资源简介

湖南省株洲市2025年中考一模数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·株洲模拟）下列所示气温最低的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·株洲模拟）据悉，国家将在2035年前建成以北斗系统为核心的综合时空体系，以提供安全、便捷、高效的定位导航授时服务．截止目前，北斗产品应用总量已超过1550万台／套．数据15500000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·株洲模拟）榫卯是将两个木制单元凹凸接合的方式，是数千年以来中华古建筑的灵魂所在．下列四种榫，以箭头为主视方向，则其主视图是如图所示的图形是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·株洲模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·株洲模拟）如图是某兰花爱好者随机抽取了5种蝴蝶兰，想从单枝上花朵的数量来描述其观赏性，每种兰花单枝上的花朵数标记在图中，问这组数据的中位数和众数是（　　）
A．4，4 B．4，9 C．5，9 D．9，9
6．（2025·株洲模拟）如图是一块含角的三角板，内外两个三角形中，如果它们的斜边的比为，则它们的面积比值为（　　）
A． B． C． D．4
7．（2025·株洲模拟）已知点是直线上一点，则的值为（　　）
A．2 B．0 C． D．
8．（2025·株洲模拟）如图，是的切线，是切点，是上一点，连接并延长交切线于点，已知，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·株洲模拟）对于二次函数的图像性质，下列说法不正确的是（　　）
A．开口向上 B．过定点
C．有最小值 D．与轴一定有交点
10．（2025·株洲模拟）定义：如果一个正整数的平方可以分割为两个数字，且这两个数字相加后等于，那么就是“雷公数”．“雷公数”是自然数的一类．如：，所以2025是一个“雷公数”．对于“雷公数”的描述，下列结论错误的是（　　）
A．81是最小的雷公数
B．当是正整数时，一定是雷公数
C．若是雷公数，则
D．除100外，三位数中，不存在其他的雷公数
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025·株洲模拟）化简：　 　．
12．（2025·株洲模拟）分解因式：x2-5x=　 　.
13．（2025·株洲模拟）已知反比例函数的图象经过点，则k的值是　 　．
14．（2025·株洲模拟）已知点在轴上方，则的取值范围是　 　．
15．（2025·株洲模拟）如图，有四张质地材料和背面图案都相同的四张扑克牌，现将它们背面朝上放置在桌面上，从中任意抽取一张扑克牌，抽到数字为4的扑克牌的概率是　 　．
16．（2025·株洲模拟）如图，是凸透镜成像规律中的一种情形，，，则　 　°．
17．（2025·株洲模拟）如图，在中，，，对角线．分别以、为圆心，以大于长为半径画四条弧，交于点、，过点、画直线交于点，交于点，交于点，则线段的长为　 　．
18．（2025·株洲模拟）“赵爽弦图”是由汉代数学家赵爽提出的．图形由大小两个正方形和四个全等的直角三角形构成，如图1，赵爽用它给出了勾股定理的详细证明．如图2，点E是正方形内任意一点，且，把（其中）绕正方形的中心旋转三次，每次旋转，可以构造出“赵爽弦图”，连接、，若是等腰三角形，则的值为　 　．
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（2025·株洲模拟）计算：．
20．（2025·株洲模拟）先化简，再求值：，其中．
21．（2025·株洲模拟）某校为调查学生对人工智能技术的了解程度，随机抽取部分学生进行问卷调査，并将结果整理成加下不完整的统计图．其中，为“非常了解”，为“了解较多”，为“基本了解”，为“不了解”．请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少名学生？
（2）补全条形统计图（类别对应人数要标出），并求出扇形统计图中“不了解”对应的圆心角度数；
（3）若全校共有1500名学生，请估计全校“非常了解”人工智能技术的学生人数．
22．（2025·株洲模拟）某数学兴趣小组测量神农广场炎帝雕像的高度（含底座），测量方案与数据如表：
项目名称 测量神农广场炎帝雕像的高度
方案 方案①“测角仪” 方案②“直臂尺法”
方案示意图
测量过程 ①选取与雕像底部位于同一水平地面的处； ②站在处，用测角仪测量从眼睛处看雕像顶部的仰角； ③测量，两点间的距离； ④测量眼睛到地面的高度． ①人站在与雕像底部位于同一水平地面的处；手臂水平伸直，拇指竖起； ②调整人与雕像的距离，利用视线使眼睛、拇指顶端与雕像顶部在同一直线上； ③测量，两点间的距离； ④测量眼睛到地面的高度； ⑤测量手臂长，母指长．
测量数据 米；；米． 米；米； 米；米．
备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③参考数据：，， ①图上所有点均在同一平面内； ②，，，均与地面垂直； ③手臂与地面平行；
请你从以上两种方案中任选一种，求炎帝雕像的高度是多少米？（结果精确到米）
23．（2025·株洲模拟）某商场准备采购智能手表和蓝牙耳机进行促销，智能手表的单价是蓝牙耳机的4倍，用2400元单独购买智能手表比单独购买蓝牙耳机少12个．
（1）求智能手表和蓝牙耳机的单价；
（2）若计划采购两种产品共60个，且智能手表数量不少于蓝牙耳机的，如何采购可使总成本最低？最低成本是多少元？
24．（2025·株洲模拟）如图，在以为直径的上有一点，以为对角线作正方形，恰好点在直径上，连接并延长交于点，连接．
（1）求的值；
（2）若的半径为2，求弦的长．
25．（2025·株洲模拟）【问题背景】如图1，正方形的边长为8，是正方形内一点，是直角三角形，，把绕点逆时针旋转到，连接交于点，连接．
【初步感知】（1）求证：；
【研究感悟】（2）求线段长度的最小值；
【深度探索】（3）在线段上截取，连接，如图2所示，若，求线段的长．
26．（2025·株洲模拟）二次函数与轴相交于，两点，与轴交于点，它的对称轴是直线．
（1）求此二次函数的解析式和点的坐标；
（2）如图1，是轴右侧的抛物线上一点，连接与拋线线的对称轴交于点，过点作于点，连接．是否存在点，使与全等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接，是轴上正半轴上一点，以为半径作，若与线段只有一个公共点，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵且，
∴，
故答案为：A．
【分析】
根据有理数的大小比较法则：正数大于0，0大于负数，负数的绝对值越大的数反而越小．即可判断．
2．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】根据科学记数法的表示形式：将一个数表示为基数a与10的幂次相乘的形式，即a×10n。其中，a的绝对值在1到10之间，n为整数。据此即可求解
3．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：的主视图是，
故答案为：B．
【分析】
由三视图的定义及简单组合体的三视图即可判断解答．
．
4．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；负整数指数幂；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故A错误，不符合题意；
B、，故B正确，符合题意；
C、，故C错误，不符合题意；
D、，故D错误，不符合题意，
故答案为：B．
【分析】
分别根据合并同类项法则、负整数指数幂的运算、同底数幂的乘除法运算逐一判断即可.
5．【答案】D
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：每种兰花单枝上的花朵数从小到大排列为，
则这组数据的中位数为，
这组数据的众数为，
故答案为：D．
【分析】先对各个数从小到大进行排列，然后根据根据该数列数量是奇数还是偶数，假如是奇数，则取该数列中间的那个数，若是偶数，则用中间两个数相加，除以2，即可求出中位数；根据众数的定义：众数是指该数列中出现次数最多的那个数，据此即可求解
6．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵两个三角形是含角的三角板，
∴这两个三角形相似，
∵它们的斜边之比为，
∴它们的面积之比为，
故答案为：C．
【分析】
由相似三角形的性质得到两个三角形的面积比等于边长比的平方即可解答.
7．【答案】A
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把点代入直线，
可得，
解得，
故答案为：A．
【分析】
将点P的坐标代入直线解析式即可解答.
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：是的切线，是切点，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】
由切线的性质得，进而得，根据圆周角定理，即可求解．
9．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A.，
∴抛物线开口向上，故该选项正确，不符合题意；
B.当时，函数值，
∴抛物线过定点，该选项正确，不符合题意；
C.抛物线爱你开口向上，有最小值，该选项正确，不符合题意；
D.，当时，，抛物线与轴无交点，该选项错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据二次函数得图形及性质逐一判断各选项即可.
10．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】 【解答】解：A.，所以81是雷公数，且16，25，36，49，64都不是雷公数，所以81是最小的雷公数，该选项正确，故不符合题意；
B.，可以看作和两部分，当是正整数时，两部分都是正整数，
∴一定是雷公数，该选项正确，故不符合题意；
C.当时，，，
∴该选项错误，故符合题意；
D.通过计算剩余三位数121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，529，576，625，676，
729，784，841，900，961，都不是雷公数，该选项正确，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】
结合具体例子正确理解新定义“雷公数”，根据新定义逐项判断即可．
11．【答案】
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
根据合并同类项法则计算即可．
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2﹣5x=x（x﹣5）.
故答案为x（x﹣5）.
【分析】直接提取公因式x分解因式即可.
13．【答案】6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：反比例函数的图象经过点，
，
，
故答案为：6
【分析】将点（3，2）代入，即可求出k的值。
14．【答案】
【知识点】解一元一次不等式；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在轴上方，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】
根据平面直角坐标系内点坐标的特征，列出满足条件的不等式即可解答．
15．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：共有4张扑克牌，数字为4的扑克牌共有2张，则抽到数字为4的扑克牌的概率是，
故答案为：．
【分析】
根据题意知，共有4张扑克牌，数字为4的扑克牌共有2张，由此利用概率公式计算即可.
16．【答案】40
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：40．
【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，求出的度数，然后再一次根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，即可求出的值
17．【答案】
【知识点】解直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可得为的垂直平分线，
点是的中点，
对角线，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
根据题意，易知为的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，解直角三角形即可解答．
18．【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形；“赵爽弦图”模型
【解析】【改正】
【解答】解：设，
把绕正方形的中心旋转三次，每次旋转，
，，
，，
当时，
可得，
解得或（舍去），
，
当时，
可得，
解得或（舍去），
，
故也不成立，
当时，
可得，
解得或（舍去），
，
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
【分析】
根据题意，由旋转的性质和勾股定理，设则可得，，再根据是等腰三角形，按边分类，分成三种情况，分别列出方程解出a与b的关系，从而根据正切函数的定义即可解答.
19．【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据负整数幂、二次根式、零指数幂的运算方法，将、和进行运算，然后再计算特殊角的三角函数值，最后再将这些数相加减即可
20．【答案】解：
，
当时，原式=．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先对括号内的分式进行通分运算，然后再对括号外的分式的分子根据平方差公式进行分解，再将除法换算乘法，再进行约分化简，最后再将a的值代入化简后的式子中，即可求解
21．【答案】（1）解：三类总人数为人，占总人数的90%，
故总人数为，
答：本次调查共抽取了名学生；
（2）解：补全D的条形为人，如图所示，
“不了解”圆心角为：；
（3）解：全校“非常了解”AI技术的人数：名．
答：估计全校“非常了解”人工智能技术的学生人数为300名.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）结合条形统计图和扇形图先求出三类的总人数和所占的百分比，再用三类的总人数除以所占的百分比即可解答；
（2）先由总人数计算出类别对应人数，再补全条形统计图，最后再计算扇形统计图对应的圆心角即可；
（3）利用样本估计总量即可解答．
（1）解：三类总人数为人，占总人数的90%，
故总人数为，
答：本次调查共抽取了名学生；
（2）解：补全D的条形为人，如图所示，
“不了解”圆心角为：；
（3）解：全校“非常了解”AI技术的人数：名．
22．【答案】解：选方案①：由题意得，四边形是矩形，
米，米，，
米，
∴米，
答：雕像高约为米；
选方案②：
由题意得，，四边形是矩形，
∴米，米，，
∴，
即，
∴米，
∴米，
答：雕像高约为米．
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
根据题意，结合实际问题解直角三角形，方案①根据锐角三角函数的定义求出即可求解；方案②利用相似三角形的判定和性质求出即可求解．
23．【答案】（1）解：设蓝牙耳机单价为x元，则智能手表的单价为元，根据题意得
解得：
经检验：是所列方程的解．
元，
答：蓝牙耳机单价为150元，智能手表单价为600元．
（2）解：设采购智能手表m个，则蓝牙耳机采购个，根据题意得
∵蓝牙耳机单价150元，智能手表单价600元；
设采购总成本为W元，则
，，
（元）
采购智能手表12个、蓝牙耳机48个时采购成本最低，最低成本为14400元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设蓝牙耳机单价为元，智能手表单价为元．依据“元单独买智能手表比单独买蓝牙耳机少个”列出分式方程，求解并检验即可解答．
（2）设采购智能手表个，则蓝牙耳机个．先根据“智能手表数量不少于蓝牙耳机的”列不等式确定的取值范围，再根据单价列出总成本关于的函数表达式，根据自变量ｍ的取值范围，利用一次函数性质求出的最小值及对应的采购数量．
（1）解：设蓝牙耳机单价为x元，则智能手表的单价为元，根据题意得
解得：
经检验：是所列方程的解．
元，
答：蓝牙耳机单价为150元，智能手表单价为600元．
（2）设采购智能手表m个，则蓝牙耳机采购个，根据题意得
∵蓝牙耳机单价150元，智能手表单价600元；
设采购总成本为W元，则
，，
（元）
采购智能手表12个、蓝牙耳机48个时采购成本最低，最低成本为14400元．
24．【答案】（1）解：设正方形的边长为a，
则圆O的半径，
，
；

（2）解：为的直径，
，
半径，
，
，
设，
则，
，
．
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，正方形的性质，解直角三角形，熟知直角三角形中各边之间与三角函数对应的关系是解题的关键．
（1）设正方形的边长为a，利用正方形的性质及勾股定理得半径为，即可解答；
（2）由圆周角定理得，根据，设，利用勾股定理列方程求得，即可解答．
（1）解：设正方形的边长为a，
则圆O的半径，
，
；
（2）解：为的直径，
，
半径，
，
，
设，
则，
，
．
25．【答案】解：（1），由逆时针旋转知，
，，
，
；
（2）
在以为直径的圆M上运动，圆心为的中点，如图，
，，
在正方形中，，，连接
根据勾股定理可得，
当点E在线段上时（即D、E、M三点共线），取得最小值．
此时；
（3）由题意知，在中，，，
，，
由旋转知，，，
由（1）知，
，
，
设，则，
，
，
，
，，
在中，
．
【知识点】圆周角定理；旋转的性质；定角定弦辅助圆模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】
（1）根据旋转的性质可得，再由同旁内角互补两直线平行即可证明；
（2）利用定弦定角可得在以为直径的圆M上运动，圆心为的中点，连接DM，当点E在线段上时（即D、E、M三点共线），取得最小值，根据勾股定理即可解答；
（3）证明，求得，，再利用勾股定理即可解答．
26．【答案】（1）解：依题意得：，
解得：，
二次函数解析式为：，
，
令，解得：或4，
令，则，
，，
故此抛物线的解析式为：，．
（2）解：如图，对称轴是直线，
①当时，P在第一象限，，
，代入中，
，
，
，
设直线解析式为，
则，解得：，
，
，
，
．
②当时，P在第四象限，显然与不全等；
（或者，
，代入中，
，
，
，
设直线解析式为，
则，解得：，
，
，
，
与不全等
综上所述，存在点，使与全等．
（3）解：依题意知：的半径，
①当与线段相切时，如图所示，
设切点为H，连接，则，，，
，，
，
，
，
；
②当经过点时，M为中点，．
③当经过点时，如图，
，，，
，
，
，
，
当与线段只有一个公共点时，m的取值范围是：或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形全等及其性质；切线的性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】
（1）将点代入函数解析式，再由对称轴是直线，运用待定系数法求出二次函数解析式，再令y=0，即可求出点B的坐标；
（2）分为①当时，②当时，结合图象和全等三角形判定求解即可．
（3）根据题意，与线段只有一个公共点，可分为三种情况：①当与线段相切时，②当经过点时，③当经过点时，对应的临界值，即可求解．
（1）解：依题意得：，
解得：，
二次函数解析式为：，
，
令，解得：或4，
令，则，
，，
故此抛物线的解析式为：，．
（2）解：如图，对称轴是直线，
①当时，P在第一象限，，
，代入中，
，
，
，
设直线解析式为，
则，解得：，
，
，
，
．
②当时，P在第四象限，显然与不全等；
（或者，
，代入中，
，
，
，
设直线解析式为，
则，解得：，
，
，
，
与不全等）
综上所述，存在点，使与全等．
（3）解：依题意知：的半径，
①当与线段相切时，如图所示，
设切点为H，连接，则，，，
，，
，
，
，
；
②当经过点时，M为中点，．
③当经过点时，如图，
，，，
，
，
，
，
当与线段只有一个公共点时，m的取值范围是：或．
1 / 1湖南省株洲市2025年中考一模数学试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·株洲模拟）下列所示气温最低的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法；有理数的大小比较-绝对值比较法
【解析】【解答】解：∵且，
∴，
故答案为：A．
【分析】
根据有理数的大小比较法则：正数大于0，0大于负数，负数的绝对值越大的数反而越小．即可判断．
2．（2025·株洲模拟）据悉，国家将在2035年前建成以北斗系统为核心的综合时空体系，以提供安全、便捷、高效的定位导航授时服务．截止目前，北斗产品应用总量已超过1550万台／套．数据15500000用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】根据科学记数法的表示形式：将一个数表示为基数a与10的幂次相乘的形式，即a×10n。其中，a的绝对值在1到10之间，n为整数。据此即可求解
3．（2025·株洲模拟）榫卯是将两个木制单元凹凸接合的方式，是数千年以来中华古建筑的灵魂所在．下列四种榫，以箭头为主视方向，则其主视图是如图所示的图形是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：的主视图是，
故答案为：B．
【分析】
由三视图的定义及简单组合体的三视图即可判断解答．
．
4．（2025·株洲模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；负整数指数幂；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、，故A错误，不符合题意；
B、，故B正确，符合题意；
C、，故C错误，不符合题意；
D、，故D错误，不符合题意，
故答案为：B．
【分析】
分别根据合并同类项法则、负整数指数幂的运算、同底数幂的乘除法运算逐一判断即可.
5．（2025·株洲模拟）如图是某兰花爱好者随机抽取了5种蝴蝶兰，想从单枝上花朵的数量来描述其观赏性，每种兰花单枝上的花朵数标记在图中，问这组数据的中位数和众数是（　　）
A．4，4 B．4，9 C．5，9 D．9，9
【答案】D
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：每种兰花单枝上的花朵数从小到大排列为，
则这组数据的中位数为，
这组数据的众数为，
故答案为：D．
【分析】先对各个数从小到大进行排列，然后根据根据该数列数量是奇数还是偶数，假如是奇数，则取该数列中间的那个数，若是偶数，则用中间两个数相加，除以2，即可求出中位数；根据众数的定义：众数是指该数列中出现次数最多的那个数，据此即可求解
6．（2025·株洲模拟）如图是一块含角的三角板，内外两个三角形中，如果它们的斜边的比为，则它们的面积比值为（　　）
A． B． C． D．4
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵两个三角形是含角的三角板，
∴这两个三角形相似，
∵它们的斜边之比为，
∴它们的面积之比为，
故答案为：C．
【分析】
由相似三角形的性质得到两个三角形的面积比等于边长比的平方即可解答.
7．（2025·株洲模拟）已知点是直线上一点，则的值为（　　）
A．2 B．0 C． D．
【答案】A
【知识点】一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把点代入直线，
可得，
解得，
故答案为：A．
【分析】
将点P的坐标代入直线解析式即可解答.
8．（2025·株洲模拟）如图，是的切线，是切点，是上一点，连接并延长交切线于点，已知，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：是的切线，是切点，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】
由切线的性质得，进而得，根据圆周角定理，即可求解．
9．（2025·株洲模拟）对于二次函数的图像性质，下列说法不正确的是（　　）
A．开口向上 B．过定点
C．有最小值 D．与轴一定有交点
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A.，
∴抛物线开口向上，故该选项正确，不符合题意；
B.当时，函数值，
∴抛物线过定点，该选项正确，不符合题意；
C.抛物线爱你开口向上，有最小值，该选项正确，不符合题意；
D.，当时，，抛物线与轴无交点，该选项错误，符合题意；
故答案为：D．
【分析】
根据二次函数得图形及性质逐一判断各选项即可.
10．（2025·株洲模拟）定义：如果一个正整数的平方可以分割为两个数字，且这两个数字相加后等于，那么就是“雷公数”．“雷公数”是自然数的一类．如：，所以2025是一个“雷公数”．对于“雷公数”的描述，下列结论错误的是（　　）
A．81是最小的雷公数
B．当是正整数时，一定是雷公数
C．若是雷公数，则
D．除100外，三位数中，不存在其他的雷公数
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】 【解答】解：A.，所以81是雷公数，且16，25，36，49，64都不是雷公数，所以81是最小的雷公数，该选项正确，故不符合题意；
B.，可以看作和两部分，当是正整数时，两部分都是正整数，
∴一定是雷公数，该选项正确，故不符合题意；
C.当时，，，
∴该选项错误，故符合题意；
D.通过计算剩余三位数121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441，484，529，576，625，676，
729，784，841，900，961，都不是雷公数，该选项正确，故不符合题意；
故答案为：C．
【分析】
结合具体例子正确理解新定义“雷公数”，根据新定义逐项判断即可．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．（2025·株洲模拟）化简：　 　．
【答案】
【知识点】合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
根据合并同类项法则计算即可．
12．（2025·株洲模拟）分解因式：x2-5x=　 　.
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：x2﹣5x=x（x﹣5）.
故答案为x（x﹣5）.
【分析】直接提取公因式x分解因式即可.
13．（2025·株洲模拟）已知反比例函数的图象经过点，则k的值是　 　．
【答案】6
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式
【解析】【解答】解：反比例函数的图象经过点，
，
，
故答案为：6
【分析】将点（3，2）代入，即可求出k的值。
14．（2025·株洲模拟）已知点在轴上方，则的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在轴上方，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】
根据平面直角坐标系内点坐标的特征，列出满足条件的不等式即可解答．
15．（2025·株洲模拟）如图，有四张质地材料和背面图案都相同的四张扑克牌，现将它们背面朝上放置在桌面上，从中任意抽取一张扑克牌，抽到数字为4的扑克牌的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：共有4张扑克牌，数字为4的扑克牌共有2张，则抽到数字为4的扑克牌的概率是，
故答案为：．
【分析】
根据题意知，共有4张扑克牌，数字为4的扑克牌共有2张，由此利用概率公式计算即可.
16．（2025·株洲模拟）如图，是凸透镜成像规律中的一种情形，，，则　 　°．
【答案】40
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
故答案为：40．
【分析】根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，求出的度数，然后再一次根据平行线的性质：两直线平行，同位角相等，即可求出的值
17．（2025·株洲模拟）如图，在中，，，对角线．分别以、为圆心，以大于长为半径画四条弧，交于点、，过点、画直线交于点，交于点，交于点，则线段的长为　 　．
【答案】
【知识点】解直角三角形；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可得为的垂直平分线，
点是的中点，
对角线，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
根据题意，易知为的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，解直角三角形即可解答．
18．（2025·株洲模拟）“赵爽弦图”是由汉代数学家赵爽提出的．图形由大小两个正方形和四个全等的直角三角形构成，如图1，赵爽用它给出了勾股定理的详细证明．如图2，点E是正方形内任意一点，且，把（其中）绕正方形的中心旋转三次，每次旋转，可以构造出“赵爽弦图”，连接、，若是等腰三角形，则的值为　 　．
【答案】或
【知识点】等腰三角形的判定与性质；解直角三角形；“赵爽弦图”模型
【解析】【改正】
【解答】解：设，
把绕正方形的中心旋转三次，每次旋转，
，，
，，
当时，
可得，
解得或（舍去），
，
当时，
可得，
解得或（舍去），
，
故也不成立，
当时，
可得，
解得或（舍去），
，
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
【分析】
根据题意，由旋转的性质和勾股定理，设则可得，，再根据是等腰三角形，按边分类，分成三种情况，分别列出方程解出a与b的关系，从而根据正切函数的定义即可解答.
三、解答题（本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．（2025·株洲模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的混合运算；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】根据负整数幂、二次根式、零指数幂的运算方法，将、和进行运算，然后再计算特殊角的三角函数值，最后再将这些数相加减即可
20．（2025·株洲模拟）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：
，
当时，原式=．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先对括号内的分式进行通分运算，然后再对括号外的分式的分子根据平方差公式进行分解，再将除法换算乘法，再进行约分化简，最后再将a的值代入化简后的式子中，即可求解
21．（2025·株洲模拟）某校为调查学生对人工智能技术的了解程度，随机抽取部分学生进行问卷调査，并将结果整理成加下不完整的统计图．其中，为“非常了解”，为“了解较多”，为“基本了解”，为“不了解”．请根据图表中提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少名学生？
（2）补全条形统计图（类别对应人数要标出），并求出扇形统计图中“不了解”对应的圆心角度数；
（3）若全校共有1500名学生，请估计全校“非常了解”人工智能技术的学生人数．
【答案】（1）解：三类总人数为人，占总人数的90%，
故总人数为，
答：本次调查共抽取了名学生；
（2）解：补全D的条形为人，如图所示，
“不了解”圆心角为：；
（3）解：全校“非常了解”AI技术的人数：名．
答：估计全校“非常了解”人工智能技术的学生人数为300名.
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）结合条形统计图和扇形图先求出三类的总人数和所占的百分比，再用三类的总人数除以所占的百分比即可解答；
（2）先由总人数计算出类别对应人数，再补全条形统计图，最后再计算扇形统计图对应的圆心角即可；
（3）利用样本估计总量即可解答．
（1）解：三类总人数为人，占总人数的90%，
故总人数为，
答：本次调查共抽取了名学生；
（2）解：补全D的条形为人，如图所示，
“不了解”圆心角为：；
（3）解：全校“非常了解”AI技术的人数：名．
22．（2025·株洲模拟）某数学兴趣小组测量神农广场炎帝雕像的高度（含底座），测量方案与数据如表：
项目名称 测量神农广场炎帝雕像的高度
方案 方案①“测角仪” 方案②“直臂尺法”
方案示意图
测量过程 ①选取与雕像底部位于同一水平地面的处； ②站在处，用测角仪测量从眼睛处看雕像顶部的仰角； ③测量，两点间的距离； ④测量眼睛到地面的高度． ①人站在与雕像底部位于同一水平地面的处；手臂水平伸直，拇指竖起； ②调整人与雕像的距离，利用视线使眼睛、拇指顶端与雕像顶部在同一直线上； ③测量，两点间的距离； ④测量眼睛到地面的高度； ⑤测量手臂长，母指长．
测量数据 米；；米． 米；米； 米；米．
备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②，均与地面垂直； ③参考数据：，， ①图上所有点均在同一平面内； ②，，，均与地面垂直； ③手臂与地面平行；
请你从以上两种方案中任选一种，求炎帝雕像的高度是多少米？（结果精确到米）
【答案】解：选方案①：由题意得，四边形是矩形，
米，米，，
米，
∴米，
答：雕像高约为米；
选方案②：
由题意得，，四边形是矩形，
∴米，米，，
∴，
即，
∴米，
∴米，
答：雕像高约为米．
【知识点】相似三角形的实际应用；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
根据题意，结合实际问题解直角三角形，方案①根据锐角三角函数的定义求出即可求解；方案②利用相似三角形的判定和性质求出即可求解．
23．（2025·株洲模拟）某商场准备采购智能手表和蓝牙耳机进行促销，智能手表的单价是蓝牙耳机的4倍，用2400元单独购买智能手表比单独购买蓝牙耳机少12个．
（1）求智能手表和蓝牙耳机的单价；
（2）若计划采购两种产品共60个，且智能手表数量不少于蓝牙耳机的，如何采购可使总成本最低？最低成本是多少元？
【答案】（1）解：设蓝牙耳机单价为x元，则智能手表的单价为元，根据题意得
解得：
经检验：是所列方程的解．
元，
答：蓝牙耳机单价为150元，智能手表单价为600元．
（2）解：设采购智能手表m个，则蓝牙耳机采购个，根据题意得
∵蓝牙耳机单价150元，智能手表单价600元；
设采购总成本为W元，则
，，
（元）
采购智能手表12个、蓝牙耳机48个时采购成本最低，最低成本为14400元．
【知识点】一元一次不等式的应用；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）设蓝牙耳机单价为元，智能手表单价为元．依据“元单独买智能手表比单独买蓝牙耳机少个”列出分式方程，求解并检验即可解答．
（2）设采购智能手表个，则蓝牙耳机个．先根据“智能手表数量不少于蓝牙耳机的”列不等式确定的取值范围，再根据单价列出总成本关于的函数表达式，根据自变量ｍ的取值范围，利用一次函数性质求出的最小值及对应的采购数量．
（1）解：设蓝牙耳机单价为x元，则智能手表的单价为元，根据题意得
解得：
经检验：是所列方程的解．
元，
答：蓝牙耳机单价为150元，智能手表单价为600元．
（2）设采购智能手表m个，则蓝牙耳机采购个，根据题意得
∵蓝牙耳机单价150元，智能手表单价600元；
设采购总成本为W元，则
，，
（元）
采购智能手表12个、蓝牙耳机48个时采购成本最低，最低成本为14400元．
24．（2025·株洲模拟）如图，在以为直径的上有一点，以为对角线作正方形，恰好点在直径上，连接并延长交于点，连接．
（1）求的值；
（2）若的半径为2，求弦的长．
【答案】（1）解：设正方形的边长为a，
则圆O的半径，
，
；

（2）解：为的直径，
，
半径，
，
，
设，
则，
，
．
【知识点】正方形的性质；圆周角定理；解直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】本题考查了圆周角定理，正方形的性质，解直角三角形，熟知直角三角形中各边之间与三角函数对应的关系是解题的关键．
（1）设正方形的边长为a，利用正方形的性质及勾股定理得半径为，即可解答；
（2）由圆周角定理得，根据，设，利用勾股定理列方程求得，即可解答．
（1）解：设正方形的边长为a，
则圆O的半径，
，
；
（2）解：为的直径，
，
半径，
，
，
设，
则，
，
．
25．（2025·株洲模拟）【问题背景】如图1，正方形的边长为8，是正方形内一点，是直角三角形，，把绕点逆时针旋转到，连接交于点，连接．
【初步感知】（1）求证：；
【研究感悟】（2）求线段长度的最小值；
【深度探索】（3）在线段上截取，连接，如图2所示，若，求线段的长．
【答案】解：（1），由逆时针旋转知，
，，
，
；
（2）
在以为直径的圆M上运动，圆心为的中点，如图，
，，
在正方形中，，，连接
根据勾股定理可得，
当点E在线段上时（即D、E、M三点共线），取得最小值．
此时；
（3）由题意知，在中，，，
，，
由旋转知，，，
由（1）知，
，
，
设，则，
，
，
，
，，
在中，
．
【知识点】圆周角定理；旋转的性质；定角定弦辅助圆模型；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】
（1）根据旋转的性质可得，再由同旁内角互补两直线平行即可证明；
（2）利用定弦定角可得在以为直径的圆M上运动，圆心为的中点，连接DM，当点E在线段上时（即D、E、M三点共线），取得最小值，根据勾股定理即可解答；
（3）证明，求得，，再利用勾股定理即可解答．
26．（2025·株洲模拟）二次函数与轴相交于，两点，与轴交于点，它的对称轴是直线．
（1）求此二次函数的解析式和点的坐标；
（2）如图1，是轴右侧的抛物线上一点，连接与拋线线的对称轴交于点，过点作于点，连接．是否存在点，使与全等？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）如图2，连接，是轴上正半轴上一点，以为半径作，若与线段只有一个公共点，求的取值范围．
【答案】（1）解：依题意得：，
解得：，
二次函数解析式为：，
，
令，解得：或4，
令，则，
，，
故此抛物线的解析式为：，．
（2）解：如图，对称轴是直线，
①当时，P在第一象限，，
，代入中，
，
，
，
设直线解析式为，
则，解得：，
，
，
，
．
②当时，P在第四象限，显然与不全等；
（或者，
，代入中，
，
，
，
设直线解析式为，
则，解得：，
，
，
，
与不全等
综上所述，存在点，使与全等．
（3）解：依题意知：的半径，
①当与线段相切时，如图所示，
设切点为H，连接，则，，，
，，
，
，
，
；
②当经过点时，M为中点，．
③当经过点时，如图，
，，，
，
，
，
，
当与线段只有一个公共点时，m的取值范围是：或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；三角形全等及其性质；切线的性质；二次函数-动态几何问题
【解析】【分析】
（1）将点代入函数解析式，再由对称轴是直线，运用待定系数法求出二次函数解析式，再令y=0，即可求出点B的坐标；
（2）分为①当时，②当时，结合图象和全等三角形判定求解即可．
（3）根据题意，与线段只有一个公共点，可分为三种情况：①当与线段相切时，②当经过点时，③当经过点时，对应的临界值，即可求解．
（1）解：依题意得：，
解得：，
二次函数解析式为：，
，
令，解得：或4，
令，则，
，，
故此抛物线的解析式为：，．
（2）解：如图，对称轴是直线，
①当时，P在第一象限，，
，代入中，
，
，
，
设直线解析式为，
则，解得：，
，
，
，
．
②当时，P在第四象限，显然与不全等；
（或者，
，代入中，
，
，
，
设直线解析式为，
则，解得：，
，
，
，
与不全等）
综上所述，存在点，使与全等．
（3）解：依题意知：的半径，
①当与线段相切时，如图所示，
设切点为H，连接，则，，，
，，
，
，
，
；
②当经过点时，M为中点，．
③当经过点时，如图，
，，，
，
，
，
，
当与线段只有一个公共点时，m的取值范围是：或．
1 / 1

展开更多......

收起↑