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浙江省嘉兴市南湖区嘉兴南湖实验中学2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试卷
1．（2025九上·南湖期中）下列事件是必然事件的是（　　）
A．明天早上会下雨
B．掷一枚硬币，正面朝上
C．任意一个三角形，它的内角和等于
D．一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；事件的分类；旋转的性质
【解析】【解答】解：A、明天早上会下雨，属于随机事件，故本选项不符合题意；
B、掷一枚硬币，可能正面朝上也可能反面朝上，随意属于随机事件，故本选项不符合题意；
C、三角形的内角和等于，所以是必然事件，故本选项符合题意；
D、一个图形旋转后所得的图形与原图形全等，所以属于不可能事件，故本选项不符合题意.
故答案为∶C．
【分析】根据事件的分类，逐一判断即可.
2．（2025九上·南湖期中）在所在平面内有一点，若，半径为5，则点与的位置关系是（　　）
A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法判断
【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵，的半径，且，
∴ 点P在外．
故选：B．
【分析】根据点与圆的位置关系：点到圆心的距离d与半径r比较，若，则点在圆外，即可得出答案．
3．（2025九上·南湖期中）二次函数y=x2+2x-15的图象的对称轴是（　　）
A．直线x=3 B．直线x=-5 C．直线x=1 D．直线x=-1
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵ 二次函数中，， ，
∴ 对称轴为．
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的对称轴是直线 解答即可．
4．（2025九上·南湖期中）从甲、乙、丙三人中任选一人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解： 选一人参加青年志愿者活动共有3种等可能结果，甲被选中的可能性有1种，概率是 ，
故答案为：B.
【分析】根据列举法求概率即可.
5．（2025九上·南湖期中）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，则的长为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
故选：A．
【分析】
由平行线分线段成比例定理可得，再代值求出DE，则DF可求．
6．（2025九上·南湖期中）抛物线的函数表达式为 ，若将 轴向上平移2个单位长度，将 轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：若将 轴向上平移2个单位长度，
相当于将函数图象向下平移2个单位长度，
将 轴向左平移3个单位长度，
相当于将函数图象向右平移3个单位长度，
则平移以后的函数解析式为：
化简得： ，
故答案为：C．
【分析】利用函数图象平移的性质“左加右减，上加下减求解即可。
7．（2025九上·南湖期中）如图，绕点顺时针旋转到的位置，已知，则等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点顺时针旋转到的位置，
∴，
∴，
故选：．
【分析】由旋转的性质得出，然后利用即可得出答案，
8．（2025九上·南湖期中）如图，已知抛物线（，，为常数，）的对称轴为直线，且该抛物线与轴相交于点，与轴的交点在和之间（不含端点），有下列结论：①；②；③；④若方程两根为，，则．其中正确的是（　　）
A．④ B．③④ C．①②④ D．①③④
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由图可知抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴为直线，即，
∴，
∵与y轴的交点B在之间（不含端点），
∴，
∴，故①不正确；
对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，
∴与x轴交于另一点为，
∴当时，，故②不正确；
由题意可得方程的两个根为，
∴根据一元二次方程根与系数的关系可知：，
∴，
∵，
∴，解得：，故③正确；
由方程的两个根，可看作直线与函数的交点，如图，
由图象可知：若方程两根为，则，故④正确；
综上所述，正确的结论是③④，
故选：B．
【分析】根据二次函数图象的开口方向，对称轴位置，与y轴的交点坐标，得出，，，即可判断①不正确；根据对称轴的位置以及抛物线与x轴的交点坐标，得出抛物线与x轴交于另一点为，得出当时，，即可判断②不正确；根据一元二次方程根与系数的关系得出，根据，得出，即可判断③正确；根据方程的两个根，看作直线与函数的交点，结合图象得出，即可判断④正确.
9．（2025九上·南湖期中）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底．纸条的上下边缘分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则该纸杯杯底的直径为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，设圆心为，过点O作于N，交于点M，连接，，
∵，
，
，，，
设，
，
，，OC=OB，
，
，
，
，
，
纸杯的直径为．
故选：B．
【分析】设圆心为，过点O作于N，交于点M，连接，，由垂径定理求出，的长，设，，由勾股定理得到，从而得出，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．
10．（2025九上·南湖期中）已知是直径，弦于点，．点是劣弧上任一点（不与、重合），交于点，与的延长线相交于点，已知时，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接，，，
∵弦于点E，，
，
，
∴是等边三角形，
，
设，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
∵直径，
，
，
设圆的半径是r，，
，，
，
，
，
，，
故填：
【分析】连接，，，先证出是等边三角形，得出，设，由圆周角定理得到，从而得出．利用，得出，得到，得出，从而得出，得到，设圆的半径是r， ，求出的长，从而得到，的长，即可得到答案．
11．（2025九上·南湖期中）若，则　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解： 由，可设a=2k，b=7k，
∴.
故答案为：.
【分析】由，可设a=2k，b=7k，然后代入计算即可.
12．（2025九上·南湖期中）如表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果.
种子个数 100 400 900 1500 2500 4000
发芽种子个数 92 352 818 1336 2251 3601
发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90
根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为　 　.
【答案】0.9
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵表中的数据，该植物的种子发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，
∴ 计该植物的种子发芽的概率为0.9，
故答案为：0.9.
【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，从而得到结论.
13．（2025九上·南湖期中）在的网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点记为格点．若一圆弧过格点，则该圆弧所在圆的半径为　 　．
【答案】
【知识点】圆的相关概念；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：如图：分别连接和，再作它们的垂直平分线，交于一点O，该点即为该圆弧所在圆的圆心，连接，
结合网格特征，得出，
∴，
∴该圆弧所在圆的半径为，
故答案为：．
【分析】
分别利用网格线作出AB和AC的垂直平分线，两条直线的交点即圆心，再利用勾股定理计算即可．
14．（2025九上·南湖期中）现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是　 　.
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表得
　 1 4 5
2 < > >
3 < > >
6 < < <
共有9种等可能结果，其中甲牌面数大于乙牌面数的结果有4种
故填：.
【分析】两步试验可利用画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
15．（2025九上·南湖期中）如图，点、在上，点不与、重合，，则的度数是　 　．
【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故填：．
【分析】根据圆周角定理得出，即可得出答案.
16．（2025九上·南湖期中）已知二次函数，若当时，的取值范围是（为常数），则当时，的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数中，a=-1＜0，
∴抛物线开口向下，
时，的取值范围为，
对称轴是直线，
，
抛物线为，
又当时，，
，
二次函数为，
抛物线开口向下，
抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，
，，
又∵，
当时，取最大值为，
当时，取最小值为，
当时，，
故填：．
【分析】根据时，的取值范围为，且抛物线开口向下，得出对称轴是直线，从而得出，抛物线解析式为，又当时，，得出，从而得出二次函数解析式为，又当，再结合二次函数的性质得出最大值为6，最小值为-3，即可得出答案.
17．（2025九上·南湖期中）已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）自变量在什么范围内时，随的增大而减小？
【答案】（1）解：∵二次函数的图象的顶点坐标是，
∴设二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象经过，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为
（2）解：∵在二次函数中，，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）根据题意设二次函数的解析式为，将点代入求出，即可得出答案；
（2）根据二次函数的性质得出抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小．即可得出答案．
（1）解：∵二次函数的顶点坐标是，
∴设二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象经过，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵在二次函数中，，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∴当时，随的增大而减小．
18．（2025九上·南湖期中）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4.甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜.
（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率.
（2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗 请说明理由.
【答案】（1）解：列表如下：
乙 甲 1 2 3 4
1 　 （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） 　 （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） 　 （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） 　
或画树状图如下：
共有12种等可能的情况，两球上的数字之和为奇数的情况有8种，
甲获胜.
（2）解：游戏规则对甲乙双方不公平
甲获胜乙获胜.
，
游戏规则对甲乙双方不公平.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）先根据题意画出树状图或列出表格，然后根据树状图或表格得出所有等可能的结果数，再根据概率公式计算即可；
（2）根据树状图或表格求出乙获胜的概率，比较大小即可解答.
19．（2025九上·南湖期中）已知：如图，在中，．
求证：
【答案】证明：∵，
∴（ 在同圆中相同的弦所对的弧相等 ），
∴，
∴，
∴（ 等弧所对的圆周角相等 ）．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】先根据“在同圆中相同的弦所对的弧相等”得出，即可得出，再根据圆周角定理即可得证．
20．（2025九上·南湖期中）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点．
（1）求的值；
（2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于，两点，
∴，
解得，，
∴；
（2）解：由（1）可知二次函数解析式为：，
∵，，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
当n=4时，，
∴，方程没有实数根，不符合题意，舍去；
当n=-4时，，
解得：，，
∴，
∴ 点的坐标为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法把点A和点B的坐标代入抛物线的解析式，得出二元一次方程组，求出b，c的值，即可得出答案；
（2）根据题意设点P的坐标为，根据三角形的面积公式得出，分别求出得点的坐标，即可得出答案.
（1）解：二次函数的图像与轴交于，两点，
∴，
解得，，
∴；
（2）解：由（1）可知二次函数解析式为：，，，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，无解，不符合题意，舍去；
当时，，；
∴．
21．（2025九上·南湖期中）某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套利润40元，为了扩大销售，增加利润，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当每套书降价多少元时，书店一天可获最大利润？最大利润为多少？
【答案】（1）解：设每套书降价 元时， 所获利润为 元，
则每天可出售 套：
由题意得： ；
（2）解：
则当 时， 取得最大值 1250 ；
即当将价 15 元时， 该书店可获得最大利润 1250 元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】考查二次函数的应用问题
（1）设每套书降价元时，所获利润为元，再表示出每天书刊的销售量，据此列出利润y关于降价x的函数关系式为，再进行化简可求出答案；
（2）先进行配方可将二次函数解析式化为顶点式可得：，进而可求出二次函数的最大值，求出答案.
22．（2025九上·南湖期中）如图，是⊙O的直径，点A在⊙O上且平分弧，于点，分别交，于，．
（1）求证：；
（2）若，求阴影部分面积．
【答案】（1）证明：∵A点平分，
∴
．
∵是⊙O的直径，
．
，
（2）解：如图，连接，过点E作于H，
，OB=4，
又
是等边三角形，
．
∵，
．
是等边三角形，
∵，，
，
，
∴阴影部分面积为
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）由“同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角相等”得出，又由“同角的余角相等”可得，得出，即可证出；
（2）连接，过点E作于，先证是等边三角形，得出，由“同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等”可得，得出，证出是等边三角形，根据等腰三角形的性质得出OH的长，再根据勾股定理求出的长，利用阴影部分的面积=的面积+扇形的面积，列式进行计算，即可得出答案.
（1）证明：∵A点平分弧
弧=弧，
．
∵是⊙O的直径，
．
，
．
（2）解：连接，作于H
．
又
是等边三角形，
．
∵弧=弧，
．
．
又
．
是等边三角形，
23．（2025九上·南湖期中）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点，其对称轴与轴交于点，抛物线的对称轴为直线．
（1）求的值；
（2）若点是抛物线上的点，且，求证：点，，三点共线；
（3）点，是抛物线上的两点，其中，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），若图象上任意两点纵坐标之差的最大值是6，求的值．
【答案】（1）解：抛物线（b为常数）的对称轴为直线，
∴，
∴
（2）证明：由（1）知，
∴抛物线的解析式为，
在中，当时，，
∴
对称轴与x轴交于点B，
∴，
设经过点A和点B的直线的解析式为，
将点A，B的坐标代入，得，
解得，
直线的解析式为，
点在抛物线上，且，
，
解得（不符合题意，舍去）或，
∴，
在中，当时，，
点在直线上，
∴点A，B，C三点共线
（3）解：点、在抛物线的图象上，
，，
∴、，
∵，抛物线的开口向下，且对称轴为直线，
∴当时，则，
∴此时点P在对称轴的左侧，点Q在对称轴的右侧，
∴此时图象G上的最高点是抛物线的顶点，其纵坐标为8，
∵，
∴，
，，
点P到对称轴的距离大于点Q与对称轴的距离，即此时点P的纵坐标最小，
∴，
，
解得（不符合题意，舍去）或；
当时，则，此时点P，Q在对称轴左侧，
∵在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴此时点P的纵坐标最小，点Q的纵坐标最大，
∴，
，
解得（不符合题意，舍去）；
综上所述，
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）由二次函数的对称轴为直线，得出，求出b的值，即可得出答案；
（2）根据题意可得，，利用待定系数法求得直线的解析式为，由点在抛物线上，且，求出，可证明在直线上，即可证明点A，B，C三点共线；
（3）由点、在抛物线上，得出、，分以下两种情况进行讨论：当时，可以判定点P，Q在对称轴两侧，点P与对称轴的距离大于点Q与对称轴的距离，此时图象G上的最高点是抛物线的顶点，其纵坐标为8，此时点P的纵坐标最小，通过图象G 上任意两点纵坐标之差的最大值是6，得出，求出值并判断其是否在的取值范围内；当时，则，点P，Q在对称轴左侧，y随x的增大而增大，此时点P的纵坐标最小，点Q的纵坐标最大，得出，求出值并判断其是否在的取值范围内，即可得出答案．
（1）解：抛物线（b为常数）的对称轴为直线，
∴，
解得；
（2）证明：由（1）知，
∴，
在中，当时，，
∴
对称轴与x轴交于点B，
∴，
设经过点A和点B的直线的解析式为，
将点A，B的坐标代入，得，解得，
直线的解析式为，
点在抛物线上，且，
，
解得（舍）或，
∴，
在中，当时，，
点在直线上，即点A，B，C三点共线；
（3）解：点、在抛物线的图象上，
，，
∴、，
∵，即抛物线的开口向下，且对称轴为直线，
∴当时，则，
∴此时点P在对称轴的左侧，点Q在对称轴的右侧，
∴此时图象G上的最高点是抛物线的顶点，其纵坐标为8，
∵，
∴，
，，
点P到对称轴的距离大于点Q与对称轴的距离，即此时点P的纵坐标最小，
∴，
，
解得（不符合题意，舍去）或；
当时，则，此时点P，Q在对称轴左侧，
∵在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴此时点P的纵坐标最小，点Q的纵坐标最大，
∴，
，
解得（不符合题意，舍去）；
综上所述，．
24．（2025九上·南湖期中）已知是的外接圆，点是的中点．
（1）如图1，连接交于点，过点作的垂线交延长线于点．设，，请用含的代数式表示；
（2）如图2，过点作，交弦的延长线于点．
①求证：；
②若的半径为4，，求的值；
（3）如图3，若是半圆，点是上的动点，且点，分别位于的两侧，作关于的轴对称图形，连接，试探究，，三者之间满足的数量关系，并证明所得到的结论．
【答案】（1）解：∵点是的中点，∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴；
（2）①证明：由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②解：如图2，连接交于，连接，
由（1）可知，，为的中点，
∵，
∴为的中点，
∴，
设，则，，
由勾股定理得，，即；
，即；
∴，
解得，，
∴的值为；
（3）解：，证明如下：
如图3，作，使，连接，
∴是等腰直角三角形，，
由勾股定理得，，
∵是半圆，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
由轴对称的性质可知，，
∴，
由勾股定理得，，即．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；轴对称的性质；手拉手全等模型；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）由于点是的中点，则由垂径定理的推论可得，又，则，则由同角的余角相等可得，再由圆周角定理知；
（2）①由于点是的中点，由，即，再等角的余角相等可得，即；
②如图1，连接交于，连接，则由垂径定理可得且DH是的中位线，为便于计算可设DH＝a，则OH、BC均可用含a的代数式表示，再在和分别应用勾股定理可求得a的值，则BC可得；
（3）如图：

由于是等腰直角三角形且，则可以D为直角顶点、DQ为直角边在DQ上方作等腰直角三角形QDG，则可利用手拉手全等模型证明，则有；再由翻折及圆周角定理可得，又等腰直角三角形QDG中，则，再由勾股定理可得AG2＝AQ2+QG2、QG2＝DQ2+DG2＝2DQ2，则等量代换得.
（1）解：∵点是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴；
（2）①证明：由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②解：如图2，连接交于，连接，
由（1）可知，，为的中点，
∵，
∴为的中点，
∴，
设，则，，
由勾股定理得，，即；
，即；
∴，
解得，，
∴的值为；
（3）解：，证明如下；
如图3，作，使，连接，
∴是等腰直角三角形，，
由勾股定理得，，
∵是半圆，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
由轴对称的性质可知，，
∴，
由勾股定理得，，即．
1 / 1浙江省嘉兴市南湖区嘉兴南湖实验中学2025-2026学年九年级上学期11月期中考试数学试卷
1．（2025九上·南湖期中）下列事件是必然事件的是（　　）
A．明天早上会下雨
B．掷一枚硬币，正面朝上
C．任意一个三角形，它的内角和等于
D．一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等
2．（2025九上·南湖期中）在所在平面内有一点，若，半径为5，则点与的位置关系是（　　）
A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法判断
3．（2025九上·南湖期中）二次函数y=x2+2x-15的图象的对称轴是（　　）
A．直线x=3 B．直线x=-5 C．直线x=1 D．直线x=-1
4．（2025九上·南湖期中）从甲、乙、丙三人中任选一人参加青年志愿者活动，甲被选中的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025九上·南湖期中）如图，，直线、与这三条平行线分别交于点、、和点、、．若，则的长为（　　）
A． B． C．2 D．
6．（2025九上·南湖期中）抛物线的函数表达式为 ，若将 轴向上平移2个单位长度，将 轴向左平移3个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的函数表达式为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025九上·南湖期中）如图，绕点顺时针旋转到的位置，已知，则等于（　　）
A． B． C． D．
8．（2025九上·南湖期中）如图，已知抛物线（，，为常数，）的对称轴为直线，且该抛物线与轴相交于点，与轴的交点在和之间（不含端点），有下列结论：①；②；③；④若方程两根为，，则．其中正确的是（　　）
A．④ B．③④ C．①②④ D．①③④
9．（2025九上·南湖期中）某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径．小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底．纸条的上下边缘分别与杯底相交于、、、四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为，，．则该纸杯杯底的直径为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025九上·南湖期中）已知是直径，弦于点，．点是劣弧上任一点（不与、重合），交于点，与的延长线相交于点，已知时，则的值为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025九上·南湖期中）若，则　 　．
12．（2025九上·南湖期中）如表是某种植物的种子在相同条件下发芽率试验的结果.
种子个数 100 400 900 1500 2500 4000
发芽种子个数 92 352 818 1336 2251 3601
发芽种子频率 0.92 0.88 0.91 0.89 0.90 0.90
根据表中的数据，可估计该植物的种子发芽的概率为　 　.
13．（2025九上·南湖期中）在的网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点记为格点．若一圆弧过格点，则该圆弧所在圆的半径为　 　．
14．（2025九上·南湖期中）现有六张分别标有数字的卡片，其中标有数字的卡片在甲手中，标有数字的卡片在乙手中.两人各随机出一张卡片，甲出的卡片数字比乙大的概率是　 　.
15．（2025九上·南湖期中）如图，点、在上，点不与、重合，，则的度数是　 　．
16．（2025九上·南湖期中）已知二次函数，若当时，的取值范围是（为常数），则当时，的取值范围是　 　．
17．（2025九上·南湖期中）已知二次函数的图象经过，且它的顶点坐标是．
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）自变量在什么范围内时，随的增大而减小？
18．（2025九上·南湖期中）在一只不透明的布袋中，装有质地、大小均相同的四个小球，小球上分别标有数字1，2，3，4.甲乙两人玩摸球游戏，规则为：两人同时从袋中随机各摸出1个小球，若两球上的数字之和为奇数，则甲胜；若两球上的数字之和为偶数，则乙胜.
（1）请用画树状图或列表的方法，求甲获胜的概率.
（2）这个游戏规则对甲乙双方公平吗 请说明理由.
19．（2025九上·南湖期中）已知：如图，在中，．
求证：
20．（2025九上·南湖期中）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点．
（1）求的值；
（2）若点在该二次函数的图象上，且的面积为，求点的坐标．
21．（2025九上·南湖期中）某书店销售儿童书刊，一天可售出20套，每套利润40元，为了扩大销售，增加利润，书店决定采取降价措施．若一套书每降价1元，平均每天可多售出2套．设每套书降价x元时，书店一天可获利润y元．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）当每套书降价多少元时，书店一天可获最大利润？最大利润为多少？
22．（2025九上·南湖期中）如图，是⊙O的直径，点A在⊙O上且平分弧，于点，分别交，于，．
（1）求证：；
（2）若，求阴影部分面积．
23．（2025九上·南湖期中）在平面直角坐标系中，抛物线（为常数）与轴交于点，其对称轴与轴交于点，抛物线的对称轴为直线．
（1）求的值；
（2）若点是抛物线上的点，且，求证：点，，三点共线；
（3）点，是抛物线上的两点，其中，记抛物线在，之间的部分为图象（包含，两点），若图象上任意两点纵坐标之差的最大值是6，求的值．
24．（2025九上·南湖期中）已知是的外接圆，点是的中点．
（1）如图1，连接交于点，过点作的垂线交延长线于点．设，，请用含的代数式表示；
（2）如图2，过点作，交弦的延长线于点．
①求证：；
②若的半径为4，，求的值；
（3）如图3，若是半圆，点是上的动点，且点，分别位于的两侧，作关于的轴对称图形，连接，试探究，，三者之间满足的数量关系，并证明所得到的结论．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；事件的分类；旋转的性质
【解析】【解答】解：A、明天早上会下雨，属于随机事件，故本选项不符合题意；
B、掷一枚硬币，可能正面朝上也可能反面朝上，随意属于随机事件，故本选项不符合题意；
C、三角形的内角和等于，所以是必然事件，故本选项符合题意；
D、一个图形旋转后所得的图形与原图形全等，所以属于不可能事件，故本选项不符合题意.
故答案为∶C．
【分析】根据事件的分类，逐一判断即可.
2．【答案】B
【知识点】点与圆的位置关系
【解析】【解答】解：∵，的半径，且，
∴ 点P在外．
故选：B．
【分析】根据点与圆的位置关系：点到圆心的距离d与半径r比较，若，则点在圆外，即可得出答案．
3．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵ 二次函数中，， ，
∴ 对称轴为．
故答案为：D.
【分析】根据二次函数的对称轴是直线 解答即可．
4．【答案】B
【知识点】概率公式
【解析】【解答】解： 选一人参加青年志愿者活动共有3种等可能结果，甲被选中的可能性有1种，概率是 ，
故答案为：B.
【分析】根据列举法求概率即可.
5．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
故选：A．
【分析】
由平行线分线段成比例定理可得，再代值求出DE，则DF可求．
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：若将 轴向上平移2个单位长度，
相当于将函数图象向下平移2个单位长度，
将 轴向左平移3个单位长度，
相当于将函数图象向右平移3个单位长度，
则平移以后的函数解析式为：
化简得： ，
故答案为：C．
【分析】利用函数图象平移的性质“左加右减，上加下减求解即可。
7．【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵绕点顺时针旋转到的位置，
∴，
∴，
故选：．
【分析】由旋转的性质得出，然后利用即可得出答案，
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由图可知抛物线开口向上，
∴，
∵对称轴为直线，即，
∴，
∵与y轴的交点B在之间（不含端点），
∴，
∴，故①不正确；
对称轴为直线，且该抛物线与x轴交于点，
∴与x轴交于另一点为，
∴当时，，故②不正确；
由题意可得方程的两个根为，
∴根据一元二次方程根与系数的关系可知：，
∴，
∵，
∴，解得：，故③正确；
由方程的两个根，可看作直线与函数的交点，如图，
由图象可知：若方程两根为，则，故④正确；
综上所述，正确的结论是③④，
故选：B．
【分析】根据二次函数图象的开口方向，对称轴位置，与y轴的交点坐标，得出，，，即可判断①不正确；根据对称轴的位置以及抛物线与x轴的交点坐标，得出抛物线与x轴交于另一点为，得出当时，，即可判断②不正确；根据一元二次方程根与系数的关系得出，根据，得出，即可判断③正确；根据方程的两个根，看作直线与函数的交点，结合图象得出，即可判断④正确.
9．【答案】B
【知识点】垂径定理的实际应用
【解析】【解答】解：如图，设圆心为，过点O作于N，交于点M，连接，，
∵，
，
，，，
设，
，
，，OC=OB，
，
，
，
，
，
纸杯的直径为．
故选：B．
【分析】设圆心为，过点O作于N，交于点M，连接，，由垂径定理求出，的长，设，，由勾股定理得到，从而得出，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长．
10．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：如图，连接，，，
∵弦于点E，，
，
，
∴是等边三角形，
，
设，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
，
，
，
∵直径，
，
，
设圆的半径是r，，
，，
，
，
，
，，
故填：
【分析】连接，，，先证出是等边三角形，得出，设，由圆周角定理得到，从而得出．利用，得出，得到，得出，从而得出，得到，设圆的半径是r， ，求出的长，从而得到，的长，即可得到答案．
11．【答案】
【知识点】比例的性质
【解析】【解答】解： 由，可设a=2k，b=7k，
∴.
故答案为：.
【分析】由，可设a=2k，b=7k，然后代入计算即可.
12．【答案】0.9
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：∵表中的数据，该植物的种子发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，
∴ 计该植物的种子发芽的概率为0.9，
故答案为：0.9.
【分析】仔细观察表格，发现大量重复试验发芽的频率逐渐稳定在0.9左右，从而得到结论.
13．【答案】
【知识点】圆的相关概念；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：如图：分别连接和，再作它们的垂直平分线，交于一点O，该点即为该圆弧所在圆的圆心，连接，
结合网格特征，得出，
∴，
∴该圆弧所在圆的半径为，
故答案为：．
【分析】
分别利用网格线作出AB和AC的垂直平分线，两条直线的交点即圆心，再利用勾股定理计算即可．
14．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：列表得
　 1 4 5
2 < > >
3 < > >
6 < < <
共有9种等可能结果，其中甲牌面数大于乙牌面数的结果有4种
故填：.
【分析】两步试验可利用画树状图或列表法求概率，画树状图时注意不重复不遗漏，列表时注意对角线栏目上是否填写数据.
15．【答案】
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故填：．
【分析】根据圆周角定理得出，即可得出答案.
16．【答案】
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数中，a=-1＜0，
∴抛物线开口向下，
时，的取值范围为，
对称轴是直线，
，
抛物线为，
又当时，，
，
二次函数为，
抛物线开口向下，
抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，
，，
又∵，
当时，取最大值为，
当时，取最小值为，
当时，，
故填：．
【分析】根据时，的取值范围为，且抛物线开口向下，得出对称轴是直线，从而得出，抛物线解析式为，又当时，，得出，从而得出二次函数解析式为，又当，再结合二次函数的性质得出最大值为6，最小值为-3，即可得出答案.
17．【答案】（1）解：∵二次函数的图象的顶点坐标是，
∴设二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象经过，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为
（2）解：∵在二次函数中，，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而减小
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）根据题意设二次函数的解析式为，将点代入求出，即可得出答案；
（2）根据二次函数的性质得出抛物线开口向上，对称轴为直线，当时，随的增大而减小．即可得出答案．
（1）解：∵二次函数的顶点坐标是，
∴设二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象经过，
∴，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵在二次函数中，，
∴抛物线开口向上，对称轴为，
∴当时，随的增大而减小．
18．【答案】（1）解：列表如下：
乙 甲 1 2 3 4
1 　 （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） 　 （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） 　 （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） 　
或画树状图如下：
共有12种等可能的情况，两球上的数字之和为奇数的情况有8种，
甲获胜.
（2）解：游戏规则对甲乙双方不公平
甲获胜乙获胜.
，
游戏规则对甲乙双方不公平.
【知识点】用列表法或树状图法求概率；游戏公平性
【解析】【分析】（1）先根据题意画出树状图或列出表格，然后根据树状图或表格得出所有等可能的结果数，再根据概率公式计算即可；
（2）根据树状图或表格求出乙获胜的概率，比较大小即可解答.
19．【答案】证明：∵，
∴（ 在同圆中相同的弦所对的弧相等 ），
∴，
∴，
∴（ 等弧所对的圆周角相等 ）．
【知识点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理的推论
【解析】【分析】先根据“在同圆中相同的弦所对的弧相等”得出，即可得出，再根据圆周角定理即可得证．
20．【答案】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于，两点，
∴，
解得，，
∴；
（2）解：由（1）可知二次函数解析式为：，
∵，，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
当n=4时，，
∴，方程没有实数根，不符合题意，舍去；
当n=-4时，，
解得：，，
∴，
∴ 点的坐标为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）利用待定系数法把点A和点B的坐标代入抛物线的解析式，得出二元一次方程组，求出b，c的值，即可得出答案；
（2）根据题意设点P的坐标为，根据三角形的面积公式得出，分别求出得点的坐标，即可得出答案.
（1）解：二次函数的图像与轴交于，两点，
∴，
解得，，
∴；
（2）解：由（1）可知二次函数解析式为：，，，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，无解，不符合题意，舍去；
当时，，；
∴．
21．【答案】（1）解：设每套书降价 元时， 所获利润为 元，
则每天可出售 套：
由题意得： ；
（2）解：
则当 时， 取得最大值 1250 ；
即当将价 15 元时， 该书店可获得最大利润 1250 元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】考查二次函数的应用问题
（1）设每套书降价元时，所获利润为元，再表示出每天书刊的销售量，据此列出利润y关于降价x的函数关系式为，再进行化简可求出答案；
（2）先进行配方可将二次函数解析式化为顶点式可得：，进而可求出二次函数的最大值，求出答案.
22．【答案】（1）证明：∵A点平分，
∴
．
∵是⊙O的直径，
．
，
（2）解：如图，连接，过点E作于H，
，OB=4，
又
是等边三角形，
．
∵，
．
是等边三角形，
∵，，
，
，
∴阴影部分面积为
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）由“同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角相等”得出，又由“同角的余角相等”可得，得出，即可证出；
（2）连接，过点E作于，先证是等边三角形，得出，由“同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等”可得，得出，证出是等边三角形，根据等腰三角形的性质得出OH的长，再根据勾股定理求出的长，利用阴影部分的面积=的面积+扇形的面积，列式进行计算，即可得出答案.
（1）证明：∵A点平分弧
弧=弧，
．
∵是⊙O的直径，
．
，
．
（2）解：连接，作于H
．
又
是等边三角形，
．
∵弧=弧，
．
．
又
．
是等边三角形，
23．【答案】（1）解：抛物线（b为常数）的对称轴为直线，
∴，
∴
（2）证明：由（1）知，
∴抛物线的解析式为，
在中，当时，，
∴
对称轴与x轴交于点B，
∴，
设经过点A和点B的直线的解析式为，
将点A，B的坐标代入，得，
解得，
直线的解析式为，
点在抛物线上，且，
，
解得（不符合题意，舍去）或，
∴，
在中，当时，，
点在直线上，
∴点A，B，C三点共线
（3）解：点、在抛物线的图象上，
，，
∴、，
∵，抛物线的开口向下，且对称轴为直线，
∴当时，则，
∴此时点P在对称轴的左侧，点Q在对称轴的右侧，
∴此时图象G上的最高点是抛物线的顶点，其纵坐标为8，
∵，
∴，
，，
点P到对称轴的距离大于点Q与对称轴的距离，即此时点P的纵坐标最小，
∴，
，
解得（不符合题意，舍去）或；
当时，则，此时点P，Q在对称轴左侧，
∵在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴此时点P的纵坐标最小，点Q的纵坐标最大，
∴，
，
解得（不符合题意，舍去）；
综上所述，
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）由二次函数的对称轴为直线，得出，求出b的值，即可得出答案；
（2）根据题意可得，，利用待定系数法求得直线的解析式为，由点在抛物线上，且，求出，可证明在直线上，即可证明点A，B，C三点共线；
（3）由点、在抛物线上，得出、，分以下两种情况进行讨论：当时，可以判定点P，Q在对称轴两侧，点P与对称轴的距离大于点Q与对称轴的距离，此时图象G上的最高点是抛物线的顶点，其纵坐标为8，此时点P的纵坐标最小，通过图象G 上任意两点纵坐标之差的最大值是6，得出，求出值并判断其是否在的取值范围内；当时，则，点P，Q在对称轴左侧，y随x的增大而增大，此时点P的纵坐标最小，点Q的纵坐标最大，得出，求出值并判断其是否在的取值范围内，即可得出答案．
（1）解：抛物线（b为常数）的对称轴为直线，
∴，
解得；
（2）证明：由（1）知，
∴，
在中，当时，，
∴
对称轴与x轴交于点B，
∴，
设经过点A和点B的直线的解析式为，
将点A，B的坐标代入，得，解得，
直线的解析式为，
点在抛物线上，且，
，
解得（舍）或，
∴，
在中，当时，，
点在直线上，即点A，B，C三点共线；
（3）解：点、在抛物线的图象上，
，，
∴、，
∵，即抛物线的开口向下，且对称轴为直线，
∴当时，则，
∴此时点P在对称轴的左侧，点Q在对称轴的右侧，
∴此时图象G上的最高点是抛物线的顶点，其纵坐标为8，
∵，
∴，
，，
点P到对称轴的距离大于点Q与对称轴的距离，即此时点P的纵坐标最小，
∴，
，
解得（不符合题意，舍去）或；
当时，则，此时点P，Q在对称轴左侧，
∵在对称轴左侧，y随x的增大而增大，
∴此时点P的纵坐标最小，点Q的纵坐标最大，
∴，
，
解得（不符合题意，舍去）；
综上所述，．
24．【答案】（1）解：∵点是的中点，∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴；
（2）①证明：由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②解：如图2，连接交于，连接，
由（1）可知，，为的中点，
∵，
∴为的中点，
∴，
设，则，，
由勾股定理得，，即；
，即；
∴，
解得，，
∴的值为；
（3）解：，证明如下：
如图3，作，使，连接，
∴是等腰直角三角形，，
由勾股定理得，，
∵是半圆，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
由轴对称的性质可知，，
∴，
由勾股定理得，，即．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；轴对称的性质；手拉手全等模型；垂径定理的推论
【解析】【分析】（1）由于点是的中点，则由垂径定理的推论可得，又，则，则由同角的余角相等可得，再由圆周角定理知；
（2）①由于点是的中点，由，即，再等角的余角相等可得，即；
②如图1，连接交于，连接，则由垂径定理可得且DH是的中位线，为便于计算可设DH＝a，则OH、BC均可用含a的代数式表示，再在和分别应用勾股定理可求得a的值，则BC可得；
（3）如图：

由于是等腰直角三角形且，则可以D为直角顶点、DQ为直角边在DQ上方作等腰直角三角形QDG，则可利用手拉手全等模型证明，则有；再由翻折及圆周角定理可得，又等腰直角三角形QDG中，则，再由勾股定理可得AG2＝AQ2+QG2、QG2＝DQ2+DG2＝2DQ2，则等量代换得.
（1）解：∵点是的中点，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
∴；
（2）①证明：由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴；
②解：如图2，连接交于，连接，
由（1）可知，，为的中点，
∵，
∴为的中点，
∴，
设，则，，
由勾股定理得，，即；
，即；
∴，
解得，，
∴的值为；
（3）解：，证明如下；
如图3，作，使，连接，
∴是等腰直角三角形，，
由勾股定理得，，
∵是半圆，
∴，
由（1）可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
由轴对称的性质可知，，
∴，
由勾股定理得，，即．
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