
解得：．
故答案为：D．
【分析】
由位似的性质得到，再根据相似三角形的性质及中位线的性质即可解答．
5．【答案】B
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设所对圆心角的度数为n，
由题意，得，
解得，
故答案为：B．
【分析】
根据弧长公式，列出方程即可求解．
6．【答案】C
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：连接OA，如图所示：
∵OC⊥AB，AB=8，
∴AD=BD=AB=4，
在Rt△AOD中，由勾股定理得，OA==5，
∴OC=OA=5，
∴CD=OC-OD=2，
故答案为：C．
【分析】根据垂径定理、勾股定理进行计算即可.
7．【答案】A
【知识点】利用频率估计概率；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：观察发现：随着实验次数的增加频率逐渐稳定到常数0.2附近，故摸到白球的频率会接近0.2，
∵袋中白球的个数为4，
∴估计袋子中共有个球，
则可估计袋子中黑球的个数为个，
故答案为：A．
【分析】
根据统计图可知摸到白球的频率稳定到的常数，再根据大量重复试验中事件发生的频率等于事件发生的概率，确定出摸到白球的概率，再由概率公式即可计算答案.
8．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系
【解析】【解答】解：∵图象开口向下，
∴ ，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，，
∵抛物线交轴于正半轴，
∴，
∴，故正确；
∵当时，，
∴，故正确；
∵图象和轴交于两点，
∴，故正确；
由图象可知，当时，，故正确；
所以正确的序号是，共5个．
故答案为：D．
【分析】
根据二次函数图象的开口可确定，再结合对称轴，可确定，图象与轴的交点位置，可确定，由此可以判断①，令x=1代入函数求函数值，即可判断②，根据图象与轴的交点个数可确定判断③，根据对称轴公式判断④，结合图象及不等式之间的关系判断⑤.
9．【答案】B
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 二次函数（a是常数，） 可得开口向上，对称轴为
∴二次函数图象上的点，离对称轴越远越大，
当h或者时，，
∵ 点A，B都在直线 的下方， 且
∴解得
∴
故答案为：B.
【分析】根据题意可得，二次函数 开口向上，对称轴为，当h或者时，，再根据题意，列不等式求解即可。
10．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值
【解析】【解答】解：∵，是角平分线，
∴，，
∴，
如图，过点O作，交于点F，
∵是角平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】
根据等腰三角形三线合一的性质及勾股定理得出BC、AD，再过点O作的垂线，利用角平分线定理，结合正切函数的定义即可解答.
11．【答案】(2，3)
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：由解析式可知，该二次函数图象的顶点坐标为(2，3).
故答案为：(2，3) .
【分析】二次函数的顶点坐标为(h，k).
12．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表如下：
　 2 3 5
2 　 (2，3) (2，5)
3 (3，2) 　 (3，5)
5 (5，2) (5，3) 　
共有6种等可能的结果，其中卡片上数字和为偶数的结果有：(3，5)，(5，3)，共2种，
∴卡片上数字和为偶数的概率为.
故答案为：.
【分析】根据题意，列出所有可能的情况，再根据概率的计算公式，求出卡片上数字和为偶数的概率.
13．【答案】136°．
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】由圆周角定理得，∠A=∠BOD=44°，
由圆内接四边形的性质得，∠BCD=180°-∠A=136°
【分析】
根据圆周角定理及圆内接四边形的性质即可解答.
14．【答案】
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：由题意，可知，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据黄金分割点的定义，表示出，，之间的比例关系，列出比例式即可解答.（也可直接利用黄金分割比，计算出，再计算出）．
15．【答案】
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；求正弦值
【解析】【解答】解：如图，作，连接，
，
令正方形网格的边长为，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为： ．
【分析】作，连接，可以得到，再利用勾股定理得到BE、AE、AB的长，得到，然后利用正弦的定义解题即可．
16．【答案】
【知识点】圆周角定理；解直角三角形；定角定弦辅助圆模型
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴点Q在以为直径的圆上，记该圆圆心为D，
如图，当点Q在上时最小，连接，
∵为直径，
∴，
∴，，
∴，即半径为3，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
由，可知点Q在以为直径的圆上，再由点圆最值模型，连接BD即可找到BQ的最小值，利用勾股定理及解三角形的知识即可解答.
17．【答案】（1）解：由概率公式可得，摸出一个球是红球的概率是；
（2）解：由题意，列表如下：
第二次 第一次 白 红 红
白 白，白 白，红 白，红
红 红，白 红，红 红，红
红 红，白 红，红 红，红
由表可知，共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有4种，
故两次都摸到红球的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【分析】
（1）根据题意，由概率公式计算即可解答；
（2）根据题意，利用列表法或画树状图法列出所有可能情况后，即可利用概率公式计算．
（1）解：由概率公式可得，摸出一个球是红球的概率是；
（2）解：由题意，列表如下：
第二次 第一次 白 红 红
白 白，白 白，红 白，红
红 红，白 红，红 红，红
红 红，白 红，红 红，红
由表可知，共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有4种，
故两次都摸到红球的概率为．
18．【答案】（1）解：由题意可得，抛物线顶点坐标为，设抛物线解析式为，
∵抛物线过点，
∴，解得，
∴这条抛物线所对应的函数表达式为；
（2）解：由题意可知该抛物线的对称轴为，则对称轴右边2处为，
将代入，
可得，解得，
答：离对称轴2处，桥洞离水面的高是．
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】（1）结合题意，理解实际数量与抛物线的对应关系，设抛物线解析式为顶点式，然后根据抛物线过点，代入即可求解；
（2）根据题意，先求出抛物线的对称轴为，得出对称轴右边2处为，代入即可求解．
（1）解：由题意可得，抛物线顶点坐标为，
设抛物线解析式为，
∵抛物线过点，
∴，解得，
∴这条抛物线所对应的函数表达式为；
（2）解：由题意可知该抛物线的对称轴为，则对称轴右边2处为，
将代入，
可得，解得，
答：离对称轴2处，桥洞离水面的高是．
19．【答案】（1）解：选择①，
∵，，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵点为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）由AA判定三角形相似知，可选择①即可得证；
（2）由题意可得，，再由相似比可得，再代入计算即可．
（1）解：若选择①，
∵，，
∴；
若选择②，
∵，，
∴，
∵，
∴；
若选择③，
∵，
∴，
∵，
∴；
若选择④，
∵，而夹角不一定相等，
∴与不一定相似；
（2）解：∵，
∴，
∵点为中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．【答案】（1）证明：点是的中点，∴，
∴，
，
∴．
（2）解：由（1）得．∴，即，
，，
∴，
∴或（不合题意，舍去），
∴．
【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（1）先利用点E为的中点，由圆周角定理得到，再借助公共角，由两个角分别相等的两个三角形相似即可证明；
（2）利用（1）中的相似三角形得到对应线段的比例关系，再代入得到关于的方程，求解即可．
（1）证明：点是的中点，
∴，
∴，
，
∴．
（2）解：由（1）得．
∴，即，
，，
∴，
∴或（不合题意，舍去），
∴．
21．【答案】（1）解：∵四边形是平行四边形，∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，∴．
∵，
∴，
∴，∴．
（2）解：由（1），得，，∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】
（1）先根据平行四边形的性质得出，再通过平行关系证出，，最后利用相似三角形的对应边成比例，通过比例关系求解即可；
（2）利用（1）中的相似三角形，由相似三角形的面积比等于相似比的平方得到，最后求出图中三角形的面积关系，即可解答．
（1）∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，∴．
∵，
∴，
∴，∴．
（2）由（1），得，，
∴．
又∵，
∴．
∴．
∵，
∴．
22．【答案】（1）解：如图，过点作于点，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为．
（2）解∶如图，过点作于点，于点，过点作于点，
则，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：线段的长度为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
（1）过点作于点，构造直角三角形后，利用余弦求，即可得的长度；
（2）过点作于点，于点，过点作于点，构造直角三角形后，解直角三角形，先求出和，再求出，利用得，即可求解．
（1）解：如图，过点作于点，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为．
（2）解∶如图，过点作于点，于点，过点作于点，
则，
，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
答：线段的长度为．
23．【答案】（1）解：将点代入抛物线，
可得，解得；则，对称轴为直线．

（2）解：①若，则该抛物线的表达式为，，设直线的表达式为，则，解得，
∴直线的表达式为，
设，如图，过点作轴的垂线交于点，则，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值，为．
②设，
同①可得，
故当时，取得最大值，为，
，
令，
∵，
∴解得．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数-面积问题
【解析】【分析】
（1）将点的坐标代入抛物线解析式，求得与的关系，再结合对称轴为直线代入化简即可解答；
（2）①代入，求出抛物线与直线的表达式，如图，过点作轴的垂线交于点，设出点P的坐标，再根据坐标系中三角形面积的求解方法表示出的面积，通过二次函数的最值求解即可；
②同①，分别用含a的式子表示出面积的最大值和的面积，再列不等式求解即可．
（1）解：将点代入抛物线，
可得，解得；则，对称轴为直线．
（2）解：①若，则该抛物线的表达式为，，
设直线的表达式为，则，解得，
∴直线的表达式为，
设，如图，过点作轴的垂线交于点，则，
∴，
∴，
∴当时，取得最大值，为．
②设，
同①可得，
故当时，取得最大值，为，
，
令，
∵，
∴解得．
24．【答案】（1）解：由图可知，四边形是圆内接四边形，
∴，
又，
∴，
∴；
（2）解：①如图，连接，，作于点E，
则，，
∴，
∴，
∴，
由垂径定理，得，
∴；
②连接，延长至点F，使得，则，
∵平分，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
由①，得，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴点F在以为弦，所对圆周角为60°的圆上，
∴当为所在圆直径时，的长最大，
此时，
∴，
∴，
∴，
∴，即为最大值，
∴的最大值为10；
（3）
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；圆与三角形的综合
【解析】【解答】（3）解：如图，延长，，交于点G，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又，
∴．
故答案为：．
【分析】
（1）根据圆内接四边形对角互补即可解答；
（2）①连接，，作于点E，利用圆周角定理，求出，再利用特殊角和垂径定理即可求出；
②利用60°角构造等边三角形， 将转化为相等的线段长，再利用定弦定角，找到这条相等线段的最大值即可；
（3）延长，，构造直角三角形，利用60°，30°角，找到线段之间的联系即可．
（1）解：由图可知，四边形是圆内接四边形，
∴，
又，
∴，
∴；
（2）解：①如图，连接，，作于点E，
则，，
∴，
∴，
∴，
由垂径定理，得，
∴；
②连接，延长至点F，使得，则，
∵平分，
∴，
∴，
又，
∴是等边三角形，
由①，得，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴点F在以为弦，所对圆周角为60°的圆上，
∴当为所在圆直径时，的长最大，
此时，
∴，
∴，
∴，
∴，即为最大值，
∴的最大值为10；
（3）解：如图，延长，，交于点G，
∵为直径，
∴，
∴，
∴，，
∴，
又，
∴．
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