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江苏省南通市海安市十三校2025年中考一模数学试题
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）
1．（2025·海安模拟）据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为10870元.10870这个数用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得10870这个数用科学记数法表示为，
故答案为：B
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
2．（2025·海安模拟）下列运算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、与不能合并，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据平方差公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方进行计算，即可逐项判断．
3．（2025·海安模拟）如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若，则的度数为（　　）
A．42° B．48° C．52° D．60°
【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，延长该直角三角形一边，与该矩形纸片一边的交点记为点A，
由矩形对边平行，可得∠1=∠BAC，
因为BC⊥AB，
∴∠BAC+∠2=90°，
∴∠1+∠2=90°，
因为∠1=48°，
∴∠2=42°；
故选：A．
【分析】先通过作辅助线，利用平行线的性质将∠1转化到∠BAC，再利用直角三角形两锐角互余即可求出∠2．
4．（2025·海安模拟）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为(　　)
A．16 B．20 C．24 D．28
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意知=20%，
解得a=20，
经检验：a=20是原分式方程的解，
故答案为：B．
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此结合概率公式建立方程，求解即可.
5．（2025·海安模拟）如图，在扇形中，已知，，过的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】连接OC
点为的中点
在和中
又
四边形CDOE为正方形
由扇形面积公式得
故选B．
【分析】
连接OC，根据已知条件先证明，再由全等的性质和正方形的判定得出四边形CDOE为正方形，最后阴影部分的面积等于扇形AOB的面积剪去正方形CDOE的面积即可解答．
6．（2025·海安模拟）关于x的一元二次方程x2﹣（a+2）x+a＝0根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵
∴关于x的一元二次方程x2﹣（a+2）x+a＝0有两个不相等的实数根
故答案为：A．
【分析】
计算一元二次方程的判别式，再根据判别式的符号判断根的情况．
7．（2025·海安模拟）关于x的不等式组的整数解仅有5个，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解得：，
关于的不等式组的整数解仅有5个，
，
解得：，
故答案为：C．
【分析】
先解出不等式组的解集，再根据整数解仅有5个，列出关于的不等式，即可解答．
8．（2025·海安模拟）如果一个函数同时满足条件：①图象经过点；②图象经过第四象限；③当时，y随x的增大而减小，那么这个函数解析式可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①图象经过点；②图象经过第四象限；可排除B；
③当时，y随x的增大而减小，可直接排除A；
对于，其对称轴为：，
∴在，y随x的增大而增大，故排除C；
对于，其对称轴为：，
∴当时，y随x的增大而减小，故D都符合；
故答案为：D．
【分析】
根据一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，及函数图象点特征，分别判断四个选项即可解答．
9．（2025·海安模拟）如图，平行四边形OABC的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是18，则点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：反比例函数的图象经过点
，
，
反比例函数，
经过原点O，
设的解析式为，
经过点，
则，
，
的解析式为，
反比例函数经过点C，
设，且，
四边形是平行四边形，
，，
点B的纵坐标为，
的解析式为，
∴，
∴
，
，
，
，
解得：或（舍去），
点B的坐标是，
故答案为：A．
【分析】
先由得到的解式为，反比例函数，设，且，由平行四边形的性质得，，则，， 根据平行四边形的面积是18列出方程即可求解．
10．（2025·海安模拟）已知二次函数，经过点．当时，的取值范围为或，则如下四个值中有可能为c的是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：当时，，
，
当时，的取值范围为或，
或是方程的两个根，
，
，
，
是函数的对称轴，且，
，
函数经过点，
，
，
，
，
，
，
设抛物线，
令，解得，
令，解得，
根据抛物线开口向上，
的解集为或
的可能取值为2，
故答案为：A．
【分析】
由时，的取值范围为或，可得二次函数的开口向上， 或是方程的两个根，则有，再将点代入函数解析式得，利用的取值范围确定的取值范围即可求解．
二、填空题（本大题共有8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分）
11．（2025·海安模拟）分解因式：m2n﹣4n＝　 　.
【答案】n（m+2）（m-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：m2n﹣4n=n（m2-4）=n（m+2）（m-2）.
故答案为：n（m+2）（m-2）.
【分析】观察次多项式的特点：含有公因式n，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式.
12．（2025·海安模拟）若单项式 与单项式 是同类项，则 　 　.
【答案】4
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：∵单项式 与单项式 是同类项，
∴m-1=2，n+1=2，
解得：m=3，n=1.
∴m+n=3+1=4.
故答案为：4.
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项.可列式子m-1=2，n+1=2，分别求出m，n的值，再代入求解即可.
13．（2025·海安模拟）点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为　 　．
【答案】（2，﹣3）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P（2，3）
∴关于x轴的对称点的坐标为：（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
【分析】依据关于x轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等进行解答即可.
14．（2025·海安模拟）如图，是内任意一点，分别为上的点，且与是位似三角形，位似中心为．若则与的位似比为　 　．
【答案】
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O，
∴△ABC与△DEF的位似比为：.
故答案为：.
【分析】
根据△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O，△ABC与△DEF的位似比为OA与OD的比值，即可解答．
15．（2025·海安模拟）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔30海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为　 　海里（结果保留根号）．
【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：，，，海里，
在中，，，
海里，
海里，
在中，，，
海里，
海里，
故答案为：．
【分析】
如图，结合题意，分别在、中解出和．
16．（2025·海安模拟）若，，，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：实数，且、满足，，
与为方程的两根，
，，
，
故答案为：．
【分析】
根据题意，、为方程的两根，由根与系数的关系得到，，再整体代入求值即可．
17．（2025·海安模拟）如图，在中，，，点分别为的中点，点P从A点向D点运动，点Q在上，且，连接，过点Q作交与点F，设点P运动的路程为x，的面积为，则y与x之间关系为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点作于点，延长交的延长线于点，如图，
点、分别为，的中点，
，，
，
，
，
四边形为矩形，
．
，，
．
，
，
．
为等腰直角三角形，
．
设，
由题意得：，则，
，
，
．
，
，
，
．
，
，
，
，
解得：，
．
．
，
，
由题意：的取值范围为：，
故答案为：．
【分析】
过点作于点，延长交的延长线于点，先得到矩形，等腰直角三角形，结合等腰直角三角形和矩形的性质，设，由题意得：，则，根据相似三角形的判定和性质列出比例关系，用ｘ表示ｍ，再利用求得与之间关系，最后结合题意写出自变量x的取值范围即可.
18．（2025·海安模拟）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；胡不归模型；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：把代入得：，
解得，
抛物线的解析式为，、
，
抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线；
如图，连接，过作于，交抛物线对称轴直线于，设直线交轴于，
在中，令得，
解得或，
，
，
将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点，
，，
，
，
，
，
，
由垂线段最短可知，当与重合时，最小，最小值为的长度，
，
，
的最小值为．
故答案为：
【分析】
把和代入解析式先求出抛物线解析式，连接，过作于，交抛物线对称轴直线于，设直线交轴于，，，，可得，，得，从而，由垂线段最短可知，当与重合时，最小，最小值为的长度，如图，由两种方法表示△ABM的面积，运用等积法即可求出的最小值.
三、解答题（本大题共有8小题，共90分）
19．（2025·海安模拟）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解分式方程：．
【答案】(1)解：原式 ；
当时，原式；
(2)解：去分母得，
解得
检验：当，
∴是原方程的根
∴原方程的根为．
【知识点】利用整式的加减运算化简求值；去分母法解分式方程
【解析】【分析】
（1）先根据完全平方公式及整式乘法将代数式化简，再代入求值即可；
（2）该分式方程的最简公分母为，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，最后检验方程的解即可
20．（2025·海安模拟）为了解A、B两种铁观音茶叶的亩产量，工作人员从两种类型的铁观音中各随机抽取10亩，在完全相同条件下试验，统计了茶叶的亩产量（单位：千克/亩），并进行整理、描述和分析（亩产量用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：
10亩A型铁观音茶叶的亩产量：50，54，55，55，55，57，57，58，59，60．
10亩B型铁观音茶叶中“良好”等级包含的所有数据为：57，57，57，59．
抽取的A、B型铁观音亩产量统计表 B型铁观音茶叶亩产量扇形统计图
型号 A B
平均数 56 56
中位数 56 b
众数 a 57
方差 7.4 15.8
“优秀”等级所占百分比
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：　　，　　，　　．
（2）根据以上数据，你认为哪款茶叶更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若某市今年种植B型铁观音茶叶4000亩，估计今年B型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有多少亩？
【答案】（1）55；57；40
（2）解：款茶叶更好，
理由：因为款茶叶的中位数和众数都大于款茶叶的，所以款茶叶更好（答案不唯一）；
（3）解：（亩，
答：估计今年型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有亩．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：在50，54，55，55，55，57，57，58，59，60中，出现次数最多的是55，
众数，
型中“良好”等级有4个，占，“优秀”等级所占百分比为，
“合格”等级占，即，
把型数据从小到大排列后，第5个和第6个数都是57，
；
故答案为：55，57，40；
【分析】
（1）结合题干信息，由众数、中位数概念即可求出、的值，由型中“良好”等级占，“优秀”等级所占百分比为，可求出的值；
（2）比较型、型的中位数、众数可得答案（答案不唯一）；
（3）用样本估计总量，即可解答．
（1）解：在50，54，55，55，55，57，57，58，59，60中，出现次数最多的是55，
众数，
型中“良好”等级有4个，占，“优秀”等级所占百分比为，
“合格”等级占，即，
把型数据从小到大排列后，第5个和第6个数都是57，
；
故答案为：55，57，40；
（2）解：款茶叶更好，
理由：因为款茶叶的中位数和众数都大于款茶叶的，所以款茶叶更好（答案不唯一）；
（3）解：（亩，
答：估计今年型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有亩．
21．（2025·海安模拟）为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为_____，是_____事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）？
（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
【答案】（1），随机
（2）解：画出树状图如图：
由图可知，共12种等可能的结果，其中小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的情况只有1种，
∴．
恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率为.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：小丽随机抽取一个比赛项目，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“三字经”的情况只有1种，
∴，是随机事件；
故答案为：，随机；
【分析】
（1）直接利用概率公式，求解即可；
（2）画出树状图，再利用概率公式求解即可．
（1）解：小丽随机抽取一个比赛项目，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“三字经”的情况只有1种，
∴，是随机事件；
故答案为：，随机；
（2）画出树状图如图：
由图可知，共12种等可能的结果，其中小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的情况只有1种，
∴．
22．（2025·海安模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C．
（1）求一次函数解析式；
（2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集；
（3）点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标．
【答案】（1）解：反比例函数的图象经过点，，
，，
解得，，
，，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数的解析式为．

（2）或
（3）解：连接，，由题意，
，
设，
由题意，
解得，
或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点和原点型
【解析】【解答】（2）解：观察图象，不等式的解集为：或．
【分析】
（1）将，两点代入反比例函数 求出，的坐标，再利用待定系数法解一次函数解析式；
（2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可解决问题．
（3）先根据，求出的面积，设，根据三角形的面积构建方程即可解决问题．
（1）解：反比例函数的图象经过点，，
，，
解得，，
，，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数的解析式为．
（2）解：观察图象，不等式的解集为：或．
（3）解：连接，，由题意，
，
设，
由题意，
解得，
或．
23．（2025·海安模拟）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，垂足为M，的半径为10，求的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴直线是的切线．
（2）解：如图，∵是的直径，且于点M，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理可得∠OAD，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据垂径定理可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）证明：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴直线是的切线．
（2）解：如图，∵是的直径，且于点M，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．（2025·海安模拟）销售纪念品，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利w最大？最大利润是多少？
（3）商家每天销售纪念品获得的利润w不少于2250元时，纪念品的销售单价在什么范围？
【答案】（1）
（2）解：根据题意得：，
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为元
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元；
（3）解：∵利润不低于2250元，且，w随x增大而增大，
由得或，
∴．

【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：∴与之间的函数关系式为；
【分析】
（1）根据题意即可写出销售量与销售单价之间的函数关系写出与之间的函数关系式，再由销售单价不低于44元，且不高于52元写出自变量的取值范围；
（2）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润（元与销售价（元箱）之间的函数关系式，再由二次函数的增减性结合自变量的取值范围求得最大利润；
（3）结合二次函数的图象，即可解答．
（1）解：根据题意得：
∴与之间的函数关系式为；
（2）解：根据题意得：
，
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为元
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元；
（3）解：∵利润不低于2250元，
且，w随x增大而增大，
由得或，
∴．
25．（2025·海安模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点F是直线上方抛物线上的一动点，过点F作，交于点D，过点F作y轴的平行线交直线于点E，过点D作，交于点G，求的最大值及此时点E的坐标；
（3）在（2）问中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．
【答案】（1）解：抛物线交轴于两点，
设抛物线解析式为，
把代入抛物线可得，
，
解得，
抛物线解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
把，代入可得，
解得，
直线的解析式为，
在中，，
，
如图，
轴，
，
设点，则点，
则，
则，
，
，故当时，有最大值，为，此时点；
（3）或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（3）解：将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，则相当于向右平移了4个单位，向下平移了3个单位，则新抛物线的对称轴为直线，设点，
如图，当为对角线时，存在两种情况，可得，
，
解得，
则，
的中点为，即，
设，则可得，解得，
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时；
如图，当为边时，存在两种情况，当在下方时，
当时，，
，
，
，
，
根据勾股定理可得，
，
，
根据中点公式可得；
如图，当为边时，当在上方时，
可得，
根据勾股定理可得，
，
，
根据中点公式可得；
综上，或或或．
【分析】
（1）利用抛物线与x轴的两个交点，设抛物线解析为，再将代入即可求出函数解析式，最后再写出一般式；
（2）先求出直线的解析式，设，则点，再利用三角函数表示出的长，由此即可求解；
（3）根据矩形的性质分情况讨论，当是对角线时，由勾股定理和中点坐标公式，列出方程组即可求解；当是边时，同理可解．
（1）解：抛物线交轴于两点，
设抛物线解析式为，
把代入抛物线可得，
，
解得，
抛物线解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
把，代入可得，
解得，
直线的解析式为，
在中，，
，
如图，
轴，
，
设点，则点，
则，
则，
，
，故当时，有最大值，为，此时点；
（3）解：将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，则相当于向右平移了4个单位，向下平移了3个单位，
则新抛物线的对称轴为直线，设点，
如图，当为对角线时，存在两种情况，可得，
，
解得，
则，
的中点为，即，
设，则可得，解得，
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时；
如图，当为边时，存在两种情况，当在下方时，
当时，，
，
，
，
，
根据勾股定理可得，
，
，
根据中点公式可得；
如图，当为边时，当在上方时，
可得，
根据勾股定理可得，
，
，
根据中点公式可得；
综上，或或或．
26．（2025·海安模拟）某研究学习小组给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F．
（1）当点D在线段上时，如图，求证：；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在AB 上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图的证明过程：
探究问题：
（2）当点D在线段的延长线上时，如图：当点D在线段的延长线上时，如图，请判断线段，，之间的数量关系并证明；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若，面积是面积两倍，则的面积为______．
【答案】（1）证明：在边上截取，连接．
在中，．
，
．
又，
．
又，，
．
又，
．
．
．
．
，
．
是等边三角形．
，
，
；
（2）解：图②：当点D在线段的延长线上时，，证明如下：如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
图③：当点D在线段的延长线上时，，证明如下∶
如图所示，在上取点H使，
∵，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）或
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【解答】（3）解：如图所示，过E作于H，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵面积是面积两倍，
∴，又，
∴，则，
由（1）可知，，
∴，
在中，，
∴，则，
∴；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
∵，与矛盾，
∴不符合题意；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
∵，，
∴，则，
由（2）可知，，
∵，
∴，
过A作于M，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的面积为或．
【分析】
（1）在边上截取，连接，根据题意证明出，由全等三角形的性质得，然后由等边三角形的判定与性质得出，最后由线段的和差关系即可解答；
（2）图②：在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，首先证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可；
图③：在上取点H使，同理证明出，得到，，进而求解即可；
（3）根据勾股定理和含角直角三角形的性质求出，，然后结合，分别（1）（2）的条件下求出的长度，进而求解即可．
（1）证明：在边上截取，连接．
在中，．
，
．
又，
．
又，，
．
又，
．
．
．
．
，
．
是等边三角形．
，
，
；
（2）解：图②：当点D在线段的延长线上时，，证明如下：
如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
图③：当点D在线段的延长线上时，，证明如下∶
如图所示，在上取点H使，
∵，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过E作于H，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵面积是面积两倍，
∴，又，
∴，则，
由（1）可知，，
∴，
在中，，
∴，则，
∴；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
∵，与矛盾，
∴不符合题意；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
∵，，
∴，则，
由（2）可知，，
∵，
∴，
过A作于M，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的面积为或．
1 / 1江苏省南通市海安市十三校2025年中考一模数学试题
一、选择题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．）
1．（2025·海安模拟）据中国经济网资料显示，今年一季度全国居民人均可支配收入平稳增长，全国居民人均可支配收入为10870元.10870这个数用科学记数法表示正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·海安模拟）下列运算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·海安模拟）如图，将直角三角板放置在矩形纸片上，若，则的度数为（　　）
A．42° B．48° C．52° D．60°
4．（2025·海安模拟）在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球.若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为(　　)
A．16 B．20 C．24 D．28
5．（2025·海安模拟）如图，在扇形中，已知，，过的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·海安模拟）关于x的一元二次方程x2﹣（a+2）x+a＝0根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
7．（2025·海安模拟）关于x的不等式组的整数解仅有5个，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·海安模拟）如果一个函数同时满足条件：①图象经过点；②图象经过第四象限；③当时，y随x的增大而减小，那么这个函数解析式可能是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·海安模拟）如图，平行四边形OABC的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图象经过、两点．已知平行四边形的面积是18，则点B的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·海安模拟）已知二次函数，经过点．当时，的取值范围为或，则如下四个值中有可能为c的是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共有8小题，第11~12题每小题3分，第13~18题每小题4分，共30分）
11．（2025·海安模拟）分解因式：m2n﹣4n＝　 　.
12．（2025·海安模拟）若单项式 与单项式 是同类项，则 　 　.
13．（2025·海安模拟）点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为　 　．
14．（2025·海安模拟）如图，是内任意一点，分别为上的点，且与是位似三角形，位似中心为．若则与的位似比为　 　．
15．（2025·海安模拟）如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔30海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的北偏东方向上的B处，此时B处与灯塔P的距离为　 　海里（结果保留根号）．
16．（2025·海安模拟）若，，，则的值是　 　．
17．（2025·海安模拟）如图，在中，，，点分别为的中点，点P从A点向D点运动，点Q在上，且，连接，过点Q作交与点F，设点P运动的路程为x，的面积为，则y与x之间关系为　 　．
18．（2025·海安模拟）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．将拋物线的顶点向下平移个单位长度得到点M，点P为抛物线的对称轴上一动点，则的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共有8小题，共90分）
19．（2025·海安模拟）（1）先化简，再求值：，其中．
（2）解分式方程：．
20．（2025·海安模拟）为了解A、B两种铁观音茶叶的亩产量，工作人员从两种类型的铁观音中各随机抽取10亩，在完全相同条件下试验，统计了茶叶的亩产量（单位：千克/亩），并进行整理、描述和分析（亩产量用x表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：
10亩A型铁观音茶叶的亩产量：50，54，55，55，55，57，57，58，59，60．
10亩B型铁观音茶叶中“良好”等级包含的所有数据为：57，57，57，59．
抽取的A、B型铁观音亩产量统计表 B型铁观音茶叶亩产量扇形统计图
型号 A B
平均数 56 56
中位数 56 b
众数 a 57
方差 7.4 15.8
“优秀”等级所占百分比
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：　　，　　，　　．
（2）根据以上数据，你认为哪款茶叶更好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）若某市今年种植B型铁观音茶叶4000亩，估计今年B型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有多少亩？
21．（2025·海安模拟）为弘扬中华传统文化，某地近期举办了中小学生“国学经典大赛”．比赛项目为：A．唐诗；B．宋词；C．论语；D．三字经．比赛形式分“单人组”和“双人组”．
（1）小丽参加“单人组”，她从中随机抽取一个比赛项目，恰好抽中“三字经”的概率为_____，是_____事件（填“随机”或“不可能”或“必然”）？
（2）小红和小明组成一个小组参加“双人组”比赛，比赛规则是：同一小组的两名队员的比赛项目不能相同，且每人只能随机抽取一次，则恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率是多少？请用画树状图或列表的方法进行说明．
22．（2025·海安模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C．
（1）求一次函数解析式；
（2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集；
（3）点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标．
23．（2025·海安模拟）已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．
（1）求证：直线是的切线；
（2）若，垂足为M，的半径为10，求的长．
24．（2025·海安模拟）销售纪念品，每个纪念品进价40元，规定销售单价不低于44元，且不高于52元．销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300个，销售单价每上涨1元，每天销量减少10个．现商家决定提价销售，设每天销售量为y个，销售单价为x元．
（1）直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；
（2）求当每个纪念品的销售单价是多少元时，商家每天获利w最大？最大利润是多少？
（3）商家每天销售纪念品获得的利润w不少于2250元时，纪念品的销售单价在什么范围？
25．（2025·海安模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于两点，交轴于点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点F是直线上方抛物线上的一动点，过点F作，交于点D，过点F作y轴的平行线交直线于点E，过点D作，交于点G，求的最大值及此时点E的坐标；
（3）在（2）问中取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点，在平面内确定一点N，使得以点B、E、M、N为顶点的四边形是矩形，直接写出所有符合条件的点N的坐标．
26．（2025·海安模拟）某研究学习小组给出了一个问题，让同学们探究．在中，，点D在直线上，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，过点E作，交直线于点F．
（1）当点D在线段上时，如图，求证：；
分析问题：某同学在思考这道题时，想利用构造全等三角形，便尝试着在AB 上截取，连接，通过证明两个三角形全等，最终证出结论：
推理证明：写出图的证明过程：
探究问题：
（2）当点D在线段的延长线上时，如图：当点D在线段的延长线上时，如图，请判断线段，，之间的数量关系并证明；
拓展思考：
（3）在（1）（2）的条件下，若，面积是面积两倍，则的面积为______．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：由题意得10870这个数用科学记数法表示为，
故答案为：B
【分析】 把一个数写成a×10的形式(其中1＜|a|≤10 ， n为整数) ，这种记数的方法叫做科学记数法。
2．【答案】D
【知识点】平方差公式及应用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意；
B、与不能合并，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据平方差公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方进行计算，即可逐项判断．
3．【答案】A
【知识点】角的运算；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如图，延长该直角三角形一边，与该矩形纸片一边的交点记为点A，
由矩形对边平行，可得∠1=∠BAC，
因为BC⊥AB，
∴∠BAC+∠2=90°，
∴∠1+∠2=90°，
因为∠1=48°，
∴∠2=42°；
故选：A．
【分析】先通过作辅助线，利用平行线的性质将∠1转化到∠BAC，再利用直角三角形两锐角互余即可求出∠2．
4．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意知=20%，
解得a=20，
经检验：a=20是原分式方程的解，
故答案为：B．
【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此结合概率公式建立方程，求解即可.
5．【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】连接OC
点为的中点
在和中
又
四边形CDOE为正方形
由扇形面积公式得
故选B．
【分析】
连接OC，根据已知条件先证明，再由全等的性质和正方形的判定得出四边形CDOE为正方形，最后阴影部分的面积等于扇形AOB的面积剪去正方形CDOE的面积即可解答．
6．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】∵
∴关于x的一元二次方程x2﹣（a+2）x+a＝0有两个不相等的实数根
故答案为：A．
【分析】
计算一元二次方程的判别式，再根据判别式的符号判断根的情况．
7．【答案】C
【知识点】一元一次不等式组的特殊解；一元一次不等式组的含参问题
【解析】【解答】解：
解得：，
关于的不等式组的整数解仅有5个，
，
解得：，
故答案为：C．
【分析】
先解出不等式组的解集，再根据整数解仅有5个，列出关于的不等式，即可解答．
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①图象经过点；②图象经过第四象限；可排除B；
③当时，y随x的增大而减小，可直接排除A；
对于，其对称轴为：，
∴在，y随x的增大而增大，故排除C；
对于，其对称轴为：，
∴当时，y随x的增大而减小，故D都符合；
故答案为：D．
【分析】
根据一次函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质，及函数图象点特征，分别判断四个选项即可解答．
9．【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：反比例函数的图象经过点
，
，
反比例函数，
经过原点O，
设的解析式为，
经过点，
则，
，
的解析式为，
反比例函数经过点C，
设，且，
四边形是平行四边形，
，，
点B的纵坐标为，
的解析式为，
∴，
∴
，
，
，
，
解得：或（舍去），
点B的坐标是，
故答案为：A．
【分析】
先由得到的解式为，反比例函数，设，且，由平行四边形的性质得，，则，， 根据平行四边形的面积是18列出方程即可求解．
10．【答案】A
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：当时，，
，
当时，的取值范围为或，
或是方程的两个根，
，
，
，
是函数的对称轴，且，
，
函数经过点，
，
，
，
，
，
，
设抛物线，
令，解得，
令，解得，
根据抛物线开口向上，
的解集为或
的可能取值为2，
故答案为：A．
【分析】
由时，的取值范围为或，可得二次函数的开口向上， 或是方程的两个根，则有，再将点代入函数解析式得，利用的取值范围确定的取值范围即可求解．
11．【答案】n（m+2）（m-2）
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：m2n﹣4n=n（m2-4）=n（m+2）（m-2）.
故答案为：n（m+2）（m-2）.
【分析】观察次多项式的特点：含有公因式n，因此先提取公因式，再利用平方差公式分解因式.
12．【答案】4
【知识点】同类项的概念
【解析】【解答】解：∵单项式 与单项式 是同类项，
∴m-1=2，n+1=2，
解得：m=3，n=1.
∴m+n=3+1=4.
故答案为：4.
【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，相同字母的指数也相同的单项式是同类项.可列式子m-1=2，n+1=2，分别求出m，n的值，再代入求解即可.
13．【答案】（2，﹣3）
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵点P（2，3）
∴关于x轴的对称点的坐标为：（2，﹣3）．
故答案为：（2，﹣3）．
【分析】依据关于x轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标相等进行解答即可.
14．【答案】
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O，
∴△ABC与△DEF的位似比为：.
故答案为：.
【分析】
根据△ABC与△DEF是位似三角形，位似中心为O，△ABC与△DEF的位似比为OA与OD的比值，即可解答．
15．【答案】
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【解答】解：如图，
由题意得：，，，海里，
在中，，，
海里，
海里，
在中，，，
海里，
海里，
故答案为：．
【分析】
如图，结合题意，分别在、中解出和．
16．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：实数，且、满足，，
与为方程的两根，
，，
，
故答案为：．
【分析】
根据题意，、为方程的两根，由根与系数的关系得到，，再整体代入求值即可．
17．【答案】
【知识点】等腰三角形的判定与性质；二次函数-动态几何问题；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：过点作于点，延长交的延长线于点，如图，
点、分别为，的中点，
，，
，
，
，
四边形为矩形，
．
，，
．
，
，
．
为等腰直角三角形，
．
设，
由题意得：，则，
，
，
．
，
，
，
．
，
，
，
，
解得：，
．
．
，
，
由题意：的取值范围为：，
故答案为：．
【分析】
过点作于点，延长交的延长线于点，先得到矩形，等腰直角三角形，结合等腰直角三角形和矩形的性质，设，由题意得：，则，根据相似三角形的判定和性质列出比例关系，用ｘ表示ｍ，再利用求得与之间关系，最后结合题意写出自变量x的取值范围即可.
18．【答案】
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；胡不归模型；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：把代入得：，
解得，
抛物线的解析式为，、
，
抛物线开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线；
如图，连接，过作于，交抛物线对称轴直线于，设直线交轴于，
在中，令得，
解得或，
，
，
将抛物线的顶点向下平移个单位长度得到点，
，，
，
，
，
，
，
由垂线段最短可知，当与重合时，最小，最小值为的长度，
，
，
的最小值为．
故答案为：
【分析】
把和代入解析式先求出抛物线解析式，连接，过作于，交抛物线对称轴直线于，设直线交轴于，，，，可得，，得，从而，由垂线段最短可知，当与重合时，最小，最小值为的长度，如图，由两种方法表示△ABM的面积，运用等积法即可求出的最小值.
19．【答案】(1)解：原式 ；
当时，原式；
(2)解：去分母得，
解得
检验：当，
∴是原方程的根
∴原方程的根为．
【知识点】利用整式的加减运算化简求值；去分母法解分式方程
【解析】【分析】
（1）先根据完全平方公式及整式乘法将代数式化简，再代入求值即可；
（2）该分式方程的最简公分母为，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，最后检验方程的解即可
20．【答案】（1）55；57；40
（2）解：款茶叶更好，
理由：因为款茶叶的中位数和众数都大于款茶叶的，所以款茶叶更好（答案不唯一）；
（3）解：（亩，
答：估计今年型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有亩．
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：在50，54，55，55，55，57，57，58，59，60中，出现次数最多的是55，
众数，
型中“良好”等级有4个，占，“优秀”等级所占百分比为，
“合格”等级占，即，
把型数据从小到大排列后，第5个和第6个数都是57，
；
故答案为：55，57，40；
【分析】
（1）结合题干信息，由众数、中位数概念即可求出、的值，由型中“良好”等级占，“优秀”等级所占百分比为，可求出的值；
（2）比较型、型的中位数、众数可得答案（答案不唯一）；
（3）用样本估计总量，即可解答．
（1）解：在50，54，55，55，55，57，57，58，59，60中，出现次数最多的是55，
众数，
型中“良好”等级有4个，占，“优秀”等级所占百分比为，
“合格”等级占，即，
把型数据从小到大排列后，第5个和第6个数都是57，
；
故答案为：55，57，40；
（2）解：款茶叶更好，
理由：因为款茶叶的中位数和众数都大于款茶叶的，所以款茶叶更好（答案不唯一）；
（3）解：（亩，
答：估计今年型铁观音茶叶亩产量在“良好”等级及以上的有亩．
21．【答案】（1），随机
（2）解：画出树状图如图：
由图可知，共12种等可能的结果，其中小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的情况只有1种，
∴．
恰好小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的概率为.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：小丽随机抽取一个比赛项目，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“三字经”的情况只有1种，
∴，是随机事件；
故答案为：，随机；
【分析】
（1）直接利用概率公式，求解即可；
（2）画出树状图，再利用概率公式求解即可．
（1）解：小丽随机抽取一个比赛项目，共有4种等可能的结果，其中恰好抽中“三字经”的情况只有1种，
∴，是随机事件；
故答案为：，随机；
（2）画出树状图如图：
由图可知，共12种等可能的结果，其中小红抽中“唐诗”且小明抽中“宋词”的情况只有1种，
∴．
22．【答案】（1）解：反比例函数的图象经过点，，
，，
解得，，
，，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数的解析式为．

（2）或
（3）解：连接，，由题意，
，
设，
由题意，
解得，
或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点和原点型
【解析】【解答】（2）解：观察图象，不等式的解集为：或．
【分析】
（1）将，两点代入反比例函数 求出，的坐标，再利用待定系数法解一次函数解析式；
（2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可解决问题．
（3）先根据，求出的面积，设，根据三角形的面积构建方程即可解决问题．
（1）解：反比例函数的图象经过点，，
，，
解得，，
，，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数的解析式为．
（2）解：观察图象，不等式的解集为：或．
（3）解：连接，，由题意，
，
设，
由题意，
解得，
或．
23．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴直线是的切线．
（2）解：如图，∵是的直径，且于点M，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接，根据圆周角定理可得，根据等边对等角可得，再根据三角形内角和定理可得∠OAD，再根据切线判定定理即可求出答案.
（2）根据垂径定理可得，再根据含30°角的直角三角形性质可得，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）证明：如图，连接，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，且，
∴直线是的切线．
（2）解：如图，∵是的直径，且于点M，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
24．【答案】（1）
（2）解：根据题意得：，
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为元
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元；
（3）解：∵利润不低于2250元，且，w随x增大而增大，
由得或，
∴．

【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：根据题意得：∴与之间的函数关系式为；
【分析】
（1）根据题意即可写出销售量与销售单价之间的函数关系写出与之间的函数关系式，再由销售单价不低于44元，且不高于52元写出自变量的取值范围；
（2）根据销售利润销售量（售价进价），列出平均每天的销售利润（元与销售价（元箱）之间的函数关系式，再由二次函数的增减性结合自变量的取值范围求得最大利润；
（3）结合二次函数的图象，即可解答．
（1）解：根据题意得：
∴与之间的函数关系式为；
（2）解：根据题意得：
，
∵，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，最大值为元
∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润元最大，最大利润是2640元；
（3）解：∵利润不低于2250元，
且，w随x增大而增大，
由得或，
∴．
25．【答案】（1）解：抛物线交轴于两点，
设抛物线解析式为，
把代入抛物线可得，
，
解得，
抛物线解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
把，代入可得，
解得，
直线的解析式为，
在中，，
，
如图，
轴，
，
设点，则点，
则，
则，
，
，故当时，有最大值，为，此时点；
（3）或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；解直角三角形；二次函数-线段周长问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【解答】（3）解：将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，则相当于向右平移了4个单位，向下平移了3个单位，则新抛物线的对称轴为直线，设点，
如图，当为对角线时，存在两种情况，可得，
，
解得，
则，
的中点为，即，
设，则可得，解得，
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时；
如图，当为边时，存在两种情况，当在下方时，
当时，，
，
，
，
，
根据勾股定理可得，
，
，
根据中点公式可得；
如图，当为边时，当在上方时，
可得，
根据勾股定理可得，
，
，
根据中点公式可得；
综上，或或或．
【分析】
（1）利用抛物线与x轴的两个交点，设抛物线解析为，再将代入即可求出函数解析式，最后再写出一般式；
（2）先求出直线的解析式，设，则点，再利用三角函数表示出的长，由此即可求解；
（3）根据矩形的性质分情况讨论，当是对角线时，由勾股定理和中点坐标公式，列出方程组即可求解；当是边时，同理可解．
（1）解：抛物线交轴于两点，
设抛物线解析式为，
把代入抛物线可得，
，
解得，
抛物线解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
把，代入可得，
解得，
直线的解析式为，
在中，，
，
如图，
轴，
，
设点，则点，
则，
则，
，
，故当时，有最大值，为，此时点；
（3）解：将该抛物线沿射线方向平移5个单位长度，则相当于向右平移了4个单位，向下平移了3个单位，
则新抛物线的对称轴为直线，设点，
如图，当为对角线时，存在两种情况，可得，
，
解得，
则，
的中点为，即，
设，则可得，解得，
当时，，解得，此时；
当时，，解得，此时；
如图，当为边时，存在两种情况，当在下方时，
当时，，
，
，
，
，
根据勾股定理可得，
，
，
根据中点公式可得；
如图，当为边时，当在上方时，
可得，
根据勾股定理可得，
，
，
根据中点公式可得；
综上，或或或．
26．【答案】（1）证明：在边上截取，连接．
在中，．
，
．
又，
．
又，，
．
又，
．
．
．
．
，
．
是等边三角形．
，
，
；
（2）解：图②：当点D在线段的延长线上时，，证明如下：如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
图③：当点D在线段的延长线上时，，证明如下∶
如图所示，在上取点H使，
∵，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）或
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；旋转全等模型
【解析】【解答】（3）解：如图所示，过E作于H，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵面积是面积两倍，
∴，又，
∴，则，
由（1）可知，，
∴，
在中，，
∴，则，
∴；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
∵，与矛盾，
∴不符合题意；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
∵，，
∴，则，
由（2）可知，，
∵，
∴，
过A作于M，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的面积为或．
【分析】
（1）在边上截取，连接，根据题意证明出，由全等三角形的性质得，然后由等边三角形的判定与性质得出，最后由线段的和差关系即可解答；
（2）图②：在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，首先证明出是等边三角形，得到，然后求出，然后证明出，得到，，然后证明出是等边三角形，得到，进而求解即可；
图③：在上取点H使，同理证明出，得到，，进而求解即可；
（3）根据勾股定理和含角直角三角形的性质求出，，然后结合，分别（1）（2）的条件下求出的长度，进而求解即可．
（1）证明：在边上截取，连接．
在中，．
，
．
又，
．
又，，
．
又，
．
．
．
．
，
．
是等边三角形．
，
，
；
（2）解：图②：当点D在线段的延长线上时，，证明如下：
如图所示，在上取点H，使，连接并延长到点G使，连接，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∵线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∴，即，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴；
图③：当点D在线段的延长线上时，，证明如下∶
如图所示，在上取点H使，
∵，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∵将线段绕点A顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过E作于H，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵面积是面积两倍，
∴，又，
∴，则，
由（1）可知，，
∴，
在中，，
∴，则，
∴；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
∵，与矛盾，
∴不符合题意；
如图所示，当点D在线段的延长线上时，
∵，，
∴，则，
由（2）可知，，
∵，
∴，
过A作于M，则，
∴，
∴，
∴，
∴，
综上所述，的面积为或．
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