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广东省广州二中教育集团2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题
一、单项选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，多选、错选均不得分．
1．（2025高一下·广州期中）是复数为虚数的（　　）
A．必要非充分条件 B．充分非必要条件
C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；虚数单位i及其性质
【解析】【解答】时，是虚数，
若是虚数，则，
所以是复数为虚数的充要条件，
故答案为：C.
【分析】 结合纯虚数的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断，可得答案.
2．（2025高一下·广州期中）下列命题中正确的是（　　）
A．底面是正多边形的棱柱叫做正棱柱
B．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
C．沿直角三角形的一边旋转一周即可得到圆锥
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：A、底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，故A错误；
B、有两个面平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体叫做棱柱，故B错误；
C、沿直角三角形的斜边所在直线旋转一周，得到是共底面的两个圆锥组成的组合体，故C错误；
D、正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据棱柱的特征即可判断AB；根据圆锥的特征即可判断C；根据棱锥的特征即可判断D.
3．（2025高一下·广州期中）已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量，，
则，，
则在上的投影向量的坐标为．
故答案为：D．
【分析】根据向量数量积和向量模的坐标表示分别求，再根据投影向量的公式求解即可．
4．（2025高一下·广州期中）已知三个不共线的向量满足，则为的（　　）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：在上取点，在延长线上取点，如图所示：
使得，可得，以为邻边作平行四边形，
则，
因为，所以平行四边形是菱形，所以，
过点作的平行线交于点，
因为，即，所以，所以点在上，
因为，所以，
由菱形的性质可得，所以，
所以为的角平分线，所以在的角平分线上，
同理可得：在的角平分线上，故在的角平分线上，
所以为的内心.
故答案为：A.
【分析】在上取点，在延长线上取点，根据题意和向量加法的平行四边形法则作出几何图形，得到四边形是菱形，再根据菱形性质可得在的角平分线上，从而可得出为内心．
5．（2025高一下·广州期中）如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：连接交于 ，连接，如图所示：
因为平面，平面，平面平面，所以，所以，
又因为四边形为平行四边形，所以，所以，
因为为的中点，所以，所以，所以.
故答案为：A.
【分析】连接交于 ，连接，根据线面平行的性质证明，再根据四边形为平行四边形，，利用平行线分线段成比例定理列式求解即可．
6．（2025高一下·广州期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程的两个根，，则（　　）
A．12 B． C．18 D．
【答案】D
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解： a，b是方程的两个根 ，
由韦达定理可得，
由余弦定理得.
故答案为：D.
【分析】利用韦达定理，结合余弦定理列式计算即可.
7．（2025高一下·广州期中）某圆锥的高是底面半径的倍，此圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）半径为1，则该圆锥外接球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：作出圆锥的轴截面，如图所示：
设圆锥底面半径为，则圆锥的高，设圆锥母线长为，
由勾股定理可得 ，
因为圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）半径为1，
所以轴截面三角形面积为，解得 ，
则圆锥的高 ，母线，
三角形为等边三角形，设圆锥外接球的球心与内切球的球心重合均为，
设外接球半径为，则，
根据球的表面积公式，可得，
则该圆锥外接球的表面积为.
故答案为：B.
【分析】作出圆锥的轴截面，设圆锥底面半径为，圆锥母线长为，根据已知求得圆锥的高和母线长，判断轴截面三角形为等边三角形，设圆锥外接球的球心与内切球的球心重合均为，设外接球半径为，计算半径，再根据球的表面积公式求解即可.
8．（2025高一下·广州期中）若不共线的两个向量，满足，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量减法运算
【解析】【解答】解：如图所示：
设，，则，
由，可得，则 为等腰三角形，
设C为 的中点，则 ，且，则，即，
故.
故答案为：C.
【分析】由题作出图形，设，，化简可得，即 为等腰三角形，设C为 的中点，则 ，根据可得，从而得出结论.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高一下·广州期中）已知复数是方程的一个根，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．复数z的模为5
C．复数z的虚部为
D．方程的另一个根为
【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：复数，
所以复数z的虚部为故C错误；
则方程的另一个根为，故D正确；
由根与系数关系可得，故A正确；
，故B错误.
故答案为：AD
【分析】先利用复数的四则运算可得，再利用实系数一元二次方程虚根特征和根与系数关系即可判断AD，再利用复数的概念和求模公式即可判断BC.
10．（2025高一下·广州期中）如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．的最小值是
【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：A、由，可得，
则，故A正确；
B、令，在等边中，，
由选项A得，
，，，
，
则，故B正确；
C、由选项A知，，而，，
，而共线，则，即，故C错误；
D、由选项C知，，
，当且仅当时取等号，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，利用向量的线性运算，以为基底表示向量即可判断A；利用向量的数量积运算律以及向量的夹角公式求解即可判断B；由选项A的结论，结合共线向量定理推论求解即可判断C；由C可知，利用基本不等式“1”的妙用求最小值即可判断D.
11．（2025高一下·广州期中）已知正方体中，，点M，P，N分别是线段，，的中点．则以下选项正确的是（　　）
A．直线平面
B．平面平面
C．直线、、三线共点
D．过M，N，P三点作正方体的截面，截面的周长为．
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：A、连接，因为点分别是棱的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，故A正确；
B、直线与的延长线交于点，连接与分别交于点，
由，得，则，由，得，
，则直线与不平行，而平面，于是与必相交，
又平面，平面，即平面与平面有公共点，故B错误；
C、由，令直线，则是的中点，
同理直线，是的中点，因此重合，故C正确；
D、由选项B知，五边形是过三点的正方体截面，
，而，则，同理，
因此五边形周长等于，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】连接，利用中位线性质，结合线面平行的判定定理证明即可判断A；直线与的延长线交于点，连接与分别交于点，作出过点的正方体的截面，计算即可判断BD；借助三角形中位线性质即可判断C.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高一下·广州期中）如图，已知，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则向量=　 　（用，表示向量）
【答案】
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：易知，因为分别是线段的中点，
所以.故答案为：.
【分析】根据向量的减法易知，再根据中位线的性质，求即可.
13．（2025高一下·广州期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，则　 　．
【答案】或
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，，
由正弦定理得，
因为，所以，所以或.
故答案为：或.
【分析】直接利用正弦定理列式求解即可.
14．（2025高一下·广州期中）设是虚数，是实数．则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：设，且，
，
因为为实数，所以，得，且，
则复数在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆（不含点），
表示点与点的距离，而点与圆心的距离为1，则，
即的取值范围为.
故答案为：.
【分析】设复数，且，根据复数代数形式的四则运算求得复数，再根据复数为实数，虚部为零列式求得，最后复数的几何意义求对应点的轨迹即可.
四、解答题，本题共5小题，共77分．要求必要步骤和答案必须填写在答题卡上指定区域的指定位置．
15．（2025高一下·广州期中），是夹角为的单位向量，设．
（1）计算的大小；
（2）设向量，若与共线，求实数m的值；
（3）是否存在实数n，使得与向量垂直，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由，是夹角为的单位向量，得，
则；
（2）解：向量与共线，则，所以；
（3）解：假定存在实数n，使得与向量垂直，则，
即，解得，
故存在实数n，使得与向量垂直，.
【知识点】向量的模；平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据向量数量积的定义先求，再利用向量的模以及向量数量积的运算律求解的大小即可；
（2）利用共线向量定理列式求解即可；
（3）假定存在实数n ，使得与向量垂直， 利用向量垂直数量积为零，列式求解即可.
（1）由，是夹角为的单位向量，得，而，
因此.
（2）向量与共线，则，所以.
（3）假定存在实数n，使得与向量垂直，则，
即，解得，
所以存在实数n，使得与向量垂直，.
16．（2025高一下·广州期中）已知B地在A地的东北方向，且A，B两地之间的距离是，C地在A地的北偏西方向，A，C两地之间的距离是，现要在B地的北偏东方向建一个高铁站D，高铁站D到C地的距离恰好是到B地的距离的倍．
（1）求B、C两地之间的距离；
（2）求高铁站D到C地的距离．
【答案】（1）解：在中，，，，
由余弦定理得，
则，解得，
即村庄，之间的距离为千米；
（2）解：在中，由正弦定理得，
则，从而，
则地在地的正西方向，由高铁站在地的北偏东的方向，得，
在中，由余弦定理得，
而，则，解得，
所以高铁站D到C地的距离千米.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）在中，直接利用余弦定理列式计算即可；
（2）在中，利用正弦定理确定地在地的正西方向，再在中，利用余弦定理列出方程求解即可.
（1）依题意，在中，，，，
由余弦定理得，
则，解得，
即村庄，之间的距离为干米；
（2）在中，由正弦定理得，
则，从而，
则地在地的正西方向，由高铁站在地的北偏东的方向，得，
在中，由余弦定理得，
而，则，解得，
所以高铁站D到C地的距离千米.
17．（2025高一下·广州期中）如图，正三棱柱中，D为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）令三棱锥的体积为．多面体的体积为，求．
【答案】（1）证明：在正三棱柱中，连接，连接，
如图所示：
则为中点，而D为棱的中点，于是，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：平面，由D为棱的中点，得，，
则，即.
【知识点】直线与平面平行的判定；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）在正三棱柱中，连接，连接，利用中位线结合线面平行的判定定理证明即可；
（2）由题意可得，再利用锥体、柱体体积公式，结合割补法求解即可.
（1）在正三棱柱中，连接，连接，
则为中点，而D为棱的中点，于是，又平面，平面，
所以平面.
（2）平面，由D为棱的中点，得，，
于是，
所以.
18．（2025高一下·广州期中）已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求A；
（2）若，当的周长取最大值时，求的面积；
（3）求的取值范围．
【答案】（1）解：在锐角中，，
由正弦定理可得，
由余弦定理得，则，
因为，所以；
（2）解：由（1）知，，
由余弦定理得，
当且仅当时取等号，解得，
因此当时，的周长取得最大值6，
此时的面积；
（3）解：在锐角中，，由，得，，
，
则的取值范围是.
【知识点】基本不等式；两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理，结合余弦定理求角即可；
（2）由（1）知，，利用余弦定理，结合基本不等式求得，再利用三角形面积公式求解即可；
（3）根据为锐角三角形，求得，再利用余弦定理，正弦定理化简原式为，最后利用和角的正弦及正切函数的性质求范围即可.
（1）在锐角中，由及正弦定理，
得，由余弦定理得，
于是，而，所以.
（2）由（1）知，，
由余弦定理得，
当且仅当时取等号，解得，
因此当时，的周长取得最大值6，
此时的面积.
（3）在锐角中，，由，得，，
，
所以的取值范围是.
19．（2025高一下·广州期中）法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，则，当且仅当或存在一个数k，使得时，等号成立．
（1）请你写出柯西不等式的二元形式并用向量法或者其他方法证明；
（2），求的最大值；
（3）设P是棱长为的正四面体内的任意一点，点P到四个面的距离分别为，，，，求的最小值．
【答案】（1）解：依题意，柯西不等式的二元形式为：
设，则，当且仅当时取等号；
用向量法证明：令，
由数量积的性质得，当且仅当时取等号，
因此，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号；
（2）解：由（1）知，，
当且仅当，即时取等号，
则的最大值是；
（3）解：取的中点，连接，则⊥，过点作⊥平面，如图所示：
则点在上，且，
，由勾股定理得，，
则，
正四面体的体积，
由正四面体的体积，
可得，所以，
又由柯西不等式得
，
则，当且仅当时等号成立，
故的最小值.
【知识点】平面向量的数量积运算；一般形式的柯西不等式；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）设，则，当且仅当时取等号，再利用向量数量积的性质证明即可；
（2）由（1）的结论，利用柯西不等式的二元形式求出函数最大值即可；
（3）取的中点，连接，则⊥，过点作⊥平面，求得相应的边长，根据正四面体的体积公式得到，再由柯西不等式求的最小值即可.
（1）依题意，柯西不等式的二元形式为：
设，则，当且仅当时取等号.
用向量法证明：令，
由数量积的性质得，当且仅当时取等号，
因此，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号.
（2）由（1）知，，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是.
（3）取的中点，连接，则⊥，
过点作⊥平面，则点在上，且，
因为，由勾股定理得，
，故，
则正四面体的体积，
由正四面体的体积，
得，所以，
又由柯西不等式得
，
则，当且仅当时等号成立，
所以的最小值.
1 / 1广东省广州二中教育集团2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题
一、单项选择题：本题包括8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，多选、错选均不得分．
1．（2025高一下·广州期中）是复数为虚数的（　　）
A．必要非充分条件 B．充分非必要条件
C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件
2．（2025高一下·广州期中）下列命题中正确的是（　　）
A．底面是正多边形的棱柱叫做正棱柱
B．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱
C．沿直角三角形的一边旋转一周即可得到圆锥
D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
3．（2025高一下·广州期中）已知向量，，则在上的投影向量的坐标为（　　）
A． B． C． D．
4．（2025高一下·广州期中）已知三个不共线的向量满足，则为的（　　）
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
5．（2025高一下·广州期中）如图，P为平行四边形所在平面外一点，E为的中点，F为上一点，当平面时，（　　）
A． B． C．2 D．
6．（2025高一下·广州期中）在中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程的两个根，，则（　　）
A．12 B． C．18 D．
7．（2025高一下·广州期中）某圆锥的高是底面半径的倍，此圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）半径为1，则该圆锥外接球的表面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025高一下·广州期中）若不共线的两个向量，满足，则下列结论一定正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．（2025高一下·广州期中）已知复数是方程的一个根，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．复数z的模为5
C．复数z的虚部为
D．方程的另一个根为
10．（2025高一下·广州期中）如图，在等边中，，点O在边上，且．过点O的直线分别交射线，于不同的两点M，N，，．则以下选项正确的是（　　）
A． B．
C． D．的最小值是
11．（2025高一下·广州期中）已知正方体中，，点M，P，N分别是线段，，的中点．则以下选项正确的是（　　）
A．直线平面
B．平面平面
C．直线、、三线共点
D．过M，N，P三点作正方体的截面，截面的周长为．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．（2025高一下·广州期中）如图，已知，，任意点关于点的对称点为，点关于点的对称点为，则向量=　 　（用，表示向量）
13．（2025高一下·广州期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若，，，则　 　．
14．（2025高一下·广州期中）设是虚数，是实数．则的取值范围为　 　．
四、解答题，本题共5小题，共77分．要求必要步骤和答案必须填写在答题卡上指定区域的指定位置．
15．（2025高一下·广州期中），是夹角为的单位向量，设．
（1）计算的大小；
（2）设向量，若与共线，求实数m的值；
（3）是否存在实数n，使得与向量垂直，若存在，求出n的值，若不存在，请说明理由．
16．（2025高一下·广州期中）已知B地在A地的东北方向，且A，B两地之间的距离是，C地在A地的北偏西方向，A，C两地之间的距离是，现要在B地的北偏东方向建一个高铁站D，高铁站D到C地的距离恰好是到B地的距离的倍．
（1）求B、C两地之间的距离；
（2）求高铁站D到C地的距离．
17．（2025高一下·广州期中）如图，正三棱柱中，D为棱的中点．
（1）证明：平面；
（2）令三棱锥的体积为．多面体的体积为，求．
18．（2025高一下·广州期中）已知锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．
（1）求A；
（2）若，当的周长取最大值时，求的面积；
（3）求的取值范围．
19．（2025高一下·广州期中）法国著名数学家柯西在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．柯西不等式的一般形式为：设，，，…，，，，，…，，则，当且仅当或存在一个数k，使得时，等号成立．
（1）请你写出柯西不等式的二元形式并用向量法或者其他方法证明；
（2），求的最大值；
（3）设P是棱长为的正四面体内的任意一点，点P到四个面的距离分别为，，，，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；虚数单位i及其性质
【解析】【解答】时，是虚数，
若是虚数，则，
所以是复数为虚数的充要条件，
故答案为：C.
【分析】 结合纯虚数的定义，利用充分条件和必要条件的定义进行判断，可得答案.
2．【答案】D
【知识点】棱柱的结构特征；棱锥的结构特征；旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征
【解析】【解答】解：A、底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱，故A错误；
B、有两个面平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行的多面体叫做棱柱，故B错误；
C、沿直角三角形的斜边所在直线旋转一周，得到是共底面的两个圆锥组成的组合体，故C错误；
D、正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据棱柱的特征即可判断AB；根据圆锥的特征即可判断C；根据棱锥的特征即可判断D.
3．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：向量，，
则，，
则在上的投影向量的坐标为．
故答案为：D．
【分析】根据向量数量积和向量模的坐标表示分别求，再根据投影向量的公式求解即可．
4．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用
【解析】【解答】解：在上取点，在延长线上取点，如图所示：
使得，可得，以为邻边作平行四边形，
则，
因为，所以平行四边形是菱形，所以，
过点作的平行线交于点，
因为，即，所以，所以点在上，
因为，所以，
由菱形的性质可得，所以，
所以为的角平分线，所以在的角平分线上，
同理可得：在的角平分线上，故在的角平分线上，
所以为的内心.
故答案为：A.
【分析】在上取点，在延长线上取点，根据题意和向量加法的平行四边形法则作出几何图形，得到四边形是菱形，再根据菱形性质可得在的角平分线上，从而可得出为内心．
5．【答案】A
【知识点】直线与平面平行的性质
【解析】【解答】解：连接交于 ，连接，如图所示：
因为平面，平面，平面平面，所以，所以，
又因为四边形为平行四边形，所以，所以，
因为为的中点，所以，所以，所以.
故答案为：A.
【分析】连接交于 ，连接，根据线面平行的性质证明，再根据四边形为平行四边形，，利用平行线分线段成比例定理列式求解即可．
6．【答案】D
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解： a，b是方程的两个根 ，
由韦达定理可得，
由余弦定理得.
故答案为：D.
【分析】利用韦达定理，结合余弦定理列式计算即可.
7．【答案】B
【知识点】旋转体（圆柱/圆锥/圆台/球）的结构特征；球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体
【解析】【解答】解：作出圆锥的轴截面，如图所示：
设圆锥底面半径为，则圆锥的高，设圆锥母线长为，
由勾股定理可得 ，
因为圆锥的内切球（球与圆锥的底面和侧面均相切）半径为1，
所以轴截面三角形面积为，解得 ，
则圆锥的高 ，母线，
三角形为等边三角形，设圆锥外接球的球心与内切球的球心重合均为，
设外接球半径为，则，
根据球的表面积公式，可得，
则该圆锥外接球的表面积为.
故答案为：B.
【分析】作出圆锥的轴截面，设圆锥底面半径为，圆锥母线长为，根据已知求得圆锥的高和母线长，判断轴截面三角形为等边三角形，设圆锥外接球的球心与内切球的球心重合均为，设外接球半径为，计算半径，再根据球的表面积公式求解即可.
8．【答案】C
【知识点】向量的模；平面向量减法运算
【解析】【解答】解：如图所示：
设，，则，
由，可得，则 为等腰三角形，
设C为 的中点，则 ，且，则，即，
故.
故答案为：C.
【分析】由题作出图形，设，，化简可得，即 为等腰三角形，设C为 的中点，则 ，根据可得，从而得出结论.
9．【答案】A,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模；方程在复数范围内的解集
【解析】【解答】解：复数，
所以复数z的虚部为故C错误；
则方程的另一个根为，故D正确；
由根与系数关系可得，故A正确；
，故B错误.
故答案为：AD
【分析】先利用复数的四则运算可得，再利用实系数一元二次方程虚根特征和根与系数关系即可判断AD，再利用复数的概念和求模公式即可判断BC.
10．【答案】A,B,D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：A、由，可得，
则，故A正确；
B、令，在等边中，，
由选项A得，
，，，
，
则，故B正确；
C、由选项A知，，而，，
，而共线，则，即，故C错误；
D、由选项C知，，
，当且仅当时取等号，故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】由题意，利用向量的线性运算，以为基底表示向量即可判断A；利用向量的数量积运算律以及向量的夹角公式求解即可判断B；由选项A的结论，结合共线向量定理推论求解即可判断C；由C可知，利用基本不等式“1”的妙用求最小值即可判断D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定
【解析】【解答】解：A、连接，因为点分别是棱的中点，所以，
又因为平面，平面，所以平面，故A正确；
B、直线与的延长线交于点，连接与分别交于点，
由，得，则，由，得，
，则直线与不平行，而平面，于是与必相交，
又平面，平面，即平面与平面有公共点，故B错误；
C、由，令直线，则是的中点，
同理直线，是的中点，因此重合，故C正确；
D、由选项B知，五边形是过三点的正方体截面，
，而，则，同理，
因此五边形周长等于，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】连接，利用中位线性质，结合线面平行的判定定理证明即可判断A；直线与的延长线交于点，连接与分别交于点，作出过点的正方体的截面，计算即可判断BD；借助三角形中位线性质即可判断C.
12．【答案】
【知识点】平面向量减法运算；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：易知，因为分别是线段的中点，
所以.故答案为：.
【分析】根据向量的减法易知，再根据中位线的性质，求即可.
13．【答案】或
【知识点】解三角形；正弦定理
【解析】【解答】解：在中，，
由正弦定理得，
因为，所以，所以或.
故答案为：或.
【分析】直接利用正弦定理列式求解即可.
14．【答案】
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：设，且，
，
因为为实数，所以，得，且，
则复数在复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆（不含点），
表示点与点的距离，而点与圆心的距离为1，则，
即的取值范围为.
故答案为：.
【分析】设复数，且，根据复数代数形式的四则运算求得复数，再根据复数为实数，虚部为零列式求得，最后复数的几何意义求对应点的轨迹即可.
15．【答案】（1）解：由，是夹角为的单位向量，得，
则；
（2）解：向量与共线，则，所以；
（3）解：假定存在实数n，使得与向量垂直，则，
即，解得，
故存在实数n，使得与向量垂直，.
【知识点】向量的模；平面向量的共线定理；平面向量的数量积运算
【解析】【分析】（1）根据向量数量积的定义先求，再利用向量的模以及向量数量积的运算律求解的大小即可；
（2）利用共线向量定理列式求解即可；
（3）假定存在实数n ，使得与向量垂直， 利用向量垂直数量积为零，列式求解即可.
（1）由，是夹角为的单位向量，得，而，
因此.
（2）向量与共线，则，所以.
（3）假定存在实数n，使得与向量垂直，则，
即，解得，
所以存在实数n，使得与向量垂直，.
16．【答案】（1）解：在中，，，，
由余弦定理得，
则，解得，
即村庄，之间的距离为千米；
（2）解：在中，由正弦定理得，
则，从而，
则地在地的正西方向，由高铁站在地的北偏东的方向，得，
在中，由余弦定理得，
而，则，解得，
所以高铁站D到C地的距离千米.
【知识点】解三角形；正弦定理；余弦定理；解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）在中，直接利用余弦定理列式计算即可；
（2）在中，利用正弦定理确定地在地的正西方向，再在中，利用余弦定理列出方程求解即可.
（1）依题意，在中，，，，
由余弦定理得，
则，解得，
即村庄，之间的距离为干米；
（2）在中，由正弦定理得，
则，从而，
则地在地的正西方向，由高铁站在地的北偏东的方向，得，
在中，由余弦定理得，
而，则，解得，
所以高铁站D到C地的距离千米.
17．【答案】（1）证明：在正三棱柱中，连接，连接，
如图所示：
则为中点，而D为棱的中点，于是，
又因为平面，平面，所以平面；
（2）解：平面，由D为棱的中点，得，，
则，即.
【知识点】直线与平面平行的判定；柱体的体积公式及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）在正三棱柱中，连接，连接，利用中位线结合线面平行的判定定理证明即可；
（2）由题意可得，再利用锥体、柱体体积公式，结合割补法求解即可.
（1）在正三棱柱中，连接，连接，
则为中点，而D为棱的中点，于是，又平面，平面，
所以平面.
（2）平面，由D为棱的中点，得，，
于是，
所以.
18．【答案】（1）解：在锐角中，，
由正弦定理可得，
由余弦定理得，则，
因为，所以；
（2）解：由（1）知，，
由余弦定理得，
当且仅当时取等号，解得，
因此当时，的周长取得最大值6，
此时的面积；
（3）解：在锐角中，，由，得，，
，
则的取值范围是.
【知识点】基本不等式；两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）由题意，利用正弦定理，结合余弦定理求角即可；
（2）由（1）知，，利用余弦定理，结合基本不等式求得，再利用三角形面积公式求解即可；
（3）根据为锐角三角形，求得，再利用余弦定理，正弦定理化简原式为，最后利用和角的正弦及正切函数的性质求范围即可.
（1）在锐角中，由及正弦定理，
得，由余弦定理得，
于是，而，所以.
（2）由（1）知，，
由余弦定理得，
当且仅当时取等号，解得，
因此当时，的周长取得最大值6，
此时的面积.
（3）在锐角中，，由，得，，
，
所以的取值范围是.
19．【答案】（1）解：依题意，柯西不等式的二元形式为：
设，则，当且仅当时取等号；
用向量法证明：令，
由数量积的性质得，当且仅当时取等号，
因此，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号；
（2）解：由（1）知，，
当且仅当，即时取等号，
则的最大值是；
（3）解：取的中点，连接，则⊥，过点作⊥平面，如图所示：
则点在上，且，
，由勾股定理得，，
则，
正四面体的体积，
由正四面体的体积，
可得，所以，
又由柯西不等式得
，
则，当且仅当时等号成立，
故的最小值.
【知识点】平面向量的数量积运算；一般形式的柯西不等式；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）设，则，当且仅当时取等号，再利用向量数量积的性质证明即可；
（2）由（1）的结论，利用柯西不等式的二元形式求出函数最大值即可；
（3）取的中点，连接，则⊥，过点作⊥平面，求得相应的边长，根据正四面体的体积公式得到，再由柯西不等式求的最小值即可.
（1）依题意，柯西不等式的二元形式为：
设，则，当且仅当时取等号.
用向量法证明：令，
由数量积的性质得，当且仅当时取等号，
因此，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号.
（2）由（1）知，，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值是.
（3）取的中点，连接，则⊥，
过点作⊥平面，则点在上，且，
因为，由勾股定理得，
，故，
则正四面体的体积，
由正四面体的体积，
得，所以，
又由柯西不等式得
，
则，当且仅当时等号成立，
所以的最小值.
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