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江苏省南京市玄武区2025年中考一模数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2025·玄武模拟）﹣3的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·玄武模拟）下列计算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·玄武模拟）计算的结果是（　　）
A．3 B． C． D．
4．（2025·玄武模拟）已知一组数据：6，8，6，6，4，这组数据的方差是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·玄武模拟）如图①，一个小球从左侧斜坡上某处开始自由滚下，到达底端后沿着一段水平路面继续向前滚动，最后沿着右侧斜坡向上滚至某处．在这个过程中（不计任何阻力），小球的运动速度与运动时间的函数图象如图②所示，则该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·玄武模拟）如图①，将矩形纸片对折，折痕为；如图②，展开纸片，连接交于点G；如图③，再沿过点A的直线折叠，使点B恰好落在点G处，折痕为，则（　　）
A．2 B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．（2025·玄武模拟）比较大小：　 　．（填“”“”或“”号）
8．（2025·玄武模拟）2025南京半程马拉松约有人报名，用科学记数法表示是　 　．
9．（2025·玄武模拟）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
10．（2025·玄武模拟）分解因式　 　
11．（2025·玄武模拟）设，是关于x的方程的根，且，则k的值为　 　．
12．（2025·玄武模拟）方程 的解是　 　.
13．（2025·玄武模拟）如图，在菱形中，是对角线，的交点，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，若，则的度数为　 　．
14．（2025·玄武模拟）如图，正方形的顶点B，C在x轴上，是的中点，反比例函数的图像经过点A，E，若．，则k的值为　 　．
15．（2025·玄武模拟）如图，在中，，延长至，使，连接，分别是的中点，连接，若．，，则的长为　 　．
16．（2025·玄武模拟）在中，，边上的高是10，则的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·玄武模拟）解不等式组：
18．（2025·玄武模拟）先化简，再求值：，其中
19．（2025·玄武模拟）如图，在四边形中，是边上一点，连接，，平分，．求证：．
20．（2025·玄武模拟）、、三款智能机器人都能执行搬运、组装、测试中的任意一项任务．、、分别从搬运、组装、测试中随机选择一项任务，且选择的任务均不相同．
（1）A随机选择搬运的概率是_______；
（2）求选择搬运，选择组装，选择测试的概率．
21．（2025·玄武模拟）如图，在中，O是边上一点，和关于点O成中心对称，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，求证：四边形是菱形．
22．（2025·玄武模拟）《哪吒2》自2025年1月29日上映以来，票房表现非常强劲．阅读以下统计图并回答问题．
（1）1月29日至2月7日，单日票房的中位数为_______亿元．
（2）1月29日至2月7日，单日票房较前一日增长率最大的是_______．（填日期）
（3）下列结论中，所有正确结论的序号是_______．（说明：全部填对的得4分，部分填对的得2分，有填错的得0分）
①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势
②1月29日至2月7日，单日票房的极差为3.87亿元
③1月29日至2月7日，2月4日的单日总票房最高
④1月29日至2月7日，单日总票房先上升后下降
23．（2025·玄武模拟）如图，南京定林寺塔堪称“世界第一斜塔”．设斜塔的塔底为A，塔顶为B，过点A作地面的垂线，垂足为A，过点B作的垂线，垂足为C，斜塔与的夹角，在点E的正上方点D处测得塔顶B的仰角为，塔底A的俯角为，，求塔顶到地面的距离．
（参考数据：，，）
24．（2025·玄武模拟）如图，是的外接圆，，过点A作，且与的延长线交于点D．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，并延长与交于点M，连接，并延长与的延长线交于点N．
①求证：；
②若的半径为5，，则的长为_______．
25．（2025·玄武模拟）一架巡逻机从某基地出发，出发时油箱中油量为24000升．如图①，为了确保巡逻机持续飞行，出发后每隔1小时开始对飞行中的巡逻机进行空中加油，每次加油的速度为1600升/分钟，加油时间为2分钟．飞行过程中，假设巡逻机平均每分钟的耗油量相同，巡逻机的剩余油量y（升）与飞行时间x（分钟）之间的部分关系如图②．
（1）飞行过程中，巡逻机平均每分钟的耗油量为_______升；加油过程中，巡逻机油箱中油量上升的速度为_______升/分钟；
（2）求线段的函数表达式，并写出点A的实际意义；
（3）要使巡逻机返航时的剩余油量不低于16000升，则x的最大值为_______．
26．（2025·玄武模拟）A，B是二次函数（a，b，c为常数，且，）图像上的点，且轴，C是该函数图象的顶点．顶点C到直线的距离为h，．
（1）若顶点C的坐标为，，则a的值为_______；
（2）当时，求证：；
（3）点A的坐标为，当时，y的最小值为，则a的值是_______．
27．（2025·玄武模拟）光的折射．
物理常识 光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向偏折的现象叫做光的折射． 当光从真空射入某种介质发生折射时，入射角α的正弦与折射角β的正弦之比（α，β均为锐角），叫作这种介质的绝对折射率，简称折射率，用符号n表示，即．
【概念理解】
（1）如图①，若入射角的度数为，折射率，求折射角β的度数．
（2）如图②，直线l是真空与某种介质的分界线，折射率，是入射光线，点A是入射点．在图②中，用直尺和圆规作出折射光线．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
【深入思考】
（3）如图③，直线l是真空与某种介质的分界线，折射率，直线l上有一个位置固定的遮光板，且M是的中点；在直线l下方有一个圆形区域，且与相切于点M．点光源P在直线l的上方，经过遮光板的遮挡，使得折射光线不能进入的内部．已知的半径为，．（假设入射光线在端点A，B处能够发生折射）
①点光源P到直线l的距离的最大值是_______；
②满足条件的点光源P所形成的区域面积随着折射率n的值变大而_______．（填“变大”或“变小”）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0。因此－3的相反数是3。故答案为：D。
【分析】根据相反数的定义只有符号不同的两个数是相反数解答即可.
2．【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意，
故答案为：B．
【分析】
根据合并同类项，同底数幂相乘，幂的乘方的运算法则，逐一计算判断即可．
3．【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】
利用乘方的定义及二次根式的化简，即可作答．
4．【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：C．
【分析】
根据平均数和方差的公式，先求出这组数据的平均数，再求这组数据的方差即可．
5．【答案】D
【知识点】函数的图象；分段函数；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据图象②，可设，且，
当时，，
此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向上；
当时，，
此时的函数图象为直线的一段；
当时，，
此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向下；
∴该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是
．
故答案为：D．
【分析】
根据题意可知，小球运动的速度v满足分段函数：，且，再由路程等于速度乘以时间，即可表示出路程与运动时间之间的函数解析式，根据函数关系式判断函数图象即可.
6．【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：折叠可知：，设交于点，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵翻折，
∴垂直平分，
∴，，
设，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴；
故答案为：B．
【分析】
根据折叠性质得，根据矩形的性质得，进而证明，由相似三角形对应边成比例推出，再由折叠得到垂直平分，设，同角的余角相等，得到，进而得到，代入化简即可解答．
7．【答案】
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：，，
∵，即，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据两个负数比较大小的规则：两个负数，绝对值大的反而小，即可解答．
8．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，根据科学记数法定义即可表示．
9．【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得．
故答案为：．
【分析】
二次根式被开方数大于或等于零，由此列出不等式求解即可．
10．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】
根据因式分解的一般步骤，先提取公因式，再利用公式法继续分解即可．
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意，知，
∴，即
解得．
故答案为：．
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再将原等式整理后代入即可得到关于ｋ的一元一次方程，求解即可．
12．【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
经检验： 是原方程的根.
故答案为： .
【分析】去分母，把分式方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可.
13．【答案】
【知识点】菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，
∴，，，，
∴，，，
∴；
故答案为：．
【分析】
由旋转性质及菱形性质得，，，，等腰三角形的性质及三角形内角和定理可知，，，最后由四边形的内角和为360°，即可解答.
14．【答案】16
【知识点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∵是的中点，
∴，
设，则，
∴，，
∵反比例函数的图像经过点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：16．
【分析】
由正方形的性质知，，根据E是的中点，得，设，则，，将点坐标代入反比例函数解析式即可求解．
15．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作交于点，
∵，，
∴，
∵，点是的中点，
，，
由勾股定理得，
∵，
，
点是的中点，
，
，
由勾股定理得，
故答案为：．
【分析】
连接，过点作交于点，根据等腰三角形的性质及勾股定理先求出AE长，再证明出，由相似三角形的对应边成比例即可得到FG、EG的长，最后再利用勾股定理即可解答.
16．【答案】15
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，，如图，
∴，，
∵，
平方后得：，
化简得，，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴的最小值为15．
故答案为：15.
【分析】
以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，，分别根据勾股定理表示出AB、AC的长，再由，列出关于m的一元二次方程，由于该一元二次方程有实数根故可求出可得结论．
17．【答案】解：原不等式组为解不等式①，得．
解不等式②，得．
∴原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求出各不等式的解集，再找出解集的公共部分即可解不等式组．
18．【答案】解：原式
，
将代入，
原式
【知识点】二次根式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算法则先将原式化简，化简后再代入求值即可．
19．【答案】证明：，
．
．
，
．
平分，
．
．
在和中，，
．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【分析】
根据题意，先由角的和差关系得出，再由等边对等角及角平分线的定义得出，便可根据“角边角”定理证明结论．
20．【答案】（1）
（2）解：根据题意，画出树状图如下：
等可能出现的情况有6种，符合要求的情况有1种，
所以，选择搬运，选择组装，选择测试的概率是．

【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解析】（1）解：根据题意，画出树状图如下：
等可能出现的情况有6种，符合要求的情况有2种，
所以，A随机选择搬运的概率是，
故答案为：；
【分析】
（1）由题意可知，款智能机器人能执行搬运、组装、测试中的任意一项任务，再根据概率公式计算即可；
（2）根据题意，画出树状图找出所有可能性，即可求出概率．
（1）解：根据题意，画出树状图如下：
等可能出现的情况有6种，符合要求的情况有2种，
所以，A随机选择搬运的概率是，
故答案为：；
（2）解：根据题意，画出树状图如下：
等可能出现的情况有6种，符合要求的情况有1种，
所以，选择搬运，选择组装，选择测试的概率是．
21．【答案】（1）证明：和关于点O成中心对称，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：连接，
和关于点O成中心对称，
B，O，F三点共线，，
四边形是平行四边形，
∵，
又∵
∴，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
又四边形是平行四边形，
是菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；中心对称的性质
【解析】【分析】
（1）根据中心对称图形的性质得到，，从而得到，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）连接． 由和关于点O成中心对称，得B，O，F三点共线，进而先证明四边形是平行四边形，再根据三角形内角和定理得到，证明出四边形是菱形，由菱形的性质，即可证明四边形是菱形．
（1）证明：和关于点O成中心对称，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：连接，
和关于点O成中心对称，
B，O，F三点共线，，
四边形是平行四边形，
，
，
即，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
又四边形是平行四边形，
是菱形．
22．【答案】（1）
（2）月31日
（3）①②
【知识点】折线统计图；中位数
【解析】【解答】（1）解：把1月29日至2月7日，单日票房从小到大排列为，
位于正中间的两个数为，
∴中位数为；
故答案为：.
（2）解：，
，
，
，
∴单日票房较前一日增长率最大的是1月31日；
（3）解：①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势，正确；
②1月29日至2月7日，单日票房的极差为亿元，正确；
③1月29日至2月7日，2月4日的单日票房最高，原说法错误；
④1月29日至2月7日，单日总票房先下降，再上升后，然后下降，原说法错误；
故答案为：①②
【分析】
（1）根据中位数的定义解答即可；
（2）结合条形统计图分别计算日增长率后比较即可解答；
（3）结合折线统计图和条形统计图即可解答．
（1）解：把1月29日至2月7日，单日票房从小到大排列为，
位于正中间的两个数为，
∴中位数为；
故答案为：
（2）解：，
，
，
，
∴单日票房较前一日增长率最大的是1月31日；
（3）解：①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势，正确；
②1月29日至2月7日，单日票房的极差为亿元，正确；
③1月29日至2月7日，2月4日的单日票房最高，原说法错误；
④1月29日至2月7日，单日总票房先下降，再上升后，然后下降，原说法错误；
故答案为：①②
23．【答案】解：如图，过作于点，过点作于点，
设．
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
又∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
解得，
∴，
答：塔顶到地面的距离为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】如图，过作于点，过点作于点，设，在中，解直角三角形求得，，结合矩形的性质可得，，然后在中，，列出方程后即可解答．
24．【答案】（1）证明：如图所示，连接，∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，，
∴所在的直线是的垂直平分线，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴是的切线；
（2）解：①如图所示，连接，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是的外角，
∴，
即．
②
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（2）②标注图形，根据题意可知，，
在中，．
∵，
∴，
∴，
即，
解得．
由（1）知是的垂直平分线，
∴，
∴．
在中，，
∴．
在中，。
∵，，
∴，
∴，
即，
解得．
故答案为：．
【分析】
（1）连接，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，再由线段垂直平分线的判定得到所在的直线是的垂直平分线，根据平行线的性质和切线的判定即可证明；
（2）①连接，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得，再由三角形的外角的性质与角的和差关系即可证明；
②如图，设AM与BC交于E，先根据勾股定理求出，由平行可得，再根据相似三角形的性质求得，然后依次在和中利用勾股定理求出、，最后证明，再根据相似三角形的对应边成比例即可求解．
（1）证明：如图所示，连接，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，，
∴所在的直线是的垂直平分线，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴是的切线；
（2）解：①如图所示，连接，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是的外角，
∴，
即．
②标注图形，根据题意可知，，
在中，．
∵，
∴，
∴，
即，
解得．
由（1）知是的垂直平分线，
∴，
∴．
在中，，
∴．
在中，。
∵，，
∴，
∴，
即，
解得．
故答案为：．
25．【答案】（1）100；1500
（2）解：（升），∴，
（升），
∴，
设线段的函数表达式为（k、b为常数，且），
将坐标和分别代入，
得，
解得，
∴线段的函数表达式为，点A的实际意义表示巡逻机飞行62分钟时油箱中剩余油量是21000升．
（3）112
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：飞行过程中，巡逻机平均每分钟的耗油量为（升），
加油过程中，巡逻机油箱中油量上升的速度为（升）．
故答案为：100，1500．
（3）解：根据题意，得，
解得，
∴x的最大值为112．
故答案为：112．
【分析】
（1）根据巡逻机平均每分钟的耗油量=油箱中油量的减少量÷飞行时间，巡逻机油箱中油量上升的速度=每分钟的加油量-每分钟的耗油量，分别列式计算即可；
（2）先根据题意，求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求出线段的函数表达式即可；
（3）根据线段的函数表达式列关于x的一元一次不等式并求其解集，从而得到x的最大值即可．
（1）解：飞行过程中，巡逻机平均每分钟的耗油量为（升），
加油过程中，巡逻机油箱中油量上升的速度为（升）．
故答案为：100，1500．
（2）解：（升），
∴，
（升），
∴，
设线段的函数表达式为（k、b为常数，且），
将坐标和分别代入，
得，
解得，
∴线段的函数表达式为，点A的实际意义表示巡逻机飞行62分钟时油箱中剩余油量是21000升．
（3）解：根据题意，得，
解得，
∴x的最大值为112．
故答案为：112．
26．【答案】（1）1
（2）证明：设顶点C的坐标为，则函数的表达式为，
∵点C到直线的距离为h，，
设A在B的左侧，则B点坐标为，
将点代入函数表达式，得：，
故，
当时，则，
即；
（3）
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】
（1）解：∵顶点C的坐标为，
∴设抛物线表达式为，
且A、B两点关于y轴对称，，
故，点C到的距离为1，
∴点B坐标为，代入中，可得；
故答案为：1；
（3）解：∵点A的坐标为，，点C到直线的距离为h，
∴设，，
设抛物线的表达式为，代入点，
得，
故．
当时，不成立，故舍去；
当时，即时，
此时当时，，解得（舍去）；
当时，即时，
此时当时，，解得．
综上，a的值为．
故答案为：．
【分析】
（1）由抛物线的顶点是原点，可设抛物线表达式为，再根据已知条件求出B点的坐标，代入解析式，即可求得a的值；
（2）设顶点C的坐标为，则函数的表达式为，由题意可得B点坐标为，将点代入函数表达式，得，即得，即可解得a的范围；
（3）抛物线的表达式为，代入点，得，故．最后再根据对称轴和区间的不同位置展开分类讨论即可．
（1）解：∵顶点C的坐标为，
∴设抛物线表达式为，
且A、B两点关于y轴对称，，
故，点C到的距离为1，
∴点B坐标为，代入中，可得；
故答案为：1；
（2）证明：设顶点C的坐标为，则函数的表达式为，
∵点C到直线的距离为h，，
设A在B的左侧，则B点坐标为，
将点代入函数表达式，得：，
故，
当时，则，
即；
（3）解：∵点A的坐标为，，点C到直线的距离为h，
∴设，，
设抛物线的表达式为，代入点，
得，
故．
当时，不成立，故舍去；
当时，即时，
此时当时，，解得（舍去）；
当时，即时，
此时当时，，解得．
综上，a的值为．
故答案为：．
27．【答案】解：（1）∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）过点作法线，作线段的中垂线，以为圆心，为半径画弧，交的中垂线于点，连接并延长，即可得到折射光线，如图：
由作图可知：，点到法线的距离为，
∴，满足题意；
（3）①；②变小
【知识点】切线的性质；解直角三角形；切线长定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】
（3）①过点，作直线的垂线，当折射光线过点且与圆相切时，点光源P到直线l的距离最大，如图：
∵入射角相等，
∴入射角，
∴，
连接，设折射光线与圆相切于点，连接，
∵为的中点，
∴，，
∵为的切点，
∴，，
∴三点共线，，
∵，
∴，
∴，
∵的半径为，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即折射角，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，即：点光源P到直线l的距离的最大值是；
②由①可知，满足条件的点光源P所形成的区域面积为的面积，，
∴，
∴当折射率变大，变大，的值变小，
∴的面积变小，即：满足条件的点光源P所形成的区域面积变小；
故答案为：①；②变小．
【分析】
（1）根据折射率的定义和特殊角三角函数值即可解答；
（2）结合新定义，与尺规作图作垂线，先过点作法线，作线段的中垂线，以为圆心，为半径画弧，交的中垂线于点，连接并延长，即可得到折射光线；
（3）①过点，作直线的垂线，当折射光线过点且与圆相切时，点光源P到直线l的距离最大，为的值，利用切线长定理结合新定义，进行求解即可；
②根据题意，得到满足条件的点光源P所形成的区域面积为的面积，随着入射角的增大，折射率变大，得到逐渐减小，进而面积逐渐减小即可．
1 / 1江苏省南京市玄武区2025年中考一模数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2025·玄武模拟）﹣3的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一个数的相反数，特别地，0的相反数还是0。因此－3的相反数是3。故答案为：D。
【分析】根据相反数的定义只有符号不同的两个数是相反数解答即可.
2．（2025·玄武模拟）下列计算结果为的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，故A不符合题意；
，故B符合题意；
，故C不符合题意；
，故D不符合题意，
故答案为：B．
【分析】
根据合并同类项，同底数幂相乘，幂的乘方的运算法则，逐一计算判断即可．
3．（2025·玄武模拟）计算的结果是（　　）
A．3 B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的性质与化简；有理数的乘方法则
【解析】【解答】解：，
故答案为：C．
【分析】
利用乘方的定义及二次根式的化简，即可作答．
4．（2025·玄武模拟）已知一组数据：6，8，6，6，4，这组数据的方差是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平均数及其计算；方差
【解析】【解答】解：，
，
故答案为：C．
【分析】
根据平均数和方差的公式，先求出这组数据的平均数，再求这组数据的方差即可．
5．（2025·玄武模拟）如图①，一个小球从左侧斜坡上某处开始自由滚下，到达底端后沿着一段水平路面继续向前滚动，最后沿着右侧斜坡向上滚至某处．在这个过程中（不计任何阻力），小球的运动速度与运动时间的函数图象如图②所示，则该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数的图象；分段函数；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：根据图象②，可设，且，
当时，，
此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向上；
当时，，
此时的函数图象为直线的一段；
当时，，
此时的函数图象为抛物线的一段，且开口向下；
∴该小球运动的路程与运动时间之间的函数图象大致是
．
故答案为：D．
【分析】
根据题意可知，小球运动的速度v满足分段函数：，且，再由路程等于速度乘以时间，即可表示出路程与运动时间之间的函数解析式，根据函数关系式判断函数图象即可.
6．（2025·玄武模拟）如图①，将矩形纸片对折，折痕为；如图②，展开纸片，连接交于点G；如图③，再沿过点A的直线折叠，使点B恰好落在点G处，折痕为，则（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【知识点】矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：折叠可知：，设交于点，
∵矩形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵翻折，
∴垂直平分，
∴，，
设，则：，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴（负值舍去），
∴；
故答案为：B．
【分析】
根据折叠性质得，根据矩形的性质得，进而证明，由相似三角形对应边成比例推出，再由折叠得到垂直平分，设，同角的余角相等，得到，进而得到，代入化简即可解答．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）
7．（2025·玄武模拟）比较大小：　 　．（填“”“”或“”号）
【答案】
【知识点】求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：，，
∵，即，
∴，
故答案为：．
【分析】
根据两个负数比较大小的规则：两个负数，绝对值大的反而小，即可解答．
8．（2025·玄武模拟）2025南京半程马拉松约有人报名，用科学记数法表示是　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，根据科学记数法定义即可表示．
9．（2025·玄武模拟）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据题意，得，
解得．
故答案为：．
【分析】
二次根式被开方数大于或等于零，由此列出不等式求解即可．
10．（2025·玄武模拟）分解因式　 　
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】
根据因式分解的一般步骤，先提取公因式，再利用公式法继续分解即可．
11．（2025·玄武模拟）设，是关于x的方程的根，且，则k的值为　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：根据题意，知，
∴，即
解得．
故答案为：．
【分析】
根据一元二次方程根与系数的关系得出，，再将原等式整理后代入即可得到关于ｋ的一元一次方程，求解即可．
12．（2025·玄武模拟）方程 的解是　 　.
【答案】
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：
经检验： 是原方程的根.
故答案为： .
【分析】去分母，把分式方程化为整式方程，再解整式方程并检验即可.
13．（2025·玄武模拟）如图，在菱形中，是对角线，的交点，将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，若，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵将菱形绕点逆时针旋转得到菱形，
∴，，，，
∴，，，
∴；
故答案为：．
【分析】
由旋转性质及菱形性质得，，，，等腰三角形的性质及三角形内角和定理可知，，，最后由四边形的内角和为360°，即可解答.
14．（2025·玄武模拟）如图，正方形的顶点B，C在x轴上，是的中点，反比例函数的图像经过点A，E，若．，则k的值为　 　．
【答案】16
【知识点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，，
∴，，
∵是的中点，
∴，
设，则，
∴，，
∵反比例函数的图像经过点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：16．
【分析】
由正方形的性质知，，根据E是的中点，得，设，则，，将点坐标代入反比例函数解析式即可求解．
15．（2025·玄武模拟）如图，在中，，延长至，使，连接，分别是的中点，连接，若．，，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，连接，过点作交于点，
∵，，
∴，
∵，点是的中点，
，，
由勾股定理得，
∵，
，
点是的中点，
，
，
由勾股定理得，
故答案为：．
【分析】
连接，过点作交于点，根据等腰三角形的性质及勾股定理先求出AE长，再证明出，由相似三角形的对应边成比例即可得到FG、EG的长，最后再利用勾股定理即可解答.
16．（2025·玄武模拟）在中，，边上的高是10，则的最小值为　 　．
【答案】15
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，，如图，
∴，，
∵，
平方后得：，
化简得，，
∴，
∴，
∴，
∵
∴，
∴的最小值为15．
故答案为：15.
【分析】
以点为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设，，分别根据勾股定理表示出AB、AC的长，再由，列出关于m的一元二次方程，由于该一元二次方程有实数根故可求出可得结论．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·玄武模拟）解不等式组：
【答案】解：原不等式组为解不等式①，得．
解不等式②，得．
∴原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】先分别求出各不等式的解集，再找出解集的公共部分即可解不等式组．
18．（2025·玄武模拟）先化简，再求值：，其中
【答案】解：原式
，
将代入，
原式
【知识点】二次根式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算法则先将原式化简，化简后再代入求值即可．
19．（2025·玄武模拟）如图，在四边形中，是边上一点，连接，，平分，．求证：．
【答案】证明：，
．
．
，
．
平分，
．
．
在和中，，
．
【知识点】三角形全等的判定-ASA；角平分线的概念
【解析】【分析】
根据题意，先由角的和差关系得出，再由等边对等角及角平分线的定义得出，便可根据“角边角”定理证明结论．
20．（2025·玄武模拟）、、三款智能机器人都能执行搬运、组装、测试中的任意一项任务．、、分别从搬运、组装、测试中随机选择一项任务，且选择的任务均不相同．
（1）A随机选择搬运的概率是_______；
（2）求选择搬运，选择组装，选择测试的概率．
【答案】（1）
（2）解：根据题意，画出树状图如下：
等可能出现的情况有6种，符合要求的情况有1种，
所以，选择搬运，选择组装，选择测试的概率是．

【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解析】（1）解：根据题意，画出树状图如下：
等可能出现的情况有6种，符合要求的情况有2种，
所以，A随机选择搬运的概率是，
故答案为：；
【分析】
（1）由题意可知，款智能机器人能执行搬运、组装、测试中的任意一项任务，再根据概率公式计算即可；
（2）根据题意，画出树状图找出所有可能性，即可求出概率．
（1）解：根据题意，画出树状图如下：
等可能出现的情况有6种，符合要求的情况有2种，
所以，A随机选择搬运的概率是，
故答案为：；
（2）解：根据题意，画出树状图如下：
等可能出现的情况有6种，符合要求的情况有1种，
所以，选择搬运，选择组装，选择测试的概率是．
21．（2025·玄武模拟）如图，在中，O是边上一点，和关于点O成中心对称，连接．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）若，，求证：四边形是菱形．
【答案】（1）证明：和关于点O成中心对称，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：连接，
和关于点O成中心对称，
B，O，F三点共线，，
四边形是平行四边形，
∵，
又∵
∴，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
又四边形是平行四边形，
是菱形．
【知识点】平行四边形的判定；菱形的判定；中心对称的性质
【解析】【分析】
（1）根据中心对称图形的性质得到，，从而得到，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证明；
（2）连接． 由和关于点O成中心对称，得B，O，F三点共线，进而先证明四边形是平行四边形，再根据三角形内角和定理得到，证明出四边形是菱形，由菱形的性质，即可证明四边形是菱形．
（1）证明：和关于点O成中心对称，
，
，，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：连接，
和关于点O成中心对称，
B，O，F三点共线，，
四边形是平行四边形，
，
，
即，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
又四边形是平行四边形，
是菱形．
22．（2025·玄武模拟）《哪吒2》自2025年1月29日上映以来，票房表现非常强劲．阅读以下统计图并回答问题．
（1）1月29日至2月7日，单日票房的中位数为_______亿元．
（2）1月29日至2月7日，单日票房较前一日增长率最大的是_______．（填日期）
（3）下列结论中，所有正确结论的序号是_______．（说明：全部填对的得4分，部分填对的得2分，有填错的得0分）
①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势
②1月29日至2月7日，单日票房的极差为3.87亿元
③1月29日至2月7日，2月4日的单日总票房最高
④1月29日至2月7日，单日总票房先上升后下降
【答案】（1）
（2）月31日
（3）①②
【知识点】折线统计图；中位数
【解析】【解答】（1）解：把1月29日至2月7日，单日票房从小到大排列为，
位于正中间的两个数为，
∴中位数为；
故答案为：.
（2）解：，
，
，
，
∴单日票房较前一日增长率最大的是1月31日；
（3）解：①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势，正确；
②1月29日至2月7日，单日票房的极差为亿元，正确；
③1月29日至2月7日，2月4日的单日票房最高，原说法错误；
④1月29日至2月7日，单日总票房先下降，再上升后，然后下降，原说法错误；
故答案为：①②
【分析】
（1）根据中位数的定义解答即可；
（2）结合条形统计图分别计算日增长率后比较即可解答；
（3）结合折线统计图和条形统计图即可解答．
（1）解：把1月29日至2月7日，单日票房从小到大排列为，
位于正中间的两个数为，
∴中位数为；
故答案为：
（2）解：，
，
，
，
∴单日票房较前一日增长率最大的是1月31日；
（3）解：①1月29日至2月7日，单日票房占单日总票房的比重呈上升趋势，正确；
②1月29日至2月7日，单日票房的极差为亿元，正确；
③1月29日至2月7日，2月4日的单日票房最高，原说法错误；
④1月29日至2月7日，单日总票房先下降，再上升后，然后下降，原说法错误；
故答案为：①②
23．（2025·玄武模拟）如图，南京定林寺塔堪称“世界第一斜塔”．设斜塔的塔底为A，塔顶为B，过点A作地面的垂线，垂足为A，过点B作的垂线，垂足为C，斜塔与的夹角，在点E的正上方点D处测得塔顶B的仰角为，塔底A的俯角为，，求塔顶到地面的距离．
（参考数据：，，）
【答案】解：如图，过作于点，过点作于点，
设．
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
又∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
解得，
∴，
答：塔顶到地面的距离为．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】如图，过作于点，过点作于点，设，在中，解直角三角形求得，，结合矩形的性质可得，，然后在中，，列出方程后即可解答．
24．（2025·玄武模拟）如图，是的外接圆，，过点A作，且与的延长线交于点D．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，并延长与交于点M，连接，并延长与的延长线交于点N．
①求证：；
②若的半径为5，，则的长为_______．
【答案】（1）证明：如图所示，连接，∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，，
∴所在的直线是的垂直平分线，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴是的切线；
（2）解：①如图所示，连接，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是的外角，
∴，
即．
②
【知识点】等腰三角形的判定与性质；切线的判定；相似三角形的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（2）②标注图形，根据题意可知，，
在中，．
∵，
∴，
∴，
即，
解得．
由（1）知是的垂直平分线，
∴，
∴．
在中，，
∴．
在中，。
∵，，
∴，
∴，
即，
解得．
故答案为：．
【分析】
（1）连接，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得，再由线段垂直平分线的判定得到所在的直线是的垂直平分线，根据平行线的性质和切线的判定即可证明；
（2）①连接，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得，再由三角形的外角的性质与角的和差关系即可证明；
②如图，设AM与BC交于E，先根据勾股定理求出，由平行可得，再根据相似三角形的性质求得，然后依次在和中利用勾股定理求出、，最后证明，再根据相似三角形的对应边成比例即可求解．
（1）证明：如图所示，连接，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∵，
∴，
∵，，
∴所在的直线是的垂直平分线，
∴．
∵，
∴，
∴，
即，
∴是的切线；
（2）解：①如图所示，连接，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵是的外角，
∴，
即．
②标注图形，根据题意可知，，
在中，．
∵，
∴，
∴，
即，
解得．
由（1）知是的垂直平分线，
∴，
∴．
在中，，
∴．
在中，。
∵，，
∴，
∴，
即，
解得．
故答案为：．
25．（2025·玄武模拟）一架巡逻机从某基地出发，出发时油箱中油量为24000升．如图①，为了确保巡逻机持续飞行，出发后每隔1小时开始对飞行中的巡逻机进行空中加油，每次加油的速度为1600升/分钟，加油时间为2分钟．飞行过程中，假设巡逻机平均每分钟的耗油量相同，巡逻机的剩余油量y（升）与飞行时间x（分钟）之间的部分关系如图②．
（1）飞行过程中，巡逻机平均每分钟的耗油量为_______升；加油过程中，巡逻机油箱中油量上升的速度为_______升/分钟；
（2）求线段的函数表达式，并写出点A的实际意义；
（3）要使巡逻机返航时的剩余油量不低于16000升，则x的最大值为_______．
【答案】（1）100；1500
（2）解：（升），∴，
（升），
∴，
设线段的函数表达式为（k、b为常数，且），
将坐标和分别代入，
得，
解得，
∴线段的函数表达式为，点A的实际意义表示巡逻机飞行62分钟时油箱中剩余油量是21000升．
（3）112
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：飞行过程中，巡逻机平均每分钟的耗油量为（升），
加油过程中，巡逻机油箱中油量上升的速度为（升）．
故答案为：100，1500．
（3）解：根据题意，得，
解得，
∴x的最大值为112．
故答案为：112．
【分析】
（1）根据巡逻机平均每分钟的耗油量=油箱中油量的减少量÷飞行时间，巡逻机油箱中油量上升的速度=每分钟的加油量-每分钟的耗油量，分别列式计算即可；
（2）先根据题意，求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求出线段的函数表达式即可；
（3）根据线段的函数表达式列关于x的一元一次不等式并求其解集，从而得到x的最大值即可．
（1）解：飞行过程中，巡逻机平均每分钟的耗油量为（升），
加油过程中，巡逻机油箱中油量上升的速度为（升）．
故答案为：100，1500．
（2）解：（升），
∴，
（升），
∴，
设线段的函数表达式为（k、b为常数，且），
将坐标和分别代入，
得，
解得，
∴线段的函数表达式为，点A的实际意义表示巡逻机飞行62分钟时油箱中剩余油量是21000升．
（3）解：根据题意，得，
解得，
∴x的最大值为112．
故答案为：112．
26．（2025·玄武模拟）A，B是二次函数（a，b，c为常数，且，）图像上的点，且轴，C是该函数图象的顶点．顶点C到直线的距离为h，．
（1）若顶点C的坐标为，，则a的值为_______；
（2）当时，求证：；
（3）点A的坐标为，当时，y的最小值为，则a的值是_______．
【答案】（1）1
（2）证明：设顶点C的坐标为，则函数的表达式为，
∵点C到直线的距离为h，，
设A在B的左侧，则B点坐标为，
将点代入函数表达式，得：，
故，
当时，则，
即；
（3）
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】
（1）解：∵顶点C的坐标为，
∴设抛物线表达式为，
且A、B两点关于y轴对称，，
故，点C到的距离为1，
∴点B坐标为，代入中，可得；
故答案为：1；
（3）解：∵点A的坐标为，，点C到直线的距离为h，
∴设，，
设抛物线的表达式为，代入点，
得，
故．
当时，不成立，故舍去；
当时，即时，
此时当时，，解得（舍去）；
当时，即时，
此时当时，，解得．
综上，a的值为．
故答案为：．
【分析】
（1）由抛物线的顶点是原点，可设抛物线表达式为，再根据已知条件求出B点的坐标，代入解析式，即可求得a的值；
（2）设顶点C的坐标为，则函数的表达式为，由题意可得B点坐标为，将点代入函数表达式，得，即得，即可解得a的范围；
（3）抛物线的表达式为，代入点，得，故．最后再根据对称轴和区间的不同位置展开分类讨论即可．
（1）解：∵顶点C的坐标为，
∴设抛物线表达式为，
且A、B两点关于y轴对称，，
故，点C到的距离为1，
∴点B坐标为，代入中，可得；
故答案为：1；
（2）证明：设顶点C的坐标为，则函数的表达式为，
∵点C到直线的距离为h，，
设A在B的左侧，则B点坐标为，
将点代入函数表达式，得：，
故，
当时，则，
即；
（3）解：∵点A的坐标为，，点C到直线的距离为h，
∴设，，
设抛物线的表达式为，代入点，
得，
故．
当时，不成立，故舍去；
当时，即时，
此时当时，，解得（舍去）；
当时，即时，
此时当时，，解得．
综上，a的值为．
故答案为：．
27．（2025·玄武模拟）光的折射．
物理常识 光从一种介质斜射入另一种介质时，传播方向偏折的现象叫做光的折射． 当光从真空射入某种介质发生折射时，入射角α的正弦与折射角β的正弦之比（α，β均为锐角），叫作这种介质的绝对折射率，简称折射率，用符号n表示，即．
【概念理解】
（1）如图①，若入射角的度数为，折射率，求折射角β的度数．
（2）如图②，直线l是真空与某种介质的分界线，折射率，是入射光线，点A是入射点．在图②中，用直尺和圆规作出折射光线．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）
【深入思考】
（3）如图③，直线l是真空与某种介质的分界线，折射率，直线l上有一个位置固定的遮光板，且M是的中点；在直线l下方有一个圆形区域，且与相切于点M．点光源P在直线l的上方，经过遮光板的遮挡，使得折射光线不能进入的内部．已知的半径为，．（假设入射光线在端点A，B处能够发生折射）
①点光源P到直线l的距离的最大值是_______；
②满足条件的点光源P所形成的区域面积随着折射率n的值变大而_______．（填“变大”或“变小”）
【答案】解：（1）∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）过点作法线，作线段的中垂线，以为圆心，为半径画弧，交的中垂线于点，连接并延长，即可得到折射光线，如图：
由作图可知：，点到法线的距离为，
∴，满足题意；
（3）①；②变小
【知识点】切线的性质；解直角三角形；切线长定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】
（3）①过点，作直线的垂线，当折射光线过点且与圆相切时，点光源P到直线l的距离最大，如图：
∵入射角相等，
∴入射角，
∴，
连接，设折射光线与圆相切于点，连接，
∵为的中点，
∴，，
∵为的切点，
∴，，
∴三点共线，，
∵，
∴，
∴，
∵的半径为，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即折射角，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即：，
∴，
∴，即：点光源P到直线l的距离的最大值是；
②由①可知，满足条件的点光源P所形成的区域面积为的面积，，
∴，
∴当折射率变大，变大，的值变小，
∴的面积变小，即：满足条件的点光源P所形成的区域面积变小；
故答案为：①；②变小．
【分析】
（1）根据折射率的定义和特殊角三角函数值即可解答；
（2）结合新定义，与尺规作图作垂线，先过点作法线，作线段的中垂线，以为圆心，为半径画弧，交的中垂线于点，连接并延长，即可得到折射光线；
（3）①过点，作直线的垂线，当折射光线过点且与圆相切时，点光源P到直线l的距离最大，为的值，利用切线长定理结合新定义，进行求解即可；
②根据题意，得到满足条件的点光源P所形成的区域面积为的面积，随着入射角的增大，折射率变大，得到逐渐减小，进而面积逐渐减小即可．
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