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江苏省南京市联合体2025年中考二模数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2025·南京模拟） 4的平方根是（）
A．2 B．±2 C．16 D．±16
2．（2025·南京模拟）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·南京模拟）如图，，直线，与，，分别交于点，，和点，，．若，，，则的长为（　　）
A．2.5 B．3 C．4.5 D．5
4．（2025·南京模拟）实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·南京模拟）如图，在中，弦，相交于点.若的度数为，的度数为，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·南京模拟）若，且，，则的值可能是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写答题卡相应位置上）
7．（2025·南京模拟）氢原子的半径约为 m，用科学记数法把 表示为　 　.
8．（2025·南京模拟）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　．
9．（2025·南京模拟）计算的结果是　 　.
10．（2025·南京模拟）计算的结果是　 　．
11．（2025·南京模拟）若关于的方程的两个根分别为1和，则　 　，　 　.
12．（2025·南京模拟）设甲组数据，，，，的方差为，乙组数据，，，，的方差为.若，则的值可以是　 　（写出一个满足条件的的值即可）
13．（2025·南京模拟）在直径为的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图．若油面宽，则油的最大深度为　 　．
14．（2025·南京模拟）已知反比例函数和函数的图象交于，两点．若，则的值为　 　．
15．（2025·南京模拟）在平面直角坐标系中，若等边的顶点，的坐标分别为，，则点C的坐标为　 　.
16．（2025·南京模拟）如图，在中，，，．将绕着点旋转得到，若点恰好落在上，则的长为　 　．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·南京模拟）解不等式组并写出它的最大整数解.
18．（2025·南京模拟）先化简，再求值：，其中.
19．（2025·南京模拟）2019~2024年全国铁路、高铁营业里程情况如图所示.（说明：铁路营业里程=高铁营业里程十其他铁路营业里程）
（1）年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的百分比为_____.
（2）结合上述统计图，下列结论：
①年全国铁路、高铁营业里程数均逐年递增；
②年和年全国铁路营业新增里程数均为万公里；
③年全国铁路、高铁营业新增里程数均为万公里.
其中所有正确结论的序号是_____.
（3）结合上图提供的信息，写出1个与全国铁路、高铁营业里程相关的新的结论.
20．（2025·南京模拟）一个不透明的袋子中，装有3个红球，1个白球，这些球除颜色外都相同.
（1）搅匀后从中随机摸出1个球，摸到的球是红球的概率为_____.
（2）搅匀后从中随机摸出2个球，求2个球都是红球的概率.
21．（2025·南京模拟），两块试验田去年共收获小麦今年采用新技术实现了增产，共收获小麦已知试验田今年比去年增产，试验田今年比去年增产去年，两块试验田分别收获小麦多少？
22．（2025·南京模拟）如图，将沿翻折，点落在点处，与相交于点．连接并延长，交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）求证：四边形是平行四边形．
23．（2025·南京模拟）如图，为了测量河流的宽度，一架水平飞行的无人机先在处测得河流两岸，两处的俯角分别为，，之后无人机水平向前飞行至处，此时测得河岸处的俯角为．点，，，在同一平面内，求河流的宽度的长．（结果精确到．参考数据：，）
24．（2025·南京模拟）同一直道上的，两地相距，甲、乙两车分别从，两地同时出发，匀速相向而行．乙车在途中休息一段时间后，仍按原来的速度行驶．在整个行程中，甲、乙两车离地的距离，（单位：）与甲车行驶时间（单位：）的函数关系如图所示．
（1）甲车的速度是_____，_____．
（2）求乙车休息的时间．
（3）丙车与甲车同时出发，以的速度从地匀速驶往地．若丙车与休息中的乙车相遇，设乙车出发后第时开始休息，直接写出的取值范围．
25．（2025·南京模拟）如图，四边形内接于，直线交的延长线于点，延长，相交于点，平分．
（1）求证：．
（2）若是的切线．
①求证：．
②若，，是的中点，则的半径为_____．
26．（2025·南京模拟）已知二次函数（为常数，）．
（1）若，求证：该函数的图象与轴有两个公共点．
（2）该函数的图象必过定点_____、_____．
（3）设，当时，．直接写出的取值范围．
27．（2025·南京模拟）（1）如图①，在四边形中，，点在上，且.过点作，垂足为，交于点.
（I）求证：.
（II）求证：.
（2）如图②，已知线段和直线，是直线上一个动点，点在线段上，且.设线段的长为，点到的距离为.
（I）当点在直线上运动时，点的运动路线是_____.
A.直线 B.弧 C.线段
（II）若，，点到的距离为4.5，则的最大值为_____.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】∵（±2)2=4，
∴4的平方根是±2．
故答案应选C
2．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】
根据同底数幂乘除法，幂的乘方，合并同类项的运算法则，依次判断即可．
3．【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴，即，
∴，
故答案为：B．
【分析】
根据平行线分线段成比例定理得出，然后再将，，代入即可求解．
4．【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：根据题意，，
∴，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项正确，符合题意；
，故C选项错误，不符合题意；
，故D选项错误，不符合题意；
故答案为：B ．
【分析】
根据题意，由数轴上表示数右边数大于左边数，得到，结合实数的运算法则逐一判断即可．
5．【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵的度数为，的度数为，
∴
∴
∴
故答案为：C．
【分析】
连接，由弧的度数可知，再根据圆周角定理得出，最后由三角形的外角的性质，即可解答．
6．【答案】D
【知识点】二次函数的最值；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，解得，
∴，
∵，
∴对称轴为直线，抛物线开口向上，
则当时，的值随着n的增大而增大；
当时，；当时，；
∴当时，，
即．
只有D符合题意.
故答案为：D．
【分析】
根据ｍ、ｎ的关系，得到关于ｎ的不等式，求出ｎ的取值范围，再将整理化简配方后即可解答．
7．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：用科学记数法把0.0000 0000 005表示为5×10-11。
故答案为：5×10-11。
【分析】用科学记数法表示一个绝对值较小的数，一般表示为a×10-n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数从左至右第一个非0数字前面所有0的个数(包括小数点前面的0的)，根据定义即可直接得出答案。
8．【答案】x-1
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据分式有意义的条件可知，
x+10，
解得x-1，
故答案为：x-1．
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
9．【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
根据二次根式的乘除法运算法则计算即可．
10．【答案】
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
根据幂的乘方和积的乘方运算法则计算即可．
11．【答案】；
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵的两个根分别为1和，
∴，，
∴，．
故答案为：；．
【分析】
由一元二次方程的根与系数的关系即可解答．
12．【答案】（答案不唯一）
【知识点】方差
【解析】【解答】解：数据，，，，中，每2个数相差1，一组数据，，，，前4个数据也是相差1，
若或时，两组数据方差相等，
而，则或
∴（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
根据方差的定义和方差的意义，由数据的特点即可求出符合条件的ｍ值．
13．【答案】
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：过点O作于点C，交于点D，连接，
由垂径定理得：，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
答：油的最大深度是．
故答案为：200．
【分析】
过点O作于点C，交于点D，连接，由垂径定理求出的长，再根据勾股定理，求的长，从而得到油的最大深度CD．
14．【答案】4
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：联立与，
即，
解得，对应，
，，
两点间的距离为，
，
故答案为：4．
【分析】
根据题意，联立函数解析式先表示出点和的坐标，再由两点间的距离公式进行计算即可．
15．【答案】或
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∵是等边三角形，
∴．
设点的坐标为．
情况一： 当点在第一象限时，过点作于点，
∵等边三角形三线合一，为中点．
∴的坐标为，即．，
在中，根据勾股定理．
∴，，，
∴，，
∴点坐标为．
情况二： 当点在第三象限时，此时与关于原点对称（根据等边三角形的对称性 ），
∴点坐标为．
故答案为：或．
【分析】
根据题意，分两种情况：①点C在第一象限，②点C在y轴负半轴上，先由勾股定理求出AB，再由等边三角形三边相等即可求出点C的坐标.
16．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；相似三角形的判定；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作交于点F
∵，，
设，则
∴
∴
解得
∴
∵将绕着点旋转得到
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴，，
∴
∴
∴，即
∴．
故答案为：．
【分析】
如图所示，过点A作交于点F，设，则，在Rt△ABF和Rt△ACF中，根据勾股定理列出，从而求出，然后由旋转得到，由三线合一求出，然后根据两边成比例夹角相等证明出，由相似三角形对应边成比例得到，即可求解．
17．【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
原不等式组的解集为，
原不等式组的最大整数解为．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】
先分别求出两个不等式的解集，再确定解集的公共部分，最后确定出最大整数解.
18．【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
先计算括号内的分式减法，再由分式除法运算法则将原分式化简，再代入求值即可.
19．【答案】（1）
（2）①②③
（3）2020~2024年全国铁路营业新增里程数呈下降趋势（答案不唯一）
【知识点】条形统计图
【解析】【解答】（1）解：
（2）①根据统计图可得：年全国铁路、高铁营业里程数均逐年递增，故①正确；
②，
年和年全国铁路营业新增里程数均为万公里；故②正确；
③，
年全国铁路、高铁营业新增里程数均为万公里，故③正确；
故答案为：①②③；
（3）本题答案不唯一，以下解答供参考
结论1：2020年全国铁路营业新增里程数为万公里，
2021年全国铁路营业新增里程数为万公里，
2022年全国铁路营业新增里程数为万公里，
2023年全国铁路营业新增里程数为万公里，
2024年全国铁路营业新增里程数为万公里，
∴2020~2024年全国铁路营业新增里程数呈下降趋势；
2020~2024年全国铁路营业新增里程数不少于万公里.
结论2：2020年全国高铁营业新增里程数为万公里，
2021年全国高铁营业新增里程数为万公里，
2022年全国高铁营业新增里程数为万公里，
2023年全国高铁营业新增里程数为万公里，
2024年全国高铁营业新增里程数为万公里，
∴2020~2024年全国高铁营业新增里程数不少于万公里.
结论3：2019年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
2020年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
2021年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
2022年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
2023年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
2024年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
∴2019~2024年全国高铁营业里程数在全国铁路营业里程数中的占比逐年增加.
【分析】
（1）根据题意，计算，即可求解；
（2）根据统计图数据，逐项分析判断即可解答；
（3）根据统计图由年的全国铁路营业新增里程数和高铁营业新增里程数，分析数据即可解答．
（1）解：
（2）①根据统计图可得：年全国铁路、高铁营业里程数均逐年递增，故①正确；
②，
年和年全国铁路营业新增里程数均为万公里；故②正确；
③，
年全国铁路、高铁营业新增里程数均为万公里，故③正确；
故答案为：①②③；
（3）本题答案不唯一，以下解答供参考
结论1：2020年全国铁路营业新增里程数为万公里，
2021年全国铁路营业新增里程数为万公里，
2022年全国铁路营业新增里程数为万公里，
2023年全国铁路营业新增里程数为万公里，
2024年全国铁路营业新增里程数为万公里，
∴2020~2024年全国铁路营业新增里程数呈下降趋势；
2020~2024年全国铁路营业新增里程数不少于万公里.
结论2：2020年全国高铁营业新增里程数为万公里，
2021年全国高铁营业新增里程数为万公里，
2022年全国高铁营业新增里程数为万公里，
2023年全国高铁营业新增里程数为万公里，
2024年全国高铁营业新增里程数为万公里，
∴2020~2024年全国高铁营业新增里程数不少于万公里.
结论3：2019年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
2020年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
2021年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
2022年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
2023年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
2024年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
∴2019~2024年全国高铁营业里程数在全国铁路营业里程数中的占比逐年增加.
20．【答案】（1）
（2）解：根据题意，得
由列表可知共12种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“2个球都是红球”（记为事件）的结果有6种，所以．
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】（1）解：∵一个不透明的袋子中，装有3个红球，1个白球，这些球除颜色外都相同，
∴搅匀后从中随机摸出1个球，摸到的球是红球的概率为，
故答案为：；
【分析】
（1） 袋中有3个红球，1个白球，由概率公式即可直接写出摸出红球的概率；
（2）根据列表法即可求概率.
（1）解：∵一个不透明的袋子中，装有3个红球，1个白球，这些球除颜色外都相同，
∴搅匀后从中随机摸出1个球，摸到的球是红球的概率为，
故答案为：；
（2）解：所有可能的结果有：（红1，红2）、（红1，红3）、（红1，白）、（红2，红3）、（红2，白）、（红3，白），共6种，它们出现的可能性相同，
所有的结果中，满足“2个球都是红球”（记为事件）的结果有3种，所以．
21．【答案】解：设地块试验田去年收获小麦，地块试验田去年收获小麦．
根据题意，列方程组，得
解得
答：地块试验田去年收获小麦，地块试验田去年收获小麦3
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】
设地块试验田去年收获小麦，地块试验田去年收获小麦．由去年和今年的产量即可列出方程组解答.
22．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，．
沿翻折，点落在点处，
．
，．
，．
又．
．
（2）证明：由（1）得，，
，．
，．
，．
，．
即，．
又，
．
，
又．
四边形是平行四边形．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得，，，根据折叠与全等三角形的性质得出，，进而证明；
（2）由（1）得，，根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而得出，即可证明，结合，及可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明出结论．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，．
沿翻折，点落在点处，
．
，．
，．
又．
．
（2）证明：由（1）得，，
，．
，．
，．
，．
即，．
又，
．
，
又．
四边形是平行四边形．
23．【答案】解：过点作，垂足为．过点作，垂足为．
设，则．
在中，，
．
．
在中，，
，
，即．
在中，，
．
答：河流的宽度的长为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
过点作，垂足为．过点作，垂足为．设，则．根据仰角和俯角的定义，结合实际问题情景，由三角函数解直角三角形即可解答.
24．【答案】（1）80，144
（2）由（1）及图，可知（km/h），∴（h）
答：乙车休息的时间是h．

（3）
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：（km/h），
（km），
故答案为：80，144．
（3）由题意，得
，
解得．
【分析】
（1）由图象可知，甲走完320km需要4h，先求出甲车的速度，再求出a值即可；
（2）由图象可知，结合（1.8，144）、（3，0）两点，先求出乙车的速度，再求出乙车的行驶时间，即可计算出休息时间；
（3）根据题意，列出不等式组即可解答．
（1）解：（km/h），
（km），
故答案为80，144．
（2）由（1）及图，可知（km/h），
∴（h）
答：乙车休息的时间是h．
（3）由题意，得
，
解得．
25．【答案】（1）证明：∵平分，，
∵四边形为圆的内接四边形，
，
，
，
；
（2）①证明：连接并延长交于点，如图：
由（1）知：，
，，
，
∵是的切线，
，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴；
②．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【解答】（2）②连接并延长交于点，过点作于点，连接，如图：
∵是的切线，
，
∵，
∴．
∴，
由①知：，
，
，
，
∵是的中点，
，
，，
，
，， ，
∴四边形为矩形，
， ，
，
，
设的半径为，则，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
（1）利用角平分线的定义得，由圆的内接四边形的性质得，根据等量代换和圆周角定理得到，最后根据等角对等边即可证明；
（2）①如图，连接并延长交于点，利用等腰三角形的性质，垂径定理得到，利用圆的切线的性质定理即平行线的判定得到，最后根据平行线的性质和圆内接四边形的性质可以证明出；
②连接并延长交于点，过点作于点，连接，利用切割线定理求得的长度，利用相似三角形的判定与性质求得，利用线段的中点的定义和等腰三角形的三线合一的性质得到，利用矩形的判定与性质得到，利用勾股定理求得，设的半径为，则，利用勾股定理列出方程解答即可得出结论．
（1）证明：∵平分，
，
∵四边形为圆的内接四边形，
，
，
，
；
（2）①证明：连接并延长交于点，如图：
由（1）知：，
，，
，
∵是的切线，
，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴；
②连接并延长交于点，过点作于点，连接，如图：
∵是的切线，
，
∵，
∴．
∴，
由①知：，
，
，
，
∵是的中点，
，
，，
，
，， ，
∴四边形为矩形，
， ，
，
，
设的半径为，则，
，
，
，
，
故答案为：．
26．【答案】（1）证明：由题知，，
∵，
∴，即，
故该函数的图象与轴总有两个公共点；
（2）、
（3），且
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】（2）解：∵，
当时，
解得：，，
∴定点坐标为，；
（3）解：如图，当时，
∵，
解得：，，
∴，，
∵当时，，
当过时，
∴，
解得：，
此时，符合题意；
当时，如图，
∵的对称轴为直线，顶点坐标为：，
的对称轴为直线，顶点坐标为：，
∴当两个顶点重合时，则，
解得：，
此时：符合题意；
综上：当时，．的取值范围为，且．
【分析】
（1）二次函数图象与x轴交点问题计算判别式，若与x轴有两个交点则证明判别式即可；
（2）根据二次函数的特点，将其配方，令，解出x，即可求出经过的定点坐标；
（3）如图，当时，可得，，，即，，当时，如图，求解的对称轴为直线，顶点坐标为：，的对称轴为直线，顶点坐标为：，当两个顶点重合时，则，再结合图象解答即可．
（1）证明：由题知，
，
∵，
∴，即，
故该函数的图象与轴总有两个公共点；
（2）解：∵，
当时，
解得：，，
∴定点坐标为，；
（3）解：如图，当时，
∵，
解得：，，
∴，，
∵当时，，
当过时，
∴，
解得：，
此时，符合题意；
当时，如图，
∵的对称轴为直线，顶点坐标为：，
的对称轴为直线，顶点坐标为：，
∴当两个顶点重合时，则，
解得：，
此时：符合题意；
综上：当时，．的取值范围为，且．
27．【答案】（1）证明：
（I）∵，，
∴；
（II）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）（I）B；（II）
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【解答】（2）（I）过点作于点，在上截取，使，
∵，
∴，即，
连接，
又∵，
∴，
∴，
∴点的运动路线是以为直径的弧，
故选：B；
（II）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是定值，
∴当最大时，的值最大，
此时经过圆心，的长为和圆的半径长，连接，
作于点，
由（I）得，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为，
∴的值最大为.
【分析】
（1）（I）根据两对角对应相等的两个三角形相似，即可证明；
（II）由根据相似三角形的性质得，再证明出，根据相似三角形的性质得，等量代换后即可证明结论；
（2）（I）过点作于点，在上截取，使，再证明，推出，得到点的运动路线是以为直径的弧；
（II）根据相似三角形的性质，将转化为，得到当最大时，的值最大，根据勾股定理分别求出MI、MO，即可得到MQ的最大值.
1 / 1江苏省南京市联合体2025年中考二模数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上）
1．（2025·南京模拟） 4的平方根是（）
A．2 B．±2 C．16 D．±16
【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【解答】∵（±2)2=4，
∴4的平方根是±2．
故答案应选C
2．（2025·南京模拟）下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算错误，不符合题意；
C、，原式计算正确，符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】
根据同底数幂乘除法，幂的乘方，合并同类项的运算法则，依次判断即可．
3．（2025·南京模拟）如图，，直线，与，，分别交于点，，和点，，．若，，，则的长为（　　）
A．2.5 B．3 C．4.5 D．5
【答案】B
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，，，，
∴，即，
∴，
故答案为：B．
【分析】
根据平行线分线段成比例定理得出，然后再将，，代入即可求解．
4．（2025·南京模拟）实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】实数在数轴上表示；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【解答】解：根据题意，，
∴，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项正确，符合题意；
，故C选项错误，不符合题意；
，故D选项错误，不符合题意；
故答案为：B ．
【分析】
根据题意，由数轴上表示数右边数大于左边数，得到，结合实数的运算法则逐一判断即可．
5．（2025·南京模拟）如图，在中，弦，相交于点.若的度数为，的度数为，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形外角的概念及性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵的度数为，的度数为，
∴
∴
∴
故答案为：C．
【分析】
连接，由弧的度数可知，再根据圆周角定理得出，最后由三角形的外角的性质，即可解答．
6．（2025·南京模拟）若，且，，则的值可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的最值；不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，解得，
∴，
∵，
∴对称轴为直线，抛物线开口向上，
则当时，的值随着n的增大而增大；
当时，；当时，；
∴当时，，
即．
只有D符合题意.
故答案为：D．
【分析】
根据ｍ、ｎ的关系，得到关于ｎ的不等式，求出ｎ的取值范围，再将整理化简配方后即可解答．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分.请把答案填写答题卡相应位置上）
7．（2025·南京模拟）氢原子的半径约为 m，用科学记数法把 表示为　 　.
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：用科学记数法把0.0000 0000 005表示为5×10-11。
故答案为：5×10-11。
【分析】用科学记数法表示一个绝对值较小的数，一般表示为a×10-n的形式，其中1≤∣a∣＜10，n等于原数从左至右第一个非0数字前面所有0的个数(包括小数点前面的0的)，根据定义即可直接得出答案。
8．（2025·南京模拟）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是　 　．
【答案】x-1
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：根据分式有意义的条件可知，
x+10，
解得x-1，
故答案为：x-1．
【分析】根据分式有意义的条件即可求出答案.
9．（2025·南京模拟）计算的结果是　 　.
【答案】
【知识点】二次根式的乘除混合运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
根据二次根式的乘除法运算法则计算即可．
10．（2025·南京模拟）计算的结果是　 　．
【答案】
【知识点】积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：，
故答案为：．
【分析】
根据幂的乘方和积的乘方运算法则计算即可．
11．（2025·南京模拟）若关于的方程的两个根分别为1和，则　 　，　 　.
【答案】；
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：∵的两个根分别为1和，
∴，，
∴，．
故答案为：；．
【分析】
由一元二次方程的根与系数的关系即可解答．
12．（2025·南京模拟）设甲组数据，，，，的方差为，乙组数据，，，，的方差为.若，则的值可以是　 　（写出一个满足条件的的值即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】方差
【解析】【解答】解：数据，，，，中，每2个数相差1，一组数据，，，，前4个数据也是相差1，
若或时，两组数据方差相等，
而，则或
∴（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】
根据方差的定义和方差的意义，由数据的特点即可求出符合条件的ｍ值．
13．（2025·南京模拟）在直径为的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图．若油面宽，则油的最大深度为　 　．
【答案】
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：过点O作于点C，交于点D，连接，
由垂径定理得：，
在中，，
∴，
解得：，
∴．
答：油的最大深度是．
故答案为：200．
【分析】
过点O作于点C，交于点D，连接，由垂径定理求出的长，再根据勾股定理，求的长，从而得到油的最大深度CD．
14．（2025·南京模拟）已知反比例函数和函数的图象交于，两点．若，则的值为　 　．
【答案】4
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；坐标系中的两点距离公式
【解析】【解答】解：联立与，
即，
解得，对应，
，，
两点间的距离为，
，
故答案为：4．
【分析】
根据题意，联立函数解析式先表示出点和的坐标，再由两点间的距离公式进行计算即可．
15．（2025·南京模拟）在平面直角坐标系中，若等边的顶点，的坐标分别为，，则点C的坐标为　 　.
【答案】或
【知识点】坐标与图形性质；等边三角形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵，，
∴
∵是等边三角形，
∴．
设点的坐标为．
情况一： 当点在第一象限时，过点作于点，
∵等边三角形三线合一，为中点．
∴的坐标为，即．，
在中，根据勾股定理．
∴，，，
∴，，
∴点坐标为．
情况二： 当点在第三象限时，此时与关于原点对称（根据等边三角形的对称性 ），
∴点坐标为．
故答案为：或．
【分析】
根据题意，分两种情况：①点C在第一象限，②点C在y轴负半轴上，先由勾股定理求出AB，再由等边三角形三边相等即可求出点C的坐标.
16．（2025·南京模拟）如图，在中，，，．将绕着点旋转得到，若点恰好落在上，则的长为　 　．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；相似三角形的判定；旋转的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作交于点F
∵，，
设，则
∴
∴
解得
∴
∵将绕着点旋转得到
∴
∴
∵
∴
∴
∵
∴，，
∴
∴
∴，即
∴．
故答案为：．
【分析】
如图所示，过点A作交于点F，设，则，在Rt△ABF和Rt△ACF中，根据勾股定理列出，从而求出，然后由旋转得到，由三线合一求出，然后根据两边成比例夹角相等证明出，由相似三角形对应边成比例得到，即可求解．
三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·南京模拟）解不等式组并写出它的最大整数解.
【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
原不等式组的解集为，
原不等式组的最大整数解为．
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】
先分别求出两个不等式的解集，再确定解集的公共部分，最后确定出最大整数解.
18．（2025·南京模拟）先化简，再求值：，其中.
【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】
先计算括号内的分式减法，再由分式除法运算法则将原分式化简，再代入求值即可.
19．（2025·南京模拟）2019~2024年全国铁路、高铁营业里程情况如图所示.（说明：铁路营业里程=高铁营业里程十其他铁路营业里程）
（1）年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的百分比为_____.
（2）结合上述统计图，下列结论：
①年全国铁路、高铁营业里程数均逐年递增；
②年和年全国铁路营业新增里程数均为万公里；
③年全国铁路、高铁营业新增里程数均为万公里.
其中所有正确结论的序号是_____.
（3）结合上图提供的信息，写出1个与全国铁路、高铁营业里程相关的新的结论.
【答案】（1）
（2）①②③
（3）2020~2024年全国铁路营业新增里程数呈下降趋势（答案不唯一）
【知识点】条形统计图
【解析】【解答】（1）解：
（2）①根据统计图可得：年全国铁路、高铁营业里程数均逐年递增，故①正确；
②，
年和年全国铁路营业新增里程数均为万公里；故②正确；
③，
年全国铁路、高铁营业新增里程数均为万公里，故③正确；
故答案为：①②③；
（3）本题答案不唯一，以下解答供参考
结论1：2020年全国铁路营业新增里程数为万公里，
2021年全国铁路营业新增里程数为万公里，
2022年全国铁路营业新增里程数为万公里，
2023年全国铁路营业新增里程数为万公里，
2024年全国铁路营业新增里程数为万公里，
∴2020~2024年全国铁路营业新增里程数呈下降趋势；
2020~2024年全国铁路营业新增里程数不少于万公里.
结论2：2020年全国高铁营业新增里程数为万公里，
2021年全国高铁营业新增里程数为万公里，
2022年全国高铁营业新增里程数为万公里，
2023年全国高铁营业新增里程数为万公里，
2024年全国高铁营业新增里程数为万公里，
∴2020~2024年全国高铁营业新增里程数不少于万公里.
结论3：2019年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
2020年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
2021年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
2022年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
2023年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
2024年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
∴2019~2024年全国高铁营业里程数在全国铁路营业里程数中的占比逐年增加.
【分析】
（1）根据题意，计算，即可求解；
（2）根据统计图数据，逐项分析判断即可解答；
（3）根据统计图由年的全国铁路营业新增里程数和高铁营业新增里程数，分析数据即可解答．
（1）解：
（2）①根据统计图可得：年全国铁路、高铁营业里程数均逐年递增，故①正确；
②，
年和年全国铁路营业新增里程数均为万公里；故②正确；
③，
年全国铁路、高铁营业新增里程数均为万公里，故③正确；
故答案为：①②③；
（3）本题答案不唯一，以下解答供参考
结论1：2020年全国铁路营业新增里程数为万公里，
2021年全国铁路营业新增里程数为万公里，
2022年全国铁路营业新增里程数为万公里，
2023年全国铁路营业新增里程数为万公里，
2024年全国铁路营业新增里程数为万公里，
∴2020~2024年全国铁路营业新增里程数呈下降趋势；
2020~2024年全国铁路营业新增里程数不少于万公里.
结论2：2020年全国高铁营业新增里程数为万公里，
2021年全国高铁营业新增里程数为万公里，
2022年全国高铁营业新增里程数为万公里，
2023年全国高铁营业新增里程数为万公里，
2024年全国高铁营业新增里程数为万公里，
∴2020~2024年全国高铁营业新增里程数不少于万公里.
结论3：2019年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
2020年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
2021年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
2022年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
2023年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
2024年全国高铁营业里程数占铁路营业里程数的，
∴2019~2024年全国高铁营业里程数在全国铁路营业里程数中的占比逐年增加.
20．（2025·南京模拟）一个不透明的袋子中，装有3个红球，1个白球，这些球除颜色外都相同.
（1）搅匀后从中随机摸出1个球，摸到的球是红球的概率为_____.
（2）搅匀后从中随机摸出2个球，求2个球都是红球的概率.
【答案】（1）
（2）解：根据题意，得
由列表可知共12种，它们出现的可能性相同，所有的结果中，满足“2个球都是红球”（记为事件）的结果有6种，所以．
【知识点】概率公式；用列举法求概率
【解析】【解答】（1）解：∵一个不透明的袋子中，装有3个红球，1个白球，这些球除颜色外都相同，
∴搅匀后从中随机摸出1个球，摸到的球是红球的概率为，
故答案为：；
【分析】
（1） 袋中有3个红球，1个白球，由概率公式即可直接写出摸出红球的概率；
（2）根据列表法即可求概率.
（1）解：∵一个不透明的袋子中，装有3个红球，1个白球，这些球除颜色外都相同，
∴搅匀后从中随机摸出1个球，摸到的球是红球的概率为，
故答案为：；
（2）解：所有可能的结果有：（红1，红2）、（红1，红3）、（红1，白）、（红2，红3）、（红2，白）、（红3，白），共6种，它们出现的可能性相同，
所有的结果中，满足“2个球都是红球”（记为事件）的结果有3种，所以．
21．（2025·南京模拟），两块试验田去年共收获小麦今年采用新技术实现了增产，共收获小麦已知试验田今年比去年增产，试验田今年比去年增产去年，两块试验田分别收获小麦多少？
【答案】解：设地块试验田去年收获小麦，地块试验田去年收获小麦．
根据题意，列方程组，得
解得
答：地块试验田去年收获小麦，地块试验田去年收获小麦3
【知识点】二元一次方程组的其他应用
【解析】【分析】
设地块试验田去年收获小麦，地块试验田去年收获小麦．由去年和今年的产量即可列出方程组解答.
22．（2025·南京模拟）如图，将沿翻折，点落在点处，与相交于点．连接并延长，交的延长线于点．
（1）求证：．
（2）求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，．
沿翻折，点落在点处，
．
，．
，．
又．
．
（2）证明：由（1）得，，
，．
，．
，．
，．
即，．
又，
．
，
又．
四边形是平行四边形．
【知识点】三角形内角和定理；三角形全等及其性质；平行四边形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】
（1）根据平行四边形的性质可得，，，根据折叠与全等三角形的性质得出，，进而证明；
（2）由（1）得，，根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而得出，即可证明，结合，及可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明出结论．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，．
沿翻折，点落在点处，
．
，．
，．
又．
．
（2）证明：由（1）得，，
，．
，．
，．
，．
即，．
又，
．
，
又．
四边形是平行四边形．
23．（2025·南京模拟）如图，为了测量河流的宽度，一架水平飞行的无人机先在处测得河流两岸，两处的俯角分别为，，之后无人机水平向前飞行至处，此时测得河岸处的俯角为．点，，，在同一平面内，求河流的宽度的长．（结果精确到．参考数据：，）
【答案】解：过点作，垂足为．过点作，垂足为．
设，则．
在中，，
．
．
在中，，
，
，即．
在中，，
．
答：河流的宽度的长为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】
过点作，垂足为．过点作，垂足为．设，则．根据仰角和俯角的定义，结合实际问题情景，由三角函数解直角三角形即可解答.
24．（2025·南京模拟）同一直道上的，两地相距，甲、乙两车分别从，两地同时出发，匀速相向而行．乙车在途中休息一段时间后，仍按原来的速度行驶．在整个行程中，甲、乙两车离地的距离，（单位：）与甲车行驶时间（单位：）的函数关系如图所示．
（1）甲车的速度是_____，_____．
（2）求乙车休息的时间．
（3）丙车与甲车同时出发，以的速度从地匀速驶往地．若丙车与休息中的乙车相遇，设乙车出发后第时开始休息，直接写出的取值范围．
【答案】（1）80，144
（2）由（1）及图，可知（km/h），∴（h）
答：乙车休息的时间是h．

（3）
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】（1）解：（km/h），
（km），
故答案为：80，144．
（3）由题意，得
，
解得．
【分析】
（1）由图象可知，甲走完320km需要4h，先求出甲车的速度，再求出a值即可；
（2）由图象可知，结合（1.8，144）、（3，0）两点，先求出乙车的速度，再求出乙车的行驶时间，即可计算出休息时间；
（3）根据题意，列出不等式组即可解答．
（1）解：（km/h），
（km），
故答案为80，144．
（2）由（1）及图，可知（km/h），
∴（h）
答：乙车休息的时间是h．
（3）由题意，得
，
解得．
25．（2025·南京模拟）如图，四边形内接于，直线交的延长线于点，延长，相交于点，平分．
（1）求证：．
（2）若是的切线．
①求证：．
②若，，是的中点，则的半径为_____．
【答案】（1）证明：∵平分，，
∵四边形为圆的内接四边形，
，
，
，
；
（2）①证明：连接并延长交于点，如图：
由（1）知：，
，，
，
∵是的切线，
，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴；
②．
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【解答】（2）②连接并延长交于点，过点作于点，连接，如图：
∵是的切线，
，
∵，
∴．
∴，
由①知：，
，
，
，
∵是的中点，
，
，，
，
，， ，
∴四边形为矩形，
， ，
，
，
设的半径为，则，
，
，
，
，
故答案为：．
【分析】
（1）利用角平分线的定义得，由圆的内接四边形的性质得，根据等量代换和圆周角定理得到，最后根据等角对等边即可证明；
（2）①如图，连接并延长交于点，利用等腰三角形的性质，垂径定理得到，利用圆的切线的性质定理即平行线的判定得到，最后根据平行线的性质和圆内接四边形的性质可以证明出；
②连接并延长交于点，过点作于点，连接，利用切割线定理求得的长度，利用相似三角形的判定与性质求得，利用线段的中点的定义和等腰三角形的三线合一的性质得到，利用矩形的判定与性质得到，利用勾股定理求得，设的半径为，则，利用勾股定理列出方程解答即可得出结论．
（1）证明：∵平分，
，
∵四边形为圆的内接四边形，
，
，
，
；
（2）①证明：连接并延长交于点，如图：
由（1）知：，
，，
，
∵是的切线，
，
∴，
∴，
∴，
∵是的切线，
∴，
∴，
∴；
②连接并延长交于点，过点作于点，连接，如图：
∵是的切线，
，
∵，
∴．
∴，
由①知：，
，
，
，
∵是的中点，
，
，，
，
，， ，
∴四边形为矩形，
， ，
，
，
设的半径为，则，
，
，
，
，
故答案为：．
26．（2025·南京模拟）已知二次函数（为常数，）．
（1）若，求证：该函数的图象与轴有两个公共点．
（2）该函数的图象必过定点_____、_____．
（3）设，当时，．直接写出的取值范围．
【答案】（1）证明：由题知，，
∵，
∴，即，
故该函数的图象与轴总有两个公共点；
（2）、
（3），且
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】（2）解：∵，
当时，
解得：，，
∴定点坐标为，；
（3）解：如图，当时，
∵，
解得：，，
∴，，
∵当时，，
当过时，
∴，
解得：，
此时，符合题意；
当时，如图，
∵的对称轴为直线，顶点坐标为：，
的对称轴为直线，顶点坐标为：，
∴当两个顶点重合时，则，
解得：，
此时：符合题意；
综上：当时，．的取值范围为，且．
【分析】
（1）二次函数图象与x轴交点问题计算判别式，若与x轴有两个交点则证明判别式即可；
（2）根据二次函数的特点，将其配方，令，解出x，即可求出经过的定点坐标；
（3）如图，当时，可得，，，即，，当时，如图，求解的对称轴为直线，顶点坐标为：，的对称轴为直线，顶点坐标为：，当两个顶点重合时，则，再结合图象解答即可．
（1）证明：由题知，
，
∵，
∴，即，
故该函数的图象与轴总有两个公共点；
（2）解：∵，
当时，
解得：，，
∴定点坐标为，；
（3）解：如图，当时，
∵，
解得：，，
∴，，
∵当时，，
当过时，
∴，
解得：，
此时，符合题意；
当时，如图，
∵的对称轴为直线，顶点坐标为：，
的对称轴为直线，顶点坐标为：，
∴当两个顶点重合时，则，
解得：，
此时：符合题意；
综上：当时，．的取值范围为，且．
27．（2025·南京模拟）（1）如图①，在四边形中，，点在上，且.过点作，垂足为，交于点.
（I）求证：.
（II）求证：.
（2）如图②，已知线段和直线，是直线上一个动点，点在线段上，且.设线段的长为，点到的距离为.
（I）当点在直线上运动时，点的运动路线是_____.
A.直线 B.弧 C.线段
（II）若，，点到的距离为4.5，则的最大值为_____.
【答案】（1）证明：
（I）∵，，
∴；
（II）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）（I）B；（II）
【知识点】圆与三角形的综合
【解析】【解答】（2）（I）过点作于点，在上截取，使，
∵，
∴，即，
连接，
又∵，
∴，
∴，
∴点的运动路线是以为直径的弧，
故选：B；
（II）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是定值，
∴当最大时，的值最大，
此时经过圆心，的长为和圆的半径长，连接，
作于点，
由（I）得，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴的最大值为，
∴的值最大为.
【分析】
（1）（I）根据两对角对应相等的两个三角形相似，即可证明；
（II）由根据相似三角形的性质得，再证明出，根据相似三角形的性质得，等量代换后即可证明结论；
（2）（I）过点作于点，在上截取，使，再证明，推出，得到点的运动路线是以为直径的弧；
（II）根据相似三角形的性质，将转化为，得到当最大时，的值最大，根据勾股定理分别求出MI、MO，即可得到MQ的最大值.
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