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湖南省长沙市2025年中考适应性数学试卷（一）
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·长沙模拟）下列四个数中，最大的数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：
根据实数大小比较的方法可知：，
即，
∴最大的数是，
故答案为：．
【分析】
先将 化简，然后再根据实数大小比较的方法：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，比较即可．
2．（2025·长沙模拟）2024年国庆期间，与凉爽天气形成鲜明对比的是长沙文旅市场的火爆程度，游客纷至沓来．据手机信令大数据建模分析显示，国庆假期7天，长沙市共计接待游客约952万人次．将数据952万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：952万．
故答案为：C．
【分析】
由科学记数法的定义，表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
3．（2025·长沙模拟）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故答案为：．
【分析】
根据轴对称的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据概念逐一判断即可．
4．（2025·长沙模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，原选项计算错误，不符合题意；
B．，原选项计算错误，不符合题意；
C．，计算正确，符合题意；
D．，原选项计算错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】
分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则，积的乘方和幂的乘方以及完全平方公式，计算出各选项的结果再进行判断即可．
5．（2025·长沙模拟）某校为了解学生对“生命，生态与安全”课程的学习掌握情况，从八年级学生中随机抽取了24名学生进行综合测试．本次测试共有10道题目，答对题数情况如下表：
答对题数（道） 6 7 8 9 10
人数 3 8 6 5 2
则本次测试学生答对题数的中位数和众数分别是（　　）
A．7和7 B．7和8 C．8和7 D．8和8
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由表格知，答对题数为7道的有8人，人数最多，
所以本次测试学生答对题数的众数是7；
因为共有24人，
所以中位数是排序后第12，13名的平均数，即，
故答案为：C．
【分析】
根据众数和中位数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，结合图表即可解答．
6．（2025·长沙模拟）在一个不透明的盒子中装有个白球，个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，则摸出的是黄球的概率为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一个不透明的盒子中装有个白球，个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，
∴摸出的是黄球的概率为，
故答案为：．
【分析】
先求出盒子中的总数和黄球的个数，根据‘’概率所求情况数与总情况数之比‘’即可解答．
7．（2025·长沙模拟）将一副三角板如图放置，其中，，，点落在线段上，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】
根据平行线的性质先求出，再由三角形的外角性质即可解答．
8．（2025·长沙模拟）如图，是的直径，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】
根据直径所对的圆周角是直角可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，再根据同弧所对的圆周角相等即可解答．
9．（2025·长沙模拟）下列说错误的是（　　）
A．直线可由直线向下平移一个单位长度得到
B．函数中，随着的增大而增大
C．抛物线的对称轴是
D．反比例函数的图象经过点
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象的平移变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】
解：、直线可由直线向下平移一个单位长度得到，原选项说法正确，不符合题意；、由函数可知，，
∴随着的增大而增大，原选项说法正确，不符合题意；
、由抛物线得对称轴是，原选项说法错误，符合题意；
、当时，，
∴反比例函数的图象经过点，原选项说法正确，不符合题意；
故答案为：．
【分析】
根据一次函数的性质及一次函数图象的平移判断A、B选项，二次函数的对称轴判断C选项，反比例函数图象上点的特征判断D选项.
10．（2025·长沙模拟）向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直到把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：因为根据图象可知，底层圆柱的直径较小，上层圆柱的直径较大，中层圆柱的直径最大，
所以注水过程容器内底部所受水的压强是先快后慢后又变快，故选项C符合题意．
故答案为：C．
【分析】
根据容器的形状可知，底层圆柱的直径较小，上层圆柱的直径较大，中层圆柱的直径最大，水面高度上升的先快后慢又变快，而压强与水面高度成正比例，故注水过程容器内底部所受水的压强也是先快后慢后又变快．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·长沙模拟）分解因式：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：.
【分析】
先提取公因式a，再由完全平方公式因式分解即可.
12．（2025·长沙模拟）计算：　 　．
【答案】
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：．
【分析】
根据分式加减的运算法则，同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，即可计算．
13．（2025·长沙模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，实数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】
根据一元二次方程的根与判别式的关系，当，方程有两个不相等的实数根，列出关于m的不等式，即可解答.
14．（2025·长沙模拟）如图，的弦垂直于直径，垂足为．若，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵的弦垂直于直径，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
由垂径定理得，，然后在Rt△AOC中，利用勾股定理求出，从而由线段和差关系即可解答．
15．（2025·长沙模拟）如图，中，，，，将点折叠到边的点处，折痕为，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
由折叠性质可知：，，，
∴，，
设，则，
∴，即，
∴，即，
故答案为：．
【分析】
先根据勾股定理求出，再由折叠性质得，，，设，则，最后再由勾股定理列方程即可求解．
16．（2025·长沙模拟）如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，连接，则的面积最大值为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】
解：过作于，
∵等边，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
中，，，
∴，，
同理，中，由可得，
中，由可得，
∴，
∵，
∴当时，最大，
即的面积最大值为．
【分析】
过作于，根据等边三角形的性质，易证，，都是直角三角形，设，根据直角三角形性质及勾股定理表示出DF、EM，最后根据三角形面积公式计算出的面积的表达式，再结合二次函数的性质求其最大值即可.
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·长沙模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的加减法；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
先计算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值，二次根式，再由实数的加减运算法则即可计算．
18．（2025·长沙模拟）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
在数轴上表示，如图，
．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式组的解法，分别求出每一个不等式的解集，在数轴上表示出每个不等式的解集即可确定不等式组的解集．
19．（2025·长沙模拟）如图，在中，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线，交于点，连接．
（1）求证：是的平分线；
（2）若，，求的周长．
【答案】（1）证明：由作图可知，垂直平分，∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴是的平分线；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵垂直平分，
∴，
∴的周长
，
∴的周长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
（1）根据作图步骤可知，垂直平分，由线段垂直平分线的性质得，再根据等边对等角得，又四边形是平行四边形，则，通过两直线平行内错角相等可得，等量代换后得，由角平分线的定义即可证明；
（2）根据平行四边形的性质可得，，再根据垂直平分线的性质可得，最后通过三角形的周长公式即可求解．
（1）证明：由作图可知，垂直平分，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴是的平分线；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵垂直平分，
∴，
∴的周长
，
∴的周长为．
20．（2025·长沙模拟）某学校开展了以“红色文化”为主题的研学活动，为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用表示，单位：）进行调查．经过整理，将数据分成四组（组：；组：；组：；组：，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了_____名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，组对应的扇形圆心角的度数是_____；
（4）若该学校共有学生名，请估计该校研学活动时长为的学生人数．
【答案】（1）；
（2）
（3）；
（4）解：估计该校研学活动时长为的学生人数为：（名），
答：估计该校研学活动时长为的学生人数有名．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查学生总数：（名），
故答案为：；
（2）解：组：（名），组：（名），
补全统计图如图所示，
（3）解：组对应扇形的圆心角度数为，
故答案为：．
【分析】
（）结合条形统计图和扇形统计图，用“”组的人数除以所占比例即可求出调查总数；
（）根据扇形统计图用总数×Ｃ的百分比，求出“”组的人数，然后利用总人数减去，，组人数，即可补全条形统计图；
（）用乘以“”所占的比例即可求出组对应的扇形圆心角的度数；
（）由样本数据估计总体，用学校总人数乘以组人数所占的比即可解答．
（1）解：本次调查学生总数：（名），
故答案为：；
（2）解：组：（名），组：（名），
补全统计图如图所示，
（3）解：组对应扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
（4）解：估计该校研学活动时长为的学生人数为：（名），
答：估计该校研学活动时长为的学生人数有名．
21．（2025·长沙模拟）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵，∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，∴，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）根据平行线的性质得，，结合已知条件等量代换，，最后利用即可证明；
（2）由三角形中位线定理推出，再结合已知条件，利用全等三角形的性质求出，由此即可解答．
（1）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
22．（2025·长沙模拟）某超市从水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的销售相关信息如表所示：
甲种水果数量（箱） 乙种水果数量（箱） 总利润（元）
（1）每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是多少元？
（2）该超市计划一次购进甲、乙两种优质水果共箱，其中乙种水果数量不多于甲种水果的倍，为使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大，请你设计相应的进货方案．
【答案】（1）解：设每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是，元，
∴由题意得：，解得：，
答：每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是元，元；
（2）解：设购买甲种优质水果箱，则购买乙种优质水果箱，利润为元，则，
∵乙种水果数量不多于甲种水果的倍，
∴，
∴，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取最大值，此时，，
答：购买甲种优质水果箱，购买乙种优质水果箱时，可以使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（）设每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是元，元，根据表格中的数量关系列出二元一次方程组即可解答；
（）设购买甲种优质水果箱，则购买乙种优质水果箱，利润为元，表示利润ｗ关于ａ的函数关系，再根据“乙种水果数量不多于甲种水果的倍”列出不等式解出的范围，最后结合一次函数的性质解答即可．
（1）解：设每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是，元，
∴由题意得：，解得：，
答：每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是元，元；
（2）解：设购买甲种优质水果箱，则购买乙种优质水果箱，利润为元，
则，
∵乙种水果数量不多于甲种水果的倍，
∴，
∴，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取最大值，此时，，
答：购买甲种优质水果箱，购买乙种优质水果箱时，可以使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大．
23．（2025·长沙模拟）如图，在矩形中，对角线与交于点，点在边上，与交于点，．
（1）求证：；
（2）已知，，求的面积．
【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
由（）得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（）根据矩形的性质得出，从而得到，又，故有，即可根据两角相等判断两个三角形相似；
（）由四边形是矩形，则，，，再由相似三角形对应边成比例得，解出，再由平行线证明出，得到，根据三角形面积关系得，即有，最后即可求出．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
由（）得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
24．（2025·长沙模拟）如图，已知等腰的底边长为是等腰的外接圆，弦与交于点，为上的动点（不与，重合），交于点．
（1）若，，求的长；
（2）求的最大值；
（3）在（1）的条件下，若是延长线上一点，交于点，当时，求的值．
【答案】（1）解：如图，连接，在中，，
，
，
．
，设，则，
，
即，
解得，；
过作于H，如图；
，
；
在中，，由勾股定理： ，
，
在中，，
．
（2）解：如图，连接，
，
，
，
．
设，则，
．
，
当时，有最大值．
当时，的最大值为．
的最大值为16．
（3）解：如图，过作于．
在中，．
，
，
在中，，
在中，，
，，
在中，，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
综上，的值为．

【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，由圆周角定理，先证明出，再根据相似三角形的对应边成比例，设，则列出比例解方程即可求出，过作于H，根据等腰三角形的“三线合一”的性质求出，最后运用勾股定理分别求出，；
（2）连接，先证明，再根据相似三角形的性质解决，设，则，得到，最后根据二次函数的性质即可解决；
（3）过作于，利用三角形面积的等积法求得，然后利用三角函数正切的定义，在中，求得，在中求出，进一步求出，在中，求出，接下来证，根据相似三角形的对应角相等，即可求得的值．
（1）解：如图，连接，在中，，
，
，
．
，设，则，
，
即，
解得，；
过作于H，如图；
，
；
在中，，由勾股定理： ，
，
在中，，
．
（2）解：如图，连接，
，
，
，
．
设，则，
．
，
当时，有最大值．
当时，的最大值为．
的最大值为16．
（3）解：如图，过作于．
在中，．
，
，
在中，，
在中，，
，，
在中，，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
综上，的值为．
25．（2025·长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点．点在线段上，动点在直线下方的二次函数图象上．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求面积的最大值；
（3）若点是平面直角坐标系中的一点，以，，，为顶点的四边形是正方形，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过，，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式；
（2）解：如图，过点作轴，交于点，
设，
∴点的横坐标为，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
∴，
∵点在线段上，动点在直线下方的二次函数图象上，
∴，
∴面积为
，
∴当时，面积有最大值为；
（3）解：如图，以，，，为顶点的四边形是正方形，当时，
∴，，
过作轴于点，过作轴于点，过作，交延长线于点，交延长线于点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
设，
∴，，
∴点，
∵点在直线：上，
∴，
解得：（舍去），，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
如图，以，，，为顶点的四边形是正方形，当时，
∴，，
过作轴于点，过作轴于点，过作，交延长线于点，交延长线于点，
同上理得：，，，
∴，，
设，，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
解得：（舍去）或，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
综上可知：点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（）将，两点代入二次函数解析式，利用待定系数法求函数解析式即可；
（）过点作轴，交于点，设，求出直线解析式为，则，然后求出，再通过面积为，最后二次函数的性质即可求解；
（）分以，，，为顶点的四边形是正方形，当时和以，，，为顶点的四边形是正方形，当时两种情况分析即可．
（1）解：∵二次函数的图象经过，，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式；
（2）解：如图，过点作轴，交于点，
设，
∴点的横坐标为，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
∴，
∵点在线段上，动点在直线下方的二次函数图象上，
∴，
∴面积为
，
∴当时，面积有最大值为；
（3）解：如图，以，，，为顶点的四边形是正方形，当时，
∴，，
过作轴于点，过作轴于点，过作，交延长线于点，交延长线于点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
设，
∴，，
∴点，
∵点在直线：上，
∴，
解得：（舍去），，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
如图，以，，，为顶点的四边形是正方形，当时，
∴，，
过作轴于点，过作轴于点，过作，交延长线于点，交延长线于点，
同上理得：，，，
∴，，
设，，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
解得：（舍去）或，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
综上可知：点的坐标为或．
1 / 1湖南省长沙市2025年中考适应性数学试卷（一）
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·长沙模拟）下列四个数中，最大的数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·长沙模拟）2024年国庆期间，与凉爽天气形成鲜明对比的是长沙文旅市场的火爆程度，游客纷至沓来．据手机信令大数据建模分析显示，国庆假期7天，长沙市共计接待游客约952万人次．将数据952万用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·长沙模拟）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·长沙模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·长沙模拟）某校为了解学生对“生命，生态与安全”课程的学习掌握情况，从八年级学生中随机抽取了24名学生进行综合测试．本次测试共有10道题目，答对题数情况如下表：
答对题数（道） 6 7 8 9 10
人数 3 8 6 5 2
则本次测试学生答对题数的中位数和众数分别是（　　）
A．7和7 B．7和8 C．8和7 D．8和8
6．（2025·长沙模拟）在一个不透明的盒子中装有个白球，个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，则摸出的是黄球的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·长沙模拟）将一副三角板如图放置，其中，，，点落在线段上，且，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·长沙模拟）如图，是的直径，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·长沙模拟）下列说错误的是（　　）
A．直线可由直线向下平移一个单位长度得到
B．函数中，随着的增大而增大
C．抛物线的对称轴是
D．反比例函数的图象经过点
10．（2025·长沙模拟）向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直到把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·长沙模拟）分解因式：　 　．
12．（2025·长沙模拟）计算：　 　．
13．（2025·长沙模拟）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，实数的取值范围是　 　．
14．（2025·长沙模拟）如图，的弦垂直于直径，垂足为．若，，则的长为　 　．
15．（2025·长沙模拟）如图，中，，，，将点折叠到边的点处，折痕为，则的长为　 　．
16．（2025·长沙模拟）如图，点为等边的边上的一个动点，，过点作于点，交边于点，连接，则的面积最大值为　 　．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·长沙模拟）计算：．
18．（2025·长沙模拟）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
19．（2025·长沙模拟）如图，在中，连接，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别相交于点，，作直线，交于点，连接．
（1）求证：是的平分线；
（2）若，，求的周长．
20．（2025·长沙模拟）某学校开展了以“红色文化”为主题的研学活动，为了解学生参与情况，随机抽取部分学生对研学活动时长（用表示，单位：）进行调查．经过整理，将数据分成四组（组：；组：；组：；组：，并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查中，一共调查了_____名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）扇形统计图中，组对应的扇形圆心角的度数是_____；
（4）若该学校共有学生名，请估计该校研学活动时长为的学生人数．
21．（2025·长沙模拟）如图，在中，延长至点，使，过点作，且，连接交于点，．
（1）求证：；
（2）若，求的长．
22．（2025·长沙模拟）某超市从水果种植基地购进甲、乙两种优质水果，经调查，这两种水果的销售相关信息如表所示：
甲种水果数量（箱） 乙种水果数量（箱） 总利润（元）
（1）每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是多少元？
（2）该超市计划一次购进甲、乙两种优质水果共箱，其中乙种水果数量不多于甲种水果的倍，为使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大，请你设计相应的进货方案．
23．（2025·长沙模拟）如图，在矩形中，对角线与交于点，点在边上，与交于点，．
（1）求证：；
（2）已知，，求的面积．
24．（2025·长沙模拟）如图，已知等腰的底边长为是等腰的外接圆，弦与交于点，为上的动点（不与，重合），交于点．
（1）若，，求的长；
（2）求的最大值；
（3）在（1）的条件下，若是延长线上一点，交于点，当时，求的值．
25．（2025·长沙模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于点，两点，与轴交于点．点在线段上，动点在直线下方的二次函数图象上．
（1）求二次函数的解析式；
（2）求面积的最大值；
（3）若点是平面直角坐标系中的一点，以，，，为顶点的四边形是正方形，求点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：
根据实数大小比较的方法可知：，
即，
∴最大的数是，
故答案为：．
【分析】
先将 化简，然后再根据实数大小比较的方法：正数都大于；负数都小于；正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的其值反而小，比较即可．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：952万．
故答案为：C．
【分析】
由科学记数法的定义，表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项符合题意；
、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项不符合题意；
故答案为：．
【分析】
根据轴对称的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，根据概念逐一判断即可．
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A．，原选项计算错误，不符合题意；
B．，原选项计算错误，不符合题意；
C．，计算正确，符合题意；
D．，原选项计算错误，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】
分别根据合并同类项法则，同底数幂的除法法则，积的乘方和幂的乘方以及完全平方公式，计算出各选项的结果再进行判断即可．
5．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：由表格知，答对题数为7道的有8人，人数最多，
所以本次测试学生答对题数的众数是7；
因为共有24人，
所以中位数是排序后第12，13名的平均数，即，
故答案为：C．
【分析】
根据众数和中位数的定义，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，结合图表即可解答．
6．【答案】A
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：∵一个不透明的盒子中装有个白球，个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同，
∴摸出的是黄球的概率为，
故答案为：．
【分析】
先求出盒子中的总数和黄球的个数，根据‘’概率所求情况数与总情况数之比‘’即可解答．
7．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：C．
【分析】
根据平行线的性质先求出，再由三角形的外角性质即可解答．
8．【答案】B
【知识点】圆周角定理；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：∵是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B．
【分析】
根据直径所对的圆周角是直角可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，再根据同弧所对的圆周角相等即可解答．
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；一次函数图象的平移变换；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】
解：、直线可由直线向下平移一个单位长度得到，原选项说法正确，不符合题意；、由函数可知，，
∴随着的增大而增大，原选项说法正确，不符合题意；
、由抛物线得对称轴是，原选项说法错误，符合题意；
、当时，，
∴反比例函数的图象经过点，原选项说法正确，不符合题意；
故答案为：．
【分析】
根据一次函数的性质及一次函数图象的平移判断A、B选项，二次函数的对称轴判断C选项，反比例函数图象上点的特征判断D选项.
10．【答案】C
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：因为根据图象可知，底层圆柱的直径较小，上层圆柱的直径较大，中层圆柱的直径最大，
所以注水过程容器内底部所受水的压强是先快后慢后又变快，故选项C符合题意．
故答案为：C．
【分析】
根据容器的形状可知，底层圆柱的直径较小，上层圆柱的直径较大，中层圆柱的直径最大，水面高度上升的先快后慢又变快，而压强与水面高度成正比例，故注水过程容器内底部所受水的压强也是先快后慢后又变快．
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
．
故答案为：.
【分析】
先提取公因式a，再由完全平方公式因式分解即可.
12．【答案】
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：原式
，
故答案为：．
【分析】
根据分式加减的运算法则，同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，即可计算．
13．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵方程有两个不相等的实数根，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】
根据一元二次方程的根与判别式的关系，当，方程有两个不相等的实数根，列出关于m的不等式，即可解答.
14．【答案】
【知识点】垂径定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵的弦垂直于直径，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
由垂径定理得，，然后在Rt△AOC中，利用勾股定理求出，从而由线段和差关系即可解答．
15．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
由折叠性质可知：，，，
∴，，
设，则，
∴，即，
∴，即，
故答案为：．
【分析】
先根据勾股定理求出，再由折叠性质得，，，设，则，最后再由勾股定理列方程即可求解．
16．【答案】
【知识点】二次函数的最值；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】
解：过作于，
∵等边，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
中，，，
∴，，
同理，中，由可得，
中，由可得，
∴，
∵，
∴当时，最大，
即的面积最大值为．
【分析】
过作于，根据等边三角形的性质，易证，，都是直角三角形，设，根据直角三角形性质及勾股定理表示出DF、EM，最后根据三角形面积公式计算出的面积的表达式，再结合二次函数的性质求其最大值即可.
17．【答案】解：原式
．
【知识点】负整数指数幂；二次根式的加减法；求特殊角的三角函数值；实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
先计算特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值，二次根式，再由实数的加减运算法则即可计算．
18．【答案】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
在数轴上表示，如图，
．
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【分析】根据不等式组的解法，分别求出每一个不等式的解集，在数轴上表示出每个不等式的解集即可确定不等式组的解集．
19．【答案】（1）证明：由作图可知，垂直平分，∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴是的平分线；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵垂直平分，
∴，
∴的周长
，
∴的周长为．
【知识点】线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】
（1）根据作图步骤可知，垂直平分，由线段垂直平分线的性质得，再根据等边对等角得，又四边形是平行四边形，则，通过两直线平行内错角相等可得，等量代换后得，由角平分线的定义即可证明；
（2）根据平行四边形的性质可得，，再根据垂直平分线的性质可得，最后通过三角形的周长公式即可求解．
（1）证明：由作图可知，垂直平分，
∴，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴，
∴是的平分线；
（2）解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵垂直平分，
∴，
∴的周长
，
∴的周长为．
20．【答案】（1）；
（2）
（3）；
（4）解：估计该校研学活动时长为的学生人数为：（名），
答：估计该校研学活动时长为的学生人数有名．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次调查学生总数：（名），
故答案为：；
（2）解：组：（名），组：（名），
补全统计图如图所示，
（3）解：组对应扇形的圆心角度数为，
故答案为：．
【分析】
（）结合条形统计图和扇形统计图，用“”组的人数除以所占比例即可求出调查总数；
（）根据扇形统计图用总数×Ｃ的百分比，求出“”组的人数，然后利用总人数减去，，组人数，即可补全条形统计图；
（）用乘以“”所占的比例即可求出组对应的扇形圆心角的度数；
（）由样本数据估计总体，用学校总人数乘以组人数所占的比即可解答．
（1）解：本次调查学生总数：（名），
故答案为：；
（2）解：组：（名），组：（名），
补全统计图如图所示，
（3）解：组对应扇形的圆心角度数为，
故答案为：；
（4）解：估计该校研学活动时长为的学生人数为：（名），
答：估计该校研学活动时长为的学生人数有名．
21．【答案】（1）证明：∵，∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，∴，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】
（1）根据平行线的性质得，，结合已知条件等量代换，，最后利用即可证明；
（2）由三角形中位线定理推出，再结合已知条件，利用全等三角形的性质求出，由此即可解答．
（1）证明：∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：∵，，
∴，，
∴是的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
22．【答案】（1）解：设每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是，元，
∴由题意得：，解得：，
答：每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是元，元；
（2）解：设购买甲种优质水果箱，则购买乙种优质水果箱，利润为元，则，
∵乙种水果数量不多于甲种水果的倍，
∴，
∴，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取最大值，此时，，
答：购买甲种优质水果箱，购买乙种优质水果箱时，可以使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（）设每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是元，元，根据表格中的数量关系列出二元一次方程组即可解答；
（）设购买甲种优质水果箱，则购买乙种优质水果箱，利润为元，表示利润ｗ关于ａ的函数关系，再根据“乙种水果数量不多于甲种水果的倍”列出不等式解出的范围，最后结合一次函数的性质解答即可．
（1）解：设每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是，元，
∴由题意得：，解得：，
答：每箱甲、乙两种优质水果的销售利润分别是元，元；
（2）解：设购买甲种优质水果箱，则购买乙种优质水果箱，利润为元，
则，
∵乙种水果数量不多于甲种水果的倍，
∴，
∴，
∵，
∴随的增大而减小，
∴当时，取最大值，此时，，
答：购买甲种优质水果箱，购买乙种优质水果箱时，可以使该超市销售完这箱优质水果后的总利润最大．
23．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
由（）得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】
（）根据矩形的性质得出，从而得到，又，故有，即可根据两角相等判断两个三角形相似；
（）由四边形是矩形，则，，，再由相似三角形对应边成比例得，解出，再由平行线证明出，得到，根据三角形面积关系得，即有，最后即可求出．
（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，，，
由（）得，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为．
24．【答案】（1）解：如图，连接，在中，，
，
，
．
，设，则，
，
即，
解得，；
过作于H，如图；
，
；
在中，，由勾股定理： ，
，
在中，，
．
（2）解：如图，连接，
，
，
，
．
设，则，
．
，
当时，有最大值．
当时，的最大值为．
的最大值为16．
（3）解：如图，过作于．
在中，．
，
，
在中，，
在中，，
，，
在中，，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
综上，的值为．

【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【分析】（1）连接，由圆周角定理，先证明出，再根据相似三角形的对应边成比例，设，则列出比例解方程即可求出，过作于H，根据等腰三角形的“三线合一”的性质求出，最后运用勾股定理分别求出，；
（2）连接，先证明，再根据相似三角形的性质解决，设，则，得到，最后根据二次函数的性质即可解决；
（3）过作于，利用三角形面积的等积法求得，然后利用三角函数正切的定义，在中，求得，在中求出，进一步求出，在中，求出，接下来证，根据相似三角形的对应角相等，即可求得的值．
（1）解：如图，连接，在中，，
，
，
．
，设，则，
，
即，
解得，；
过作于H，如图；
，
；
在中，，由勾股定理： ，
，
在中，，
．
（2）解：如图，连接，
，
，
，
．
设，则，
．
，
当时，有最大值．
当时，的最大值为．
的最大值为16．
（3）解：如图，过作于．
在中，．
，
，
在中，，
在中，，
，，
在中，，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
综上，的值为．
25．【答案】（1）解：∵二次函数的图象经过，，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式；
（2）解：如图，过点作轴，交于点，
设，
∴点的横坐标为，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
∴，
∵点在线段上，动点在直线下方的二次函数图象上，
∴，
∴面积为
，
∴当时，面积有最大值为；
（3）解：如图，以，，，为顶点的四边形是正方形，当时，
∴，，
过作轴于点，过作轴于点，过作，交延长线于点，交延长线于点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
设，
∴，，
∴点，
∵点在直线：上，
∴，
解得：（舍去），，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
如图，以，，，为顶点的四边形是正方形，当时，
∴，，
过作轴于点，过作轴于点，过作，交延长线于点，交延长线于点，
同上理得：，，，
∴，，
设，，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
解得：（舍去）或，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
综上可知：点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（）将，两点代入二次函数解析式，利用待定系数法求函数解析式即可；
（）过点作轴，交于点，设，求出直线解析式为，则，然后求出，再通过面积为，最后二次函数的性质即可求解；
（）分以，，，为顶点的四边形是正方形，当时和以，，，为顶点的四边形是正方形，当时两种情况分析即可．
（1）解：∵二次函数的图象经过，，
∴，解得：，
∴二次函数的解析式；
（2）解：如图，过点作轴，交于点，
设，
∴点的横坐标为，
设直线解析式为，
∴，解得：，
∴直线解析式为，
∴，
∵点在线段上，动点在直线下方的二次函数图象上，
∴，
∴面积为
，
∴当时，面积有最大值为；
（3）解：如图，以，，，为顶点的四边形是正方形，当时，
∴，，
过作轴于点，过作轴于点，过作，交延长线于点，交延长线于点，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
设，
∴，，
∴点，
∵点在直线：上，
∴，
解得：（舍去），，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
如图，以，，，为顶点的四边形是正方形，当时，
∴，，
过作轴于点，过作轴于点，过作，交延长线于点，交延长线于点，
同上理得：，，，
∴，，
设，，
∴，，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
解得：（舍去）或，
∴，
∴，，
∴，
∴点的坐标为；
综上可知：点的坐标为或．
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