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四川省宜宾市江安县2025年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生诊断考试(一)数学试题
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．）
1．（2025·江安模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是2，
故选：D
【分析】
只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
2．（2025·江安模拟）《哪吒之魔童闹海》于2025年初春上映，迅速在国内和全球范围内引发观影热潮，截至2月21日00：00：00，累计258000000人观影．数据258000000可以用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数，根据以上方法确定a和n的之即可.
3．（2025·江安模拟）在“庆元旦，迎新年”文艺汇演中，5位评委给小明同学的评分如下：90，92，92，91，95．则这5个数据的平均数和众数分别是（　　）
A．91，92 B．92，92 C．92，93 D．93，92
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：这5个数据的平均数是：；这5个数据中92出现的次数最多，故众数是92；
故选：B．
【分析】
平均数指一组数据的总和与数据个数的商，众数是一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个也可能是多个．
4．（2025·江安模拟）如图，点在上，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵与所对的弧相同，∴，
∵，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半代入即可．
5．（2025·江安模拟）如图所示的几何体从左面看到的形状图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左面为：
故答案为：A．
【分析】根据从左面观察组合体得出平面图形即可得出答案．
6．（2025·江安模拟）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，若这个两位数加上27，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的新两位数，则原来的两位数是（　　）
A．63 B．72 C．36 D．27
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设这个两位数的十位数字为，则个位数字为，
，
解得：，
，
这个两位数为36．
故答案为：C．
【分析】设这个两位数的十位数字为，则个位数字为，根据题意列出方程，进行求解即可．
7．（2025·江安模拟）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，则面积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的实际应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
，
∴a2b2=3×4=12，，
.
故答案为：B．
【分析】将代入公式即可得出答案．
8．（2025·江安模拟）某商场在“三八妇女节”推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价150元，标价250元．为庆祝妇女节商场规定，打折销售，利润率不能低于，根据题意列不等式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意可得.
故答案为：B.
【分析】根据题意列出不等式，求解即可.
9．（2025·江安模拟）函数与的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：A.由的图象可得，
则的图象应该开口向下，故不符合题意；
B.由的图象可得，
则的图象应该开口向上，对称轴，故符合题意；
C.由的图象可得，
则的图象应该开口向上，故不符合题意；
D.由的图象可得，
则的图象应该开口向下，对称轴，故不符合题意.
故答案为：B．
【分析】在每一个选项中利用直线的特征得出m、n的范围，再判断此图中的二次函数图象是否正确即可.
10．（2025·江安模拟）如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点的横坐标为，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程的解；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：连接交于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∴设，
∵点的横坐标为，
∴点的坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴或(舍去)，
∴，
∴点的坐标为，
∴，
∴，
∴．
故选： A．
【分析】由正方形的性质可得，设，再分别写出点，，的坐标，然后根据点在反比例函数的图象上，用含有的代数式表示，写出点B的坐标，最后代入中，即可得出答案.
11．（2025·江安模拟）如图，是的外接圆，弦交于点，，过点作于点，延长交于点，若，则的长为（　　）
A． B． C．8 D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接CD，作于点M，
∵∠A与∠D所对的弧都是弧BC，
∴∠A=∠D，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵
∴∠GFE=90°，
∴，
∵，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】连接CD，作于点M，先说明，再证明为等边三角形，从而得到，再求出，的长，进而得出，的长，再求出的长，最后由勾股定理求出的长．
12．（2025·江安模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，，与轴交点的纵坐标在与之间，根据图象判断以下结论：
①；②（为实数）；③；④若且，则；⑤直线与抛物线的一个交点，则．其中正确的结论是（　　）
A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵对称轴x<0，
∴-<0，
∴a、b同号，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴c<0，
∴c2>0，
∴，故①正确；
②∵抛物线与轴交于两点，，，
∴设抛物线的解析式为：，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，
即（为实数），故②正确；
③∵抛物线与轴交点的纵坐标在与之间，
∴，即，
∴，故③正确；
④∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故④错误；
⑤∵直线与抛物线的一个交点，
∴，解得：，，
∴，故⑤正确，
综上所述：①②③⑤正确．
故答案为：C ．
【分析】①根据对称轴及图象与y轴的交点，即可判断①
②根据题意得到抛物线的解析式为，即可得到，，代入即可判断
由，结合，可以变形得到，从而可判断②；
③由抛物线和y轴的交点位置可判断③；
④把代入，即可判断④；
⑤先求出直线与抛物线的交点，将，，代入解方程求出，可判断⑤．
二、填空题：（本大题共6．个小题，每小题4分，共24分，请将答案直接写在答题卡对应横线上．）
13．（2025·江安模拟） 分解因式： 　 　
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为.
【分析】先提取公因式2m，再利用平方差公式进行分解即可.
14．（2025·江安模拟）关于x的分式方程 = 的解是　 　．
【答案】﹣
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：两边乘（x+1）（x﹣1）得到，2x+2﹣（x﹣1）=﹣（x+1），
解得x=﹣ ，
经检验，x=﹣ 是分式方程的解．
∴x=﹣ ．
故答案为﹣ ．
【分析】把分式方程转化为整式方程即可解决问题．
15．（2025·江安模拟）如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为　 　．（结果用含，的式子表示）
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点分别作轴的垂线垂足分别为，
∵与的相似比为，点是位似中心，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
∴
故答案为：．
【分析】
由于位似三角形是相似三角形，而相似三角形对应高的比等于相似比，则可过点分别作轴的垂线垂足分别为，由相似比可得，则，得出，即可求解．
16．（2025·江安模拟）某中学为校庆120周年举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是914，则这位参与者的出生年份是　 　．
【答案】
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设这位参与者的出生年份是，从九个数字中任取一个数字为，
，
∴100a+46+1978-x=914，
∴移项得，，
是中的任取一个数字，
的值可能为，
现场参与者均为在校中学生，
∴在校学生不可能是这些年份出生的，
只能是，
故答案为：．
【分析】设这位参与者的出生年份是，从九个数字中任取一个数字为，根据题意列出方程，则，再根据a的取值及实际情况即可得出答案.
17．（2025·江安模拟）如图，在边长为4的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】菱形的判定与性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由折叠的性质知是的平分线，
∴点P关于CE的对称点在CD上，
∴作点P关于的对称点，过点M作于F，交于点G，
∵，
∴的最小值为的长，
连接，
∵ 正方形的边长为4，
∴，
∵ 点为的中点，
∴DE=2，
又∵∠CDE=90°，
∴，
∵，
∴
由折叠的性质知为线段的垂直平分线，
∴∠DOE=90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】作点P关于的对称点，过点M作于F，交于点G，由作图可得的最小值为的长，再说明四边形为菱形，再根据平行线可得，进而求出FG的长度，最后利用线段的和差即可得出答案.
18．（2025·江安模拟）如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AB，AC上的动点（不与端点重合），且BE＝AF，BF与CE交于点P，延长BF交边AD（或边CD）于点G，连接OP，OG，则下列结论：①△ABF≌△BCE；②当BE＝2时，△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1：3；③当BE＝4时，BE：CG＝2：1；④线段OP的最小值为2﹣2．其中正确的是　 　．（请填写序号）
【答案】①②
【知识点】菱形的性质；定角定弦辅助圆模型；相似三角形的性质-对应边；三角形的中线；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
在△ABF和△BCE中，
∵，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
故①正确；
②∵ 四边形ABCD是边长为6的菱形，
∴AB=6，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB=BC＝6，
∵AF＝BE＝2，
∴CF＝AC﹣AF=6-2＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴△AGF∽△CBF，
∴，
∴，
∴AG＝3，
∵AD=6，
∴AG＝，
∴G为AD的中点，
∴S△AOD＝2S△DOG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∴S△BOG＝S△DOG，S△AOD＝S△COD，
∴S△COD＝2S△DOG＝2S△BOG，
∴S四边形OCDG＝S△DOG+S△COD＝3S△DOG＝3S△BOG，
△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1：3；
故②正确；
③如图1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴，
∴，
∴CG＝3，
∴BE：CG＝4：3，
故③不正确；
④如图2，
由①得：△ABF≌△BCE，
∴∠BCE＝∠ABF，
∴∠BCE+∠CBF＝∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝60°，
∴∠BPC＝120°，
作等边三角形△BCH，作△BCH的外接圆I，
则点P在⊙I上运动，
点O、P、I共线时，OP最小，
作HM⊥BC于M，
∴HM＝＝3，
∴PI＝IH＝，
∵∠ACB+∠ICB＝60°+30°＝90°，
∴OI＝＝＝，
∴OP最小＝OI﹣PI＝﹣2，
故④不正确.
故答案为：①②．
【分析】①先说明△ABC是等边三角形，再根据SAS证明三角形全等；
②根据平行线得△AGF∽△CBF，则求出AG的长，即可知G是AD的中点，根据中线的性质得出S△COD＝S△AOD＝2S△DOG，S△BOG＝S△DOG，进而可以判断②；
③根据AB∥CD得出，从而得出CG＝3，于是BE：CG＝4：3；
④可推出∠BPC＝120°，从而得出点P在以等边三角形BCH的外接圆的上运动，当点O、P、I共线时，OP最小．
三、解答题：（本大题共7个小题，共78分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡对应题目的区域．）
19．（2025·江安模拟）计算：
（1）
（2）．
【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简算术平方根、代入特殊三角形函数值、负整数指数幂法则，零指数幂法则以及去绝，再进行合并即可得到答案；
（2）先把能进行因式分解的分子和分母进行因式分解，再计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．（2025·江安模拟）如图，四边形中，，，，，与相交于点．判断线段与的位置关系，并说明理由．
【答案】解：，理由如下：
∵，
∴△ABD为直角三角形，△ECD为为直角三角形，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；余角；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】先根据HL证明，可得，再根据角的和差得出，即，进而得证.
21．（2025·江安模拟）为落实新课程标准，某校准备开设五门劳动实践课程，分别是A：花卉养殖，B：宠物饲养，C：剪纸贴花，D：简单烹饪，E：科学实验．为了解学生对开设的劳动实践课程的喜爱程度，随机抽取了部分同学进行调查（每名学生只能选取一门喜爱的劳动实践课程），并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表．
学生喜爱的劳动实践课程的频数分布表
课程 频数 频率
A a m
B 10 0.1
C 20 n
D b 0.35
E 30 0.3
根据图中信息，请回答下列问题：
（1）本次抽查的学生数为_________人，频数分布表中，_________，_________，_________，_________；
（2）补全频数分布直方图；
（3）喜爱“花卉养殖”的学生中有2名女生，其余为男生，学校准备在喜爱“花卉养殖”的学生中抽取两名学生组成宣讲小组，向全校学生介绍花卉养殖的小妙招，求恰好抽到一男一女的概率．
【答案】（1）100，5，35，0.05，0.2
（2）解：如图所示：
（3）解：树状图：
∵由树状图可知：一共有20种不同的结果，其中一男一女的结果有12种，
∴恰好抽到一男一女的概率．
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵（人），
（人），
（人），
.
故答案为：100；5；35；0.05；0.2.
【分析】（1）根据的人数与占比求出 本次抽查的学生数 ，再分别求出即可；
（2）根据（1）中求出的值，补全统计图即可；
（3）先画树状图，再分别写出一共有20种不同的结果，其中一男一女的结果有12种，进而得出答案．
（1）解：调查的学生人数为（人），
（人），（人），
，；
（2）解：将频数分布直方图补充完整如下：
（3）解：画树状图如下：
一共有20种不同的结果，其中一男一女的结果有12种，
所以（一男一女）．
22．（2025·江安模拟）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节（）时，与地面夹角，已知两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．
（参考数据：，， ）
【答案】解：设每节拉杆长为，则图1中，，
图2中，，
在图1中，过点作于点，
在中，，
，
，
在图2中，过点作于点，
在中，，
，
，
，
，
解得：．
答：每节拉杆长．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】设每节拉杆长为，则图1中，，图2中，，在图1中，过点作于点，根据正弦定义可得AF；在图2中，过点作于点，根据正弦定义可得AH，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
23．（2025·江安模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C．
（1）求一次函数解析式；
（2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集；
（3）点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标．
【答案】（1）解：反比例函数的图象经过点，，
，，
解得，，
，，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数的解析式为．

（2）或
（3）解：连接，，由题意，
，
设，
由题意，
解得，
或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点和原点型
【解析】【解答】（2）解：观察图象，不等式的解集为：或．
【分析】
（1）将，两点代入反比例函数 求出，的坐标，再利用待定系数法解一次函数解析式；
（2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可解决问题．
（3）先根据，求出的面积，设，根据三角形的面积构建方程即可解决问题．
（1）解：反比例函数的图象经过点，，
，，
解得，，
，，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数的解析式为．
（2）解：观察图象，不等式的解集为：或．
（3）解：连接，，由题意，
，
设，
由题意，
解得，
或．
24．（2025·江安模拟）如图，为的切线，A为切点，直线交于点E，F，过点A作的垂线，垂足为D，交于点B，延长与交于点C，连接，．
（1）求证：与相切；
（2）若，求的值．
【答案】（1）解：连接，
∵，
∴点O在线段AB的垂直平分线上，
，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
垂直平分，
，
在和中，
∵，
，
，
为的切线，
，
，
点在上，
与相切．
（2）解：设，
，
，
，，
，
，
∵AB⊥OP，
∴∠ODB=90°，
∴，
，
，
∴，
，
，
，
又，
，
，
，
∴，
，
，
，
．

【知识点】切线的判定；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，先说明垂直平分，再根据SSS说明，可得，再根据切线的性质可得，即可得与相切；
（2）设，根据，可得，则，，利用勾股定理得，再根据AA证明，进而可得，则，，即可得到的值．
（1）解：如图，连接，
，，
垂直平分，
，
在和中，
，
．
，
为的切线，
，
，
点在上，
与相切．
（2）解：，设，
，
，，
在中，，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
又，
，
，
，即，
，
，
，
．
25．（2025·江安模拟）如图1，抛物线与轴相交于，两点，抛物线与轴相交于点．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）如图2，点是直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值；
（3）如图3，已知直线与，轴分别相交于点，，直线与相交于点，在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：∵ 抛物线与轴相交于，两点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：.
（2）解：∵点C在y轴且在抛物线上，
∴当时，，
∴，
设直线解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
过点作轴交于点，
设，
则，
∵点是直线上方拋物线上一动点，
∴，
∴面积=
∴当时，面积的最大值为.
（3）解：存在，理由如下：
设直线的解析式为，
∵，在直线A、C上，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵直线l的表达式为，
∴AC∥l，
∵已知直线与轴分别相交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
取点，连接，
则，
又，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴点在直线上，
设直线的解析式为，
将， 代入中，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴
∴或（舍去），
综上所述：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形全等的判定-SAS；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）分别将点代入中，即可求解；
（2）过点作轴交于点，设，
则，表示的代数式，再根据三角形的面积公式得出面积，最后二次函数的性质即可得出答案；
（3）用待定系数法求得直线的解析式，则，根据已知可得，取点，连接，根据SAS证明，可得，再求得的解析式，联立方程组，即可求解．
（1）解：将点代入，得
解得：，
∴抛物线解析式为：
（2）由，当时，，
∴，
设直线解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线解析式为，
如图所示，过点作轴交于点，
设，则，点是直线上方拋物线上一动点，
∴，
∴面积为
∴当时，面积的最大值为，
（3）设直线的解析式为，代入，得，
解得：
∴直线的解析式为
∵已知直线与轴分别相交于点，
∴，
∴
∵
∴
如图所示，取点，连接，则，
又，
∴
∴
∵
∴是等腰直角三角形，则
∴，
∴点在直线上，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为
联立
解得：或（舍去）
∴．
1 / 1四川省宜宾市江安县2025年初中学业水平考试暨高中阶段学校招生诊断考试(一)数学试题
一、选择题：（本大题共12个小题，每小题4分，共48分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡对应题目上．）
1．（2025·江安模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·江安模拟）《哪吒之魔童闹海》于2025年初春上映，迅速在国内和全球范围内引发观影热潮，截至2月21日00：00：00，累计258000000人观影．数据258000000可以用科学记数法表示为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·江安模拟）在“庆元旦，迎新年”文艺汇演中，5位评委给小明同学的评分如下：90，92，92，91，95．则这5个数据的平均数和众数分别是（　　）
A．91，92 B．92，92 C．92，93 D．93，92
4．（2025·江安模拟）如图，点在上，连接，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·江安模拟）如图所示的几何体从左面看到的形状图是（　　）
A． B．
C． D．
6．（2025·江安模拟）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和为9，若这个两位数加上27，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的新两位数，则原来的两位数是（　　）
A．63 B．72 C．36 D．27
7．（2025·江安模拟）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为．现已知的三边长分别为，则面积为（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·江安模拟）某商场在“三八妇女节”推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价150元，标价250元．为庆祝妇女节商场规定，打折销售，利润率不能低于，根据题意列不等式为（　　）
A． B．
C． D．
9．（2025·江安模拟）函数与的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
10．（2025·江安模拟）如图，正方形的顶点分别在反比例函数和的图象上．若轴，点的横坐标为，则（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·江安模拟）如图，是的外接圆，弦交于点，，过点作于点，延长交于点，若，则的长为（　　）
A． B． C．8 D．
12．（2025·江安模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，，，与轴交点的纵坐标在与之间，根据图象判断以下结论：
①；②（为实数）；③；④若且，则；⑤直线与抛物线的一个交点，则．其中正确的结论是（　　）
A．①②③④ B．①③④⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤
二、填空题：（本大题共6．个小题，每小题4分，共24分，请将答案直接写在答题卡对应横线上．）
13．（2025·江安模拟） 分解因式： 　 　
14．（2025·江安模拟）关于x的分式方程 = 的解是　 　．
15．（2025·江安模拟）如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点是位似中心，已知点，点，．则点的坐标为　 　．（结果用含，的式子表示）
16．（2025·江安模拟）某中学为校庆120周年举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是914，则这位参与者的出生年份是　 　．
17．（2025·江安模拟）如图，在边长为4的正方形中，点为的中点，将沿翻折得，点落在四边形内．点为线段上的动点，过点作交于点，则的最小值为　 　．
18．（2025·江安模拟）如图，四边形ABCD是边长为6的菱形，∠ABC＝60°，对角线AC与BD交于点O，点E，F分别是线段AB，AC上的动点（不与端点重合），且BE＝AF，BF与CE交于点P，延长BF交边AD（或边CD）于点G，连接OP，OG，则下列结论：①△ABF≌△BCE；②当BE＝2时，△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1：3；③当BE＝4时，BE：CG＝2：1；④线段OP的最小值为2﹣2．其中正确的是　 　．（请填写序号）
三、解答题：（本大题共7个小题，共78分，解答题应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请将解答过程写在答题卡对应题目的区域．）
19．（2025·江安模拟）计算：
（1）
（2）．
20．（2025·江安模拟）如图，四边形中，，，，，与相交于点．判断线段与的位置关系，并说明理由．
21．（2025·江安模拟）为落实新课程标准，某校准备开设五门劳动实践课程，分别是A：花卉养殖，B：宠物饲养，C：剪纸贴花，D：简单烹饪，E：科学实验．为了解学生对开设的劳动实践课程的喜爱程度，随机抽取了部分同学进行调查（每名学生只能选取一门喜爱的劳动实践课程），并根据调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图表．
学生喜爱的劳动实践课程的频数分布表
课程 频数 频率
A a m
B 10 0.1
C 20 n
D b 0.35
E 30 0.3
根据图中信息，请回答下列问题：
（1）本次抽查的学生数为_________人，频数分布表中，_________，_________，_________，_________；
（2）补全频数分布直方图；
（3）喜爱“花卉养殖”的学生中有2名女生，其余为男生，学校准备在喜爱“花卉养殖”的学生中抽取两名学生组成宣讲小组，向全校学生介绍花卉养殖的小妙招，求恰好抽到一男一女的概率．
22．（2025·江安模拟）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节（）时，与地面夹角，已知两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度．
（参考数据：，， ）
23．（2025·江安模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交，两点，一次函数的图象与y轴交于点C．
（1）求一次函数解析式；
（2）根据函数的图象，直接写出不等式的解集；
（3）点P是x轴上一点，的面积等于面积的2倍，求点P坐标．
24．（2025·江安模拟）如图，为的切线，A为切点，直线交于点E，F，过点A作的垂线，垂足为D，交于点B，延长与交于点C，连接，．
（1）求证：与相切；
（2）若，求的值．
25．（2025·江安模拟）如图1，抛物线与轴相交于，两点，抛物线与轴相交于点．
（1）求该抛物线对应的函数表达式；
（2）如图2，点是直线上方抛物线上一动点，求面积的最大值；
（3）如图3，已知直线与，轴分别相交于点，，直线与相交于点，在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：的相反数是2，
故选：D
【分析】
只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：B．
【分析】 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数，根据以上方法确定a和n的之即可.
3．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：这5个数据的平均数是：；这5个数据中92出现的次数最多，故众数是92；
故选：B．
【分析】
平均数指一组数据的总和与数据个数的商，众数是一组数据中重复出现次数最多的数据，可能是一个也可能是多个．
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵与所对的弧相同，∴，
∵，
∴.
故答案为：B.
【分析】根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半代入即可．
5．【答案】A
【知识点】小正方体组合体的三视图
【解析】【解答】解：从左面为：
故答案为：A．
【分析】根据从左面观察组合体得出平面图形即可得出答案．
6．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解：设这个两位数的十位数字为，则个位数字为，
，
解得：，
，
这个两位数为36．
故答案为：C．
【分析】设这个两位数的十位数字为，则个位数字为，根据题意列出方程，进行求解即可．
7．【答案】B
【知识点】二次根式的实际应用；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：，
，
∴a2b2=3×4=12，，
.
故答案为：B．
【分析】将代入公式即可得出答案．
8．【答案】B
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：根据题意可得.
故答案为：B.
【分析】根据题意列出不等式，求解即可.
9．【答案】B
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：A.由的图象可得，
则的图象应该开口向下，故不符合题意；
B.由的图象可得，
则的图象应该开口向上，对称轴，故符合题意；
C.由的图象可得，
则的图象应该开口向上，故不符合题意；
D.由的图象可得，
则的图象应该开口向下，对称轴，故不符合题意.
故答案为：B．
【分析】在每一个选项中利用直线的特征得出m、n的范围，再判断此图中的二次函数图象是否正确即可.
10．【答案】A
【知识点】二元一次方程的解；反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：连接交于点，
∵四边形是正方形，
∴，
∴设，
∵点的横坐标为，
∴点的坐标为，
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴，
∴或(舍去)，
∴，
∴点的坐标为，
∴，
∴，
∴．
故选： A．
【分析】由正方形的性质可得，设，再分别写出点，，的坐标，然后根据点在反比例函数的图象上，用含有的代数式表示，写出点B的坐标，最后代入中，即可得出答案.
11．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；三角形全等的判定-ASA；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：连接CD，作于点M，
∵∠A与∠D所对的弧都是弧BC，
∴∠A=∠D，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵
∴∠GFE=90°，
∴，
∵，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
故答案为：B．
【分析】连接CD，作于点M，先说明，再证明为等边三角形，从而得到，再求出，的长，进而得出，的长，再求出的长，最后由勾股定理求出的长．
12．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数与一元二次方程的综合应用；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：①∵对称轴x<0，
∴-<0，
∴a、b同号，
∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，
∴c<0，
∴c2>0，
∴，故①正确；
②∵抛物线与轴交于两点，，，
∴设抛物线的解析式为：，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
，
∴，
即（为实数），故②正确；
③∵抛物线与轴交点的纵坐标在与之间，
∴，即，
∴，故③正确；
④∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故④错误；
⑤∵直线与抛物线的一个交点，
∴，解得：，，
∴，故⑤正确，
综上所述：①②③⑤正确．
故答案为：C ．
【分析】①根据对称轴及图象与y轴的交点，即可判断①
②根据题意得到抛物线的解析式为，即可得到，，代入即可判断
由，结合，可以变形得到，从而可判断②；
③由抛物线和y轴的交点位置可判断③；
④把代入，即可判断④；
⑤先求出直线与抛物线的交点，将，，代入解方程求出，可判断⑤．
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为.
【分析】先提取公因式2m，再利用平方差公式进行分解即可.
14．【答案】﹣
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：两边乘（x+1）（x﹣1）得到，2x+2﹣（x﹣1）=﹣（x+1），
解得x=﹣ ，
经检验，x=﹣ 是分式方程的解．
∴x=﹣ ．
故答案为﹣ ．
【分析】把分式方程转化为整式方程即可解决问题．
15．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣位似；位似图形的性质
【解析】【解答】解：如图所示，过点分别作轴的垂线垂足分别为，
∵与的相似比为，点是位似中心，
∴
∵，
∴，
∴，
∴
∴
故答案为：．
【分析】
由于位似三角形是相似三角形，而相似三角形对应高的比等于相似比，则可过点分别作轴的垂线垂足分别为，由相似比可得，则，得出，即可求解．
16．【答案】
【知识点】二元一次方程的应用
【解析】【解答】解：设这位参与者的出生年份是，从九个数字中任取一个数字为，
，
∴100a+46+1978-x=914，
∴移项得，，
是中的任取一个数字，
的值可能为，
现场参与者均为在校中学生，
∴在校学生不可能是这些年份出生的，
只能是，
故答案为：．
【分析】设这位参与者的出生年份是，从九个数字中任取一个数字为，根据题意列出方程，则，再根据a的取值及实际情况即可得出答案.
17．【答案】
【知识点】菱形的判定与性质；轴对称的性质；轴对称的应用-最短距离问题；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：由折叠的性质知是的平分线，
∴点P关于CE的对称点在CD上，
∴作点P关于的对称点，过点M作于F，交于点G，
∵，
∴的最小值为的长，
连接，
∵ 正方形的边长为4，
∴，
∵ 点为的中点，
∴DE=2，
又∵∠CDE=90°，
∴，
∵，
∴
由折叠的性质知为线段的垂直平分线，
∴∠DOE=90°，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为线段的垂直平分线，
∴，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：．
【分析】作点P关于的对称点，过点M作于F，交于点G，由作图可得的最小值为的长，再说明四边形为菱形，再根据平行线可得，进而求出FG的长度，最后利用线段的和差即可得出答案.
18．【答案】①②
【知识点】菱形的性质；定角定弦辅助圆模型；相似三角形的性质-对应边；三角形的中线；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝AD＝CD，
∵∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ABC＝60°，
在△ABF和△BCE中，
∵，
∴△ABF≌△BCE（SAS），
故①正确；
②∵ 四边形ABCD是边长为6的菱形，
∴AB=6，
∵△ABC是等边三角形，
∴AC＝AB=BC＝6，
∵AF＝BE＝2，
∴CF＝AC﹣AF=6-2＝4，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC，
∴△AGF∽△CBF，
∴，
∴，
∴AG＝3，
∵AD=6，
∴AG＝，
∴G为AD的中点，
∴S△AOD＝2S△DOG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，OA＝OC，
∴S△BOG＝S△DOG，S△AOD＝S△COD，
∴S△COD＝2S△DOG＝2S△BOG，
∴S四边形OCDG＝S△DOG+S△COD＝3S△DOG＝3S△BOG，
△BOG的面积与四边形OCDG面积之比为1：3；
故②正确；
③如图1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，
∴，
∴，
∴CG＝3，
∴BE：CG＝4：3，
故③不正确；
④如图2，
由①得：△ABF≌△BCE，
∴∠BCE＝∠ABF，
∴∠BCE+∠CBF＝∠ABF+∠CBF＝∠ABC＝60°，
∴∠BPC＝120°，
作等边三角形△BCH，作△BCH的外接圆I，
则点P在⊙I上运动，
点O、P、I共线时，OP最小，
作HM⊥BC于M，
∴HM＝＝3，
∴PI＝IH＝，
∵∠ACB+∠ICB＝60°+30°＝90°，
∴OI＝＝＝，
∴OP最小＝OI﹣PI＝﹣2，
故④不正确.
故答案为：①②．
【分析】①先说明△ABC是等边三角形，再根据SAS证明三角形全等；
②根据平行线得△AGF∽△CBF，则求出AG的长，即可知G是AD的中点，根据中线的性质得出S△COD＝S△AOD＝2S△DOG，S△BOG＝S△DOG，进而可以判断②；
③根据AB∥CD得出，从而得出CG＝3，于是BE：CG＝4：3；
④可推出∠BPC＝120°，从而得出点P在以等边三角形BCH的外接圆的上运动，当点O、P、I共线时，OP最小．
19．【答案】（1）解：原式
；
（2）解：原式
．
【知识点】分式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）先化简算术平方根、代入特殊三角形函数值、负整数指数幂法则，零指数幂法则以及去绝，再进行合并即可得到答案；
（2）先把能进行因式分解的分子和分母进行因式分解，再计算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
20．【答案】解：，理由如下：
∵，
∴△ABD为直角三角形，△ECD为为直角三角形，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；余角；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】先根据HL证明，可得，再根据角的和差得出，即，进而得证.
21．【答案】（1）100，5，35，0.05，0.2
（2）解：如图所示：
（3）解：树状图：
∵由树状图可知：一共有20种不同的结果，其中一男一女的结果有12种，
∴恰好抽到一男一女的概率．
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵（人），
（人），
（人），
.
故答案为：100；5；35；0.05；0.2.
【分析】（1）根据的人数与占比求出 本次抽查的学生数 ，再分别求出即可；
（2）根据（1）中求出的值，补全统计图即可；
（3）先画树状图，再分别写出一共有20种不同的结果，其中一男一女的结果有12种，进而得出答案．
（1）解：调查的学生人数为（人），
（人），（人），
，；
（2）解：将频数分布直方图补充完整如下：
（3）解：画树状图如下：
一共有20种不同的结果，其中一男一女的结果有12种，
所以（一男一女）．
22．【答案】解：设每节拉杆长为，则图1中，，
图2中，，
在图1中，过点作于点，
在中，，
，
，
在图2中，过点作于点，
在中，，
，
，
，
，
解得：．
答：每节拉杆长．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】设每节拉杆长为，则图1中，，图2中，，在图1中，过点作于点，根据正弦定义可得AF；在图2中，过点作于点，根据正弦定义可得AH，再根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
23．【答案】（1）解：反比例函数的图象经过点，，
，，
解得，，
，，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数的解析式为．

（2）或
（3）解：连接，，由题意，
，
设，
由题意，
解得，
或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数的两点和原点型
【解析】【解答】（2）解：观察图象，不等式的解集为：或．
【分析】
（1）将，两点代入反比例函数 求出，的坐标，再利用待定系数法解一次函数解析式；
（2）观察图象写出一次函数的图象不在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可解决问题．
（3）先根据，求出的面积，设，根据三角形的面积构建方程即可解决问题．
（1）解：反比例函数的图象经过点，，
，，
解得，，
，，
把、的坐标代入得，
解得，
一次函数的解析式为．
（2）解：观察图象，不等式的解集为：或．
（3）解：连接，，由题意，
，
设，
由题意，
解得，
或．
24．【答案】（1）解：连接，
∵，
∴点O在线段AB的垂直平分线上，
，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
垂直平分，
，
在和中，
∵，
，
，
为的切线，
，
，
点在上，
与相切．
（2）解：设，
，
，
，，
，
，
∵AB⊥OP，
∴∠ODB=90°，
∴，
，
，
∴，
，
，
，
又，
，
，
，
∴，
，
，
，
．

【知识点】切线的判定；三角形全等的判定-SSS；全等三角形中对应角的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）连接，先说明垂直平分，再根据SSS说明，可得，再根据切线的性质可得，即可得与相切；
（2）设，根据，可得，则，，利用勾股定理得，再根据AA证明，进而可得，则，，即可得到的值．
（1）解：如图，连接，
，，
垂直平分，
，
在和中，
，
．
，
为的切线，
，
，
点在上，
与相切．
（2）解：，设，
，
，，
在中，，
，
，
，
，
∴，
，
，
，
又，
，
，
，即，
，
，
，
．
25．【答案】（1）解：∵ 抛物线与轴相交于，两点，
∴，
∴，
∴抛物线解析式为：.
（2）解：∵点C在y轴且在抛物线上，
∴当时，，
∴，
设直线解析式为，
∵，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
过点作轴交于点，
设，
则，
∵点是直线上方拋物线上一动点，
∴，
∴面积=
∴当时，面积的最大值为.
（3）解：存在，理由如下：
设直线的解析式为，
∵，在直线A、C上，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∵直线l的表达式为，
∴AC∥l，
∵已知直线与轴分别相交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
取点，连接，
则，
又，
∴（SAS），
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴点在直线上，
设直线的解析式为，
将， 代入中，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴
∴或（舍去），
综上所述：．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；三角形全等的判定-SAS；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）分别将点代入中，即可求解；
（2）过点作轴交于点，设，
则，表示的代数式，再根据三角形的面积公式得出面积，最后二次函数的性质即可得出答案；
（3）用待定系数法求得直线的解析式，则，根据已知可得，取点，连接，根据SAS证明，可得，再求得的解析式，联立方程组，即可求解．
（1）解：将点代入，得
解得：，
∴抛物线解析式为：
（2）由，当时，，
∴，
设直线解析式为，代入，
∴
解得：
∴直线解析式为，
如图所示，过点作轴交于点，
设，则，点是直线上方拋物线上一动点，
∴，
∴面积为
∴当时，面积的最大值为，
（3）设直线的解析式为，代入，得，
解得：
∴直线的解析式为
∵已知直线与轴分别相交于点，
∴，
∴
∵
∴
如图所示，取点，连接，则，
又，
∴
∴
∵
∴是等腰直角三角形，则
∴，
∴点在直线上，
设直线的解析式为，则，
解得：，
∴直线的解析式为
联立
解得：或（舍去）
∴．
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