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湖南省2025年中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．（2025·湖南模拟）手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（　　）
A．收入18元 B．收入6元 C．支出6元 D．支出12元
【答案】B
【知识点】有理数的加法实际应用；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：（元），
即小颖当天微信收支的最终结果是收入6元．
故选：B．
【分析】利用有理数的加法解答即可．
2．（2025·湖南模拟）计算下列各组数，结果不等于的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】化简多重符号有理数；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据多重符号化简和绝对值化简，逐项判断即可．
3．（2025·湖南模拟）如图是由个相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形．
故答案为：A．
【分析】从左边向右看得到的正投影就是其左视图，据此逐一判断可得答案．
4．（2025·湖南模拟）《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定.某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．3，4 B．4，3 C．3，3 D．4，4
【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：3出现次数最多，
众数是3；
把这组数据从小到大排序为：3，3，3，4，4，5，6，
4位于第四位，
中位数为4；
故答案为：A.
【分析】把这组数据从小到大排序，找出最中间的数据可得中位数，找出出现次数最多的数据即为众数.
5．（2025·湖南模拟）下列计算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】A．，不符合题意；
B．，不符合题意；
C．，不符合题意；
D．，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用幂的乘方，同底数幂的除法法则，积的乘方，完全平方公式计算求解即可。
6．（2025·湖南模拟）把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解①得，
解②得，
不等式组的解集为，在数轴上表示为：
，
故答案为：C．
【分析】先分别解两个不等式求出解集，然后在数轴上表示公共部分即可．
7．（2025·湖南模拟）如图，已知，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵∠C+∠D＝∠AEC，
∴∠D=∠AEC-∠C＝50°-20°=30°，
∵，
∴∠A＝∠D=30°，
故答案为：C．
【分析】根据三角形外角的性质和平行线的性质（两直线平行，内错角相等）即可解答.
8．（2025·湖南模拟）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，，过圆心，连接，，
，
∵，
，
，，
设，
，
，，
，
，
，
，
，
纸杯的直径为．
故答案为：B．
【分析】
如图，，过圆心，连接，，先垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．
9．（2025·湖南模拟）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，驽马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设快马天可追上慢马，此时慢马所行时间为（x+12）天，
由题意得
故选：D．
【分析】设快马天可追上慢马，根据路程相等得：快马追赶时间×快马速度=（慢马先行驶的时间+快马追赶时间）×慢马的速度，据此列出方程即可求解．
10．（2025·湖南模拟）设抛物线y＝ax2(a＞0)与直线y＝kx＋b相交于两点，它们的横坐标为x1，x2，而x3是直线与x轴交点的横坐标，那么x1，x2，x3的关系是（　　）
A．x3＝x1＋x2. B．x3＝ ＋ .
C．x1x2＝x2x3＋x3x1. D．x1x3＝x2x3＋x1x2.
【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：由题意得 和 为方程 的两个根，即 ，
， ；
；
直线与 轴交点的横坐标为： ，
.
.
故答案为： .
【分析】将直线y＝kx＋b与抛物线y＝ax2联立，构成一元二次方程，求出两根积与两根和的表达式；然后将欲证等式的左边通分，转化为两根积与两根和的形式，将以上两表达式代入得到等式左边的值；再求出直线解析式求出与x轴的交点横坐标，进行比较即可得出答案。即可得出答案．
二、填空题（共8个小题，每小题3分，满分24分）
11．（2025·湖南模拟）若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是　 　．
【答案】x≤3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式 有意义，
∴3﹣x≥0，
解得：x≤3．
故答案为：x≤3．
【分析】二次根式有意义，则被开方数≥0，建立不等式求解即可。
12．（2025·湖南模拟）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示.2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是　 　．
【答案】5
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万，
故答案为：5．
【分析】
根据科学记数法的定义，表示较大的数时，中的范围是，为正整数，其与原数的整数部分的位数的关系是，由此即可解答．
13．（2025·湖南模拟）化简：的结果为　 　．
【答案】
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
原式
故答案为：．
【分析】根据同分母分式的相加减，分母不变，分子相加减解答即可．
14．（2025·湖南模拟）因式分解所有公式口诀是：先看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
根据因式分解的一般步骤，先提取公因式，再用平方差公式分解即可．
15．（2025·湖南模拟）黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中 介于整数和之间，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据二次根式的大小比较，利用夹逼法可得，即得，进而得，据此即可求解．
16．（2025·湖南模拟）二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为　 　．
【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为，
故答案为：．
【分析】
利用频率估计概率，再用正方形面积乘以点落在区域内黑色部分的概率即可解答．
17．（2025·湖南模拟）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则　 　米．
【答案】12
【知识点】相似三角形的实际应用；平行投影；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵同一时刻太阳光为平行光，，，，在同一直线上，
，
，
，，
，
，
，
，，，
，
米
故答案为：12．
【分析】
根据平行投影得，可得，由两角相等的两个三角形相似得，最后由相似三角形的对应边成比例即可求解．
18．（2025·湖南模拟）如图，点在双曲线上，作直线交双曲线于点，过点作轴于点，连接．已知的面积为1，那么　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：点在双曲线上，
∴，
∴，
∴
设直线的解析式为，则：，
∴，
∴，
设，
过点作轴，延长交于点，
则：
∵轴，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点作轴，延长交于点，根据三角形的面积公式可得关于BE的方程，解方程求出BE的值，则由线段的和差BD=BE+ED求得BD的值，根据点B在第二象限可得点B的横坐标，把点B的横坐标代入正比例函数的解析式可求出点的总坐纵标，再根据点B在反比例函数y=即可求解．
三、解答题（本题有8小题，共66分，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24每题9分，第25、26题10分，需要写出必要的推理和解答过程）
19．（2025·湖南模拟）计算：．
【答案】解：原式

【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式的化简、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，结合实数的混合运算顺序计算即可．
20．（2025·湖南模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
；
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则将原式化简，化简后再代入求值即可．
21．（2025·湖南模拟）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角为，C点的俯角为，为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度为6m，求甲建筑物的高度.
（，，，结果保留整数）.
【答案】解：如图，过点作于点，设，根据题意可得：，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度为，
∴，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
即，
∴
解得，
经检验是原分式方程的解且符合题意，
∴．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题， 过点作于点，则，，，在中，，设，则，，，在中，，解得，进而可得出答案．
22．（2025·湖南模拟）为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：（优秀）、（良好）、（一般）、（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取 人，条形统计图中的 ；
（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求等所在扇形圆心角的度数；
（3）该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为等和等共有多少人．
【答案】（1）50，7
（2）解：成绩为C等级人数所占百分比：，∴C等级所在扇形圆心角的度数：，
成绩为A等级的人数：（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：（人），
答：该校学生答题成绩为A等级和B等级共有672人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人），
，
故答案为：50，7；
【分析】
（1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出m的值；
（2）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；先求出成绩为C等级的人数所占百分比，再用360度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在扇形圆心角的度数；
（3）用全校人数乘以成绩为A等级和B等级人数所占百分比，即可估计出该校学生答题成绩为等和等的总数．
（1）解：（人），
，
故答案为：50，7；
（2）解：成绩为C等级人数所占百分比：，
∴C等级所在扇形圆心角的度数：，
成绩为A等级的人数：（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：（人），
答：该校学生答题成绩为A等级和B等级共有672人．
23．（2025·湖南模拟）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
　 甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 45 60
租金（元/辆） 200 300
（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
【答案】（1）解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆
依题意得
解得：，
答：参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆；
（2）解：∵要使每位师生都有座位，∴租45座客车14辆，则租60座客车10辆，
，，
∵
∴租14辆45座客车较合算．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）由师生总数，先求出租用同一种客车，租45座客车需要14辆，租60座客车需要10辆，再分别计算出所需费用进行比较即可．
24．（2025·湖南模拟）将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知，当四边形是菱形时．的长为　 　．
【答案】（1）证明：由题意可知，
，，
，
四边形地平行四边形；
（2）18
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定；菱形的性质
【解析】【解答】解：（2）如图，
在中，，，，
，，
四边形是菱形，
平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】（1）由题意可知，根据全等三角形的性质得，，再由内错角相等两直线平行得出，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明；
（2）如图，在中，由角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得，；再根据菱形的性质（对角线平分对角）得，再由三角形外角性质定理证出即可得，最后根据线段的和差关系即可求解．
（1）【分析】（
（2）【解答】如图，在中，，，，
，，
四边形是菱形，
平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
25．（2025·湖南模拟）如图，在矩形ABCD中，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径的⊙O与对角线AC相交于点E，连接BE，．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若当点E为AC的中点时，⊙O的半径为1，求矩形ABCD的面积．
【答案】（1）证明：如图，连接OE．
∵，
∴．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，即．
∵，
∴，
∴，即，
∴BE为⊙O的切线；
（2）解：∵点E为AC的中点，∴点E为矩形ABCD对角线的交点，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
∵在中，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OE，由，可证明．再由矩形的性质可推出．根据圆的基本性质得出，即可求出，由平角的定义得出，由切线的判定定理即可证明；
（2）由题意可推断点E为矩形ABCD对角线的交点，即可证明，推出为等边三角形，从而可求出．再利用含角的直角三角形的性质即可求出，进而求出，最后根据勾股定理可求出的长，从而求出BC，再由矩形的面积公式即可解答．
（1）如图，连接OE．
∵，
∴．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，即．
∵，
∴，
∴，即，
∴BE为⊙O的切线；
（2）∵点E为AC的中点，
∴点E为矩形ABCD对角线的交点，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
∵在中，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
26．（2025·湖南模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，．
（1）当点与此抛物线的顶点重合时，求的值．
（2）当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差．
（3）当，都在对称轴的左侧时，设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值．
【答案】（1）解：抛物线经过点，
，
抛物线解析式为，
顶点坐标为，
点与此抛物线的顶点重合，点的横坐标为，
，
解得：.
.
（2）解：①轴，
由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，
当轴时，点，关于直线对称，
，
，则，，
，，
点与点的纵坐标的差为；
②轴
同理，当轴时，则，关于直线对称，
，，则，
，；
点与点的纵坐标的差为；
综上所述，点与点的纵坐标的差为1或8；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】（3）解：如图所示，
，都在对称轴的左侧，则，
，
，，即，
；，
，
，即，
解得：或（舍去），
的值为．
【分析】
（1）将点A的坐标代入抛物线求得抛物线解析式，得到顶点坐标，由此可以求出值；
（2）根据题意，分两种情况讨论：①当轴时，点，关于直线对称，可知，从而得到点，的坐标，即可得到答案；②当轴时，则，关于直线对称，可知，从而得到点，的坐标，即可得到答案；
（3）根据题意可知，求得的取值范围，然后用表示出点，的坐标，接着用表示出，，结合，得到关于的方程，解之即可得到答案．
（1）解：抛物线经过点，
，
抛物线解析式为，
顶点坐标为，
点与此抛物线的顶点重合，点的横坐标为，
，
解得：.
.
（2）解：①轴，
由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，
当轴时，点，关于直线对称，
，
，则，，
，，
点与点的纵坐标的差为；
②轴
同理，当轴时，则，关于直线对称，
，，则，
，；
点与点的纵坐标的差为；
综上所述，点与点的纵坐标的差为1或8；
（3）解：如图所示，
，都在对称轴的左侧，则，
，
，，即，
；，
，
，即，
解得：或（舍去），
的值为．
1 / 1湖南省2025年中考数学模拟试卷（一）
一、选择题（共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．（2025·湖南模拟）手机移动支付给生活带来便捷．如图是小颖某天微信账单的收支明细（正数表示收入，负数表示支出，单位：元），小颖当天微信收支的最终结果是（　　）
A．收入18元 B．收入6元 C．支出6元 D．支出12元
2．（2025·湖南模拟）计算下列各组数，结果不等于的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·湖南模拟）如图是由个相同的小立方块搭成的几何体，那么这个几何体的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·湖南模拟）《义务教育课程标准（2022年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定.某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的众数和中位数分别是（　　）
A．3，4 B．4，3 C．3，3 D．4，4
5．（2025·湖南模拟）下列计算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·湖南模拟）把不等式组中每个不等式的解集在同一条数轴上表示出来，正确的为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·湖南模拟）如图，已知，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE．若∠C＝20°，∠AEC＝50°，则∠A＝（　　）
A．10° B．20° C．30° D．40°
8．（2025·湖南模拟）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·湖南模拟）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里，驽马先行一十二日，问良马几何日追及之？其大意是：快马每天行里，慢马每天行里，驽马先行天，快马几天可追上慢马？若设快马天可追上慢马，由题意得（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025·湖南模拟）设抛物线y＝ax2(a＞0)与直线y＝kx＋b相交于两点，它们的横坐标为x1，x2，而x3是直线与x轴交点的横坐标，那么x1，x2，x3的关系是（　　）
A．x3＝x1＋x2. B．x3＝ ＋ .
C．x1x2＝x2x3＋x3x1. D．x1x3＝x2x3＋x1x2.
二、填空题（共8个小题，每小题3分，满分24分）
11．（2025·湖南模拟）若二次根式 有意义，则 x 的取值范围是　 　．
12．（2025·湖南模拟）我国大力发展新质生产力，推动了新能源汽车产业的快速发展．据中国汽车工业协会发布的消息显示.2024年1至3月，我国新能源汽车完成出口万辆．将万用科学记数法表示为．则的值是　 　．
13．（2025·湖南模拟）化简：的结果为　 　．
14．（2025·湖南模拟）因式分解所有公式口诀是：先看有无公因式，后看能否套公式，十字相乘试一试，分组分解要合适．因式分解：　 　．
15．（2025·湖南模拟）黄金分割是公认为最能引起美感的比例，被广泛应用于艺术、建筑、设计等领域．黄金分割点比例计算公式为，其中 介于整数和之间，则的值是　 　．
16．（2025·湖南模拟）二维码在日常生活中被广泛应用，某数学兴趣小组对其开展数学实验活动．如图，在边长为的正方形区域内利用计算机软件进行随机掷点模拟实验．经过大量重复实验，发现点落在黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个正方形区域内黑色部分的面积为　 　．
17．（2025·湖南模拟）某项目学习小组为了测量直立在水平地面上的旗杆的高度，把标杆直立在同一水平地面上（如图）．同一时刻测得旗杆和标杆在太阳光下的影长分别是米，米．已知，，，在同一直线上，，，米，则　 　米．
18．（2025·湖南模拟）如图，点在双曲线上，作直线交双曲线于点，过点作轴于点，连接．已知的面积为1，那么　 　．
三、解答题（本题有8小题，共66分，第19、20题每题6分，第21、22题每题8分，第23、24每题9分，第25、26题10分，需要写出必要的推理和解答过程）
19．（2025·湖南模拟）计算：．
20．（2025·湖南模拟）先化简，再求值：，其中．
21．（2025·湖南模拟）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物A点处测得乙建筑物D点的俯角为，C点的俯角为，为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度为6m，求甲建筑物的高度.
（，，，结果保留整数）.
22．（2025·湖南模拟）为提高学生的安全意识，某学校组织学生参加了“安全知识答题”活动．该校随机抽取部分学生答题成绩进行统计，将成绩分为四个等级：（优秀）、（良好）、（一般）、（不合格），并根据结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所给信息解答下列问题：
（1）这次抽样调查共抽取 人，条形统计图中的 ；
（2）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中，求等所在扇形圆心角的度数；
（3）该校有1200名学生，估计该校学生答题成绩为等和等共有多少人．
23．（2025·湖南模拟）为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示：
　 甲型客车 乙型客车
载客量（人/辆） 45 60
租金（元/辆） 200 300
（1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？
（2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？
24．（2025·湖南模拟）将两个完全相同的含有角的直角三角板在同一平面内按如图所示位置摆放．点A，E，B，D依次在同一直线上，连结、．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）已知，当四边形是菱形时．的长为　 　．
25．（2025·湖南模拟）如图，在矩形ABCD中，点O为边AB上一点，以点O为圆心，OA为半径的⊙O与对角线AC相交于点E，连接BE，．
（1）求证：BE为⊙O的切线；
（2）若当点E为AC的中点时，⊙O的半径为1，求矩形ABCD的面积．
26．（2025·湖南模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点．点，在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，．
（1）当点与此抛物线的顶点重合时，求的值．
（2）当的边与轴平行时，求点与点的纵坐标的差．
（3）当，都在对称轴的左侧时，设此抛物线在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为，在点与点之间部分（包括点和点）的最高点与最低点的纵坐标的差为．当时，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】有理数的加法实际应用；用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：（元），
即小颖当天微信收支的最终结果是收入6元．
故选：B．
【分析】利用有理数的加法解答即可．
2．【答案】D
【知识点】化简多重符号有理数；化简含绝对值有理数
【解析】【解答】解：A、，故该选项不符合题意；
B、，故该选项不符合题意；
C、，故该选项不符合题意；
D、，故该选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据多重符号化简和绝对值化简，逐项判断即可．
3．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左边看第一层是三个小正方形，第二层中间一个小正方形．
故答案为：A．
【分析】从左边向右看得到的正投影就是其左视图，据此逐一判断可得答案．
4．【答案】A
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：3出现次数最多，
众数是3；
把这组数据从小到大排序为：3，3，3，4，4，5，6，
4位于第四位，
中位数为4；
故答案为：A.
【分析】把这组数据从小到大排序，找出最中间的数据可得中位数，找出出现次数最多的数据即为众数.
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】A．，不符合题意；
B．，不符合题意；
C．，不符合题意；
D．，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用幂的乘方，同底数幂的除法法则，积的乘方，完全平方公式计算求解即可。
6．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解①得，
解②得，
不等式组的解集为，在数轴上表示为：
，
故答案为：C．
【分析】先分别解两个不等式求出解集，然后在数轴上表示公共部分即可．
7．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵∠C+∠D＝∠AEC，
∴∠D=∠AEC-∠C＝50°-20°=30°，
∵，
∴∠A＝∠D=30°，
故答案为：C．
【分析】根据三角形外角的性质和平行线的性质（两直线平行，内错角相等）即可解答.
8．【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，，过圆心，连接，，
，
∵，
，
，，
设，
，
，，
，
，
，
，
，
纸杯的直径为．
故答案为：B．
【分析】
如图，，过圆心，连接，，先垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．
9．【答案】D
【知识点】一元一次方程的实际应用-行程问题；列一元一次方程
【解析】【解答】解：设快马天可追上慢马，此时慢马所行时间为（x+12）天，
由题意得
故选：D．
【分析】设快马天可追上慢马，根据路程相等得：快马追赶时间×快马速度=（慢马先行驶的时间+快马追赶时间）×慢马的速度，据此列出方程即可求解．
10．【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：由题意得 和 为方程 的两个根，即 ，
， ；
；
直线与 轴交点的横坐标为： ，
.
.
故答案为： .
【分析】将直线y＝kx＋b与抛物线y＝ax2联立，构成一元二次方程，求出两根积与两根和的表达式；然后将欲证等式的左边通分，转化为两根积与两根和的形式，将以上两表达式代入得到等式左边的值；再求出直线解析式求出与x轴的交点横坐标，进行比较即可得出答案。即可得出答案．
11．【答案】x≤3
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵二次根式 有意义，
∴3﹣x≥0，
解得：x≤3．
故答案为：x≤3．
【分析】二次根式有意义，则被开方数≥0，建立不等式求解即可。
12．【答案】5
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：万，
故答案为：5．
【分析】
根据科学记数法的定义，表示较大的数时，中的范围是，为正整数，其与原数的整数部分的位数的关系是，由此即可解答．
13．【答案】
【知识点】同分母分式的加、减法
【解析】【解答】解：
原式
故答案为：．
【分析】根据同分母分式的相加减，分母不变，分子相加减解答即可．
14．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
根据因式分解的一般步骤，先提取公因式，再用平方差公式分解即可．
15．【答案】
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据二次根式的大小比较，利用夹逼法可得，即得，进而得，据此即可求解．
16．【答案】
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：根据题意，估计这个区域内黑色部分的总面积约为，
故答案为：．
【分析】
利用频率估计概率，再用正方形面积乘以点落在区域内黑色部分的概率即可解答．
17．【答案】12
【知识点】相似三角形的实际应用；平行投影；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵同一时刻太阳光为平行光，，，，在同一直线上，
，
，
，，
，
，
，
，，，
，
米
故答案为：12．
【分析】
根据平行投影得，可得，由两角相等的两个三角形相似得，最后由相似三角形的对应边成比例即可求解．
18．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：点在双曲线上，
∴，
∴，
∴
设直线的解析式为，则：，
∴，
∴，
设，
过点作轴，延长交于点，
则：
∵轴，
∴，
∴四边形为矩形，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】过点作轴，延长交于点，根据三角形的面积公式可得关于BE的方程，解方程求出BE的值，则由线段的和差BD=BE+ED求得BD的值，根据点B在第二象限可得点B的横坐标，把点B的横坐标代入正比例函数的解析式可求出点的总坐纵标，再根据点B在反比例函数y=即可求解．
19．【答案】解：原式

【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先根据二次根式的化简、负整数指数幂、特殊角的三角函数值，结合实数的混合运算顺序计算即可．
20．【答案】解：原式
；
当时，原式．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先根据分式的混合运算法则将原式化简，化简后再代入求值即可．
21．【答案】解：如图，过点作于点，设，根据题意可得：，，
∴，
∴四边形是矩形，
∵从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯角为，点的俯角为，为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度为，
∴，，，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，
即，
∴
解得，
经检验是原分式方程的解且符合题意，
∴．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题， 过点作于点，则，，，在中，，设，则，，，在中，，解得，进而可得出答案．
22．【答案】（1）50，7
（2）解：成绩为C等级人数所占百分比：，∴C等级所在扇形圆心角的度数：，
成绩为A等级的人数：（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：（人），
答：该校学生答题成绩为A等级和B等级共有672人．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（人），
，
故答案为：50，7；
【分析】
（1）用B等级的人数除以其所占百分比，即可求出抽取的总人数，用抽取总人数乘以成绩为D等级所占百分比，即可求出m的值；
（2）用抽取总人数乘以A等级的人数所占百分比，求出成绩为A等级的人数，即可补全条形统计图；先求出成绩为C等级的人数所占百分比，再用360度乘以成绩为C等级的人数所占百分比即可求出C等级所在扇形圆心角的度数；
（3）用全校人数乘以成绩为A等级和B等级人数所占百分比，即可估计出该校学生答题成绩为等和等的总数．
（1）解：（人），
，
故答案为：50，7；
（2）解：成绩为C等级人数所占百分比：，
∴C等级所在扇形圆心角的度数：，
成绩为A等级的人数：（人），
补全条形统计图如图所示：
（3）解：（人），
答：该校学生答题成绩为A等级和B等级共有672人．
23．【答案】（1）解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆
依题意得
解得：，
答：参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆；
（2）解：∵要使每位师生都有座位，∴租45座客车14辆，则租60座客车10辆，
，，
∵
∴租14辆45座客车较合算．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意列出二元一次方程组求解即可；
（2）由师生总数，先求出租用同一种客车，租45座客车需要14辆，租60座客车需要10辆，再分别计算出所需费用进行比较即可．
24．【答案】（1）证明：由题意可知，
，，
，
四边形地平行四边形；
（2）18
【知识点】等腰三角形的判定；含30°角的直角三角形；平行四边形的判定；菱形的性质
【解析】【解答】解：（2）如图，
在中，，，，
，，
四边形是菱形，
平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】（1）由题意可知，根据全等三角形的性质得，，再由内错角相等两直线平行得出，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明；
（2）如图，在中，由角所对的直角边等于斜边的一半和直角三角形锐角互余易得，；再根据菱形的性质（对角线平分对角）得，再由三角形外角性质定理证出即可得，最后根据线段的和差关系即可求解．
（1）【分析】（
（2）【解答】如图，在中，，，，
，，
四边形是菱形，
平分，
，
，
，
，
，
，
故答案为：．
25．【答案】（1）证明：如图，连接OE．
∵，
∴．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，即．
∵，
∴，
∴，即，
∴BE为⊙O的切线；
（2）解：∵点E为AC的中点，∴点E为矩形ABCD对角线的交点，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
∵在中，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；切线的判定
【解析】【分析】（1）连接OE，由，可证明．再由矩形的性质可推出．根据圆的基本性质得出，即可求出，由平角的定义得出，由切线的判定定理即可证明；
（2）由题意可推断点E为矩形ABCD对角线的交点，即可证明，推出为等边三角形，从而可求出．再利用含角的直角三角形的性质即可求出，进而求出，最后根据勾股定理可求出的长，从而求出BC，再由矩形的面积公式即可解答．
（1）如图，连接OE．
∵，
∴．
∵四边形ABCD是矩形，
∴，
∴，即．
∵，
∴，
∴，即，
∴BE为⊙O的切线；
（2）∵点E为AC的中点，
∴点E为矩形ABCD对角线的交点，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∴．
∵在中，，
∴，
∴，，
∴，
∴．
26．【答案】（1）解：抛物线经过点，
，
抛物线解析式为，
顶点坐标为，
点与此抛物线的顶点重合，点的横坐标为，
，
解得：.
.
（2）解：①轴，
由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，
当轴时，点，关于直线对称，
，
，则，，
，，
点与点的纵坐标的差为；
②轴
同理，当轴时，则，关于直线对称，
，，则，
，；
点与点的纵坐标的差为；
综上所述，点与点的纵坐标的差为1或8；
（3）
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】（3）解：如图所示，
，都在对称轴的左侧，则，
，
，，即，
；，
，
，即，
解得：或（舍去），
的值为．
【分析】
（1）将点A的坐标代入抛物线求得抛物线解析式，得到顶点坐标，由此可以求出值；
（2）根据题意，分两种情况讨论：①当轴时，点，关于直线对称，可知，从而得到点，的坐标，即可得到答案；②当轴时，则，关于直线对称，可知，从而得到点，的坐标，即可得到答案；
（3）根据题意可知，求得的取值范围，然后用表示出点，的坐标，接着用表示出，，结合，得到关于的方程，解之即可得到答案．
（1）解：抛物线经过点，
，
抛物线解析式为，
顶点坐标为，
点与此抛物线的顶点重合，点的横坐标为，
，
解得：.
.
（2）解：①轴，
由（1）可知，抛物线的对称轴为直线，
当轴时，点，关于直线对称，
，
，则，，
，，
点与点的纵坐标的差为；
②轴
同理，当轴时，则，关于直线对称，
，，则，
，；
点与点的纵坐标的差为；
综上所述，点与点的纵坐标的差为1或8；
（3）解：如图所示，
，都在对称轴的左侧，则，
，
，，即，
；，
，
，即，
解得：或（舍去），
的值为．
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