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广东省惠州市惠东县2024-2025学年高一下学期4月期中学业质量监测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·惠东期中）（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：B.
【分析】直接根据向量的加减法运算化简即可.
2．（2025高一下·惠东期中）设，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：D.
【分析】先根据复数代数形式的乘法运算化简求得z，再根据复数的模长公式求解即可.
3．（2025高一下·惠东期中）已知向量，，且，那么的值是（ ）
A． B．12 C．13 D．
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由向量，，可得，
因为，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量数量积的坐标运算求的值即可.
4．（2025高一下·惠东期中）在△ABC中，若，则最大角的余弦值是（　　）
A． B． C．0 D．
【答案】B
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解： 若，因为，所以所对的角C为最大角，
由余弦定理得
故答案为：B.
【分析】根据边长可知：角C为最大角，再利用余弦定理求解即可.
5．（2025高一下·惠东期中）如图，一个圆柱的底面半径为，高为2，若它的两个底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图所示：
则，，，
在中，，即，
则.
故答案为：B.
【分析】如图，利用勾股定理求球的半径，再根据球的表面积公式求解即可.
6．（2025高一下·惠东期中）已知向量，向量，若与的夹角为，则自然数（　　）
A．1 B．3 C．5 D．9
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量夹角的坐标表示
【解析】【解答】解：向量， 若与的夹角为，
则，
整理可得：，解得或，故自然数.
故答案为：D.
【分析】根据向量的夹角公式列出的方程，求解即可.
7．（2025高一下·惠东期中）中，角，，的对边长分别为，，.若，，，则（　　）
A．10 B．5 C．2 D．4
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：由，，可得，
，
由正弦定理得，解得.
故答案为：B.
【分析】利用同角三角函数基本关系，结合两角和的正弦公式求，再利用正弦定理求解即可.
8．（2025高一下·惠东期中）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设，若，则的长为（　　）
A．9 B． C．3 D．
【答案】A
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：在中，，则，
不妨设，由，可得，则，
又因为与全等，所以，
由余弦定理可得，
解得，
因为，所以，所以.
故答案为：A.
【分析】在中，易知，设，可得，再根据与全等，求得，最后利用余弦定理求解即可.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高一下·惠东期中）下列条件能使的是（　　）
A． B．
C． D．，
【答案】B,C
【知识点】共线（平行）向量；平面向量共线（平行）的坐标表示；相等向量
【解析】【解答】解：A、向量模相等不一定能保证向量共线，故A错误；
B、，则，故B正确；
C、等价于是零向量，零向量与任何向量共线，故C正确；
D、不存在任何实数使得，即方程组不可能成立，则不能共线，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据向量的模相等，向量不一定共线即可判断A；根据向量相等，向量共线即可判断B；向量的模为0等价于向量为零向量，零向量与任何向量共线即可判断C；根据向量共线定理即可判断D.
10．（2025高一下·惠东期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若解该三角形有且只有一解，则b的可能值为（　　）
A．6 B． C． D．8
【答案】B,D
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
当时，以为原点，为半径的圆与射线有且只有一个交点，此时三角形有唯一解；
当时，为直角三角形且，三角形有唯一解；
当时，以为原点，为半径的圆与射线无交点，故此时三角形不存在，
当时，以为原点，为半径的圆与射线有两个公共点，三角形有两解.
故答案为：BD.
【分析】对b分情况讨论，结合三角形有唯一解的条件确定的值即可.
11．（2025高一下·惠东期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（　　）
A．圆柱的侧面积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和
D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小
【答案】A,B,C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、圆柱的侧面积为，故A正确；
B、圆锥的侧面积为，故B正确；
C、圆锥的体积为，圆柱的体积为，
球的体积为，所以圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和，故C正确；
D、球的表面积为，圆柱的表面积为，
圆锥的表面积为，则圆锥的表面积最小，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据圆柱的表面积公式求解即可判断A；计算圆锥的侧面积即可判断B；根据球、圆锥、圆柱的体积公式计算即可判断C；分别计算圆柱、圆锥和球的表面积比较即可判断D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．（2025高一下·惠东期中）在中，已知，则的值为　 　.
【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：由余弦定理可得，
则.
故答案为：.
【分析】直接根据余弦定理求解即可.
13．（2025高一下·惠东期中）已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，则该圆锥的表面积为　 　．
【答案】
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：易知圆锥的底面半径，母线，
则该圆锥的表面积为.
故答案为：.
【分析】直接根据圆锥的侧面积以及底面积公式求圆锥的表面积即可.
14．（2025高一下·惠东期中）十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得　 　.
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；运用诱导公式化简求值；解三角形
【解析】【解答】解：由题意知：，
由正弦定理可得，则，
则.
故答案为：.
【分析】由题意，利用正弦定理可得，求得，再根据诱导公式求的值即可.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·惠东期中）已知向量．
（1）求；
（2）求向量的夹角的余弦值；
（3）若与平行，求实数的值．
【答案】（1）解：向量，，则；
（2）解：，，
易知，，，
则；
（3）解：易知，，
因为与平行，所以，解得．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算，结合向量模的坐标表示求解即可；
（2）根据向量的数量积和模求及，再利用向量夹角公式求解即可；
（3）根据向量的坐标运算，结合向量平行的坐标表示列式求实数即可.
（1）因为，所以，
所以
（2）因为，，所以，
，，
所以
（3）依题意，，
因为与平行，所以，解得．
16．（2025高一下·惠东期中）在中，角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积，求的周长．
【答案】（1）解：在中，化简，可得，
由正弦定理得，即，
因为，所以，所以，
又因为，所以，因为，所以；
（2）解：的面积，则，得，
，由余弦定理，可得，则，
，解得，
故的周长为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）化简已知等式，利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式求解即可；
（2）由（1）的结论，结合三角形面积求得，再利用余弦定理求得，据此求得，即可求的周长.
（1）在中，由，得，
由正弦定理得，即，
又，即，于是，
由，得，因此，又，
所以．
（2）由的面积，得，得，
又，由余弦定理，得，则，
于是，解得，
所以的周长为．
17．（2025高一下·惠东期中）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.某学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作一个亭子模型（如图2），该模型为圆锥与圆柱构成的几何体（圆锥的底面与圆柱的上底面重合）.已知圆锥的高为18cm，母线长为30cm，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，AB为圆锥的底面直径.圆柱的高为30cm，DC为圆柱下底面的直径，且.
（1）求圆锥的侧面积；
（2）求几何体的体积.
【答案】（1）解：因为圆锥的高为18cm，母线长为30cm，所以圆锥底面半径为cm，
则圆锥的侧面积为；
（2）解：由（1）可知，圆锥的体积为：，
圆柱的体积为：，
则几何体的体积为：.
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由题意，利用勾股定理求圆锥底面半径再根据侧面积公式求解即可；
（2）分别根据圆柱和圆锥的体积公式求出圆锥，圆柱的体积，再求和即可求出几何体的体积.
（1）因为圆锥的高为18cm，母线长为30cm，
所以圆锥底面半径为cm，
所以圆锥的侧面积为
（2）由（1）可知，圆锥的体积为：
，
圆柱的体积为：，
所以几何体的体积为：.
18．（2025高一下·惠东期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求证：；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
【答案】（1）证明：由得，
由正弦定理得．
，得，
即．
因为，为三角形内角，所以或（舍去），
则；
（2）解：，由正弦定理，可得，，
则，
因为，所以，
得，
因为为锐角三角形，所以，且，
则，，解得，．
则，
即周长的取值范围为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；正弦定理
【解析】【分析】（1）由得，利用正弦定理化边为角，结合两角差的正弦公式化简证明即可；
（2）利用正弦定理以及合比定理化简求得，再根据为锐角三角形，余弦函数的值域，结合二次函数计算求解即可.
（1）由得，
由正弦定理得．
，
得，
即．
因为，为三角形内角，
所以，或（舍去），
∴．
（2）∵，
由正弦定理，得，，
∴．
又∵，∴，
得．
因为为锐角三角形，则，且，
则，，
解得，．
∴．
所以周长的取值范围为．
19．（2025高一下·惠东期中）在锐角中，角的对边分别为，满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的取值范围；
（3）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小，”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点.若的面积为3，是否在内部存在费马点，使得为定值，若存在请求出该定值并说明理由，若不存在也请说明理由.
【答案】（1）解：由，
可得，
即，即，即，
因为，所以；
（2）解：由题设及（1）知，
因为为锐角三角形，且，
所以，即，
又由余弦定理得，所以，即，
所以，
则面积的取值范围是；
（3）解：因为的面积为3，所以，所以，
设，则，
在中，由正弦定理，可得，
在中，由正弦定理，可得，
则.
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的关系，结合余弦定理化简求角即可；
（2）由题设及（1）知，根据为锐角三角形，且，利用余弦定理可得，再由余弦定理得，结合上边不等式组，求得a的范围，从而得面积的取值范围；
（3）根据的面积求得，设，在和中，分别利用正弦定理表示出，然后代入化简即可.
（1），
，
即，
即，
.
（2）[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】
因为是锐角三角形，又，所以，
又，则，
则，
因为，所以，则，
从而，故面积的取值范围是.
[方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】
由题设及（1）知.
因为为锐角三角形，且，
所以，即
又由余弦定理得，所以，即，
所以，故面积的取值范围是.
[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】
如图，在中，过点作，垂足为，作与交于点.
由题设及（1）知，因为为锐角三角形，且，
所以点位于在线段上且不含端点，从而，
即，即，所以，
故面积的取值范围是.
（3）的面积为3，所以，所以，
设，则，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以.
1 / 1广东省惠州市惠东县2024-2025学年高一下学期4月期中学业质量监测数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2025高一下·惠东期中）（　　）．
A． B． C． D．
2．（2025高一下·惠东期中）设，则（　　）
A． B． C． D．
3．（2025高一下·惠东期中）已知向量，，且，那么的值是（ ）
A． B．12 C．13 D．
4．（2025高一下·惠东期中）在△ABC中，若，则最大角的余弦值是（　　）
A． B． C．0 D．
5．（2025高一下·惠东期中）如图，一个圆柱的底面半径为，高为2，若它的两个底面圆周均在球O的球面上，则球O的表面积为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高一下·惠东期中）已知向量，向量，若与的夹角为，则自然数（　　）
A．1 B．3 C．5 D．9
7．（2025高一下·惠东期中）中，角，，的对边长分别为，，.若，，，则（　　）
A．10 B．5 C．2 D．4
8．（2025高一下·惠东期中）赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，赵爽在为《周髀算经》作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称为“赵爽弦图”.可类似地构造如图所示的图形，由三个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大的等边三角形，设，若，则的长为（　　）
A．9 B． C．3 D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．（2025高一下·惠东期中）下列条件能使的是（　　）
A． B．
C． D．，
10．（2025高一下·惠东期中）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，若解该三角形有且只有一解，则b的可能值为（　　）
A．6 B． C． D．8
11．（2025高一下·惠东期中）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论正确的是（　　）
A．圆柱的侧面积为
B．圆锥的侧面积为
C．圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和
D．三个几何体的表面积中，球的表面积最小
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12．（2025高一下·惠东期中）在中，已知，则的值为　 　.
13．（2025高一下·惠东期中）已知圆锥的底面半径为3，母线长为6，则该圆锥的表面积为　 　．
14．（2025高一下·惠东期中）十七世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形).例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，.根据这些信息，可得　 　.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
15．（2025高一下·惠东期中）已知向量．
（1）求；
（2）求向量的夹角的余弦值；
（3）若与平行，求实数的值．
16．（2025高一下·惠东期中）在中，角的对边分别为，且．
（1）求角的大小；
（2）若的面积，求的周长．
17．（2025高一下·惠东期中）亭子是一种中国传统建筑，多建于园林，人们在欣赏美景的同时也能在亭子里休息、避雨、乘凉（如图1）.某学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作一个亭子模型（如图2），该模型为圆锥与圆柱构成的几何体（圆锥的底面与圆柱的上底面重合）.已知圆锥的高为18cm，母线长为30cm，其侧面展开图是一个圆心角为的扇形，AB为圆锥的底面直径.圆柱的高为30cm，DC为圆柱下底面的直径，且.
（1）求圆锥的侧面积；
（2）求几何体的体积.
18．（2025高一下·惠东期中）在中，角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求证：；
（2）若为锐角三角形，且，求周长的取值范围．
19．（2025高一下·惠东期中）在锐角中，角的对边分别为，满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的取值范围；
（3）“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小，”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点.若的面积为3，是否在内部存在费马点，使得为定值，若存在请求出该定值并说明理由，若不存在也请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平面向量减法运算；向量加法的三角形法则
【解析】【解答】解：．
故答案为：B.
【分析】直接根据向量的加减法运算化简即可.
2．【答案】D
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：，则.
故答案为：D.
【分析】先根据复数代数形式的乘法运算化简求得z，再根据复数的模长公式求解即可.
3．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：由向量，，可得，
因为，所以，解得.
故答案为：C.
【分析】根据向量的坐标运算，结合向量数量积的坐标运算求的值即可.
4．【答案】B
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解： 若，因为，所以所对的角C为最大角，
由余弦定理得
故答案为：B.
【分析】根据边长可知：角C为最大角，再利用余弦定理求解即可.
5．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：如图所示：
则，，，
在中，，即，
则.
故答案为：B.
【分析】如图，利用勾股定理求球的半径，再根据球的表面积公式求解即可.
6．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量夹角的坐标表示
【解析】【解答】解：向量， 若与的夹角为，
则，
整理可得：，解得或，故自然数.
故答案为：D.
【分析】根据向量的夹角公式列出的方程，求解即可.
7．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：由，，可得，
，
由正弦定理得，解得.
故答案为：B.
【分析】利用同角三角函数基本关系，结合两角和的正弦公式求，再利用正弦定理求解即可.
8．【答案】A
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：在中，，则，
不妨设，由，可得，则，
又因为与全等，所以，
由余弦定理可得，
解得，
因为，所以，所以.
故答案为：A.
【分析】在中，易知，设，可得，再根据与全等，求得，最后利用余弦定理求解即可.
9．【答案】B,C
【知识点】共线（平行）向量；平面向量共线（平行）的坐标表示；相等向量
【解析】【解答】解：A、向量模相等不一定能保证向量共线，故A错误；
B、，则，故B正确；
C、等价于是零向量，零向量与任何向量共线，故C正确；
D、不存在任何实数使得，即方程组不可能成立，则不能共线，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据向量的模相等，向量不一定共线即可判断A；根据向量相等，向量共线即可判断B；向量的模为0等价于向量为零向量，零向量与任何向量共线即可判断C；根据向量共线定理即可判断D.
10．【答案】B,D
【知识点】解三角形；正弦定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
当时，以为原点，为半径的圆与射线有且只有一个交点，此时三角形有唯一解；
当时，为直角三角形且，三角形有唯一解；
当时，以为原点，为半径的圆与射线无交点，故此时三角形不存在，
当时，以为原点，为半径的圆与射线有两个公共点，三角形有两解.
故答案为：BD.
【分析】对b分情况讨论，结合三角形有唯一解的条件确定的值即可.
11．【答案】A,B,C
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、圆柱的侧面积为，故A正确；
B、圆锥的侧面积为，故B正确；
C、圆锥的体积为，圆柱的体积为，
球的体积为，所以圆柱的体积等于圆锥与球的体积之和，故C正确；
D、球的表面积为，圆柱的表面积为，
圆锥的表面积为，则圆锥的表面积最小，故D错误.
故答案为：ABC.
【分析】根据圆柱的表面积公式求解即可判断A；计算圆锥的侧面积即可判断B；根据球、圆锥、圆柱的体积公式计算即可判断C；分别计算圆柱、圆锥和球的表面积比较即可判断D.
12．【答案】
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】解：由余弦定理可得，
则.
故答案为：.
【分析】直接根据余弦定理求解即可.
13．【答案】
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用
【解析】【解答】解：易知圆锥的底面半径，母线，
则该圆锥的表面积为.
故答案为：.
【分析】直接根据圆锥的侧面积以及底面积公式求圆锥的表面积即可.
14．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；运用诱导公式化简求值；解三角形
【解析】【解答】解：由题意知：，
由正弦定理可得，则，
则.
故答案为：.
【分析】由题意，利用正弦定理可得，求得，再根据诱导公式求的值即可.
15．【答案】（1）解：向量，，则；
（2）解：，，
易知，，，
则；
（3）解：易知，，
因为与平行，所以，解得．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据向量的坐标运算，结合向量模的坐标表示求解即可；
（2）根据向量的数量积和模求及，再利用向量夹角公式求解即可；
（3）根据向量的坐标运算，结合向量平行的坐标表示列式求实数即可.
（1）因为，所以，
所以
（2）因为，，所以，
，，
所以
（3）依题意，，
因为与平行，所以，解得．
16．【答案】（1）解：在中，化简，可得，
由正弦定理得，即，
因为，所以，所以，
又因为，所以，因为，所以；
（2）解：的面积，则，得，
，由余弦定理，可得，则，
，解得，
故的周长为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）化简已知等式，利用正弦定理化边为角，结合两角和的正弦公式求解即可；
（2）由（1）的结论，结合三角形面积求得，再利用余弦定理求得，据此求得，即可求的周长.
（1）在中，由，得，
由正弦定理得，即，
又，即，于是，
由，得，因此，又，
所以．
（2）由的面积，得，得，
又，由余弦定理，得，则，
于是，解得，
所以的周长为．
17．【答案】（1）解：因为圆锥的高为18cm，母线长为30cm，所以圆锥底面半径为cm，
则圆锥的侧面积为；
（2）解：由（1）可知，圆锥的体积为：，
圆柱的体积为：，
则几何体的体积为：.
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）由题意，利用勾股定理求圆锥底面半径再根据侧面积公式求解即可；
（2）分别根据圆柱和圆锥的体积公式求出圆锥，圆柱的体积，再求和即可求出几何体的体积.
（1）因为圆锥的高为18cm，母线长为30cm，
所以圆锥底面半径为cm，
所以圆锥的侧面积为
（2）由（1）可知，圆锥的体积为：
，
圆柱的体积为：，
所以几何体的体积为：.
18．【答案】（1）证明：由得，
由正弦定理得．
，得，
即．
因为，为三角形内角，所以或（舍去），
则；
（2）解：，由正弦定理，可得，，
则，
因为，所以，
得，
因为为锐角三角形，所以，且，
则，，解得，．
则，
即周长的取值范围为．
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；解三角形；正弦定理
【解析】【分析】（1）由得，利用正弦定理化边为角，结合两角差的正弦公式化简证明即可；
（2）利用正弦定理以及合比定理化简求得，再根据为锐角三角形，余弦函数的值域，结合二次函数计算求解即可.
（1）由得，
由正弦定理得．
，
得，
即．
因为，为三角形内角，
所以，或（舍去），
∴．
（2）∵，
由正弦定理，得，，
∴．
又∵，∴，
得．
因为为锐角三角形，则，且，
则，，
解得，．
∴．
所以周长的取值范围为．
19．【答案】（1）解：由，
可得，
即，即，即，
因为，所以；
（2）解：由题设及（1）知，
因为为锐角三角形，且，
所以，即，
又由余弦定理得，所以，即，
所以，
则面积的取值范围是；
（3）解：因为的面积为3，所以，所以，
设，则，
在中，由正弦定理，可得，
在中，由正弦定理，可得，
则.
【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用同角三角函数的关系，结合余弦定理化简求角即可；
（2）由题设及（1）知，根据为锐角三角形，且，利用余弦定理可得，再由余弦定理得，结合上边不等式组，求得a的范围，从而得面积的取值范围；
（3）根据的面积求得，设，在和中，分别利用正弦定理表示出，然后代入化简即可.
（1），
，
即，
即，
.
（2）[方法一]【最优解：利用锐角三角形求得的范围，然后由面积函数求面积的取值范围】
因为是锐角三角形，又，所以，
又，则，
则，
因为，所以，则，
从而，故面积的取值范围是.
[方法二]【由题意求得边的取值范围，然后结合面积公式求面积的取值范围】
由题设及（1）知.
因为为锐角三角形，且，
所以，即
又由余弦定理得，所以，即，
所以，故面积的取值范围是.
[方法三]【数形结合，利用极限的思想求解三角形面积的取值范围】
如图，在中，过点作，垂足为，作与交于点.
由题设及（1）知，因为为锐角三角形，且，
所以点位于在线段上且不含端点，从而，
即，即，所以，
故面积的取值范围是.
（3）的面积为3，所以，所以，
设，则，
在中，由正弦定理得，
所以，
在中，由正弦定理得，
所以，
所以.
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