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1.2 运动的合成与分解
1.理解合运动和分运动的概念，知道合运动和分运动是同时发生的，且互不影响。
2.知道运动的合成和分解的方法遵循平行四边形法则。
3.能够运用平行四边形法则解决有关位移、速度合成和分解的问题。
【复习巩固】力的合成与分解遵循平行四边形定则，想一想还有哪些物理量也遵循这个定则呢？
F
F2
速度、加速度、位移……
F1
这些物理量有什么特征？
提示：都是矢量
合矢量
1.合矢量与分矢量的关系可转化为平行四边形的对角线和邻边的关系。
分矢量
分矢量
2.矢量的运算可以转化为几何运算。
3.解决运动的合成与分解问题时，关键是作图（平行四边形）。
知识点一　矢量的合成与分解
知识点二　位移和速度的合成与分解
取一块橡皮用一根细线拴住，把细线的另一端用图钉固定在竖直放置的木板上。按图所示的方法，用铅笔靠着细线的左侧沿直尺向右匀速移动，再向左移动，来回做几次，仔细观察橡皮的运动轨迹。
结合实验现象说明：(1)橡皮参与了哪些运动？
(2)橡皮的实际运动是怎样的？
提示:(1)参与了随笔向右的运动和随绳向上的运动。
(2)实际运动是斜向上的运动。
（1）中运动和（2）中运动有什么关系？
在物理学中，如果一个物体实际发生的运动产生的效果跟另外两个运动产生的效果相同，我们就把物体的实际运动叫做这两个运动的合运动，这两个运动叫做这一实际运动的分运动。
1. 运动的合成与分解
由分运动求合运动的过程，叫作运动的合成；
由合运动求分运动的过程，叫作运动的分解。
2.合运动与分运动的关系：
等时性——合运动和分运动经历的时间相等。
独立性——各分运动独立进行，互不影响。
等效性——各分运动的规律叠加起来和合运动的规律等效。
同一性——针对同一物体。
3. 合位移（或合速度）、分位移（分速度）：
合运动的位移（或速度）叫作合位移（或合速度）；
分运动的位移（分速度）叫作分位移（分速度）。
4.运动的合成与分解即为描述运动的物理量的合成与分解，都遵循平行四边形定则。
位移合成与分解
速度合成与分解
加速度合成与分解
x
x2
x1
v
v2
v1
a
a2
a1
知识点三　合运动的性质判断
1.互成角度的两个匀速直线运动的合运动是？
v
v1
v2
匀速直线运动
2.互成角度的一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动是？
v
v1
v2
a1
匀变速曲线运动
3.两个匀变速直线运动的合运动是？
⑴若合初速度方向与合加速度方向在同一条直线上时，是什么运动？
v
v1
v2
a1
a2
a
v
v1
v2
a1
a2
a
匀变速直线运动 (a合与v合共线)
⑵若合初速度方向与合加速度方向不在同一条直线上时，是什么运动？
匀变速曲线运动(a合与v合不共线)
归纳总结：判断几个分运动的合运动性质，可先把各分运动的合速度v以及合加速度a求出来
判断直线还是曲线运动关键看a 与v 是否同一直线；判断匀变速还是非匀变速关键看a 是否恒定
【思考】
(1)合运动的速度是否等于分运动速度的代数和？
(2)合运动的时间是否等于分运动的时间之和？
(3)合运动一定是实际发生的运动吗？
提示：(1)不是，合运动的速度等于分运动速度的矢量和。
(2)不是，合运动与分运动的时间相等。
(3)是。
【例题】某商场设有步行楼梯和自动扶梯，步行楼梯每级的高度是 0.15 m，自动扶梯与水平面的夹角为 30°，自动扶梯前进的速度是 0.76 m/s。有甲、乙两位顾客，分别从自动扶梯和步行楼梯的起点同时上楼，甲在自动扶梯上站立不动，乙在步行楼梯上以每秒上两个台阶的速度匀速上楼（如图所示）。哪位顾客先到达楼上？如果该楼层高4.56 m，甲上楼用了多少时间？
分析： 甲、乙两位顾客在竖直方向上的位移相等，可考虑比较他们在竖直方向的分速度。由竖直方向的位移和竖直方向的速度，可求出上楼所用的时间。
解：如图所示，甲在竖直方向的速度
v甲y＝v甲sinθ ＝ 0.76 ×sin 30°m/s＝0.38 m/s
乙在竖直方向的速度
因此 v甲y > v 乙 ，甲先到楼上。 v乙= m/s=0.3m/s
t甲= = s=12 s
甲比乙先到达楼上，甲上楼用了 12 s。
30°
v甲y

v甲
知识点四　运动合成与分解的应用——小船渡河问题
(1)他会在对岸的正前方到达，还是会偏向上游或下游？为什么？
(2)人参与了哪些方向的运动？
若人在河中始终保持头朝正前方游向对岸，你认为：
提示:(1)会在对岸的偏向下游处到达。水流动时，会让人在水流方向产生一定的位移。
(2)人参与了随水流沿河岸向下游的运动及垂直河岸向对岸游的运动。
1.小船渡河运动分析
（1）将船实际的运动看成船在静水中的运动和船随水流的运动的合运动。
（2）小船渡河问题涉及的三个速度
①分速度：水流的速度；
②分速度：船在静水中的速度；
③合速度v：表示船实际航行的速度。
(1)欲使船在最短时间内渡河，小船在静水中的速度应全部用于过河，因此船头应朝垂直河岸方向，当船头垂直河岸时，如图甲所示，合速度为倾斜方向
则最短渡河时间=
v2
v1
v
2.小船渡河问题的常见三种情况
(2)欲使小船渡河航程最短:
①若，则小船的合速度方向应垂直河岸，当船头方向与上游夹角θ满足cos θ＝时，合速度垂直于河岸，渡河位移最短，等于河宽d，如图乙所示
乙
丙
(2)欲使小船渡河航程最短:
②若，当船头方向（即方向）与合速度方向垂直时，渡河位移最短，等于。如图丙所示
1.关于运动的合成和分解，下列说法正确的是（　　）
A．合运动的时间等于两个分运动的时间之和
B．分运动是直线运动，则合运动必是直线运动
C．分运动是匀速直线运动，则合运动可能是曲线运动
D．分运动是匀变速直线运动，则合运动可能是曲线运动
D
A.0.1 m/s、0.5 m B. m/s、1.0 m C. m/s、2.0 m D.0.30 m/s、3.0 m
C
2.如图所示,长为1.0 m、一端封闭的玻璃管中注满清水,内有一个红蜡块能在水中以0.1 m/s的速度匀速上浮。在红蜡块从玻璃管底端上升的同时,使玻璃管水平匀速向右运动,测得红蜡块实际运动方向与水平方向的夹角为30°,则玻璃管水平移动的速度大小和红蜡块运动的位移大小分别为(　　)
3.飞机斜向上匀速飞行,方向与水平成30°角,已知飞机竖直方向上升的速度是180km/h，求10s内飞机的位移。
解析：飞机竖直方向的速度
则竖直方向的速度与合速度的关系为
10s内的位移
4.下雨是常见的自然现象，某次下雨时雨滴竖直下落到地面，匀速的收尾速度约10m/s，现因风的影响雨水下落时偏斜30°，求风速及雨滴实际落地时的速度。
解析：无风时，雨滴竖直下落，有风时，雨滴下落与竖直方向成300，如图。水平方向的速度即为风速
而雨滴实际落地速度
运动的合成与分解
矢量的合成与分解
位移与速度的合成与分解
合运动的性质的判断
运动合成与分解的应用
小船渡河问题
第1章 抛体运动
第2节 运动合成与分解的应用
——小船渡河与关联速度问题
若人在河中始终保持头朝正前方游向对岸，你认为他会在对岸的正前方到达，还是会偏向上游或下游？为什么？
对类似“小船渡河”的问题我们应该怎样分析呢？
会用运动合成与分解的方法分析小船渡河类问题。
会用运动合成与分解的方法分析绳杆连接物体类速度问题。
思考：小船实际发生的运动是什么样的？从合成与分解的角度可以怎样认识、理解船的运动？
一、小船渡河问题
船的实际运动 v（相对于河岸的运动）可看成是随水以速度 v水 漂流的运动和以速度 v船 相对于静水的划行运动的合运动。这两个分运动互不干扰,具有等时性。
思考1:假设河中各处水流速度均匀，那么水流的速度会影响到船的渡河时间吗？
思考2:调整船头的指向会影响船渡河的时间吗？影响船渡河时间的因素有哪些？
1. v船 的速度的分解
v船
v水
v∥
v⊥
v船
v∥
v⊥
v船
v⊥：渡河分速度（使船向对岸运动）=v船sinθ
v∥：沿河分速度（使船沿河运动）=v船cosθ
正交分解
真正能使船渡河到对岸的是v⊥分速度，影响船渡河时间的为v⊥分速度，而非水流速度。当船头指向垂直于河岸时，渡河分速度v⊥最大，渡河时间最短。
d
当v船 垂直于河岸时（即船头垂直河岸），渡河时间最短，最短时间
v船
v水
tmin=
v船
d
v
θ
tanθ=
v水
v船
v船
v水
v沿河岸的分速度
v垂直河岸的分速度
v船
v沿河岸的分速度
v垂直河岸的分速度
其最短时间与水流速度也无关
2.渡河时间最短
3.渡河位移最短
②若v水>v船，如图乙所示，从出发点A开始作矢量v水，再以v水末端为圆心，以v船的大小为半径画圆弧，自出发点A向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向。
当v合沿圆的切线方向时，合位移最短
这时船头与河岸夹角θ满足
cos θ＝
【例题1】河宽200 m，小船在静水中的速度4 m/s,水流速度3 m/s,
（1）为了尽快过河，小船要怎样行驶？过时间多长？小船会到达对岸什么位置？
（2）若想到达正对岸，船要怎么行驶？过河时间多长？
分析：
要尽快到达对岸，垂直河对岸的速度要达到最大，船头要始终垂直对岸行驶。如果要垂直过河，合速度则要垂直对岸，
解：
（1）要尽快过河船头要始终垂直对岸行驶。
过河时间:
已知:河宽d=200 m,船速v1=4 m/s,水流速度v2=3 m/s
船往下游方向移动的距离:
（2）要垂直过河，合速度则要垂直对岸
过河速度:
过河时间:
情景：如图，小船过河的时候停止不动了，需要用车从岸上拉到岸边
问题1：小车A和小船B的速度关系？
小车拉着绳子，车速等于绳速！
问题2：绳子拽着船，他们俩的速度相等吗？
由于他们之间有个夹角，所以速度不等
二、关联速度问题
①沿绳分一个速度，这个速度V1等于绳速。
②沿垂直绳方向分一个速度，这个速度V2改变绳的方向
我们可以把船的运动速度正交分解为两个不同方向的速度
问题3：绳子和船之间的速度有什么关系呢
由几何关系可知：
v=v绳=v1。
1．模型特点
方法：v∥与v⊥的合成遵循平行四边形定则。
分速度→
其一：沿绳（杆）的速度v∥
其二：与绳（杆）垂直的速度v⊥
沿绳(杆)方向的速度分量大小相等。
2．思路与方法
合速度→绳(杆)拉物体的实际运动速度v
绳牵联模型
杆牵联模型
解题四步：
①画出合速度——物体的实际运动方向；
②画出分速度——沿绳(杆)、垂直于绳(杆)；
③作矩形；
④沿绳(杆)方向的分速度大小相等。
3．解题原则：根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解。常见步骤如下：
例2: 均匀直杆上连着两个小球A、B，不计一切摩擦。当杆滑到如图位置时，B球的水平速度为VB，杆与竖直夹角为a，求此时A球的速度大小。
B
a
A
题型一: 绳（杆）端速度分解模型
例3：如图所示，是楔形木块B放在光滑水平平面上靠边处并用手扶着，然后再木块和墙面之间放入一个小球A，楔形木块的倾角为a，放手让小球和木块同时由静止开始运动，某一时刻二者速度分别为VA和VB，则（ ）
A. VA:VB=1:1
B. VA:VB=sina : cosa
C. VA:VB=cosa : sina
D. VA:VB=sina : tana
a
解析：
a
垂直于接触面方向上分速度相等
VA
VB
题型二：接触面速度问题
1.一轮船船头垂直于河岸以一定的速度向对岸行驶，当河水匀速流动时，轮船所通过的路程、过河所用的时间与水流速度的关系正确的是(　　)
A．水速越大，路程越长，时间越长
B．水速越大，路程越短，时间越短
C．水速越大，路程和时间都不变
D．水速越大，路程越长，时间不变
D
2.如图，有一条宽为100 m的河道，一小船从岸边的某点渡河，渡河过程中保持船头指向与河岸始终垂直。已知小船在静水中的速度大小为4 m/s，水流速度大小为3 m/s。下列说法正确的是(　　)
A．小船在河水中航行的轨迹是曲线
B．小船渡河过程中的位移大小为100 m
C．小船在河水中的速度大小是7 m/s
D．小船渡河的时间是25 s
D
3.如图所示，绳子通过固定在天花板上的定滑轮，两端分别与同一水平面上的A、B两物体连接，当两物体到达如图所示位置时，绳与水平面的夹角分别为、，两物体的速度大小分别为、，已知、，则与之比为（　　）
A．3 4 B． 4 C． 4 D． 5
A
4.图中套在竖直细杆上的环A由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳与重物B相连，由于B的质量较大，故在释放B后，A将沿杆上升，当A环上升至与定滑轮的连线处于水平位置时，其上升速度v1≠0，若这时B的速度为v2，则 (　　)
D
A．v2＝v1 B．v2>v1
C．v2≠0 D．v2＝0
小船渡河模型
两类常见问题:
1、渡河时间最短
船头垂直于河岸航行即可
2、渡河位移最短
①v船 > v水，船能垂直过河，位移最短
②v水>v船，过河位移最短须满足v船 ⊥ v合
解题四步：
①画出合速度——物体的实际运动方向；
②画出分速度——沿绳(杆)、垂直于绳(杆)；
③作矩形；
④沿绳(杆)方向的分速度大小相等。
关联速度模型

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