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18第十一章《不等式与不等式组》核心专题一点通
（一高频考点）
高频考点一 用不等式表示不等关系（共1小题）
1．用不等式表示下列关系：
（1）x与3的差是负数；
（2）y的相反数与6的差是非负数；
（3）x与7的和不大于x的3倍；
（4）a的一半与5的差不小于2；
（5）x与y的平方和一定是非负数．
【分析】（1）根据题目中的语句可知x与3的差小于0，然后写出不等式即可；
（2）根据题目中的语句可知﹣y与6的差大于等于0，然后写出不等式即可；
（3）根据题目中的语句可知与7的和小于等于x的3倍，然后写出不等式即可；
（4）根据题目中的语句可知a的一半与5的差大于等于2，然后写出不等式即可；
（5）根据题目中的语句可知x的平方与y的平方之和大于等于0，然后写出不等式即可．
【解答】解：（1）x与3的差是负数可以表示为x﹣3＜0；
（2）y的相反数与6的差是非负数可以表示为﹣y﹣6≥0；
（3）x与7的和不大于x的3倍可以表示为x+7≤3x；
（4）a的一半与5的差不小于2可以表示为a﹣5≥2；
（5）x与y的平方和一定是非负数可以表示为x2+y2≥0．
高频考点二 不登海的性质（共2小题）
2．若m＞n，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A．3m＞3n B．m﹣3＞n﹣3
C．﹣2m﹣1＜﹣2n﹣1 D．m2＞n2
【分析】根据不等式的性质对各选项进行判断即可．
【解答】解：A．若m＞n，则3m＞3n，故选项A成立；
B．若m＞n，则m﹣3＞n﹣3，故选项B成立；
C．若m＞n，则﹣2m＜﹣2n，﹣2m﹣1＜﹣2n﹣1，故选项C成立；
D．若m＞n，取m＝﹣1，n＝﹣3时，m2＝（﹣1）2＝1，n2＝（﹣3）2＝9，
∵1＜9，
∴m2＜n2，故选项D不一定成立．
故选：D．
3．若a+b＞2b+1，则a　＞　 b（用“＞”或“＝”或“＜”填空）．
【分析】根据不等式的基本性质：不等式两边同时加或减去同一个数或式子，不等号方向不变；则两边同减去b得：a＞b+1；所以，据此即可确定a与b的关系．
【解答】解：∵a+b＞2b+1，∴a＞b+1．故a＞b．
高频考点三 不等式（组）的解集（共5小题）
4．不等式2x+1＞5的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】解不等式求得不等式的解集，然后根据数轴上表示出的不等式的解集，再对各选项进行逐一分析即可．
【解答】解：不等式2x+1＞5的解集为：x＞2，
故选：B．
5．不等式的解集是（　　）
A．x＞3 B．x＞2.5 C． D．
【分析】根据解一元一次不等式解答即可．
【解答】解：原不等式两边同乘6去分母，得3（x﹣1）﹣6x＞2，
去括号得3x﹣3﹣6x＞2，
移项合并同类项得﹣3x＞5，
不等式两边同时除以﹣3，不等号方向改变，得，
∴原不等式的解集为．
故选：C．
6．不等式3x﹣6＜0的正整数解有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：移项、系数化为1可得．
【解答】解：移项，得：3x＜6，
系数化为1，得：x＜2，
则不等式的正整数解为1，
故选：A．
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】先求出不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可．
【解答】解：解不等式x﹣1≥0得x≥1，
解不等式2﹣x＞0得x＜2，
∴不等式组的解集为：1≤x＜2，
在数轴上表示如图：
．
故选：D．
8．解不等式组，把不等式组的解集表示在数轴上，并写出这个不等式组的整数解．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①，得：x＜1，
解不等式②，得：x≥﹣3，
将解集表示在数轴上如下：，
∴不等式组的解集为﹣3≤x＜1，整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0．
高频考点五 解一元一次不等式（共2小题）
9．解不等式（组），并将不等式组的解集在数轴上表示出来：
（1）3（2x﹣1）＞4x+1；
（2）解不等式．
【分析】（1）根据解一元一次不等式的步骤进行求解，并将解集在数轴上表示出来即可；
（2）不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，即可求出解．
【解答】解：（1）3（2x﹣1）＞4x+1，
6x﹣3＞4x+1，
6x﹣4x＞1+3，
2x＞4，
x＞2，
数轴表示如下：
；
（2）解：，
3（2+x）≥2（1﹣x）﹣6，
6+3x≥2﹣2x﹣6，
5x≥﹣10，
x≥﹣2．
10．已知方程组的解中，x为非正数，y为负数．
（1）求a的取值范围；
（2）化简|a﹣3|+|a+2|．
【分析】（1）将a看作已知数求出方程组的解表示出x与y，根据x为非正数，y为负数列出不等式组，求出不等式组的解集即可确定出a的范围；
（2）由a的范围判断出绝对值里边式子的正负，利用绝对值的代数意义化简，即可得到结果．
【解答】解：（1）方程组解得：，
∵x为非正数，y为负数；
∴，
解得：﹣2＜a≤3；
（2）∵﹣2＜a≤3，即a﹣3≤0，a+2＞0，
∴原式＝3﹣a+a+2＝5．
高频考点六 解一元一次不等式组（共2小题）
11．解不等式组：．
【分析】根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解即可．
【解答】解：，
解不等式①得，x，
解不等式②得，x＞﹣5，
所以不等式组的解集为﹣5＜x．
12．解不等式组：．
【分析】分别求出不等式组中各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
【解答】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：x＞﹣7，
故不等式组的解集为．
高频考点六 一次不等式（组）的应用（共5小题）
13．某辆汽车油箱中原有油60L，汽车每行驶1km耗油0.08L，请你估计行驶多少千米后油箱中的油少于20L．
【分析】读出题意，根据关系式，剩余油量＝总油量﹣耗油量，列出关系式解答即可．
【解答】解：设估计行驶x千米后油箱中的油少于20L．依题意，得
60﹣0.08x＜20，
解得，x＞500．
答：估计行驶500千米后油箱中的油少于20L．
14．为了庆祝“六一儿童节”，初一（1）班举行班级晚会，小明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元．如果购买金额不超过200元，那么小明最多应该买多少个球拍？
【分析】设小明购买球拍x个，由题意列出不等式即可解决问题．
【解答】解：设小明购买球拍x个，依题意得：
1.5×20+22x≤200，
解之得：x≤7，
由于x取整数，故x的最大值为7，
答：小明最多应该买7个球拍．
15．某次知识竞赛共有20道题，每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分超过了90分，请问娜娜至少答对几题？
【分析】设娜娜答对x道题，则答错或不答的有（20﹣x）道，根据“答对题数的总得分﹣答错题或不答题数的失分＞90”列出不等式，解之可得．
【解答】解：设娜娜答对x道题，则答错或不答的有（20﹣x）道，
根据题意，得：10x﹣5（20﹣x）＞90，
解得：x＞12，
答：娜娜至少答对13题．
16．郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．
（1）A、B两种奖品每件各多少元？
（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？
【分析】（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，根据“如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，根据总价＝单价×购买数量结合总费用不超过900元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之取其中最大的整数即可得出结论．
【解答】解：（1）设A种奖品每件x元，B种奖品每件y元，
根据题意得：，
解得：．
答：A种奖品每件16元，B种奖品每件4元．
（2）设A种奖品购买a件，则B种奖品购买（100﹣a）件，
根据题意得：16a+4（100﹣a）≤900，
解得：a．
∵a为整数，
∴a≤41．
答：A种奖品最多购买41件．
17．我校为了防控流感，学校对校园环境进行消毒．学校决定购买A、B两种消毒液共50瓶，其中A消毒液每瓶2元，B消毒液每瓶12元，且所需费用不多于120元，则有多少种购买方案？请写出所有购买方案．
【分析】根据“所需费用不多于120元”列出不等式求解即可．
【解答】解：设学校决定购买A种消毒液x瓶，
可得：，
解得：50＞x≥48，
有2种购买方案：①A有48瓶，B有2瓶；②A有49瓶，B有1瓶．
（二核心题型）
核心题型一 不等式(组)与取值范围（共5小题）
18．若点A（m﹣3，1﹣3m）在第三象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＜3 B．m＜3 C．m＞3 D．m
【分析】根据第三象限内点的横坐标与纵坐标都是负数列出不等式组，然后求解即可．
【解答】解：∵点A（m﹣3，1﹣3m）在第三象限，
∴，
解不等式①得，m＜3，
解不等式②得，m，
所以m的取值范围是m＜3．
故选：A．
19．关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（　　）
A．a≥2 B．a＞2 C．a＜2 D．a≤2
【分析】根据题意，得出关于a的不等式，据此进行求解即可．
【解答】解：由x﹣a≤0得，x≤a；
由x﹣1＜1得，x＜2，
因为该不等式组的解集为x＜2，
所以a≥2．
故选：A．
20．已知，且﹣1＜x﹣y＜0，则k的取值范围是（　　）
A． B． C．1＜k＜2 D．
【分析】由已知求出x﹣y＝﹣2k+1，根据﹣1＜x﹣y＜0可得关于k的不等式组，即可解得答案．
【解答】解：，
②﹣①得：x﹣y＝﹣2k+1，
∵﹣1＜x﹣y＜0，
∴﹣1＜﹣2k+1＜0，
∴k＜1，
故选：D．
21．若关于x的不等式组整数解共有2个，则m的取值范围是（　　）
A．3＜m＜4 B．3＜m≤4 C．3≤m≤4 D．3≤m＜4
【分析】首先解不等式组，利用m表示出不等式组的解集，然后根据不等式组有2个整数解，即可确定整数解，进而求得m的范围．
【解答】解：，
解①得x＜m，
解②得x≥2．
则不等式组的解集是2≤x＜m．
∵不等式组有2个整数解，
∴整数解是2，3．
则3＜m≤4．
故选：B．
22．若不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A．a≥2 B．a＞2 C．﹣1＜a＜2 D．a＜﹣1或a＞2
【分析】根据不等式组无解，确定出a的范围即可．
【解答】解：∵不等式组无解，
∴a≥2，
故选：A．
核心题型二 方程组与不等式的综合（共2小题）
23．在方程组中，已知y＞9，求x的取值范围．
【分析】方程组利用代入消元法消去x表示出y，进而表示出x，将y代入已知不等式求出t的范围，即可求出x的范围．
【解答】解：，
把①代入②得：4y﹣2t+y＝t﹣3，
解得：y，x，
代入y＞9得：3t﹣3＞45，
解得：t＞16，即2
则x的范围为x＞2．
24．已知关于x，y的方程组的解都是正数，求a的取值范围．
【分析】先利用加减消元法解关于x、y的二元一次方程组，然后再根据x、y都是正数列不等式组，解不等式组即可．
【解答】解：，
解得，
∵方程组的解都是正数，
∴，
解不等式①得，a，
解不等式②得，a，
∴不等式组的解集是．
即：a的取值范围为是．
核心题型三 解一元一次不等式组（共2小题）
25．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来，并判断是否为不等式组的一个解．
【分析】先求出不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x≤1，
解不等式②得：x＞﹣2，
∴不等式组的解集为﹣2＜x≤1，
在数轴上表示不等式组的解集为：，
∵1，
∴不是不等式组的解．
26．已知不等式组：
（1）求此不等式组的整数解；
（2）若上述整数解满足方程ax+6＝x﹣2a，求a的值．
【分析】（1）求出每个不等式的解集，再根据不等式的解集找出不等式组的解集即可；
（2）把x＝2代入方程，求出方程的解即可．
【解答】解：（1）∵解不等式①得：x，
解不等式②得：x，
∴不等式组的解集为x，
∴不等式组的整数解是2；
（2）把x＝2代入方程ax+6＝x﹣2a得：2a+6＝2﹣2a，
解得：a＝﹣1．
核心题型四 实际问题（共2小题）
27．2022年北京冬奥会、冬残奥会的纪念品得到广大民众的喜爱，某校想要购买A型、B型两种纪念品．已知购买2件A型纪念品和1件B型纪念品共需150元；购买3件A型纪念品和2件B型纪念品共需245元．
（1）求A型纪念品和B型纪念品的单价；
（2）学校现需一次性购买A型纪念品和B型纪念品共100个，要求购买的总费用不超过5000元，则最多可以购买多少个A型纪念品？
【分析】（1）设A型纪念品的单价是x元，B型纪念品的单价是y元，根据购买2件A型纪念品和1件B型纪念品共需150元；购买3件A型纪念品和2件B型纪念品共需245元得，可解得A型纪念品的单价是55元，B型纪念品的单价是40元；
（2）设购买m个A型纪念品，由购买的总费用不超过5000元，得55m+40（100﹣m）≤5000，解不等式取符合条件的最大整数解即可．
【解答】解：（1）设A型纪念品的单价是x元，B型纪念品的单价是y元，
根据题意得，
解得，
答：A型纪念品的单价是55元，B型纪念品的单价是40元；
（2）设购买m个A型纪念品，
∵购买的总费用不超过5000元，
∴55m+40（100﹣m）≤5000，
解得m≤66，
∵m是整数，
∴m最大取66，
答：最多可以购买66个A型纪念品．
28．今年通辽市准备争创全国文明卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？
【分析】（1）设温情提示牌和垃圾箱的单价，找到等量关系式求解
（2）根据题目要求列出一元一次不等式组求解．
【解答】解：（1）的单价为x元，则垃圾箱的单价为3x元，
根据题意得，2x+3×3x＝550，
∴x＝50，
经检验，符合题意，
∴3x＝150元，
答：温馨提示牌和垃圾箱的单价各是50元和150元；
（2）设购买温情提示牌y个（y为正整数），则垃圾箱为（100﹣y），
根据题意得，
∴50≤y≤52，
∵y为正整数，∴y为50，51，52，共3中方案；
有三种方案：①温馨提示牌50个，垃圾箱50个，
②温馨提示牌51个，垃圾箱49个，
③温馨提示牌52个，垃圾箱48个；
当y＝52时，所需资金最少，最少是9800元．中小学教育资源及组卷应用平台
18第十一章《不等式与不等式组》核心专题一点通
（一高频考点）
高频考点一 用不等式表示不等关系（共1小题）
1．用不等式表示下列关系：
（1）x与3的差是负数；
（2）y的相反数与6的差是非负数；
（3）x与7的和不大于x的3倍；
（4）a的一半与5的差不小于2；
（5）x与y的平方和一定是非负数．
高频考点二 不登海的性质（共2小题）
2．若m＞n，则下列不等式不一定成立的是（　　）
A．3m＞3n B．m﹣3＞n﹣3
C．﹣2m﹣1＜﹣2n﹣1 D．m2＞n2
3．若a+b＞2b+1，则a　 　 b（用“＞”或“＝”或“＜”填空）．
高频考点三 不等式（组）的解集（共5小题）
4．不等式2x+1＞5的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．不等式的解集是（　　）
A．x＞3 B．x＞2.5 C． D．
6．不等式3x﹣6＜0的正整数解有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数多个
7．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．解不等式组，把不等式组的解集表示在数轴上，并写出这个不等式组的整数解．
高频考点五 解一元一次不等式（共2小题）
9．解不等式（组），并将不等式组的解集在数轴上表示出来：
（1）3（2x﹣1）＞4x+1；
（2）解不等式．
10．已知方程组的解中，x为非正数，y为负数．
（1）求a的取值范围；
（2）化简|a﹣3|+|a+2|．
高频考点六 解一元一次不等式组（共2小题）
11．解不等式组：．
12．解不等式组：．
高频考点六 一次不等式（组）的应用（共5小题）
13．某辆汽车油箱中原有油60L，汽车每行驶1km耗油0.08L，请你估计行驶多少千米后油箱中的油少于20L．
14．为了庆祝“六一儿童节”，初一（1）班举行班级晚会，小明准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个22元．如果购买金额不超过200元，那么小明最多应该买多少个球拍？
15．某次知识竞赛共有20道题，每答对一题得10分，答错或不答都扣5分，娜娜得分超过了90分，请问娜娜至少答对几题？
16．郴州市正在创建“全国文明城市”，某校拟举办“创文知识”抢答赛，欲购买A、B两种奖品以鼓励抢答者．如果购买A种20件，B种15件，共需380元；如果购买A种15件，B种10件，共需280元．
（1）A、B两种奖品每件各多少元？
（2）现要购买A、B两种奖品共100件，总费用不超过900元，那么A种奖品最多购买多少件？
17．我校为了防控流感，学校对校园环境进行消毒．学校决定购买A、B两种消毒液共50瓶，其中A消毒液每瓶2元，B消毒液每瓶12元，且所需费用不多于120元，则有多少种购买方案？请写出所有购买方案．
（二核心题型）
核心题型一 不等式(组)与取值范围（共5小题）
18．若点A（m﹣3，1﹣3m）在第三象限，则m的取值范围是（　　）
A．m＜3 B．m＜3 C．m＞3 D．m
19．关于x的不等式组的解集是x＜2，则a的取值范围是（　　）
A．a≥2 B．a＞2 C．a＜2 D．a≤2
20．已知，且﹣1＜x﹣y＜0，则k的取值范围是（　　）
A． B． C．1＜k＜2 D．
21．若关于x的不等式组整数解共有2个，则m的取值范围是（　　）
A．3＜m＜4 B．3＜m≤4 C．3≤m≤4 D．3≤m＜4
22．若不等式组无解，则a的取值范围是（　　）
A．a≥2 B．a＞2 C．﹣1＜a＜2 D．a＜﹣1或a＞2
核心题型二 方程组与不等式的综合（共2小题）
23．在方程组中，已知y＞9，求x的取值范围．
24．已知关于x，y的方程组的解都是正数，求a的取值范围．
九．核心题型三 解一元一次不等式组（共2小题）
25．解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来，并判断是否为不等式组的一个解．
26．已知不等式组：
（1）求此不等式组的整数解；
（2）若上述整数解满足方程ax+6＝x﹣2a，求a的值．
核心题型四 实际问题（共2小题）
27．2022年北京冬奥会、冬残奥会的纪念品得到广大民众的喜爱，某校想要购买A型、B型两种纪念品．已知购买2件A型纪念品和1件B型纪念品共需150元；购买3件A型纪念品和2件B型纪念品共需245元．
（1）求A型纪念品和B型纪念品的单价；
（2）学校现需一次性购买A型纪念品和B型纪念品共100个，要求购买的总费用不超过5000元，则最多可以购买多少个A型纪念品？
28．今年通辽市准备争创全国文明卫生城市，某小区积极响应，决定在小区内安装垃圾分类的温馨提示牌和垃圾箱，若购买2个温馨提示牌和3个垃圾箱共需550元，且垃圾箱的单价是温馨提示牌单价的3倍．
（1）求温馨提示牌和垃圾箱的单价各是多少元？
（2）该小区至少需要安放48个垃圾箱，如果购买温馨提示牌和垃圾箱共100个，且费用不超过10000元，请你列举出所有购买方案，并指出哪种方案所需资金最少？最少是多少元？

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