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广东省肇庆市肇庆鼎湖中学2024-2025学年高一下学期期中质量检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025高一下·鼎湖期中）（　　）
A． B． C． D．
2．（2025高一下·鼎湖期中）下列各组向量中，共线的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
3．（2025高一下·鼎湖期中）已知，则（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高一下·鼎湖期中）如图所示，在平行四边形ABCD中，，，则用，表示向量和分别是（　　）
A．＋和－ B．＋和－
C．－和－ D．－和＋
5．（2025高一下·鼎湖期中）中，“”是“”的（　　）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分也非必要
6．（2025高一下·鼎湖期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（　　）
A． B．
C．或 D．或
7．（2025高一下·鼎湖期中）已知函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（　　）
A．，
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于对称
D．函数在上单调递增
8．（2025高一下·鼎湖期中）八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象、八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点为该正八边形的中心，设，下列结论中正确的个数是（　　）
①；
②；
③在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）；
④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4.
A．4 B．3 C．2 D．1
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对，得部分分）
9．（2025高一下·鼎湖期中）已知平面向量， 则（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025高一下·鼎湖期中）在中，已知，，，则角的值可能为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025高一下·鼎湖期中）设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，则下列选项正确的是（　　）
A．外接圆的半径为 B．面积的最大值为
C．的最大值为2 D．的最小值为32
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高一下·鼎湖期中）在中，角所对的边分别为，且，则的形状为　 　．
13．（2025高一下·鼎湖期中）在中，已知D是边的中点，E是线段的中点若，则的值为　 　.
14．（2025高一下·鼎湖期中）已知向量，满足，，且，的夹角为，则的最小值是　 　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2025高一下·鼎湖期中）已知平面直角坐标系中，点为原点，，．
（1）求的坐标及；
（2）若，，求及的坐标；
（3）求．
16．（2025高一下·鼎湖期中）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c；
（1）若，求角A的值；
（2）若，，，解这个三角形并求出的面积.
17．（2025高一下·鼎湖期中）已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）当时，求证：.
18．（2025高一下·鼎湖期中）在中，角，，所对的边分别是，，，且．
（1）求；
（2）若，求周长的最大值．
19．（2025高一下·鼎湖期中）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点.
（1）求的余弦值.
（2）若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】逆用两角差的正弦公式求解即可.
2．【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：A、，故A不符合；
B、，故B符合；
C、，故C不符合；
D、，故D不符合.
故答案为：B.
【分析】根据向量共线的坐标表示逐项判断即可.
3．【答案】D
【知识点】二倍角的正切公式
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和二倍角的正切公式，从而得出的值.
4．【答案】B
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的平行四边形法则
【解析】【解答】解：易知，．
故答案为：B.
【分析】根据向量加法、减法的平行四边形法则判断即可.
5．【答案】C
【知识点】充要条件；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，令内角所对的边分别为，
由正弦定理得，则”是“”的充要条件.
故答案为：C.
【分析】在中，令内角所对的边分别为，利用正弦定理，结合充要条件的定义判断即可.
6．【答案】C
【知识点】线段的定比分点；平面向量坐标表示的应用；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由，，可得，
因为点是线段的三等分点，所以或，
则或，
即点的坐标为或.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据向量的坐标运算先求的坐标，再根据点是线段的三等分点，可得或，最后根据向量加法的坐标表示求解即可.
7．【答案】B
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】A、由图可知，，，则，
因为点在上，所以，即，
所以，则，
又因为，所以，所以，则，，故A正确；
B、，则不是图象的对称轴，故B错误；
C、，则的图象关于点对称，故C正确；
D、当时，，函数在上单调递增，故D正确.
故答案为：B.
【分析】由图可知A和周期，根据周期公式计算，再根据在上，求得，确定的解析式，再利用正弦函数性质逐项分析判断即可.
8．【答案】C
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意可知：，
，故①不成立；
，，则，故②成立；
在上的投影，
则在上的投影向量为，故③成立；
如图：
当点在线段上时，此时在上的投影最大，
在中，，，
，
，故④不正确.
故答案为：C.
【分析】由题意可知：，利用向量的数量积求解即可判断①；由图可知线段长和夹角，求向量的模即可判断②；根据投影向量的定义求解即可判断③；当点在线段上时，此时在上的投影最大，在中，求得，再求，最后根据向量的数量积求解即可判断④
9．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： 平面向量，
，则，故A错误，B正确；
，故C正确；
，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据向量数量积的坐标运算求解可得即可判断AB；根据向量坐标的线性运算求解即可判断CD.
10．【答案】B,C
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理，得，
因为，且，所以或.
故选：BC.
【分析】已知条件结合正弦定理先求出，进而求出A的值即可.
11．【答案】A,B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、设外接圆的半径为，
由正弦定理可得，解得，故A正确；
B、由余弦定理，可得，
由，可得，当且仅当时取等号，
则的面积为，即面积的最大值为，故B正确；
C、由正弦定理，
可得
故
，
由，可得，
故当时，即时，取得最大值2，故C正确；
D、由B项分析，可得，当且仅当时取等号，
故的最大值为32，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】设外接圆的半径为，利用正弦定理求解即可判断A；利用余弦定理，结合基本不等式求的最大值，从而确定面积的最大值即可判断B；利用正弦定理化边为角，根据三角恒等变换将所求式化成正弦型函数，再根据正弦型函数的性质求解即可判断C；利用B选项的结论即可判断D.
12．【答案】直角三角形
【知识点】余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：，由余弦定理，可得，
整理可得，则为直角三角形．
故答案为：直角三角形 .
【分析】利用余弦定理结合化简可得，据此即可判断的形状.
13．【答案】；
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：如图所示：
，
因为，所以．
故答案为：．
【分析】以为基向量表示，即可求得的值．
14．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，， 且，的夹角为，
则，
，
当且仅当时等号成立，则的最小值是.
故答案为：.
【分析】先根据向量的数量积运算求，再根据向量的模以及向量的数量积将化为，结合二次函数性质求解即可.
15．【答案】（1）解：易知 ，；
（2）解：，
；
（3）解：，.
【知识点】平面向量的正交分解及坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量的坐标表示求得，再根据向量模的坐标公式求解即可；
（2）根据向量线性运算的坐标表示求解即可；
（3）先求的坐标，再根据向量数量积的坐标表示求解即可.
（1），.
（2），
.
（3），.
16．【答案】（1）解：由，可得，
由余弦定理得，因为，所以；
（2）解： 若，，， 由正弦定理可得，
因为，所以，则，，
则.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）原式化为，利用余弦定理直接求解即可；
（2）由题意，利用正弦定理，结合角的范围求的，进而可得，代入求解即可.
（1）由，可得，
由余弦定理得，又，所以.
（2）由正弦定理，可得，
又，所以，则，所以，
所以.
17．【答案】（1）解：，
则函数的最小正周期；
（2）解：令，，解得，
故函数的单调递减区间是；
（3）证明：当时，，则，即.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用正弦、余弦的二倍角公式结合辅助角公式化简可得函数，再利用最小正周期公式求解即可；
（2）由（1）的结论，利用整体法求解单调递减区间即可；
（3）利用整体法求解函数值域，从而证明不等式即可.
（1），
则函数的最小正周期；
（2）令，，
解得：，
故函数的单调递减区间是；
（3）证明：时，，
所以，即.
18．【答案】（1）解：，由正弦定理得，
，
因为，所以，
又因为，所以，则，
又因为，所以；
（2）解：由余弦定理，
可得，
则，当且仅当时等号成立，即，
故，
即周长的最大值为.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再逆用两角和的正弦公式结合三角形内角和定理化简求解即可；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式求解即可.
（1）因为，
所以由正弦定理得，
所以，
因为，所以，
因为，所以，则，
又，所以；
（2）由余弦定理得，
即，
可得，当且仅当时等号成立，即，
所以，
即周长的最大值为.
19．【答案】（1）解：以点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
易知，，
是的夹角，，
则的余弦值为；
（2）解：设，，
∴，由题得，
①当点在上时，设，
；
②当点在上时，设，
∴舍去；
③当点在上时，设，
∴舍去；
④当点在上时，设，
∴，
综上，存在或.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）以点为原点，建立平面直角坐标系，利用向量法求夹角即可；
（2）由（1）的直角坐标系，设，两次利用三点共线求得点的坐标，再分点在、、以及上讨论，结合求解即可.
（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系.
则.
由于就是的夹角.
∴.
∴的余弦值为.
（2）设.
.
∴.由题得.
①当点在上时，设，
；
②当点在上时，设，
∴舍去；
③当点在上时，设，
∴舍去；
④当点在上时，设，
∴.
综上，存在或者.
1 / 1广东省肇庆市肇庆鼎湖中学2024-2025学年高一下学期期中质量检测数学试题
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（2025高一下·鼎湖期中）（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式
【解析】【解答】解：.
故答案为：B.
【分析】逆用两角差的正弦公式求解即可.
2．（2025高一下·鼎湖期中）下列各组向量中，共线的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：A、，故A不符合；
B、，故B符合；
C、，故C不符合；
D、，故D不符合.
故答案为：B.
【分析】根据向量共线的坐标表示逐项判断即可.
3．（2025高一下·鼎湖期中）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的正切公式
【解析】【解答】解：因为，所以.
故答案为：D.
【分析】根据已知条件和二倍角的正切公式，从而得出的值.
4．（2025高一下·鼎湖期中）如图所示，在平行四边形ABCD中，，，则用，表示向量和分别是（　　）
A．＋和－ B．＋和－
C．－和－ D．－和＋
【答案】B
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的平行四边形法则
【解析】【解答】解：易知，．
故答案为：B.
【分析】根据向量加法、减法的平行四边形法则判断即可.
5．（2025高一下·鼎湖期中）中，“”是“”的（　　）条件.
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分也非必要
【答案】C
【知识点】充要条件；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：在中，令内角所对的边分别为，
由正弦定理得，则”是“”的充要条件.
故答案为：C.
【分析】在中，令内角所对的边分别为，利用正弦定理，结合充要条件的定义判断即可.
6．（2025高一下·鼎湖期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（　　）
A． B．
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】线段的定比分点；平面向量坐标表示的应用；平面向量加、减运算的坐标表示
【解析】【解答】解：由，，可得，
因为点是线段的三等分点，所以或，
则或，
即点的坐标为或.
故答案为：C.
【分析】由题意，根据向量的坐标运算先求的坐标，再根据点是线段的三等分点，可得或，最后根据向量加法的坐标表示求解即可.
7．（2025高一下·鼎湖期中）已知函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（　　）
A．，
B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于对称
D．函数在上单调递增
【答案】B
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】A、由图可知，，，则，
因为点在上，所以，即，
所以，则，
又因为，所以，所以，则，，故A正确；
B、，则不是图象的对称轴，故B错误；
C、，则的图象关于点对称，故C正确；
D、当时，，函数在上单调递增，故D正确.
故答案为：B.
【分析】由图可知A和周期，根据周期公式计算，再根据在上，求得，确定的解析式，再利用正弦函数性质逐项分析判断即可.
8．（2025高一下·鼎湖期中）八卦是中国传统文化中的一部分，八个方位分别象征天、地、风、雷、水、火、山、泽八种自然现象、八卦模型如图1所示，其平面图形为正八边形，如图2所示，点为该正八边形的中心，设，下列结论中正确的个数是（　　）
①；
②；
③在上的投影向量为（其中为与同向的单位向量）；
④若点为正八边形边上的一个动点，则的最大值为4.
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意可知：，
，故①不成立；
，，则，故②成立；
在上的投影，
则在上的投影向量为，故③成立；
如图：
当点在线段上时，此时在上的投影最大，
在中，，，
，
，故④不正确.
故答案为：C.
【分析】由题意可知：，利用向量的数量积求解即可判断①；由图可知线段长和夹角，求向量的模即可判断②；根据投影向量的定义求解即可判断③；当点在线段上时，此时在上的投影最大，在中，求得，再求，最后根据向量的数量积求解即可判断④
二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对，得部分分）
9．（2025高一下·鼎湖期中）已知平面向量， 则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： 平面向量，
，则，故A错误，B正确；
，故C正确；
，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据向量数量积的坐标运算求解可得即可判断AB；根据向量坐标的线性运算求解即可判断CD.
10．（2025高一下·鼎湖期中）在中，已知，，，则角的值可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：由正弦定理，得，
因为，且，所以或.
故选：BC.
【分析】已知条件结合正弦定理先求出，进而求出A的值即可.
11．（2025高一下·鼎湖期中）设的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若，，则下列选项正确的是（　　）
A．外接圆的半径为 B．面积的最大值为
C．的最大值为2 D．的最小值为32
【答案】A,B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；简单的三角恒等变换；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：A、设外接圆的半径为，
由正弦定理可得，解得，故A正确；
B、由余弦定理，可得，
由，可得，当且仅当时取等号，
则的面积为，即面积的最大值为，故B正确；
C、由正弦定理，
可得
故
，
由，可得，
故当时，即时，取得最大值2，故C正确；
D、由B项分析，可得，当且仅当时取等号，
故的最大值为32，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】设外接圆的半径为，利用正弦定理求解即可判断A；利用余弦定理，结合基本不等式求的最大值，从而确定面积的最大值即可判断B；利用正弦定理化边为角，根据三角恒等变换将所求式化成正弦型函数，再根据正弦型函数的性质求解即可判断C；利用B选项的结论即可判断D.
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．（2025高一下·鼎湖期中）在中，角所对的边分别为，且，则的形状为　 　．
【答案】直角三角形
【知识点】余弦定理；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：，由余弦定理，可得，
整理可得，则为直角三角形．
故答案为：直角三角形 .
【分析】利用余弦定理结合化简可得，据此即可判断的形状.
13．（2025高一下·鼎湖期中）在中，已知D是边的中点，E是线段的中点若，则的值为　 　.
【答案】；
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：如图所示：
，
因为，所以．
故答案为：．
【分析】以为基向量表示，即可求得的值．
14．（2025高一下·鼎湖期中）已知向量，满足，，且，的夹角为，则的最小值是　 　.
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：，， 且，的夹角为，
则，
，
当且仅当时等号成立，则的最小值是.
故答案为：.
【分析】先根据向量的数量积运算求，再根据向量的模以及向量的数量积将化为，结合二次函数性质求解即可.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（2025高一下·鼎湖期中）已知平面直角坐标系中，点为原点，，．
（1）求的坐标及；
（2）若，，求及的坐标；
（3）求．
【答案】（1）解：易知 ，；
（2）解：，
；
（3）解：，.
【知识点】平面向量的正交分解及坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据向量的坐标表示求得，再根据向量模的坐标公式求解即可；
（2）根据向量线性运算的坐标表示求解即可；
（3）先求的坐标，再根据向量数量积的坐标表示求解即可.
（1），.
（2），
.
（3），.
16．（2025高一下·鼎湖期中）已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c；
（1）若，求角A的值；
（2）若，，，解这个三角形并求出的面积.
【答案】（1）解：由，可得，
由余弦定理得，因为，所以；
（2）解： 若，，， 由正弦定理可得，
因为，所以，则，，
则.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）原式化为，利用余弦定理直接求解即可；
（2）由题意，利用正弦定理，结合角的范围求的，进而可得，代入求解即可.
（1）由，可得，
由余弦定理得，又，所以.
（2）由正弦定理，可得，
又，所以，则，所以，
所以.
17．（2025高一下·鼎湖期中）已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的单调递减区间；
（3）当时，求证：.
【答案】（1）解：，
则函数的最小正周期；
（2）解：令，，解得，
故函数的单调递减区间是；
（3）证明：当时，，则，即.
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）利用正弦、余弦的二倍角公式结合辅助角公式化简可得函数，再利用最小正周期公式求解即可；
（2）由（1）的结论，利用整体法求解单调递减区间即可；
（3）利用整体法求解函数值域，从而证明不等式即可.
（1），
则函数的最小正周期；
（2）令，，
解得：，
故函数的单调递减区间是；
（3）证明：时，，
所以，即.
18．（2025高一下·鼎湖期中）在中，角，，所对的边分别是，，，且．
（1）求；
（2）若，求周长的最大值．
【答案】（1）解：，由正弦定理得，
，
因为，所以，
又因为，所以，则，
又因为，所以；
（2）解：由余弦定理，
可得，
则，当且仅当时等号成立，即，
故，
即周长的最大值为.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再逆用两角和的正弦公式结合三角形内角和定理化简求解即可；
（2）利用余弦定理，结合基本不等式求解即可.
（1）因为，
所以由正弦定理得，
所以，
因为，所以，
因为，所以，则，
又，所以；
（2）由余弦定理得，
即，
可得，当且仅当时等号成立，即，
所以，
即周长的最大值为.
19．（2025高一下·鼎湖期中）如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点.
（1）求的余弦值.
（2）若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：以点为原点，建立平面直角坐标系，如图所示：
易知，，
是的夹角，，
则的余弦值为；
（2）解：设，，
∴，由题得，
①当点在上时，设，
；
②当点在上时，设，
∴舍去；
③当点在上时，设，
∴舍去；
④当点在上时，设，
∴，
综上，存在或.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）以点为原点，建立平面直角坐标系，利用向量法求夹角即可；
（2）由（1）的直角坐标系，设，两次利用三点共线求得点的坐标，再分点在、、以及上讨论，结合求解即可.
（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系.
则.
由于就是的夹角.
∴.
∴的余弦值为.
（2）设.
.
∴.由题得.
①当点在上时，设，
；
②当点在上时，设，
∴舍去；
③当点在上时，设，
∴舍去；
④当点在上时，设，
∴.
综上，存在或者.
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