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浙江省台州市台州六校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．（2025高二下·台州期中）已知函数的图象在点处的切线方程为，则（　　）
A． B．3 C．4 D．8
【答案】D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由于处的切线方程为，故，
当时，，故，
故，
故答案为：D
【分析】这道题的核心是利用导数的几何意义，即函数在某点处的导数值等于该点切线的斜率，同时该点坐标满足切线方程。
2．（2025高二下·台州期中）已知随机变量的分布列如图，则（　　）
1 2 3
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由表可得，故，
故，
故答案为：D
【分析】 这道题先利用分布列中所有概率之和为1的性质求出未知参数 ，再代入期望公式 计算期望。
3．（2025高二下·台州期中）已知定义域为的函数的导函数为且的图象如图所示，则下列判断中正确的（　　）
A．在上单调递增 B．有极大值
C．有3个极值点 D．在处取得最大值
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由题图知，在上，，则在上单调递减；
在上，，则在上单调递增，
函数在上不单调，为极小值，且共有3个极值点，处不是最大值.
故答案为：C.
【分析】根据导函数图象，结合原函数与导函数的关系求单调区间、极值情况，再逐项判断即可.
4．（2025高二下·台州期中）某物流公司需要安排四个区域的快递运送，公司现有甲、乙、丙三位快递员可选派，要求每个区域只能有一个快递员负责，每位快递员至多负责两个区域，则不同的安排方案共有（　　）
A．60种 B．54种 C．48种 D．36种
【答案】B
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：选派2名快递员的时候：首先，快递员的选法有种不同选法，其中一名快递员从四个区域中选2个区域，有种选法，剩余快递员的选法只有1种，
所以不同安排方案有：种；
选派3名快递员的时候：先从四个区域中选2个区域，有种选法，将其看做一个区域，现在3个区域安排给三个人有种方法，所以不同安排方案有：种.
综上所述，不同安排方案有：种.
故答案为：B
【分析】这道题需要按“选派 2 名快递员”和“选派3名快递员”两种情况分类计算，再用加法原理汇总，核心是满足每个区域1人负责、每位快递员至多负责 2 个区域的条件。
5．（2025高二下·台州期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数，则，
因函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
因在区间上单调递减，则，
故，即实数的取值范围是.
故答案为：B
【分析】这道题的核心是利用导数与函数单调性的关系，将 “函数在区间上单调递增” 转化为 “导数在区间上恒大于等于 0”，进而通过求函数最值确定参数 k 的取值范围。
6．（2025高二下·台州期中）已知随机事件满足：，，则下列选项错误的是（　　）
A．若，则与相互独立 B．若与相互独立，则
C．若与互斥，则 D．若，则
【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以与相互独立，则命题正确，故A不符合条件；
对于B，若与相互独立，
则与也相互独立，
所以，
则命题正确，故B不符合条件；
对于C，若与互斥，则，
因为，
则命题错误，故C符合条件；
对于D，因为，
由全概率公式，可得，
则，
所以，
则，
所以命题正确，故D不符合条件.
故答案为：C.
【分析】由独立事件的定义和独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式，则判断出选项A和选项B；由互斥事件的加法求概率公式，则可判断选项C；由全概率公式和条件概率公式、对立事件求概率公式，则可判断选项D，从而找出错误的选项.
7．（2025高二下·台州期中）设函数，若，则的最小值为（　　）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数看作，
在定义域内二者均单调递增，且在定义域内同正，因此只需函数图象与轴的交点重合，如图所示：
令，得，所以，所以，
令，，
当时，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则当时，有最小值，最小值为，故的最小值为2，
故答案为：D.
【分析】将函数可看作，已知两函数在定义域内同正同负，函数图象与轴的交点重合，令，解得，进而，令，求导，利用导数判断函数的单调性，求最小值即可得的最小值.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
8．（2025高二下·台州期中）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（　　）
A．由“第行所有数之和为”猜想：
B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数和”猜想：
C．
D．第29行中从左到右第14与第15个数相等
【答案】A,B,C
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：A，，故A正确，
B，由组合数的性质可得，故B正确，
C，，故C正确，
D， 第29行中从左到右第14个数为，第15个数为，两者不相等，故D错误，
故答案为：ABC
【分析】这道题的核心是运用杨辉三角的基本性质和组合数的公式，包括二项式系数和、组合数的递推关系，以及组合数的累加公式，来逐一验证每个选项的正确性。
9．（2025高二下·台州期中）甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件为“取出的两球都是红球”，事件为“取出的两球为一红一白”，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：由题意知，，，，
，，
所以，
，
.
故答案为：AD.
【分析】这道题的核心是用条件概率和全概率公式分两步计算。先计算从甲罐取球的概率，再计算在该条件下从乙罐取球的概率，最后用乘法和加法汇总结果。
10．（2025高二下·台州期中）已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．是函数定义域内的极小值点
B．的单调减区间是
C．在定义域内既无最大值又无最小值
D．若有两个不同的交点，则
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A，函数定义域满足，解得，
由，令可得和，
当或时，所以在和上单调递减，
当时.所以在上单调递增，这表明是的极小值点，A正确；
B，的单调减区间是，，故B不正确；
C，由A可得当和时单调递减，当时单调递增，且，
作出简图，可得的值域是，故C正确；
D，由图象可得，与有两个不同的公共点，则，故D正确；
故答案为：ACD
【分析】这道题的核心是通过求导分析函数的单调性、极值与值域，再结合函数图象来判断各个选项的正确性。
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
11．（2025高二下·台州期中）如果随机变量，且，则　 　．
【答案】
【知识点】正态分布定义
【解析】【解答】解：因为，且，
所以，
则.
故答案为：
【分析】这道题的核心是利用正态分布 X N(1，σ2) 的对称性，对称轴为 x=1，结合已知区间的概率来推导目标区间的概率。
12．（2025高二下·台州期中）在的展开式中，项的系数为　 　．
【答案】25
【知识点】二项式定理；二项式系数
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项，
因此项为，
所以项的系数为25.
故答案为：25
【分析】这道题的核心是先求出二项式 的通项，再将它与 相乘，找到能得到 项的组合，最后将对应系数相加得到结果。
13．（2025高二下·台州期中）曲线与和分别交于、两点，设曲线在处的切线斜率为，在处的切线斜率为，若，则　 　．
【答案】
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系；导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为和互为反函数，其图象关于直线对称，
且反比例函数的图象也关于直线对称，
可知点关于直线对称，设，则，
设，则，
由题意可得：，解得或（舍去），
可得，则，所以.
故答案为：.
【分析】这道题的核心是利用 与 互为反函数、以及 关于直线 对称的性质，设出对称点的坐标，再结合导数的几何意义求出 ，最终计算 的值。
四、解答题（本题共7小题；其中第15小题12分，第16小题14分，第17小题15分，第18小题17分，第19小题19分；共77分）
14．（2025高二下·台州期中）某种产品的加工需要经过、、、、共5道工序．
（1）如果工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（2）如果工序和工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（3）如果和工序相邻，和不能相邻，那么有多少种加工顺序？
【答案】（1）解：因为工序不能放在最后，
首先排工序，有种排法，
其余工序全排列即可，有种排法，
按照分步乘法计数原理可得一共有种加工顺序；
（2）解：因为工序和工序既不能放在最前，也不能放在最后，
首先排工序和工序，有种排法，
其余工序全排列即可，有种排法，
按照分步乘法计数原理可得一共有种加工顺序；
（3）解：如果和工序相邻，和不能相邻，
把和工序捆绑作为一组，与工序排列，有种排法，
再将和插入所形成的个空中的个空，有种排法，
按照分步乘法计数原理可得一共有种加工顺序；
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(1)使用特殊元素优先法，先为A工序安排位置（不能在最后），再排列剩余工序。
(2)先为B、C工序安排中间位置，再排列剩余工序。
(3)相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，先将A、B视为一个整体，与E一起排列，再将C、D插入空隙。
（1）因为工序不能放在最后，
首先排工序，有种排法，
其余工序全排列即可，有种排法，
按照分步乘法计数原理可得一共有种加工顺序；
（2）因为工序和工序既不能放在最前，也不能放在最后，
首先排工序和工序，有种排法，
其余工序全排列即可，有种排法，
按照分步乘法计数原理可得一共有种加工顺序；
（3）如果和工序相邻，和不能相邻，
把和工序捆绑作为一组，与工序排列，有种排法，
再将和插入所形成的个空中的个空，有种排法，
按照分步乘法计数原理可得一共有种加工顺序；
15．（2025高二下·台州期中）已知函数，当时，取得极小值．
（1）求的值；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
【答案】（1）解：，，
当时，取得极小值，
，得到，，
当时，，
由，解得或；由解得，
在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极小值，符合题意，故，
当时，，
由，解得或；由解得；
在，上单调递增，在上单调递减；
所以在处取得极大值，不符合题意，舍去．
综上，．
（2）解：由（1）可知，，
且在，上单调递增，在上单调递减；
在上极大值为，极小值为；
又，，
在上的最大值是，最小值是．
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)函数在处取得极小值，说明 ，且在该点导数由负变正，先求导代入得到关于的方程，再验证导数符号变化，确定的值。
(2)利用(1)的结果确定函数表达式，求出导数的零点，分析函数在区间上的单调性，再比较极值点与区间端点的函数值，得到最大值和最小值。
（1），，
当时，取得极小值，
，得到，，
当时，，
由，解得或；由解得，
在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极小值，符合题意，故，
当时，，
由，解得或；由解得；
在，上单调递增，在上单调递减；
所以在处取得极大值，不符合题意，舍去．
综上，．
（2）由（1）可知，，
且在，上单调递增，在上单调递减；
在上极大值为，极小值为；
又，，
在上的最大值是，最小值是．
16．（2025高二下·台州期中）已知展开式的二项式系数和为512，且．
（1）求和的值；
（2）若，且被6整除，求．
【答案】（1）解：由二项式系数和为512知，，所以，
，
令，，令，，
（2）解：由（1）知，则，
，
被6整除，能被6整除，
能被6整除，
能被6整除，
，，
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】(1)二项式系数和为 ，由此可求出 。再通过赋值法（令 和 ）求出 与所有系数和，进而得到 。
(2)先计算 ，再用二项式定理展开，分析各项对6的整除性，从而确定 的值。
（1）由二项式系数和为512知，，所以，
，
令，，令，，
；
（2）由（1）知，则，
，
被6整除，能被6整除，
能被6整除，
能被6整除，
，，.
17．（2025高二下·台州期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为，用表示小球最后落入格子的号码．
（1）求的分布列；
（2）小州同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．若2元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号格子得到的奖金为元，其中，你觉得小州同学能盈利吗？
【答案】（1）解：由题可知，的取值为1，2，3，4，5，6，7．
，
，
，
，
则的分布列为：
1 2 3 4 5 6 7
P
（2）解：由（1）得，，
的分布列为：
Y 0 1 5 10
P
则，
小州同学能盈利．
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；概率分布列；二项分布
【解析】【分析】(1)小球从顶端到落入底部格子，需要经过6次左右方向的选择，每次选择的概率都是，这是一个6次独立重复试验，因此 X 1 B(6，)，可以用二项分布公式求出各格子的概率。
(2)根据 X 的分布列和奖金规则，计算每次游戏的期望奖金，将期望奖金与游戏成本（2元）比较，判断是否盈利。
（1）由题知，的取值为1，2，3，4，5，6，7．
，
，
，
，
则的分布列为：
1 2 3 4 5 6 7
P
（2）由（1）得，，
的分布列为：
Y 0 1 5 10
P
则，
小州同学能盈利．
18．（2025高二下·台州期中）定义函数满足，且的定义域均为，．已知函数．
（1）求的解析式及其定义域；
（2）证明：；
（3）若，是的两个零点，证明：．
【答案】（1）解：由题意得，，，，
，，，
，且的定义域为．
（2）证明：要证：，即证：，
当时，．
令，，
，在上单调递增．
，
，即．
（3）证明：是的两个零点
，，则，，
，
要证，只需证，
，且为增函数，，
，且在上为减函数，，
即证，即证，
即证，即证，
即证，
令，则只需证；
设，
则，
在上单调递增，则，
成立，．
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)先根据定义求出切比雪夫多项式 和 ，代入函数 化简，再确定定义域。
(2)将不等式化简为 ，分别分析左右两边在区间 上的取值范围，证明左边非正、右边恒正。
(3)由零点条件得到 ，将待证不等式转化为关于 的函数，通过换元构造新函数，利用导数判断单调性证明。
（1）由题意得，，，，
，，，
，且的定义域为．
（2）要证：，即证：，
当时，．
令，，
，在上单调递增．
，
，即．
（3）是的两个零点
，，则，，
，
要证，只需证，
，且为增函数，，
，且在上为减函数，，
即证，即证，
即证，即证，
即证，
令，则只需证；
设，
则，
在上单调递增，则，
成立，．
1 / 1浙江省台州市台州六校2024-2025学年高二下学期4月期中联考数学试题
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）
1．（2025高二下·台州期中）已知函数的图象在点处的切线方程为，则（　　）
A． B．3 C．4 D．8
2．（2025高二下·台州期中）已知随机变量的分布列如图，则（　　）
1 2 3
A． B． C． D．
3．（2025高二下·台州期中）已知定义域为的函数的导函数为且的图象如图所示，则下列判断中正确的（　　）
A．在上单调递增 B．有极大值
C．有3个极值点 D．在处取得最大值
4．（2025高二下·台州期中）某物流公司需要安排四个区域的快递运送，公司现有甲、乙、丙三位快递员可选派，要求每个区域只能有一个快递员负责，每位快递员至多负责两个区域，则不同的安排方案共有（　　）
A．60种 B．54种 C．48种 D．36种
5．（2025高二下·台州期中）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025高二下·台州期中）已知随机事件满足：，，则下列选项错误的是（　　）
A．若，则与相互独立 B．若与相互独立，则
C．若与互斥，则 D．若，则
7．（2025高二下·台州期中）设函数，若，则的最小值为（　　）
A． B． C．1 D．2
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题列出的四个备选项中至少有一个是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）
8．（2025高二下·台州期中）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的猜想中正确的有（　　）
A．由“第行所有数之和为”猜想：
B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它肩上的两个数和”猜想：
C．
D．第29行中从左到右第14与第15个数相等
9．（2025高二下·台州期中）甲罐中有4个红球，2个白球，乙罐中有5个红球，3个白球．整个取球过程分为两步：（1）先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，记事件为“取出的是红球”，事件为“取出的是白球”；（2）再从乙罐中随机取出两个球，记事件为“取出的两球都是红球”，事件为“取出的两球为一红一白”，则（　　）
A． B． C． D．
10．（2025高二下·台州期中）已知函数，则下列结论正确的是（　　）
A．是函数定义域内的极小值点
B．的单调减区间是
C．在定义域内既无最大值又无最小值
D．若有两个不同的交点，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
11．（2025高二下·台州期中）如果随机变量，且，则　 　．
12．（2025高二下·台州期中）在的展开式中，项的系数为　 　．
13．（2025高二下·台州期中）曲线与和分别交于、两点，设曲线在处的切线斜率为，在处的切线斜率为，若，则　 　．
四、解答题（本题共7小题；其中第15小题12分，第16小题14分，第17小题15分，第18小题17分，第19小题19分；共77分）
14．（2025高二下·台州期中）某种产品的加工需要经过、、、、共5道工序．
（1）如果工序不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（2）如果工序和工序既不能放在最前，也不能放在最后，那么有多少种加工顺序？
（3）如果和工序相邻，和不能相邻，那么有多少种加工顺序？
15．（2025高二下·台州期中）已知函数，当时，取得极小值．
（1）求的值；
（2）求函数在上的最大值和最小值．
16．（2025高二下·台州期中）已知展开式的二项式系数和为512，且．
（1）求和的值；
（2）若，且被6整除，求．
17．（2025高二下·台州期中）高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计用来研究随机现象的模型．在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃．将一个小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．格子从左到右分别编号为，用表示小球最后落入格子的号码．
（1）求的分布列；
（2）小州同学在研究了高尔顿板后，想利用该图中的高尔顿板在学校社团文化节上进行盈利性“抽奖”活动．若2元可以玩一次高尔顿板游戏，小球掉入号格子得到的奖金为元，其中，你觉得小州同学能盈利吗？
18．（2025高二下·台州期中）定义函数满足，且的定义域均为，．已知函数．
（1）求的解析式及其定义域；
（2）证明：；
（3）若，是的两个零点，证明：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：由于处的切线方程为，故，
当时，，故，
故，
故答案为：D
【分析】这道题的核心是利用导数的几何意义，即函数在某点处的导数值等于该点切线的斜率，同时该点坐标满足切线方程。
2．【答案】D
【知识点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【解答】解：由表可得，故，
故，
故答案为：D
【分析】 这道题先利用分布列中所有概率之和为1的性质求出未知参数 ，再代入期望公式 计算期望。
3．【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】解：由题图知，在上，，则在上单调递减；
在上，，则在上单调递增，
函数在上不单调，为极小值，且共有3个极值点，处不是最大值.
故答案为：C.
【分析】根据导函数图象，结合原函数与导函数的关系求单调区间、极值情况，再逐项判断即可.
4．【答案】B
【知识点】基本计数原理的应用；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：选派2名快递员的时候：首先，快递员的选法有种不同选法，其中一名快递员从四个区域中选2个区域，有种选法，剩余快递员的选法只有1种，
所以不同安排方案有：种；
选派3名快递员的时候：先从四个区域中选2个区域，有种选法，将其看做一个区域，现在3个区域安排给三个人有种方法，所以不同安排方案有：种.
综上所述，不同安排方案有：种.
故答案为：B
【分析】这道题需要按“选派 2 名快递员”和“选派3名快递员”两种情况分类计算，再用加法原理汇总，核心是满足每个区域1人负责、每位快递员至多负责 2 个区域的条件。
5．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】解：函数，则，
因函数在区间上单调递增，则在区间上恒成立，
即在区间上恒成立，
因在区间上单调递减，则，
故，即实数的取值范围是.
故答案为：B
【分析】这道题的核心是利用导数与函数单调性的关系，将 “函数在区间上单调递增” 转化为 “导数在区间上恒大于等于 0”，进而通过求函数最值确定参数 k 的取值范围。
6．【答案】C
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件；相互独立事件的概率乘法公式；全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以与相互独立，则命题正确，故A不符合条件；
对于B，若与相互独立，
则与也相互独立，
所以，
则命题正确，故B不符合条件；
对于C，若与互斥，则，
因为，
则命题错误，故C符合条件；
对于D，因为，
由全概率公式，可得，
则，
所以，
则，
所以命题正确，故D不符合条件.
故答案为：C.
【分析】由独立事件的定义和独立事件乘法求概率公式、对立事件求概率公式，则判断出选项A和选项B；由互斥事件的加法求概率公式，则可判断选项C；由全概率公式和条件概率公式、对立事件求概率公式，则可判断选项D，从而找出错误的选项.
7．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数看作，
在定义域内二者均单调递增，且在定义域内同正，因此只需函数图象与轴的交点重合，如图所示：
令，得，所以，所以，
令，，
当时，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则当时，有最小值，最小值为，故的最小值为2，
故答案为：D.
【分析】将函数可看作，已知两函数在定义域内同正同负，函数图象与轴的交点重合，令，解得，进而，令，求导，利用导数判断函数的单调性，求最小值即可得的最小值.
8．【答案】A,B,C
【知识点】二项式定理；二项式系数的性质；组合数的基本计算
【解析】【解答】解：A，，故A正确，
B，由组合数的性质可得，故B正确，
C，，故C正确，
D， 第29行中从左到右第14个数为，第15个数为，两者不相等，故D错误，
故答案为：ABC
【分析】这道题的核心是运用杨辉三角的基本性质和组合数的公式，包括二项式系数和、组合数的递推关系，以及组合数的累加公式，来逐一验证每个选项的正确性。
9．【答案】A,D
【知识点】全概率公式；条件概率
【解析】【解答】解：由题意知，，，，
，，
所以，
，
.
故答案为：AD.
【分析】这道题的核心是用条件概率和全概率公式分两步计算。先计算从甲罐取球的概率，再计算在该条件下从乙罐取球的概率，最后用乘法和加法汇总结果。
10．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：A，函数定义域满足，解得，
由，令可得和，
当或时，所以在和上单调递减，
当时.所以在上单调递增，这表明是的极小值点，A正确；
B，的单调减区间是，，故B不正确；
C，由A可得当和时单调递减，当时单调递增，且，
作出简图，可得的值域是，故C正确；
D，由图象可得，与有两个不同的公共点，则，故D正确；
故答案为：ACD
【分析】这道题的核心是通过求导分析函数的单调性、极值与值域，再结合函数图象来判断各个选项的正确性。
11．【答案】
【知识点】正态分布定义
【解析】【解答】解：因为，且，
所以，
则.
故答案为：
【分析】这道题的核心是利用正态分布 X N(1，σ2) 的对称性，对称轴为 x=1，结合已知区间的概率来推导目标区间的概率。
12．【答案】25
【知识点】二项式定理；二项式系数
【解析】【解答】解：二项式展开式的通项，
因此项为，
所以项的系数为25.
故答案为：25
【分析】这道题的核心是先求出二项式 的通项，再将它与 相乘，找到能得到 项的组合，最后将对应系数相加得到结果。
13．【答案】
【知识点】互为反函数的两个函数之间的关系；导数的几何意义；基本初等函数导函数公式
【解析】【解答】解：因为和互为反函数，其图象关于直线对称，
且反比例函数的图象也关于直线对称，
可知点关于直线对称，设，则，
设，则，
由题意可得：，解得或（舍去），
可得，则，所以.
故答案为：.
【分析】这道题的核心是利用 与 互为反函数、以及 关于直线 对称的性质，设出对称点的坐标，再结合导数的几何意义求出 ，最终计算 的值。
14．【答案】（1）解：因为工序不能放在最后，
首先排工序，有种排法，
其余工序全排列即可，有种排法，
按照分步乘法计数原理可得一共有种加工顺序；
（2）解：因为工序和工序既不能放在最前，也不能放在最后，
首先排工序和工序，有种排法，
其余工序全排列即可，有种排法，
按照分步乘法计数原理可得一共有种加工顺序；
（3）解：如果和工序相邻，和不能相邻，
把和工序捆绑作为一组，与工序排列，有种排法，
再将和插入所形成的个空中的个空，有种排法，
按照分步乘法计数原理可得一共有种加工顺序；
【知识点】排列、组合的实际应用
【解析】【分析】(1)使用特殊元素优先法，先为A工序安排位置（不能在最后），再排列剩余工序。
(2)先为B、C工序安排中间位置，再排列剩余工序。
(3)相邻问题用捆绑法，不相邻问题用插空法，先将A、B视为一个整体，与E一起排列，再将C、D插入空隙。
（1）因为工序不能放在最后，
首先排工序，有种排法，
其余工序全排列即可，有种排法，
按照分步乘法计数原理可得一共有种加工顺序；
（2）因为工序和工序既不能放在最前，也不能放在最后，
首先排工序和工序，有种排法，
其余工序全排列即可，有种排法，
按照分步乘法计数原理可得一共有种加工顺序；
（3）如果和工序相邻，和不能相邻，
把和工序捆绑作为一组，与工序排列，有种排法，
再将和插入所形成的个空中的个空，有种排法，
按照分步乘法计数原理可得一共有种加工顺序；
15．【答案】（1）解：，，
当时，取得极小值，
，得到，，
当时，，
由，解得或；由解得，
在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极小值，符合题意，故，
当时，，
由，解得或；由解得；
在，上单调递增，在上单调递减；
所以在处取得极大值，不符合题意，舍去．
综上，．
（2）解：由（1）可知，，
且在，上单调递增，在上单调递减；
在上极大值为，极小值为；
又，，
在上的最大值是，最小值是．
【知识点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】(1)函数在处取得极小值，说明 ，且在该点导数由负变正，先求导代入得到关于的方程，再验证导数符号变化，确定的值。
(2)利用(1)的结果确定函数表达式，求出导数的零点，分析函数在区间上的单调性，再比较极值点与区间端点的函数值，得到最大值和最小值。
（1），，
当时，取得极小值，
，得到，，
当时，，
由，解得或；由解得，
在，上单调递增，在上单调递减，
所以在处取得极小值，符合题意，故，
当时，，
由，解得或；由解得；
在，上单调递增，在上单调递减；
所以在处取得极大值，不符合题意，舍去．
综上，．
（2）由（1）可知，，
且在，上单调递增，在上单调递减；
在上极大值为，极小值为；
又，，
在上的最大值是，最小值是．
16．【答案】（1）解：由二项式系数和为512知，，所以，
，
令，，令，，
（2）解：由（1）知，则，
，
被6整除，能被6整除，
能被6整除，
能被6整除，
，，
【知识点】二项式系数的性质；二项式定理的应用；二项式系数
【解析】【分析】(1)二项式系数和为 ，由此可求出 。再通过赋值法（令 和 ）求出 与所有系数和，进而得到 。
(2)先计算 ，再用二项式定理展开，分析各项对6的整除性，从而确定 的值。
（1）由二项式系数和为512知，，所以，
，
令，，令，，
；
（2）由（1）知，则，
，
被6整除，能被6整除，
能被6整除，
能被6整除，
，，.
17．【答案】（1）解：由题可知，的取值为1，2，3，4，5，6，7．
，
，
，
，
则的分布列为：
1 2 3 4 5 6 7
P
（2）解：由（1）得，，
的分布列为：
Y 0 1 5 10
P
则，
小州同学能盈利．
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；概率分布列；二项分布
【解析】【分析】(1)小球从顶端到落入底部格子，需要经过6次左右方向的选择，每次选择的概率都是，这是一个6次独立重复试验，因此 X 1 B(6，)，可以用二项分布公式求出各格子的概率。
(2)根据 X 的分布列和奖金规则，计算每次游戏的期望奖金，将期望奖金与游戏成本（2元）比较，判断是否盈利。
（1）由题知，的取值为1，2，3，4，5，6，7．
，
，
，
，
则的分布列为：
1 2 3 4 5 6 7
P
（2）由（1）得，，
的分布列为：
Y 0 1 5 10
P
则，
小州同学能盈利．
18．【答案】（1）解：由题意得，，，，
，，，
，且的定义域为．
（2）证明：要证：，即证：，
当时，．
令，，
，在上单调递增．
，
，即．
（3）证明：是的两个零点
，，则，，
，
要证，只需证，
，且为增函数，，
，且在上为减函数，，
即证，即证，
即证，即证，
即证，
令，则只需证；
设，
则，
在上单调递增，则，
成立，．
【知识点】导数的四则运算；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】(1)先根据定义求出切比雪夫多项式 和 ，代入函数 化简，再确定定义域。
(2)将不等式化简为 ，分别分析左右两边在区间 上的取值范围，证明左边非正、右边恒正。
(3)由零点条件得到 ，将待证不等式转化为关于 的函数，通过换元构造新函数，利用导数判断单调性证明。
（1）由题意得，，，，
，，，
，且的定义域为．
（2）要证：，即证：，
当时，．
令，，
，在上单调递增．
，
，即．
（3）是的两个零点
，，则，，
，
要证，只需证，
，且为增函数，，
，且在上为减函数，，
即证，即证，
即证，即证，
即证，
令，则只需证；
设，
则，
在上单调递增，则，
成立，．
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