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凯里一中 2026 届高三模拟考试(黄金II卷) 数学
注意事项:
1. 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、班级、座位号在答题卡上填写清楚.
2. 每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑, 如需 改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
3. 考试结束后, 请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150 分, 考试用时 120 分钟. 一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 已知复数 ( 为虚数单位),则 在复平面对应的点位于 ( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 设全集 ，若 ，则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
3. 在平面直角坐标系中,“ ” 是 “方程 表示双曲线” 的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 已知向量 ，向量 在 上的投影向量为 ，则 ( )
A. B. -2 C. D.
5. 为深入学习贯彻习近平新时代中国特色社会主义思想, 某校于 2026 年 1 月组织高一、高二、高三三个年级共 400 名学生参加“青春心向党·奋进新征程”党史知识竞赛. 如图, 结合参赛学生的年级分布饼图与高一学生的排名分布频率条形图, 下列命题中错误的是() 400名参赛学生的年级分布饼图
高一学生竞赛排名的频率分布条形图
A. 这 400 名学生中, 高一人数比高二人数多 40
B. 成绩前 200 名的高一学生有 90 人
C. 成绩前 100 名的学生中, 高三学生人数不超过 64
D. 成绩第 101 名到第 200 名的学生中, 高二人数比高一人数多
6. 已知函数 的最小正周期为 ，点 是其图象的一个对称中心，则 的最小值为( )
A. B. C. D.
7. 已知正四棱台的上底面边长为 2 ，下底面边长为 4 ，侧棱长为 2 ，则该正四棱台的外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
8. 已知关于 的方程 有三个不等的实根 ,且 ,则实数 的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多项选择题 (本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分. 在每小题给出的选项 中, 有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分)
9. 已知 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，下列结论正确的是( )
A. 若 ,则 B. 若 ,则
C. 若 ,则 D. 若 ,则
10. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，点 在椭圆 内， 点 在椭圆 上，则()
A. 的最小值为
B. 椭圆 的离心率的取值范围是
C. 存在点 使得
D. 当椭圆 的离心率为 时， 的最大值为 8
11. 已知 是定义在 上的奇函数,且当 时, ,则( )
A. 当 时,
B. 曲线 在 处的切线过点
C. 函数 有 5 个零点
D. 若对任意 恒成立，则实数 的取值范围是
三、填空题(本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分)
12. 的展开式中的常数项为_____.
13. 在 中,内角 的对边分别为 ,其面积 ,则 的最大值为_____.
14. 已知直线 ,若圆 上存在点与 关于直线 对称，则实数 的取值范围为_____.
四、解答题 (本题共 5 小题, 共 77 分, 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤)
15. 已知数列 满足 ，且 .
( 1 )求证数列 是等差数列，并求 的通项公式；
(2)求 的前 项和 .
16. 某商场店庆抽奖规则:不透明容器内有 6 个颜色、大小均相同的小球，分别标有“五”“折”
各 1 个，“钜”“惠”共 4 个. 每位观众仅抽 1 次，一次性抽取 2 个球:若抽到“五”和“折”，获 5 折券; 若抽到“钜”和“惠”，获 7 折券. 已知获 7 折券的概率是获 5 折券概率的 3 倍.
(1)求标有“惠”的小球个数；
(2)若某观众已抽到 1 个“五”球，求其获得 5 折券的概率；
(3)现有三位观众独立参加抽奖，求获得 7 折券的人数 的分布列与数学期望.
17. 如图,在三棱柱 中, .
(1)证明: ；
(2)若 ，在线段 上是否存在点 ，使得二面角 的余弦值为 若存在,求 的值; 若不存在,请说明理由.
18. 已知抛物线 上一点 到焦点的距离为 2 . 点 在直线 上,过点 作抛物线 的两条切线 ,切点分别为 为坐标原点.
(1)求抛物线 的方程；
(2)若 ，且垂足为 ，求证；存在定点 ，使得 为定值；
(3)求 面积的最小值.
19. 已知函数 ,其中 .
(1)证明: 当 时, ;
(2)当 时，证明:对任意 ；
(3)若 是 的极小值点,求实数 的取值范围.
1. D
化简得 对应的复平面的点为 ,在第四象限.
故选: D
2. B
解 得 或 ,则集合 ,
则 ,因为 ,所以实数 的取值范围是 ,
故选: B.
3. A
若 表示双曲线,则有 ,解得 ,
易得 是 的充分不必要条件,
因此 “ ” 是 “方程 表示双曲线” 的充分不必要条件.
故选: A.
4. D
由题意 在 上的投影向量为 ,
因为 ,则 ,又 ,
则 .
故选: D.
5. D
由饼图可知,高一人数比高二人数多 选项正确;
由条形图可知,成绩前 200 名中高一人数为 人, B 选项正确;
成绩前 100 名的学生中,高一人数为 人,
故高三人数不超过 人, 选项正确;
成绩第 101 名到第 200 名的学生中,高一人数为 人,
故高二最多有 人,因此高二人数比高一少, 选项错误,
故选:D
6. A
由 ,得 ,令 ,则 ,容易验证当 时, 最小,此时 .
故选: A
7. C
如图所示,正四棱台下底面 对角线交点为 ,上底面 对角线交点为 ,
因为正四棱台下底面边长为 4,上底面边长为 2,侧棱长为 2,
可得上、下底面正方形的对角线长为 和 ,可得 ,
根据几何体的对称性,可得正四棱台 的外接球的球心在线段 上或在其延长线上,
设外接球的球心为 ,球心到下底面的距离为 ,外接球的半径为 ,
因为正四棱台的高为 ,
所以若球心在线段 上,则 ,解得 ,矛盾,
若球心在线段 的延长线上,则 ,解得 ,
所以 ,
所以该正四棱台的外接球的表面积为 .
故选: C.
8. B
设 ,则 ,
由题可知 和 是函数 的极值点.
因 ,故需 ,
即有 ,解得 .
另一方面,设 ,
展开对比系数容易得到 ,
于是 ,
解得 ,
故 ,
故选: B
9. BD
对于选项 ,若 ,则 与 相交或平行,所以 错误;
对于选项 B，由两个相交平面都和第三个平面垂直，那么它们的交线与这个平面垂直，所以 B 正确;
对于选项 ,若 有可能在 内,故 错误;
对于选项 ,若 ,根据线面平行的性质定理和判定定理,
可以判断 ,所以 正确.
故选: BD
10.
: 点 在椭圆 上， ,
当且仅当 时,即 时等号成立, A 选项正确;
点 在椭圆 内, ,即 ,
解得 ,
所以椭圆 的离心率的取值范围是 选项正确;
当点 位于椭圆 上下顶点时, 最大,
此时 ,
存在 选项正确;
由 ,
选项错误.
故选: ABC
11. BCD
对于 ,当 时, ,
选项错误;
对于 ,当 时, ,
又 在 处的切线方程为 ,
令 ,则 ,切线过点 选项正确:
对于 ,由 可知, 在 上单减, 上单增,
当 时, ,又 ,
在 上有且仅有 2 个零点,
又 是定义在 上的奇函数, 在 上有且仅有 2 个零点,
又 ,所以函数 在 上有 5 个零点, 选项正确;
对于 ,当 时,由 ,得 ,
设 ,则 ,
容易得到当 时, 取得最小值 选项正确,
故选: BCD
12. 15
的展开式通项公式为 ,
令 ,解得 ,
所以常数项为 .
故答案为: 15
13.
联立 ,得 ,
又因为 ,则有 ,
因为 ,所以有 ,即 ,
因为 ,所以 ,
因为 ,则 ,
则 ,
由辅助角公式可得 ,其中 ,
因为 ,所以 ,
当 时 取最大值 1,此时 取最大值 ,
故答案为: .
14.
由题, ,联立
解得 直线 过定点 ,
设点 关于直线 对称点为 ,则 ,
点 在以点 为圆心,2 为半径的圆上.
题目条件等价于: 圆 与圆 有公共点,即这两个圆相交或相切,
,解得 . 所以 的取值范围为 .
故答案为:
15. (1) 是公差为 1,首项为 3 的等差数列,证明见解析,
(2)
(1)由 得 ,
所以 ,即 ,
所以 是公差为 1,首项为 的等差数列,
所以 ,
则 .
(2)设 ，
则 ,
则 ,
所以 的前 项和 .
16.(1)设标有“惠”的小球有 个,则“钜”的小球有 个, 为正整数,且 ,
从 6 个球中一次性抽取 2 个的总方法数: ,
获 5 折券 (抽到“五”和“折”) 的方法数: ,概率为 ,
获 7 折券 (抽到“钜”和“惠”) 的方法数: ,概率为 ,
由题意 ,即: ,
化简得 ,解方程 ,得 或 ,
因此，标有 “惠”的小球个数为 1 或 3 ；
(2)已抽到“五”球后，剩余5个球，其中“折”球有 1 个，要获得 5 折券，需抽到“折”球，故概率为: ；
(3)由第一问可知，“惠”的个数有两个解:1或3；
当“惠”=1，“钜”=3 时，单次抽奖获 7 折券的概率为 ,
当“惠” ，“钜” 时，单次抽奖获 7 折券的概率为 ，
两种情况下,单次抽奖获得 7 折券的概率恰好都是 ,
三位观众独立获得 7 折券的人数服从二项分布,故 ,
则 ,
分布列:
0 1 2 3
64 48 125 1 125
数学期望: .
17.( 1 )取 的中点 ，连接 ，如图:
因为 ， 是 的中点，所以 ，
在 中， ， ，所以 是等边三角形，
因为 是 的中点，所以 ，
因为 平面 ,
所以 平面 ,
又因为 平面 ,所以 .
(2)因为 ，易得 ，且有 ，则 ， 即 ,则 两两垂直,
以 为原点， 为 轴正方向建立空间直角坐标系,如图:
易得 ,
在线段 上取点 ,设 ,即 ,
则 ,
平面 的法向量为 ,
设平面 的法向量为 ,
则有 ,不妨设 ,则 ,
由题意得 ，解得 或 (舍)，
故存在点 满足条件,且 .
18.
(2)存在定点 ，使得 为定值
(3)4
(1) 由题意得抛物线的方程为 ,焦点为 ,准线方程为 , 点 在抛物线上,故 ,解得 , 点 到焦点的距离为 2,则有 ,即 ,解得 , 因此抛物线的方程为 .
(2)点 在直线 上，设点 ，
过 作抛物线的切线,切点为 ,
抛物线方程为 ,即 ,则 ,
所以有切线 ,切线 ,
因为点 在切线上,所以对于 有 ,
这表明 满足直线方程 ,
则切点弦 的方程为 ,
当 时,过原点且垂直于 的直线 的斜率为 ,方程为 ,
解垂足 坐标,联立 ,解得 ,
消去 并整理得 ,
当 时,点 满足上述方程,而点 满足上述方程,此时直线 ,不符合题意,
因此点 的轨迹以 为圆心， 为半径的圆(除点 外)，
综上,存在定点 ,使得 为定值 .
(3)点 到直线 的距离 ，
联立 得 ,则有 ,
则 ,
则 ,
因为 ,所以 ,
所以 ，
设 ,则 ,
则 面积的最小值为 .
19.(1) 设 ,则 , 所以 在 上单调递增,当 时, , 即 .
(2)设 ，
因为当 时, ,由 (1) 可知 ,
所以
,
所以 在 上单调递增,即 ,
即 ,得证.
(3)由题意得 ,
令 ,
(i) 当 ,即 时,取 ,
所以,当 时, ,结合 (1) 可知
函数 的定义域为 ,关于原点对称,
因为 ,
所以函数 是偶函数,
故当 时, ,
因为 ,所以 是 的极小值点,符合题意;
(ii) 当 时,因为 ,且 在区间 上连续可导, 又因为 ,
所以函数 是定义在 上的偶函数,
故存在 ,使得对任意 ,都有 ,
所以函数 在区间 上单调递减,
当 时, ,当 时, ,
所以 是 的极大值点,不符合题意;
所以实数 的取值范围是 .

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