资源简介

湖南省邵阳市邵东市振华中学2025年中考一模数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·邵东模拟）实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最大的是（　　）
A．a B．b C．c D．d
【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：由数轴可知，实数离原点的距离最远，
绝对值最大的是d，
故答案为：D．
【分析】
根据绝对值的几何意义，一个数的绝对值是表示该数的点与原点的距离，由此即可解答.
2．（2025·邵东模拟）中国“春节”被正式列入世界非物质文化遗产！剪窗花、贴窗花是中国人过年的传统习俗之一、下面剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
3．（2025·邵东模拟）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】
根据积的乘方、单项式乘单项式的法则即可解答.
4．（2025·邵东模拟）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（　　）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】
若一元二次方程有两个相等的实数根，则，由此可以列出，化简后即可解答.
5．（2025·邵东模拟）科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最长的并且最平稳的是（　　）
种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类
平均数
方差
A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：平均数越大，开花时间最长，
甲种类和丙种类开花时间最长，
方差越小，开花时间最平稳，
丙种类和丁种类开花时间最平稳，
开花时间最长的并且最平稳的是丙种类，
故答案为：C．
【分析】
由平均数的意义知，平均数越大，开花时间越长；方差的意义知，方差越小，开花时间最平稳，即可解答．
6．（2025·邵东模拟）如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若，则等（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】角的运算；含30°角的直角三角形；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：将一块含有角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】
根据直角三角形的两个锐角互余及平行线的性质即可解答．
7．（2025·邵东模拟）如图，在中，．将绕点O顺时针旋转，得到，与相交于点D，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在中，，
，
由旋转的性质可知，，，，
，，
，
，
故答案为：C．
【分析】
根据旋转的性质得，结合等腰三角形的性质得，，最后由勾股定理求解即可．
8．（2025·邵东模拟）如图，以正六边形的顶点O为圆心，的长为半径画圆，若圆与正六边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为，则的半径为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正六边形，
，
设的半径为，
则，
解得：，
即的半径为3
故答案为：A．
【分析】
先求出正六边形的每个内角的度数，再利用扇形面积公式列方程求解即可．
9．（2025·邵东模拟）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律组成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形，…，按照此规律排列下去，第675个图中三角形的个数是（　　）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：由所给图形可知，
第1个图中三角形的个数是：；
第2个图中三角形的个数是：；
第3个图中三角形的个数是：；
…，
所以第n个图中三角形的个数是个．
当时，（个），
即第675个图中三角形的个数是2026个．
故答案为：D．
【分析】
观察图形的变化规律，三角形的个数依次增加3，由此便可解答.
10．（2025·邵东模拟）如图，点A、C在反比例函数的图象上，点B、D在反比例函数的图象上，轴，若，与的距离为8，则的值为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；数形结合
【解析】【解答】解：轴，
设、的横坐标为，、的横坐标为，
，，
，，
与的距离为8，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】
设、的横坐标为，、的横坐标为，代入函数解析式后表示出、、、的坐标，根据，整理计算后得，，再根据与的距离为8，列出，即可解答．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，计24分）
11．（2025·邵东模拟）若代数式有意义，则实数的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若代数式有意义，则，
解得：；
故答案为：．
【分析】
根据分式有意义的条件，分母不为0，即可解答．
12．（2025·邵东模拟）化简：　 　．
【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】
根据完全平方公式化简计算即可．
13．（2025·邵东模拟）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出湖湘文化、荆楚文化、巴蜀文化、藏羌文化、吴越文化、江淮文化等区域文化．若从上述六种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“湖湘文化”的概率是　 　．
【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知，共有6种区域文化，“湖湘文化”为其中1中，
则选中“湖湘文化”的概率是，
故答案为：．
【分析】
由题意知，共有6种区域文化，“湖湘文化”为其中1中，根据概率的计算公式“概率所求情况数与总情况数之比”即可．
14．（2025·邵东模拟）2025年，国家拟安排超长期特别国债3000亿元支持消费品以旧换新，3000亿用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】3000亿
故答案为：．
【分析】
根据科学记数法表示较大的数，将较大数写成，其中，n为正整数，即可解答.
15．（2025·邵东模拟）如图，我国南方一些地区农民戴的斗笠是一个底面圆周长为，母线长为的圆锥形，这个斗笠的侧面积是　 　．（用含π的数表示）
【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥侧面积公式为（是底面圆周长，是母线长），
∵ ， ，
∴ ．
故答案为：.
【分析】
先由底面圆周长公式求出底面半径的长，再由圆锥的侧面积公式即可求解.
16．（2025·邵东模拟）在中，在边上取一点D，如图，根据下列作图过程：①以B点为圆心，以合适的长为半径作弧，分别与边交于点M，N；②以D点为圆心、长为半径向内作弧，交于P点；③以P点为圆心、为半径作弧，与前弧在内交于一点Q；④过Q点作射线交于E点．若，则　 　．
【答案】
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由作法可知，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
根据尺规作图判断出，再由两角分别相等的两个三角形相似得出，根据相似三角形的对应边成比例即可解答.
17．（2025·邵东模拟）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，若，则海岛的高为　 　．
【答案】28
【知识点】相似三角形的实际应用；A字型相似模型
【解析】【解答】解：设海岛高， ．
∵，，
∴，
∴，
∴，即①．
又∵，，
∴，
∴，
∴，即②．
∴①，得；
∴②，得 ．
∴，解得 ．
即海岛的高为 ，
故答案为：28．
【分析】
设海岛高， ，根据相似三角形的性质，列出方程即可求解.
18．（2025·邵东模拟）如图，活动衣帽架由三个菱形组成，起初按照图①的方式挂在墙上，A、B为钉子所在位置，且；为了增加衣帽架之间的空隙，调整为图②的方式，菱形的边长　 　，两颗钉子A、B间的距离增加了　 　．（用含根号的式子表示）
【答案】；
【知识点】菱形的性质；正方形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图①，标记各点，连接，
四边形是菱形，，
四边形是正方形，
，，
，
，
在中，；
如图②，标记各点，连接、，
四边形是菱形，，
，，
，
，
，
，
两颗钉子A、B间的距离增加了，
故答案为：，．
【分析】
如图①，先求出AC的长，再根据正方形的性质，即可求出AE的长，如图②结合菱形的性质和锐角三角函数求出图②中AB的长，即可解答.
三、解答题（本大题共8个小题，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第23-24题每小题9分，第25-26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2025·邵东模拟）计算：
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据零次幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值、化简二次根式，先化简后再加减即可计算.
20．（2025·邵东模拟）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得___________；
（Ⅱ）解不等式②，得___________；
（Ⅲ）原不等式组的解集为___________．
【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得；
故答案为：；
（Ⅱ）解不等式②，得；
故答案为：；
（Ⅲ）原不等式组的解集为：；
故答案为：．
【分析】
由不等式的基本性质，分别求出每一个不等式的解集，找到两个解集的公共部分，即为不等式的解集．
21．（2025·邵东模拟）某校为了解学生身体健康状况，从全校1200名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表），并绘制出不完整的条形统计图（如图）
成绩频数百分比不及格4a及格b良好36优秀24c
学生体质健康统计表 学生体质健康条形图
（1）如表中___________，___________，___________；
（2）请补全如图的条形统计图；
（3）并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”及以上的总人数；
（4）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率．
【答案】（1），16，
（2）解：补全条形统计图如图，
（3）解：（人），估计该校学生体质健康测试结果为“良好”及以上的总人数为900人；
（4）解：设3名“良好”分别为甲、乙、丙，1名“优秀”学生为丁，画树状图如图：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中两人均为“良好”的结果有6种，
所抽取的两人均为“良好”的概率为．
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵良好人占，
∴总人数为（人）．
不及格频数，
．
及格占，则．
．
故答案为：，16，；
【分析】
（1）根据“良好（人，占）”先算出抽取的总人数，再分别计算出（不及格频率）、（及格频数 ）、（人对应的频率 ）即可．
（2）根据值，即可补全条形统计图．
（3）用样本数据估计总体，先确定“良好”及以上对应的频率，再用全校总人数乘以该频率，估算全校“良好”及以上的总人数．
（4）通过画树状图列举出从名学生中抽取人的所有可能结果，找出两人均为“良好”的结果数，利用概率公式计算概率．
（1）解：∵良好人占，
∴总人数为（人）．
不及格频数，
．
及格占，则．
．
故答案为：，16，；
（2）解：补全条形统计图如图，
（3）解：（人），
估计该校学生体质健康测试结果为“良好”及以上的总人数为900人；
（4）解：设3名“良好”分别为甲、乙、丙，1名“优秀”学生为丁，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中两人均为“良好”的结果有6种，
所抽取的两人均为“良好”的概率为．
22．（2025·邵东模拟）为迎接省旅游发展大会，某市对文化广场进行提质改造，该文化广场为长方形，长为120米，宽为80米，广场中心有一个半径为20米的圆形花坛，花坛外围需重新铺设广场砖．
（1）预估需要广场砖多少平方米正好铺设完成？（π取3）
（2）某施工队承包铺设广场砖的任务，因工期紧张，临时增加工人施工，每天比原计划多铺设，提前8天完成任务，求原计划每天铺设广场砖多少平方米？
【答案】（1）解：由题意得：（平方米），
答：预估需要广场砖约8400平方米正好铺设完成；
（2）解：设原计划每天铺设广场砖x平方米，则实际每天铺设广场砖平方米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．且符合题意，
答：原计划每天铺设广场砖300平方米．
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）根据题意，计算长方形与圆形的面积差即可解答；
（2）设原计划每天铺设广场砖x平方米，则实际每天铺设广场砖平方米，再根据提前8天完成任务，列出分式方程，解方程即可．
（1）解：由题意得：（平方米），
答：预估需要广场砖约8400平方米正好铺设完成；
（2）解：设原计划每天铺设广场砖x平方米，则实际每天铺设广场砖平方米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．且符合题意，
答：原计划每天铺设广场砖300平方米．
23．（2025·邵东模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，点C在y轴的负半轴上，以为对称轴作的轴对称图形，点A的对称点为点D．
（1）若点D恰好落在x轴正半轴上，求点D的坐标；
（2）在（1）的条件下求的面积．
【答案】（1）解：，
，
，
根据轴对称可知，
点D在x轴的正半轴上，
．
点D的坐标为．

（2）解：设点C的坐标为，由题意可知 ，即．
在中，由勾股定理，
得，解得．
∴点C的坐标为．
，
所以的面积为15．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由A、B两点的坐标先得到、的长，再根据勾股定理算出，依据轴对称性质得，进而求出，即可解答；
（2）先由勾股定理求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可.
（1）解：，
，
，
根据轴对称可知，
点D在x轴的正半轴上，
．
点D的坐标为．
（2）解：设点C的坐标为，
由题意可知 ，即．
在中，由勾股定理，
得，解得．
∴点C的坐标为．
，
所以的面积为15．
24．（2025·邵东模拟）某学校数学兴趣小组利用课后服务时间测量篮球场灯的高度．
活动主题 测量篮球场灯的高度
测量工具 测角仪，皮尺、计算器等
示意图
测绘过与数据信息 ①小军站在A处，眼睛与地面的距离米，测得篮球场灯顶部C的仰角为； ②小辉站在B处，眼睛与地面的距离米，测得篮球场灯顶部C的仰角为； ③点E，F，D在同一条直线上，且小军和小辉的距离米，用计算器得到数据：．
请你根据测量结果，帮助数学兴趣小组求篮球场灯的高度．
【答案】解：如答图，过点A作于点G，过点B作于点H，
设米，则由题意得四边形都是矩形，
∴米，米，
在中，米，
在中，米，
由米，
解得，，
所以（米）
答：篮球场灯的高度为11米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
过点A作于点G，过点B作于点H，设米，则米，米，由题可知是等腰直角三角形，故米，在中，利用tan∠CAG，解直角三角形求出的值，即可求出．
25．（2025·邵东模拟）已知：中，，点M是上一动点，过点B作于D，设线段被点M分得的线段之比，如图．
（1）求证：；
（2）若平分，求的长；
（3）点M在边上的运动过程中，探究t是否有最小值？若有最小值，请求出t的最小值，若没有最小值，请说明理由．
【答案】（1）证明：，
，
又，
，
，
；
（2）解：过点M作于N，
在中，，
，
设，则，
平分，，
，
在与中，
，
，
，
，
在中，
，
解得：，
，
，
由（1）得：，
，
即：，
解得：，
；
（3）解：如图1，过点D作于E，
，
，
，
，
取的中点O，连接与，
，
，
，
以点O为圆心，为半径作，则过点B、C、D，
当时，有最大值，
如图2，当点D是的中点时，，
为定值，
的值最大，的值最大，此时D、E、O共线．
，
，
，
，
，
，
，即的值最大为，
的值最大时，的值最小，
为最小值．
【知识点】三角形全等及其性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；定角定弦辅助圆模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到＝90°，再由对顶角相等得到，根据两角分别相等的两个三角形相似即可证明；
（2）过点M作于N，由勾股定理得，设，结合角平分线的性质定理，证明，根据全等三角形的性质得AN=6，从而求出BN=4，在中，根据勾股定理列方程，求出，，由（1）得，从而求出，即可得解；
（3）过点D作于E，证明，得到，取的中点O，连接与，以点O为圆心，为半径作，则过点B、C、D，当时，有最大值，当点D是的中点时，，由为定值可知，的值最大，的值最大，此时D、E、O共线，利用垂径定理和勾股定理，求出，从而得到的值最大为，即可得出的最小值．
（1）证明：，
，
又，
，
，
；
（2）解：过点M作于N，
在中，，
，
设，则，
平分，，
，
在与中，
，
，
，
，
在中，
，
解得：，
，
，
由（1）得：，
，
即：，
解得：，
；
（3）解：如图1，过点D作于E，
，
，
，
，
取的中点O，连接与，
，
，
，
以点O为圆心，为半径作，则过点B、C、D，
当时，有最大值，
如图2，当点D是的中点时，，
为定值，
的值最大，的值最大，此时D、E、O共线．
，
，
，
，
，
，
，即的值最大为，
的值最大时，的值最小，
为最小值．
26．（2025·邵东模拟）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是．
（1）求抛物线解析式；
（2）点G是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线上方．当面积最大时，求的最小值．
（3）将（1）中抛物线沿射线平移个单位长度得到新的抛物线，点K为新抛物线上一点，使得．请直接写出所有满足条件的点K的横坐标．
【答案】（1）解：已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，A点的坐标是，C点坐标是，
将点A，点C的坐标代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；

（2）解：，∴抛物线的对称轴为直线，
由题意得：点G在直线上，
设直线的解析式为，将点A，点C的坐标代入得：
，
解得，
直线的解析式为，
如图，作轴交于N，
设，则，
，
，
，其图象开口向下
当时，的面积有最大值，最大为，此时，
作交于H，交对称轴于G，交x轴于F，
直线的解析式为，
，
，
，
当M、G、F、H四点共线时，的值最小，
，的面积为，
，
，
的最小值为；
（3）或或4或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】（3）解：点K的横坐标为或或．理由如下：
，直线的解析式为，
∴将抛物线沿射线平移个单位长度，即向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度，得到新的抛物线，
在中，当时，，即，
当点K在上方时，如图，以为直角边，作等腰直角，作轴于Q，作直线交抛物线于K，
则，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，满足题意，
设直线的解析式为，将点A，点P的坐标代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或；
此时点K的横坐标为4或；
如图3，当点K在的下方时，作点P关于直线的对称点R，作直线交抛物线于，
由轴对称的性质可得，，
此时，满足题意，
设，则
，
解得：或（不合题意，舍去），
，
同理可得直线的解析式为，
联立，
解得：或，
此时点的横坐标为或，
综上所述，点K的横坐标为或或4或．
【分析】
（1）利用待定系数法，将（1，0）、（4，－3）代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式；
（2）先求抛物线对称轴与直线解析式，设坐标，作轴交于N，表示出的面积，从而求出面积最大时坐标，再结合几何变换与最值原理，通过构造特殊角转化线段，当M、G、F、H四点共线时，的值最小，即可解答；
（3）先确定抛物线平移规律得到新抛物线，再按点的位置分为在上方和下方两种情况，通过构造全等三角形、对称点等方法，结合直线与抛物线联立，求满足条件的点横坐标 ．
（1）解：已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，A点的坐标是，C点坐标是，
将点A，点C的坐标代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：，
∴抛物线的对称轴为直线，
由题意得：点G在直线上，
设直线的解析式为，将点A，点C的坐标代入得：
，
解得，
直线的解析式为，
如图，作轴交于N，
设，则，
，
，
，其图象开口向下
当时，的面积有最大值，最大为，此时，
作交于H，交对称轴于G，交x轴于F，
直线的解析式为，
，
，
，
当M、G、F、H四点共线时，的值最小，
，的面积为，
，
，
的最小值为；
（3）解：点K的横坐标为或或．理由如下：
，直线的解析式为，
∴将抛物线沿射线平移个单位长度，即向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度，得到新的抛物线，
在中，当时，，即，
当点K在上方时，如图，以为直角边，作等腰直角，作轴于Q，作直线交抛物线于K，
则，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，满足题意，
设直线的解析式为，将点A，点P的坐标代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或；
此时点K的横坐标为4或；
如图3，当点K在的下方时，作点P关于直线的对称点R，作直线交抛物线于，
由轴对称的性质可得，，
此时，满足题意，
设，则
，
解得：或（不合题意，舍去），
，
同理可得直线的解析式为，
联立，
解得：或，
此时点的横坐标为或，
综上所述，点K的横坐标为或或4或．
1 / 1湖南省邵阳市邵东市振华中学2025年中考一模数学试题
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·邵东模拟）实数a、b、c、d在数轴上对应点的位置如图所示，这四个实数中绝对值最大的是（　　）
A．a B．b C．c D．d
2．（2025·邵东模拟）中国“春节”被正式列入世界非物质文化遗产！剪窗花、贴窗花是中国人过年的传统习俗之一、下面剪纸中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·邵东模拟）计算的结果是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·邵东模拟）关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则（　　）
A． B．0 C．1 D．2
5．（2025·邵东模拟）科学家同时培育了甲乙丙丁四种花，从甲乙丙丁选个开花时间最长的并且最平稳的是（　　）
种类 甲种类 乙种类 丙种类 丁种类
平均数
方差
A．甲种类 B．乙种类 C．丙种类 D．丁种类
6．（2025·邵东模拟）如图，将一块含有角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，若，则等（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·邵东模拟）如图，在中，．将绕点O顺时针旋转，得到，与相交于点D，则的长为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·邵东模拟）如图，以正六边形的顶点O为圆心，的长为半径画圆，若圆与正六边形重叠部分（图中阴影部分）的面积为，则的半径为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
9．（2025·邵东模拟）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律组成的图形，第1个图有4个三角形，第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形，…，按照此规律排列下去，第675个图中三角形的个数是（　　）
A．2023 B．2024 C．2025 D．2026
10．（2025·邵东模拟）如图，点A、C在反比例函数的图象上，点B、D在反比例函数的图象上，轴，若，与的距离为8，则的值为（　　）
A．9 B．12 C．15 D．18
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，计24分）
11．（2025·邵东模拟）若代数式有意义，则实数的取值范围是　 　．
12．（2025·邵东模拟）化简：　 　．
13．（2025·邵东模拟）长江是中华民族的母亲河，长江流域孕育出湖湘文化、荆楚文化、巴蜀文化、藏羌文化、吴越文化、江淮文化等区域文化．若从上述六种区域文化中随机选一种文化开展专题学习，则选中“湖湘文化”的概率是　 　．
14．（2025·邵东模拟）2025年，国家拟安排超长期特别国债3000亿元支持消费品以旧换新，3000亿用科学记数法表示为　 　．
15．（2025·邵东模拟）如图，我国南方一些地区农民戴的斗笠是一个底面圆周长为，母线长为的圆锥形，这个斗笠的侧面积是　 　．（用含π的数表示）
16．（2025·邵东模拟）在中，在边上取一点D，如图，根据下列作图过程：①以B点为圆心，以合适的长为半径作弧，分别与边交于点M，N；②以D点为圆心、长为半径向内作弧，交于P点；③以P点为圆心、为半径作弧，与前弧在内交于一点Q；④过Q点作射线交于E点．若，则　 　．
17．（2025·邵东模拟）魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中一题是测海岛的高．如图，点E，H，G在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，若，则海岛的高为　 　．
18．（2025·邵东模拟）如图，活动衣帽架由三个菱形组成，起初按照图①的方式挂在墙上，A、B为钉子所在位置，且；为了增加衣帽架之间的空隙，调整为图②的方式，菱形的边长　 　，两颗钉子A、B间的距离增加了　 　．（用含根号的式子表示）
三、解答题（本大题共8个小题，第19-20题每小题6分，第21-22题每小题8分，第23-24题每小题9分，第25-26题每小题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2025·邵东模拟）计算：
20．（2025·邵东模拟）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得___________；
（Ⅱ）解不等式②，得___________；
（Ⅲ）原不等式组的解集为___________．
21．（2025·邵东模拟）某校为了解学生身体健康状况，从全校1200名学生的体质健康测试结果登记表中，随机选取了部分学生的测试数据进行初步整理（如表），并绘制出不完整的条形统计图（如图）
成绩频数百分比不及格4a及格b良好36优秀24c
学生体质健康统计表 学生体质健康条形图
（1）如表中___________，___________，___________；
（2）请补全如图的条形统计图；
（3）并估计该校学生体质健康测试结果为“良好”及以上的总人数；
（4）为听取测试建议，学校选出了3名“良好”1名“优秀”学生，再从这4名学生中随机抽取2人参加学校体质健康测试交流会，请用列表或画树状图的方法，计算所抽取的两人均为“良好”的概率．
22．（2025·邵东模拟）为迎接省旅游发展大会，某市对文化广场进行提质改造，该文化广场为长方形，长为120米，宽为80米，广场中心有一个半径为20米的圆形花坛，花坛外围需重新铺设广场砖．
（1）预估需要广场砖多少平方米正好铺设完成？（π取3）
（2）某施工队承包铺设广场砖的任务，因工期紧张，临时增加工人施工，每天比原计划多铺设，提前8天完成任务，求原计划每天铺设广场砖多少平方米？
23．（2025·邵东模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，点C在y轴的负半轴上，以为对称轴作的轴对称图形，点A的对称点为点D．
（1）若点D恰好落在x轴正半轴上，求点D的坐标；
（2）在（1）的条件下求的面积．
24．（2025·邵东模拟）某学校数学兴趣小组利用课后服务时间测量篮球场灯的高度．
活动主题 测量篮球场灯的高度
测量工具 测角仪，皮尺、计算器等
示意图
测绘过与数据信息 ①小军站在A处，眼睛与地面的距离米，测得篮球场灯顶部C的仰角为； ②小辉站在B处，眼睛与地面的距离米，测得篮球场灯顶部C的仰角为； ③点E，F，D在同一条直线上，且小军和小辉的距离米，用计算器得到数据：．
请你根据测量结果，帮助数学兴趣小组求篮球场灯的高度．
25．（2025·邵东模拟）已知：中，，点M是上一动点，过点B作于D，设线段被点M分得的线段之比，如图．
（1）求证：；
（2）若平分，求的长；
（3）点M在边上的运动过程中，探究t是否有最小值？若有最小值，请求出t的最小值，若没有最小值，请说明理由．
26．（2025·邵东模拟）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是，C点坐标是．
（1）求抛物线解析式；
（2）点G是（1）中抛物线对称轴上的动点，点F是x轴上的动点，点M是（1）中抛物线上的一动点且位于直线上方．当面积最大时，求的最小值．
（3）将（1）中抛物线沿射线平移个单位长度得到新的抛物线，点K为新抛物线上一点，使得．请直接写出所有满足条件的点K的横坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】实数在数轴上表示；绝对值的概念与意义
【解析】【解答】解：由数轴可知，实数离原点的距离最远，
绝对值最大的是d，
故答案为：D．
【分析】
根据绝对值的几何意义，一个数的绝对值是表示该数的点与原点的距离，由此即可解答.
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：B．
【分析】
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．
3．【答案】D
【知识点】单项式乘单项式
【解析】【解答】解：，
故答案为：D．
【分析】
根据积的乘方、单项式乘单项式的法则即可解答.
4．【答案】B
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
，
，
，
故答案为：B．
【分析】
若一元二次方程有两个相等的实数根，则，由此可以列出，化简后即可解答.
5．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：平均数越大，开花时间最长，
甲种类和丙种类开花时间最长，
方差越小，开花时间最平稳，
丙种类和丁种类开花时间最平稳，
开花时间最长的并且最平稳的是丙种类，
故答案为：C．
【分析】
由平均数的意义知，平均数越大，开花时间越长；方差的意义知，方差越小，开花时间最平稳，即可解答．
6．【答案】D
【知识点】角的运算；含30°角的直角三角形；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：将一块含有角的直角三角板的两个顶点分别放在直尺的两条平行对边上，
，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】
根据直角三角形的两个锐角互余及平行线的性质即可解答．
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：在中，，
，
由旋转的性质可知，，，，
，，
，
，
故答案为：C．
【分析】
根据旋转的性质得，结合等腰三角形的性质得，，最后由勾股定理求解即可．
8．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算；正多边形的性质
【解析】【解答】解：正六边形，
，
设的半径为，
则，
解得：，
即的半径为3
故答案为：A．
【分析】
先求出正六边形的每个内角的度数，再利用扇形面积公式列方程求解即可．
9．【答案】D
【知识点】探索数与式的规律；用代数式表示图形变化规律；探索规律-图形的个数规律
【解析】【解答】解：由所给图形可知，
第1个图中三角形的个数是：；
第2个图中三角形的个数是：；
第3个图中三角形的个数是：；
…，
所以第n个图中三角形的个数是个．
当时，（个），
即第675个图中三角形的个数是2026个．
故答案为：D．
【分析】
观察图形的变化规律，三角形的个数依次增加3，由此便可解答.
10．【答案】C
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征；数形结合
【解析】【解答】解：轴，
设、的横坐标为，、的横坐标为，
，，
，，
与的距离为8，
，
，
，
故答案为：C．
【分析】
设、的横坐标为，、的横坐标为，代入函数解析式后表示出、、、的坐标，根据，整理计算后得，，再根据与的距离为8，列出，即可解答．
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：若代数式有意义，则，
解得：；
故答案为：．
【分析】
根据分式有意义的条件，分母不为0，即可解答．
12．【答案】
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】
根据完全平方公式化简计算即可．
13．【答案】
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解：由题意可知，共有6种区域文化，“湖湘文化”为其中1中，
则选中“湖湘文化”的概率是，
故答案为：．
【分析】
由题意知，共有6种区域文化，“湖湘文化”为其中1中，根据概率的计算公式“概率所求情况数与总情况数之比”即可．
14．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】3000亿
故答案为：．
【分析】
根据科学记数法表示较大的数，将较大数写成，其中，n为正整数，即可解答.
15．【答案】
【知识点】圆锥的计算
【解析】【解答】解：圆锥侧面积公式为（是底面圆周长，是母线长），
∵ ， ，
∴ ．
故答案为：.
【分析】
先由底面圆周长公式求出底面半径的长，再由圆锥的侧面积公式即可求解.
16．【答案】
【知识点】尺规作图-作一个角等于已知角；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由作法可知，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
根据尺规作图判断出，再由两角分别相等的两个三角形相似得出，根据相似三角形的对应边成比例即可解答.
17．【答案】28
【知识点】相似三角形的实际应用；A字型相似模型
【解析】【解答】解：设海岛高， ．
∵，，
∴，
∴，
∴，即①．
又∵，，
∴，
∴，
∴，即②．
∴①，得；
∴②，得 ．
∴，解得 ．
即海岛的高为 ，
故答案为：28．
【分析】
设海岛高， ，根据相似三角形的性质，列出方程即可求解.
18．【答案】；
【知识点】菱形的性质；正方形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图①，标记各点，连接，
四边形是菱形，，
四边形是正方形，
，，
，
，
在中，；
如图②，标记各点，连接、，
四边形是菱形，，
，，
，
，
，
，
两颗钉子A、B间的距离增加了，
故答案为：，．
【分析】
如图①，先求出AC的长，再根据正方形的性质，即可求出AE的长，如图②结合菱形的性质和锐角三角函数求出图②中AB的长，即可解答.
19．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的性质与化简；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据零次幂、负整数指数幂、特殊角三角函数值、化简二次根式，先化简后再加减即可计算.
20．【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ）
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得；
故答案为：；
（Ⅱ）解不等式②，得；
故答案为：；
（Ⅲ）原不等式组的解集为：；
故答案为：．
【分析】
由不等式的基本性质，分别求出每一个不等式的解集，找到两个解集的公共部分，即为不等式的解集．
21．【答案】（1），16，
（2）解：补全条形统计图如图，
（3）解：（人），估计该校学生体质健康测试结果为“良好”及以上的总人数为900人；
（4）解：设3名“良好”分别为甲、乙、丙，1名“优秀”学生为丁，画树状图如图：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中两人均为“良好”的结果有6种，
所抽取的两人均为“良好”的概率为．
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵良好人占，
∴总人数为（人）．
不及格频数，
．
及格占，则．
．
故答案为：，16，；
【分析】
（1）根据“良好（人，占）”先算出抽取的总人数，再分别计算出（不及格频率）、（及格频数 ）、（人对应的频率 ）即可．
（2）根据值，即可补全条形统计图．
（3）用样本数据估计总体，先确定“良好”及以上对应的频率，再用全校总人数乘以该频率，估算全校“良好”及以上的总人数．
（4）通过画树状图列举出从名学生中抽取人的所有可能结果，找出两人均为“良好”的结果数，利用概率公式计算概率．
（1）解：∵良好人占，
∴总人数为（人）．
不及格频数，
．
及格占，则．
．
故答案为：，16，；
（2）解：补全条形统计图如图，
（3）解：（人），
估计该校学生体质健康测试结果为“良好”及以上的总人数为900人；
（4）解：设3名“良好”分别为甲、乙、丙，1名“优秀”学生为丁，
画树状图如图：
共有12种等可能的结果，其中恰好选中两人均为“良好”的结果有6种，
所抽取的两人均为“良好”的概率为．
22．【答案】（1）解：由题意得：（平方米），
答：预估需要广场砖约8400平方米正好铺设完成；
（2）解：设原计划每天铺设广场砖x平方米，则实际每天铺设广场砖平方米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．且符合题意，
答：原计划每天铺设广场砖300平方米．
【知识点】分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）根据题意，计算长方形与圆形的面积差即可解答；
（2）设原计划每天铺设广场砖x平方米，则实际每天铺设广场砖平方米，再根据提前8天完成任务，列出分式方程，解方程即可．
（1）解：由题意得：（平方米），
答：预估需要广场砖约8400平方米正好铺设完成；
（2）解：设原计划每天铺设广场砖x平方米，则实际每天铺设广场砖平方米，
由题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解．且符合题意，
答：原计划每天铺设广场砖300平方米．
23．【答案】（1）解：，
，
，
根据轴对称可知，
点D在x轴的正半轴上，
．
点D的坐标为．

（2）解：设点C的坐标为，由题意可知 ，即．
在中，由勾股定理，
得，解得．
∴点C的坐标为．
，
所以的面积为15．
【知识点】三角形的面积；坐标与图形变化﹣对称；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）由A、B两点的坐标先得到、的长，再根据勾股定理算出，依据轴对称性质得，进而求出，即可解答；
（2）先由勾股定理求出点C的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可.
（1）解：，
，
，
根据轴对称可知，
点D在x轴的正半轴上，
．
点D的坐标为．
（2）解：设点C的坐标为，
由题意可知 ，即．
在中，由勾股定理，
得，解得．
∴点C的坐标为．
，
所以的面积为15．
24．【答案】解：如答图，过点A作于点G，过点B作于点H，
设米，则由题意得四边形都是矩形，
∴米，米，
在中，米，
在中，米，
由米，
解得，，
所以（米）
答：篮球场灯的高度为11米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
过点A作于点G，过点B作于点H，设米，则米，米，由题可知是等腰直角三角形，故米，在中，利用tan∠CAG，解直角三角形求出的值，即可求出．
25．【答案】（1）证明：，
，
又，
，
，
；
（2）解：过点M作于N，
在中，，
，
设，则，
平分，，
，
在与中，
，
，
，
，
在中，
，
解得：，
，
，
由（1）得：，
，
即：，
解得：，
；
（3）解：如图1，过点D作于E，
，
，
，
，
取的中点O，连接与，
，
，
，
以点O为圆心，为半径作，则过点B、C、D，
当时，有最大值，
如图2，当点D是的中点时，，
为定值，
的值最大，的值最大，此时D、E、O共线．
，
，
，
，
，
，
，即的值最大为，
的值最大时，的值最小，
为最小值．
【知识点】三角形全等及其性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；定角定弦辅助圆模型；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义得到＝90°，再由对顶角相等得到，根据两角分别相等的两个三角形相似即可证明；
（2）过点M作于N，由勾股定理得，设，结合角平分线的性质定理，证明，根据全等三角形的性质得AN=6，从而求出BN=4，在中，根据勾股定理列方程，求出，，由（1）得，从而求出，即可得解；
（3）过点D作于E，证明，得到，取的中点O，连接与，以点O为圆心，为半径作，则过点B、C、D，当时，有最大值，当点D是的中点时，，由为定值可知，的值最大，的值最大，此时D、E、O共线，利用垂径定理和勾股定理，求出，从而得到的值最大为，即可得出的最小值．
（1）证明：，
，
又，
，
，
；
（2）解：过点M作于N，
在中，，
，
设，则，
平分，，
，
在与中，
，
，
，
，
在中，
，
解得：，
，
，
由（1）得：，
，
即：，
解得：，
；
（3）解：如图1，过点D作于E，
，
，
，
，
取的中点O，连接与，
，
，
，
以点O为圆心，为半径作，则过点B、C、D，
当时，有最大值，
如图2，当点D是的中点时，，
为定值，
的值最大，的值最大，此时D、E、O共线．
，
，
，
，
，
，
，即的值最大为，
的值最大时，的值最小，
为最小值．
26．【答案】（1）解：已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，A点的坐标是，C点坐标是，
将点A，点C的坐标代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；

（2）解：，∴抛物线的对称轴为直线，
由题意得：点G在直线上，
设直线的解析式为，将点A，点C的坐标代入得：
，
解得，
直线的解析式为，
如图，作轴交于N，
设，则，
，
，
，其图象开口向下
当时，的面积有最大值，最大为，此时，
作交于H，交对称轴于G，交x轴于F，
直线的解析式为，
，
，
，
当M、G、F、H四点共线时，的值最小，
，的面积为，
，
，
的最小值为；
（3）或或4或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【解答】（3）解：点K的横坐标为或或．理由如下：
，直线的解析式为，
∴将抛物线沿射线平移个单位长度，即向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度，得到新的抛物线，
在中，当时，，即，
当点K在上方时，如图，以为直角边，作等腰直角，作轴于Q，作直线交抛物线于K，
则，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，满足题意，
设直线的解析式为，将点A，点P的坐标代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或；
此时点K的横坐标为4或；
如图3，当点K在的下方时，作点P关于直线的对称点R，作直线交抛物线于，
由轴对称的性质可得，，
此时，满足题意，
设，则
，
解得：或（不合题意，舍去），
，
同理可得直线的解析式为，
联立，
解得：或，
此时点的横坐标为或，
综上所述，点K的横坐标为或或4或．
【分析】
（1）利用待定系数法，将（1，0）、（4，－3）代入抛物线解析式，即可求出抛物线解析式；
（2）先求抛物线对称轴与直线解析式，设坐标，作轴交于N，表示出的面积，从而求出面积最大时坐标，再结合几何变换与最值原理，通过构造特殊角转化线段，当M、G、F、H四点共线时，的值最小，即可解答；
（3）先确定抛物线平移规律得到新抛物线，再按点的位置分为在上方和下方两种情况，通过构造全等三角形、对称点等方法，结合直线与抛物线联立，求满足条件的点横坐标 ．
（1）解：已知抛物线与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，A点的坐标是，C点坐标是，
将点A，点C的坐标代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：，
∴抛物线的对称轴为直线，
由题意得：点G在直线上，
设直线的解析式为，将点A，点C的坐标代入得：
，
解得，
直线的解析式为，
如图，作轴交于N，
设，则，
，
，
，其图象开口向下
当时，的面积有最大值，最大为，此时，
作交于H，交对称轴于G，交x轴于F，
直线的解析式为，
，
，
，
当M、G、F、H四点共线时，的值最小，
，的面积为，
，
，
的最小值为；
（3）解：点K的横坐标为或或．理由如下：
，直线的解析式为，
∴将抛物线沿射线平移个单位长度，即向右平移2个单位长度，向下平移2个单位长度，得到新的抛物线，
在中，当时，，即，
当点K在上方时，如图，以为直角边，作等腰直角，作轴于Q，作直线交抛物线于K，
则，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，满足题意，
设直线的解析式为，将点A，点P的坐标代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或；
此时点K的横坐标为4或；
如图3，当点K在的下方时，作点P关于直线的对称点R，作直线交抛物线于，
由轴对称的性质可得，，
此时，满足题意，
设，则
，
解得：或（不合题意，舍去），
，
同理可得直线的解析式为，
联立，
解得：或，
此时点的横坐标为或，
综上所述，点K的横坐标为或或4或．
1 / 1

展开更多......

收起↑