资源简介

浙江省杭州市公益中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题
一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分)
1．（2025八上·杭州月考）剪纸是中国的民间艺术，剪纸方法很多，一种剪纸方法如图所示.
下面的四个图案，不能用上述方法剪出的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】剪纸问题
【解析】【解答】解：依题意剪出的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形。
A.该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，A不符合题意；
B.该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，B不符合题意；
C.该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，C符合题意；
D.该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，D不符合题意.
故答案为：C
【分析】根据条件判断所剪图形的特征，再逐项核对是否具有相同特征。
2．（2025八上·杭州月考）已知命题：“三角形三边中垂线的交点一定不在三角形的外部.”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
【答案】D
【知识点】举反例判断命题真假；线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：∵钝角三角形的三边中垂线的交点在三角形外，
∴ 说明“三角形三边中垂线的交点一定不在三角形的外部”是假命题，则符合要求的反例是钝角三角形。
故答案为：D.
【分析】举反例证明一个命题是假命题，举出的例子需要满足原命题的已知条件，但不满足原命题的结论，据此逐一判断得出答案.
3．（2025八上·杭州月考） 在平面直角坐标系中， 若点(-1， y1) ， (-2， y2) ， (-3， y3) 都在直线y=-2x+b上， 则y1， y2， y3的大小关系是(　　)
A．y1>y2>y3 B．y3>y2>y1 C． D．y2>y3>y1
【答案】B
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵-2<0
∴函数y=-2x+b图象向左倾斜
∴y随x增大而减小
∵-1>-2>-3
∴y1故答案为：B
【分析】根据一次函数的系数与图象的关系判断直线的增减性，利用该性质即可求解。
4．（2025八上·杭州月考） 已知△ABC， 下列尺规作图的方法中， 能确定∠BAD=∠ABC的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵ ∠BAD=∠ABC
∴DA=DB
∴点D在线段AB的垂直平分线上
故答案为：B
【分析】根据题意判断点D应该在线段AB的垂直平分线上时解题关键。
5．（2025八上·杭州月考）已知某山区的气温与海拔高度之间满足一次函数关系，某气象站测得该山区气温随海拔高度变化的部分数据如下表，根据表格中的数据，下列说法错误的是(　　)
海拔高度 (x) / km 0 1 2 3 4 　
气温 (y) /℃ 17 11 5 - 1 -7 　
A．海拔每上升1km，气温下降6℃
B．y与x之间的函数关系式为.y= - 6x+17
C．随着x的增大，y在不断地减小
D．当气温为-19℃时，海拔高度是7km
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】观察表格里的数据易知A，C正确；
设，将(0，17)，(1，11)代入得
解得k=-6，b=17
∴y与x之间的函数关系式为y=-6x+17，B正确；
令y=-19得-6x+17=-19，解得x=6，D错误。
故答案为：D
【分析】通过观察并利用待定系数法求一次函数解析式可求解。
6．（2025八上·杭州月考） 如图， 在△ABC中， CF⊥AB于F， BE⊥AC于 E， M为BC的中点， EF=8，BC=20， △EFM的周长是 (　　)
A．26 B．28 C．30 D．32
【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ CF⊥AB ， BE⊥AC
∴△BCF与△BCE为直角三角形
∵ M为BC的中点
∴
∴
即 △EFM的周长是 28.
故答案为：B
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可以求出FM，EM的长度，从而可求△EFM的周长。
7．（2025八上·杭州月考）已知关于x的不等式3x﹣m<1的最大整数解为3，则m的取值范围是(　　)
A．8【答案】A
【知识点】一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得
依题意
解得 8故答案为：A
【分析】首先解含参不等式，根据解集的最大整数为3得到关于m的不等式组并求解。
8．（2025八上·杭州月考）一次函数y=kx+b的图象如图所示，则一次函数y=bx-k的图象大致是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由图象可知k<0，b>0
∴一次函数 y=bx-k 的图象向右倾斜，与y轴交于正半轴
故答案为：C
【分析】根据 一次函数y=kx+b的图象倾斜方向、与y轴交于正半轴判断k，b的符号，从而可知一次函数 y=bx-k 的图象的倾斜方向以及与y轴交于哪个半轴。
9．（2025八上·杭州月考）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为一种时尚.如图，某餐厅的机器人小米和小华从出餐口出发，准备给相距450cm的客人送餐，小米比小华先出发，且速度保持不变，小华出发一段时间后将速度提高到原来的2倍.若小米行进的时间为x(单位：S)，小米和小华行进的路程y. y(单位： cm)与x之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．小米的速度为10cm/s
B．小华提速后的速度为28cm/s
C．小米比小华先出发14s
D．小华比小米提前 15s 到达客人位置
【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：小米的图象从x=0开始，小华的图象从x=15开始，即小米比小华先出发15s，C错误；
∵当x=15时，y2=0，当x=17时，y2=30
∴小华提速前的速度是
由条件可知小华提速后的速度为30cm/s，B错误；
∴提速后小华行走所用时间为
∴m=17+14=31s
∴
∴小米的速度为，A正确；
∵
∴小华比小米提前14s到达客人位置，D错误。
故答案为：A
【分析】本题需要根据函数图象所提供的信息，分别计算小米和小华的速度、出发时间以及到达客人位置的时间等，进而对各个选项进行判断。
10．（2025八上·杭州月考） 如图， 在Rt△ABC中， ∠C=90°， AD平分∠CAB， BE平分∠ABC， AD， BE相交于点F，若AF=4， EF= ， 则AC= (　　)
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，过点E作于G，过点F作于H。
∵ AD平分∠CAB， BE平分∠ABC
∴
∵
∴
∴
∴
在Rt中，
∴FG=EG=1
∵AF=4
∴AG=AF-FG=3
由勾股定理得
∵ BE平分∠ABC，，
∴EF=EC
∵
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∴
在Rt中，
∴
故答案为：D
【分析】先根据角平分线的性质和三角形内角和定理求出的度数，然后通过丛辅助线构造直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AE的长度，从而求解。
二、填空题(本大题共有6小题，每题3分，共18分)
11．（2025八上·杭州月考）在平面直角坐标系中，点与点B关于y轴对称，则点B的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点与点B关于y轴对称，
∴ 点B的坐标是.
故答案为：.
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可得到答案.
12．（2025八上·杭州月考）某村要修建一条水渠，如图，水渠从A村沿北偏东55°方向到B村，从B村沿北偏西30°方向到C村，然后从C村到E村.若CE与AB方向一致，则∠ECB= 　 　.
【答案】95°
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图
根据题意得
∴
由条件可知
∵
∴
∴
故答案为：95°
【分析】利用方向角和平行线的性质求解。
13．（2025八上·杭州月考）等腰三角形的一个内角为80°，这个等腰三角形底角的度数为　 　.
【答案】50°或80°
【知识点】等腰三角形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：①当80°的角为顶角时，底角度数为；
②当80°的角为底角时，该等腰三角形的底角就是80°。
综上所述，这个等腰三角形的底角度数为50°或80°
故答案为：50°或80°
【分析】需分两种情况讨论，利用三角形内角和定理以及等腰三角形的底角相等的性质求解。
14．（2025八上·杭州月考）学校某社团为了勤工俭学，每天固定购入100份某品牌报纸，每份进价0.8元，然后以每份1.5元的价格出售.如果报纸卖不完可退回报社，退回的报纸只按进价的60%退款给该社团.某一天该社团卖出的报纸为x份，所获得的利润为y元，则y与x的关系式为　 　.
【答案】y=1.02x-32
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意得y=(1.5-0.8)x-40%×0.8×(100-x)=1.02x-32
故答案为：y=1.02x-32.
【分析】先计算卖出报纸的收入和退回报纸的退款，再用总收入减去总成本(购入成本减去退回退款)得到利润。
15．（2025八上·杭州月考）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算Br出索长有几 ”译文为：如图，秋千OA 静止时踏板离地面CD的距离为1尺，将它往前面推送两步(即CD的长为10尺)，秋千的踏板B就和人一样高，已知这个人的身高为5尺，则绳索 OA 的长度为　 　尺.
【答案】14.5
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥OA
由题意得BC=ED=5，AD=1，CD=10，
∴ AE=4，
设OA=OB=x，则OE=x-4，
在Rt△OBE中，由勾股定理得OB2=OE2+BE2，
即x2=102+(x-4)2，
解得x=14.5，
∴OA=14.5，
即绳索OA的长度为14.5，
故答案为：14.5.
【分析】构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解。
16．（2025八上·杭州月考）如图，在平面直角坐标系中，A(1，0)，B(5，0)，点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段PA为边在 PA的右上方作等腰直角△APQ，∠PAQ=90°，连接QB，在点P 运动的过程中，线段QB长度的最小值为　 　.
【答案】1
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，将△ABQ绕点A逆时针旋转90°到△ACP，连接BC，
由旋转可知△ABQ≌△ACP，
∴AB=AC，BQ=PC，∠PAC=∠QAB，
∵∠PAQ=∠PAC+∠CAQ=90°，
∴∠BAC=∠QAB+∠CAQ=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，A(1，0)，B(5，0)，
∴AB=4，
∴C(1，4)，即C是定点，
∴当PC最小时，QB最小，
∴当PC⊥y轴时，PC最小，最小值为1
线段QB长度的最小值为1.
故答案为：1.
【分析】利用旋转的性质进行等量代换，再结合点到直线的距离求解。
三、解答题 (本大题共8个小题，共72分)
17．（2025八上·杭州月考）解一元一次不等式(组)：
（1） 3x-5<2 (2+3x)
（2）解不等式组
【答案】（1）解：3x-5<2(2+3x)
3x-5<4+6x
3x-6x<4+5
-3x<9
x>-3
（2）解：解不等式
去分母得：x-3+6≥4x
移项得：x-4x≥3-6，
合并同类项得：-3x≥-3，
系数化为1得：x≤1。
解不等式4(x+2) >x+2，
去括号得：4x+8>x+2，
移项得：4x-x>2-8，
合并同类项得：3x> 6
系数化为1得：x>-2。
∴不等式组的解集为-2【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)先去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1求出解集；
(2)分别求出每个不等式的解集，再找出它们的公共部分，从而得到不等式组的解集。
18．（2025八上·杭州月考）风筝起源于东周春秋时期，距今已有两千多年的历史.2006年5月20日，风筝制作技艺列入国家第一批非物质文化遗产名录.图1是制作风筝的简易结构图，图2是风筝的骨架示意图. 在制作骨架的过程中， 要保证OA=OB， AB⊥CD， 请证明△ADC≌△BDC.
【答案】证明：∵OA=OB，AB⊥CD，
∴CD垂直平分AB，
∴AC=BC，DA=DB，
在△ADC和△BDC中，
∴△ADC≌△BDC（SSS）
【知识点】线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】先根据OA=OB和AB⊥CD证明CD是AB的垂直平分线，得到AC=BC、DA=DB，再利用SSS判定定理证明△ADC≌△BDC.
19．（2025八上·杭州月考）如图， △ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格中， 已知A(3，3)，B(-3， - 3)，C(1， - 3) .
（1） 若△ABP≌△ABC， △ABP的顶点P在第四象限内， 且不与C重合，请画出△ABP的图形，并求出点P 的坐标是.
（2） 求△ABC边AC 上高的长.
【答案】（1）解：如图，△ABP即为所求，
由图可知点P的坐标是(3，-1)；
（2）解：AC=，
设AC边上的高为h，则S△ABC=，
解得h=
∴△ABC边AC上的高为
【知识点】三角形的面积；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)利用全等三角形对应边的关系找到点P的位置，顺次连接三个顶点即可画出 △ABP 并求出点P坐标；
(2)利用面积法求解。
20．（2025八上·杭州月考）已知y关于x的一次函数y= kx-3k+1的图象为直线l.
（1）若函数图象过坐标原点，求k的值.
（2）证明：无论k为何值，直线l总经过点 (3，1).
（3）当m≤x≤m+3时，函数最大值与最小值的差为6，求l的解析式.
【答案】（1）解：由条件可知-3k+1=0，解得
（2）证明：∵y=kx-3k+1=(x-3)k+1，当x=3时，y=1，
∴无论k为何值，直线l总经过点(3，1)
（3）解：当k>0时，y随x增大而增大，
∴当m≤x≤m+3时，x=m，y=km-3k+1为最小值，x=m+3，y=k(m+3)-3k+1=km+1为最大值
由条件可知(km+1)-(km-3k+1)=3k=6，
解得：k=2
直线l的解析式为y=2x-5；
当k<0时，y随x增大而减小，
∴当m≤x≤m+3时，x=m，y=km-3k+1为最大值，x=m+3，y=k(m+3)-3k+1=km+1为最小值
由条件可知(km-3k+1)-(km+1)=-3k=6
解得：k=-2
直线l的解析式为y=-2x+7
综上，l的解析式为y=2x-5或y=-2x+7
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【分析】(1)将原点坐标代入解析式即可求出k值；
(2)将函数解析式变形为y=(x-3)k+1，观察可知图象过定点 (3，1) ；
(3)利用一次函数的增减性，分情况求出k值，从而得到两种可能的解析式。
21．（2025八上·杭州月考）如图， 在△ABC中， ∠C=90°， AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB交AB于E， F在AC上， 且BD=DF.
（1） 求证： CF=EB；
（2） 若CD=4， DB=5， 求AF的长.
【答案】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC
∵BD=DF
∴Rt△CDF≌Rt△EDB
∴CF=EB
（2）解：∵CD=4，DB=5
∴BC=CD+BD=9
由(1)可知DE=DC=4，
∴CF=EB==3
在Rt△ADC和Rt△ADE中
∴Rt△ADC≌Rt△ADE，
∴AC=AE
设AF为x，则AC=AE=x+3，AB=AE+BE=x+3+3。
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，
即(x+3)2+81=(x+3+3)2，
解得x=9，
∴AF=9
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】(1)利用角平分线的性质证明DE=DC，再由HL判定可证Rt△CDF≌Rt△EDB，从而得到结论；
(2)结合(1)求出CF，由HL判定证明Rt△ADC≌Rt△ADE得到AC=AE，再利用勾股定理建立方程求解。
22．（2025八上·杭州月考）宁陵酥梨产自河南省宁陵，最大可达千克以上．成熟后的酥梨酥脆多汁、香甜味美、金黄发亮，是畅销海内外的佳品珍果．某水果商购进酥梨产品进行销售，酥梨鲜果以元/千克的成本价购进，并以元/千克的价格出售．梨膏以元/千克的成本价购进，并以元/千克的价格出售．请结合题意回答下列问题：
（1）该商店购进酥梨鲜果和梨膏共千克，花费元，则购进酥梨鲜果和梨膏各多少千克？
（2）该水果商店两天售完所有酥梨鲜果和梨膏后，决定再购进共千克的酥梨鲜果和梨膏（所购进梨膏重量不高于酥梨鲜果重量的倍），则当该水果商店购进多少千克酥梨鲜果时，才能使利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解： 设购进酥梨鲜果千克，梨膏千克．
根据题意，得：
解得：
答：购进酥梨鲜果千克，梨膏千克．
（2）解： 设购进千克酥梨鲜果，则购进梨膏千克，全部售出后获得的利润为元．
购进梨膏重量不高于酥梨鲜果重量的倍，
解得：
根据题意，得：
即：
随的增大而减小．
当取最小值时，取得最大值，最大值为：（元）
答：当该水果商店购进千克酥梨鲜果时，利润最大，最大利润是元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题；一次函数的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设购进酥梨鲜果千克，梨膏千克，根据题意列方程组解答即可；
（2）设购进千克酥梨鲜果，根据“梨膏重量不高于酥梨鲜果重量的倍”列不等式求出的取值范围，然后“列w关于m的函数关系式，利用函数的增减性解题．
23．（2025八上·杭州月考）已知：如图，平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图象分别与x轴，y轴交于点A， B， 点C的坐标是 (3， 0) .
（1）求直线 BC 的函数表达式..
（2）若直线AB上有一点 P，且 求点 P 的坐标.
【答案】（1）解：∵一次函数y=2x-1的图象与y轴交于点B，当x=0时，y=-1，
∴B（0，-1）
设直线BC的函数表达式为y=kx-1（k≠0），
把C（3，0）代入y=kx-1，
解得k=
∴直线 BC的函数表达式为y=
（2）解：∵一次函数y=2x-1的图象与x轴交于点A，
当y=0时x=，
∴A(，0).
设AB上有一点P（x，2x-1）使得S△PBC=2S△ABC，如图
由题意S△PAC=3S△ABC，得
解得yP=-3，
则点P（-1，-3）；
由题意S△P1AC=S△ABC，得，
解得yp1=1，则点P1（1，1）.
综上所述，点P的坐标为（-1，-3）或（1，1）
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】(1)先求出点B的坐标，然后用待定系数法即可求出直线BC的函数表达式；
(2)先求出点A的坐标，再结合S△PBC=2S△ABC，利用几何关系求得点P的纵坐标，即可求得点P坐标.
24．（2025八上·杭州月考）
（1）【探索发现】
如图1， 在△ABC中， D为线段BC的中点， 延长AD到点E， 使AD=DE， 连接CE. 证明：△ABD≌△ECD.
（2）【初步应用】
如图2， AD是△ABC边 BC上的中线， E是AC上一点， BE交AD于F， 若EF=EA， BF=8，CE=5， 求EF的长度.
（3）【拓展提升】
如图3， 在△ABC中， D是BC的中点， ∠A=45°， E、F分别在AB、AC上， DE⊥DF， 若BE=2， EF=4， 求CF的长.
【答案】（1）证明：∵D为线段BC的中点，
∴BD=CD
在△ABD和△ECD中，
∴△ABD≌△ECD(SAS)
（2）解：如图，延长AD到点G，使DG=AD，连结BG，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD
在△ADC和△GDB中，
∴△ADC≌△GDB(SAS)，
∴BG=AC=CE+AE=5+AE，∠DAC=∠G
∵EF=AE，
∴∠DAC=∠AFE，
∴∠G=∠AFE=∠BFG，
∴BG=BF=8，
∴BG=5+AE=8，
∴AE=3，
∴EF=AE=3
（3）解：如图，延长FD至点G，使得DG=DF，连结BG，EG，作EH⊥BG交GB的延长线于点H
∵D是BC的中点，
∴CD=BD。
在△CDF和△BDG中，
∴△CDF≌△BDG(SAS)，
∴BG=CF，∠C=∠DBG，
∴GH//AC
∵∠A=45°，
∴∠HBE=∠A=45°。
∵BE=2，
∴EH=BH=。
∵DE⊥FG，DF=DG，
∴EF=EG=4
∵EH2+HG2=EG2，
∴HG=，
∴BG=HG-BH=，
∴CF=
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用SAS判定即可证明结论；
(2)构造全等三角形，利用其性质进行等量代换进而求解；
(3)构造全等三角形，利用其性质结合勾股定理可求EH，BH，进而求出CF。
1 / 1浙江省杭州市公益中学2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题
一、选择题(本大题有10小题，每小题3分，共30分)
1．（2025八上·杭州月考）剪纸是中国的民间艺术，剪纸方法很多，一种剪纸方法如图所示.
下面的四个图案，不能用上述方法剪出的是(　　)
A． B．
C． D．
2．（2025八上·杭州月考）已知命题：“三角形三边中垂线的交点一定不在三角形的外部.”小冉想举一反例说明它是假命题，则下列选项中符合要求的反例是(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
3．（2025八上·杭州月考） 在平面直角坐标系中， 若点(-1， y1) ， (-2， y2) ， (-3， y3) 都在直线y=-2x+b上， 则y1， y2， y3的大小关系是(　　)
A．y1>y2>y3 B．y3>y2>y1 C． D．y2>y3>y1
4．（2025八上·杭州月考） 已知△ABC， 下列尺规作图的方法中， 能确定∠BAD=∠ABC的是(　　)
A． B．
C． D．
5．（2025八上·杭州月考）已知某山区的气温与海拔高度之间满足一次函数关系，某气象站测得该山区气温随海拔高度变化的部分数据如下表，根据表格中的数据，下列说法错误的是(　　)
海拔高度 (x) / km 0 1 2 3 4 　
气温 (y) /℃ 17 11 5 - 1 -7 　
A．海拔每上升1km，气温下降6℃
B．y与x之间的函数关系式为.y= - 6x+17
C．随着x的增大，y在不断地减小
D．当气温为-19℃时，海拔高度是7km
6．（2025八上·杭州月考） 如图， 在△ABC中， CF⊥AB于F， BE⊥AC于 E， M为BC的中点， EF=8，BC=20， △EFM的周长是 (　　)
A．26 B．28 C．30 D．32
7．（2025八上·杭州月考）已知关于x的不等式3x﹣m<1的最大整数解为3，则m的取值范围是(　　)
A．88．（2025八上·杭州月考）一次函数y=kx+b的图象如图所示，则一次函数y=bx-k的图象大致是(　　)
A． B．
C． D．
9．（2025八上·杭州月考）人工智能的发展使得智能机器人送餐成为一种时尚.如图，某餐厅的机器人小米和小华从出餐口出发，准备给相距450cm的客人送餐，小米比小华先出发，且速度保持不变，小华出发一段时间后将速度提高到原来的2倍.若小米行进的时间为x(单位：S)，小米和小华行进的路程y. y(单位： cm)与x之间的函数图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A．小米的速度为10cm/s
B．小华提速后的速度为28cm/s
C．小米比小华先出发14s
D．小华比小米提前 15s 到达客人位置
10．（2025八上·杭州月考） 如图， 在Rt△ABC中， ∠C=90°， AD平分∠CAB， BE平分∠ABC， AD， BE相交于点F，若AF=4， EF= ， 则AC= (　　)
A．1 B．2 C． D．
二、填空题(本大题共有6小题，每题3分，共18分)
11．（2025八上·杭州月考）在平面直角坐标系中，点与点B关于y轴对称，则点B的坐标是　 　．
12．（2025八上·杭州月考）某村要修建一条水渠，如图，水渠从A村沿北偏东55°方向到B村，从B村沿北偏西30°方向到C村，然后从C村到E村.若CE与AB方向一致，则∠ECB= 　 　.
13．（2025八上·杭州月考）等腰三角形的一个内角为80°，这个等腰三角形底角的度数为　 　.
14．（2025八上·杭州月考）学校某社团为了勤工俭学，每天固定购入100份某品牌报纸，每份进价0.8元，然后以每份1.5元的价格出售.如果报纸卖不完可退回报社，退回的报纸只按进价的60%退款给该社团.某一天该社团卖出的报纸为x份，所获得的利润为y元，则y与x的关系式为　 　.
15．（2025八上·杭州月考）在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记.仕女佳人争踣，终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇，算Br出索长有几 ”译文为：如图，秋千OA 静止时踏板离地面CD的距离为1尺，将它往前面推送两步(即CD的长为10尺)，秋千的踏板B就和人一样高，已知这个人的身高为5尺，则绳索 OA 的长度为　 　尺.
16．（2025八上·杭州月考）如图，在平面直角坐标系中，A(1，0)，B(5，0)，点P为y轴正半轴上的一个动点，以线段PA为边在 PA的右上方作等腰直角△APQ，∠PAQ=90°，连接QB，在点P 运动的过程中，线段QB长度的最小值为　 　.
三、解答题 (本大题共8个小题，共72分)
17．（2025八上·杭州月考）解一元一次不等式(组)：
（1） 3x-5<2 (2+3x)
（2）解不等式组
18．（2025八上·杭州月考）风筝起源于东周春秋时期，距今已有两千多年的历史.2006年5月20日，风筝制作技艺列入国家第一批非物质文化遗产名录.图1是制作风筝的简易结构图，图2是风筝的骨架示意图. 在制作骨架的过程中， 要保证OA=OB， AB⊥CD， 请证明△ADC≌△BDC.
19．（2025八上·杭州月考）如图， △ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格中， 已知A(3，3)，B(-3， - 3)，C(1， - 3) .
（1） 若△ABP≌△ABC， △ABP的顶点P在第四象限内， 且不与C重合，请画出△ABP的图形，并求出点P 的坐标是.
（2） 求△ABC边AC 上高的长.
20．（2025八上·杭州月考）已知y关于x的一次函数y= kx-3k+1的图象为直线l.
（1）若函数图象过坐标原点，求k的值.
（2）证明：无论k为何值，直线l总经过点 (3，1).
（3）当m≤x≤m+3时，函数最大值与最小值的差为6，求l的解析式.
21．（2025八上·杭州月考）如图， 在△ABC中， ∠C=90°， AD是∠BAC的平分线， DE⊥AB交AB于E， F在AC上， 且BD=DF.
（1） 求证： CF=EB；
（2） 若CD=4， DB=5， 求AF的长.
22．（2025八上·杭州月考）宁陵酥梨产自河南省宁陵，最大可达千克以上．成熟后的酥梨酥脆多汁、香甜味美、金黄发亮，是畅销海内外的佳品珍果．某水果商购进酥梨产品进行销售，酥梨鲜果以元/千克的成本价购进，并以元/千克的价格出售．梨膏以元/千克的成本价购进，并以元/千克的价格出售．请结合题意回答下列问题：
（1）该商店购进酥梨鲜果和梨膏共千克，花费元，则购进酥梨鲜果和梨膏各多少千克？
（2）该水果商店两天售完所有酥梨鲜果和梨膏后，决定再购进共千克的酥梨鲜果和梨膏（所购进梨膏重量不高于酥梨鲜果重量的倍），则当该水果商店购进多少千克酥梨鲜果时，才能使利润最大？最大利润是多少？
23．（2025八上·杭州月考）已知：如图，平面直角坐标系中，一次函数y=2x-1的图象分别与x轴，y轴交于点A， B， 点C的坐标是 (3， 0) .
（1）求直线 BC 的函数表达式..
（2）若直线AB上有一点 P，且 求点 P 的坐标.
24．（2025八上·杭州月考）
（1）【探索发现】
如图1， 在△ABC中， D为线段BC的中点， 延长AD到点E， 使AD=DE， 连接CE. 证明：△ABD≌△ECD.
（2）【初步应用】
如图2， AD是△ABC边 BC上的中线， E是AC上一点， BE交AD于F， 若EF=EA， BF=8，CE=5， 求EF的长度.
（3）【拓展提升】
如图3， 在△ABC中， D是BC的中点， ∠A=45°， E、F分别在AB、AC上， DE⊥DF， 若BE=2， EF=4， 求CF的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】剪纸问题
【解析】【解答】解：依题意剪出的图形既是轴对称图形，也是中心对称图形。
A.该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，A不符合题意；
B.该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，B不符合题意；
C.该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，C符合题意；
D.该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，D不符合题意.
故答案为：C
【分析】根据条件判断所剪图形的特征，再逐项核对是否具有相同特征。
2．【答案】D
【知识点】举反例判断命题真假；线段垂直平分线的应用
【解析】【解答】解：∵钝角三角形的三边中垂线的交点在三角形外，
∴ 说明“三角形三边中垂线的交点一定不在三角形的外部”是假命题，则符合要求的反例是钝角三角形。
故答案为：D.
【分析】举反例证明一个命题是假命题，举出的例子需要满足原命题的已知条件，但不满足原命题的结论，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】B
【知识点】一次函数的性质
【解析】【解答】解：∵-2<0
∴函数y=-2x+b图象向左倾斜
∴y随x增大而减小
∵-1>-2>-3
∴y1故答案为：B
【分析】根据一次函数的系数与图象的关系判断直线的增减性，利用该性质即可求解。
4．【答案】B
【知识点】尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵ ∠BAD=∠ABC
∴DA=DB
∴点D在线段AB的垂直平分线上
故答案为：B
【分析】根据题意判断点D应该在线段AB的垂直平分线上时解题关键。
5．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数的性质
【解析】【解答】观察表格里的数据易知A，C正确；
设，将(0，17)，(1，11)代入得
解得k=-6，b=17
∴y与x之间的函数关系式为y=-6x+17，B正确；
令y=-19得-6x+17=-19，解得x=6，D错误。
故答案为：D
【分析】通过观察并利用待定系数法求一次函数解析式可求解。
6．【答案】B
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵ CF⊥AB ， BE⊥AC
∴△BCF与△BCE为直角三角形
∵ M为BC的中点
∴
∴
即 △EFM的周长是 28.
故答案为：B
【分析】利用直角三角形斜边上的中线等于斜边一半可以求出FM，EM的长度，从而可求△EFM的周长。
7．【答案】A
【知识点】一元一次不等式的含参问题
【解析】【解答】解：解不等式得
依题意
解得 8故答案为：A
【分析】首先解含参不等式，根据解集的最大整数为3得到关于m的不等式组并求解。
8．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：由图象可知k<0，b>0
∴一次函数 y=bx-k 的图象向右倾斜，与y轴交于正半轴
故答案为：C
【分析】根据 一次函数y=kx+b的图象倾斜方向、与y轴交于正半轴判断k，b的符号，从而可知一次函数 y=bx-k 的图象的倾斜方向以及与y轴交于哪个半轴。
9．【答案】A
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：小米的图象从x=0开始，小华的图象从x=15开始，即小米比小华先出发15s，C错误；
∵当x=15时，y2=0，当x=17时，y2=30
∴小华提速前的速度是
由条件可知小华提速后的速度为30cm/s，B错误；
∴提速后小华行走所用时间为
∴m=17+14=31s
∴
∴小米的速度为，A正确；
∵
∴小华比小米提前14s到达客人位置，D错误。
故答案为：A
【分析】本题需要根据函数图象所提供的信息，分别计算小米和小华的速度、出发时间以及到达客人位置的时间等，进而对各个选项进行判断。
10．【答案】D
【知识点】三角形的面积；勾股定理；等腰直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：如图，过点E作于G，过点F作于H。
∵ AD平分∠CAB， BE平分∠ABC
∴
∵
∴
∴
∴
在Rt中，
∴FG=EG=1
∵AF=4
∴AG=AF-FG=3
由勾股定理得
∵ BE平分∠ABC，，
∴EF=EC
∵
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∴
在Rt中，
∴
故答案为：D
【分析】先根据角平分线的性质和三角形内角和定理求出的度数，然后通过丛辅助线构造直角三角形，利用等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AE的长度，从而求解。
11．【答案】
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵ 点与点B关于y轴对称，
∴ 点B的坐标是.
故答案为：.
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即可得到答案.
12．【答案】95°
【知识点】两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补
【解析】【解答】解：如图
根据题意得
∴
由条件可知
∵
∴
∴
故答案为：95°
【分析】利用方向角和平行线的性质求解。
13．【答案】50°或80°
【知识点】等腰三角形的性质；分类讨论
【解析】【解答】解：①当80°的角为顶角时，底角度数为；
②当80°的角为底角时，该等腰三角形的底角就是80°。
综上所述，这个等腰三角形的底角度数为50°或80°
故答案为：50°或80°
【分析】需分两种情况讨论，利用三角形内角和定理以及等腰三角形的底角相等的性质求解。
14．【答案】y=1.02x-32
【知识点】列一次函数关系式
【解析】【解答】解：根据题意得y=(1.5-0.8)x-40%×0.8×(100-x)=1.02x-32
故答案为：y=1.02x-32.
【分析】先计算卖出报纸的收入和退回报纸的退款，再用总收入减去总成本(购入成本减去退回退款)得到利润。
15．【答案】14.5
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【解答】解：如图，过点B作BE⊥OA
由题意得BC=ED=5，AD=1，CD=10，
∴ AE=4，
设OA=OB=x，则OE=x-4，
在Rt△OBE中，由勾股定理得OB2=OE2+BE2，
即x2=102+(x-4)2，
解得x=14.5，
∴OA=14.5，
即绳索OA的长度为14.5，
故答案为：14.5.
【分析】构造直角三角形，利用勾股定理建立方程求解。
16．【答案】1
【知识点】旋转的性质；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：如图，将△ABQ绕点A逆时针旋转90°到△ACP，连接BC，
由旋转可知△ABQ≌△ACP，
∴AB=AC，BQ=PC，∠PAC=∠QAB，
∵∠PAQ=∠PAC+∠CAQ=90°，
∴∠BAC=∠QAB+∠CAQ=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，A(1，0)，B(5，0)，
∴AB=4，
∴C(1，4)，即C是定点，
∴当PC最小时，QB最小，
∴当PC⊥y轴时，PC最小，最小值为1
线段QB长度的最小值为1.
故答案为：1.
【分析】利用旋转的性质进行等量代换，再结合点到直线的距离求解。
17．【答案】（1）解：3x-5<2(2+3x)
3x-5<4+6x
3x-6x<4+5
-3x<9
x>-3
（2）解：解不等式
去分母得：x-3+6≥4x
移项得：x-4x≥3-6，
合并同类项得：-3x≥-3，
系数化为1得：x≤1。
解不等式4(x+2) >x+2，
去括号得：4x+8>x+2，
移项得：4x-x>2-8，
合并同类项得：3x> 6
系数化为1得：x>-2。
∴不等式组的解集为-2【知识点】解一元一次不等式；解一元一次不等式组
【解析】【分析】(1)先去括号，再移项合并同类项，最后系数化为1求出解集；
(2)分别求出每个不等式的解集，再找出它们的公共部分，从而得到不等式组的解集。
18．【答案】证明：∵OA=OB，AB⊥CD，
∴CD垂直平分AB，
∴AC=BC，DA=DB，
在△ADC和△BDC中，
∴△ADC≌△BDC（SSS）
【知识点】线段垂直平分线的判定；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】先根据OA=OB和AB⊥CD证明CD是AB的垂直平分线，得到AC=BC、DA=DB，再利用SSS判定定理证明△ADC≌△BDC.
19．【答案】（1）解：如图，△ABP即为所求，
由图可知点P的坐标是(3，-1)；
（2）解：AC=，
设AC边上的高为h，则S△ABC=，
解得h=
∴△ABC边AC上的高为
【知识点】三角形的面积；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)利用全等三角形对应边的关系找到点P的位置，顺次连接三个顶点即可画出 △ABP 并求出点P坐标；
(2)利用面积法求解。
20．【答案】（1）解：由条件可知-3k+1=0，解得
（2）证明：∵y=kx-3k+1=(x-3)k+1，当x=3时，y=1，
∴无论k为何值，直线l总经过点(3，1)
（3）解：当k>0时，y随x增大而增大，
∴当m≤x≤m+3时，x=m，y=km-3k+1为最小值，x=m+3，y=k(m+3)-3k+1=km+1为最大值
由条件可知(km+1)-(km-3k+1)=3k=6，
解得：k=2
直线l的解析式为y=2x-5；
当k<0时，y随x增大而减小，
∴当m≤x≤m+3时，x=m，y=km-3k+1为最大值，x=m+3，y=k(m+3)-3k+1=km+1为最小值
由条件可知(km-3k+1)-(km+1)=-3k=6
解得：k=-2
直线l的解析式为y=-2x+7
综上，l的解析式为y=2x-5或y=-2x+7
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征；分类讨论
【解析】【分析】(1)将原点坐标代入解析式即可求出k值；
(2)将函数解析式变形为y=(x-3)k+1，观察可知图象过定点 (3，1) ；
(3)利用一次函数的增减性，分情况求出k值，从而得到两种可能的解析式。
21．【答案】（1）证明：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DC⊥AC，
∴DE=DC
∵BD=DF
∴Rt△CDF≌Rt△EDB
∴CF=EB
（2）解：∵CD=4，DB=5
∴BC=CD+BD=9
由(1)可知DE=DC=4，
∴CF=EB==3
在Rt△ADC和Rt△ADE中
∴Rt△ADC≌Rt△ADE，
∴AC=AE
设AF为x，则AC=AE=x+3，AB=AE+BE=x+3+3。
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2+BC2=AB2，
即(x+3)2+81=(x+3+3)2，
解得x=9，
∴AF=9
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】(1)利用角平分线的性质证明DE=DC，再由HL判定可证Rt△CDF≌Rt△EDB，从而得到结论；
(2)结合(1)求出CF，由HL判定证明Rt△ADC≌Rt△ADE得到AC=AE，再利用勾股定理建立方程求解。
22．【答案】（1）解： 设购进酥梨鲜果千克，梨膏千克．
根据题意，得：
解得：
答：购进酥梨鲜果千克，梨膏千克．
（2）解： 设购进千克酥梨鲜果，则购进梨膏千克，全部售出后获得的利润为元．
购进梨膏重量不高于酥梨鲜果重量的倍，
解得：
根据题意，得：
即：
随的增大而减小．
当取最小值时，取得最大值，最大值为：（元）
答：当该水果商店购进千克酥梨鲜果时，利润最大，最大利润是元．
【知识点】一元一次方程的实际应用-盈亏问题；一次函数的实际应用-销售问题；二元一次方程组的实际应用-方案选择题问题
【解析】【分析】（1）设购进酥梨鲜果千克，梨膏千克，根据题意列方程组解答即可；
（2）设购进千克酥梨鲜果，根据“梨膏重量不高于酥梨鲜果重量的倍”列不等式求出的取值范围，然后“列w关于m的函数关系式，利用函数的增减性解题．
23．【答案】（1）解：∵一次函数y=2x-1的图象与y轴交于点B，当x=0时，y=-1，
∴B（0，-1）
设直线BC的函数表达式为y=kx-1（k≠0），
把C（3，0）代入y=kx-1，
解得k=
∴直线 BC的函数表达式为y=
（2）解：∵一次函数y=2x-1的图象与x轴交于点A，
当y=0时x=，
∴A(，0).
设AB上有一点P（x，2x-1）使得S△PBC=2S△ABC，如图
由题意S△PAC=3S△ABC，得
解得yP=-3，
则点P（-1，-3）；
由题意S△P1AC=S△ABC，得，
解得yp1=1，则点P1（1，1）.
综上所述，点P的坐标为（-1，-3）或（1，1）
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数中的动态几何问题
【解析】【分析】(1)先求出点B的坐标，然后用待定系数法即可求出直线BC的函数表达式；
(2)先求出点A的坐标，再结合S△PBC=2S△ABC，利用几何关系求得点P的纵坐标，即可求得点P坐标.
24．【答案】（1）证明：∵D为线段BC的中点，
∴BD=CD
在△ABD和△ECD中，
∴△ABD≌△ECD(SAS)
（2）解：如图，延长AD到点G，使DG=AD，连结BG，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD
在△ADC和△GDB中，
∴△ADC≌△GDB(SAS)，
∴BG=AC=CE+AE=5+AE，∠DAC=∠G
∵EF=AE，
∴∠DAC=∠AFE，
∴∠G=∠AFE=∠BFG，
∴BG=BF=8，
∴BG=5+AE=8，
∴AE=3，
∴EF=AE=3
（3）解：如图，延长FD至点G，使得DG=DF，连结BG，EG，作EH⊥BG交GB的延长线于点H
∵D是BC的中点，
∴CD=BD。
在△CDF和△BDG中，
∴△CDF≌△BDG(SAS)，
∴BG=CF，∠C=∠DBG，
∴GH//AC
∵∠A=45°，
∴∠HBE=∠A=45°。
∵BE=2，
∴EH=BH=。
∵DE⊥FG，DF=DG，
∴EF=EG=4
∵EH2+HG2=EG2，
∴HG=，
∴BG=HG-BH=，
∴CF=
【知识点】勾股定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】(1)利用SAS判定即可证明结论；
(2)构造全等三角形，利用其性质进行等量代换进而求解；
(3)构造全等三角形，利用其性质结合勾股定理可求EH，BH，进而求出CF。
1 / 1

展开更多......

收起↑