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四川省凉山州西昌市2025年九年级诊断性考试数学试题（一模）
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）：在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．
1．（2025·西昌模拟）的倒数是（　　）
A． B．5 C． D．
2．（2025·西昌模拟）学校利用“创文明城市”的契机，校团委招募志愿者到六个社区开展全民卫生活动，各社区报名人数分别为：38，43，40，40，38，35，则这组数据的中位数是（　　）
A．38 B．39 C．40 D．41
3．（2025·西昌模拟）榫卯是中国传统建筑的一种结构方式，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”，通过榫和卯的精密配合，实现了构造的稳固性和可持续性，展现了人与自然的和谐关系．如下图是其中一种卯，其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2025·西昌模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·西昌模拟）下列命题中，真命题是（　　）
A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
B．相等的弦所对的圆周角相等
C．若，则或
D．若，则
6．（2025·西昌模拟）2025年1月29日《哪吒2》正式上映，一上映就获得全国人民的追捧，第四天票房约亿元，若以后两天每天票房按相同的增长率增长，第六天票房收入约亿元．把增长率记作x，则方程可以列为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·西昌模拟）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线交于点D，连接．若，则的长为（　　）
A．4 B．5 C． D．
8．（2025·西昌模拟）如图，在矩形中，对角线、交于点O，若，，则矩形的面积是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025·西昌模拟）如图，线段，，于点P，平分交于点M，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
10．（2025·西昌模拟）已知关于x的分式方程的解为正数，则非正整数m的和为（　　）
A． B． C． D．
11．（2025·西昌模拟）在平面直角坐标系中，将一个的直角顶点与原点O重合，顶点A、B恰好分别落在函数的图象上，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
12．（2025·西昌模拟）二次函数的图象如图所示，下列结论：①②③若，则④．其中正确的结论是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（2025·西昌模拟）函数的自变量x的取值范围是　 　．
14．（2025·西昌模拟）若最简二次根式与可以合并，则　 　．
15．（2025·西昌模拟）已知点P的坐标为，且，则点P关于原点的对称点坐标为　 　
16．（2025·西昌模拟）小明去商店购买甲、乙两种玩具，共用了20元钱，甲种玩具每件2元，乙种玩具每件4元．若每种玩具至少买一件，且甲种玩具的数量多于乙种玩具的数量．则小明购买甲种玩具最少的件数是　 　．
17．（2025·西昌模拟）如图，点D，E分别在线段，上，连接，相交于点F，若，，，则的度数为　 　．
18．（2025·西昌模拟）是等腰直角三角形，正方形绕点A逆时针旋转后，连接，如图所示，再延长交于G，以下结论中：①；②；③当，时，，正确的是　 　（填序号）．
三、解答题（共7个小题，共78分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（2025·西昌模拟）计算：；
20．（2025·西昌模拟）（1）解方程．
（2）先化简，再求值：，其中．
21．（2025·西昌模拟）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．海南省作为风力能源最多的省份之一，正在大力发展风力发电项目，某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图，某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方米的点处测得点的俯角为．
（1）填空：　 　；
（2）求点到地面的距离；
（3）求该风力发电机塔杆的高度（结果精确到米）．
（参考数据：）
22．（2025·西昌模拟）为落实教育部关于印发《义务教育课程方案（2022年版）》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》通知精神，为培养同学们爱劳动的习惯，某校开展了“做好一件家务”主题活动（家务类型为：洗衣、刷碗、做饭、拖地），要求人人参与．九年级（5）班劳动委员将本班同学做家务的信息绘制成了如图两幅不完整的统计图，请根据统计图信息，回答下列问题：
（1）九年级（5）班学生共有________人；扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为________；若该校共有初中学生1500人，则可估计出该校初中学生中参与“做饭”的人数约有________人；
（2）补全条形统计图．
（3）九年级（5）班评选出了近期做家务表现优秀的一男三女共四名同学，准备从这四名同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率．
23．（2025·西昌模拟）如图，在边长为4的菱形中，对角线与相交于点E，边在x轴上，，，点C在反比例函数的图象上．
（1）直接写出C，D，E的坐标及k的值；
（2）将菱形向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，边与反比例函数图象交于点F，求点F到x轴的距离．
24．（2025·西昌模拟）如图，为的直径，点C是的中点，过点C作交于点E，交于点F，连接交于点G．
（1）连接，求证；
（2）若，求的半径；
（3）连接，若，求的长．
25．（2025·西昌模拟）已知：已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）如图1，点P在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求出P点坐标及的周长；
（3）如图2，连接，E为线段上一动点，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是.
故答案为：C．
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
2．【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：排列顺序：35，38，38，40，40，43，
中位数：.
故选：B．
【分析】先按照从小到大的顺序进行排列，再根据中位数的定义即可得出答案.
3．【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：其俯视图是
故选：D．
【分析】根据从上面看得到的图形，即可得到答案．
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；分式的基本性质；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A.不能合并同类项，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意.
故选：D．
【分析】A.不是同类项，不能合并；
B.根据同底数幂乘法的计算法则进行计算即可
C.根据二次根式的性质进行计算即可；
D.根据分式的性质进行计算即可.
5．【答案】C
【知识点】等式的基本性质；垂径定理；圆周角定理；绝对值的非负性；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故本选项不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，故本选项不符合题意；
C、若，则或，故本选项符合题意；
D、若，且时，则，故本选项不符合题意.
故选：C．
【分析】根据垂径定理的推论，圆心角、弧与弦的关系，绝对值的性质，等式的性质，逐项判断即可得出答案．
6．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设平均增长率为x，
∵ 第四天票房约亿元，若以后两天每天票房按相同的增长率增长，第六天票房收入约亿元，
∴.
故选：B．
【分析】设平均增长率为x，根据“第四天票房约亿元，若以后两天每天票房按相同的增长率增长，第六天票房收入约亿元”列出方程式即可．
7．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意，得是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据基本作图可得MN是线段AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得DA=DB，在Rt△ACD中，用勾股定理求得AC的值，然后在Rt△ABC中，用勾股定理即可求解．
8．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴AO=BO=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2AO=6，BD=2OB=6，
∴，，
∵∠ABC=90°，
∴AB2+BC2=AC2，
∴，
∴矩形的面积．
故选：A．
【分析】先说明是等边三角形，再根据矩形的性质可得AC的长度，根据勾股定理可得BC的长度，最后利用矩形的面积公式即可得出答案.
9．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵
∴，=γ，
∴，
∴∠A=∠C=β，
∵，
∴∠B-∠A=α，
∴γ-β=α，
∴∠AEB=180°-β-γ，
∵平分 ，
∴∠AEM=∠AEB=(180°-β-γ)=90°-β-γ，
∴=∠A+∠AEM=β+90°-β-γ=90°+β-γ，
∵，
∴，
∴.
故选：A.
【分析】根据得到，=γ，再倒角∠A=∠C=β，根据等量代换可得γ-β=α，根据角平分线的性质及三角形的内角和可得∠AEM=90°-β-γ，再根据外角的性质可得=90°+β-γ，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可得出答案.
10．【答案】A
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：方程两边同乘得，，
∴，
∵关于x的分式方程的解为正数，
∴x>0且x-1≠0，
∴且，
∴且，
∴符合条件的非正整数为0，，
∴．
故选：A．
【分析】先解分式方程得，再根据分式方程的解是正数及分母≠0，列出不等式，进而得出答案.
11．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过A作轴于C，过B作轴于D，
∴，
∵，
∴∠AOC+∠BOD=CAO+∠AOC=90°，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】过A作轴于C，过B作轴于D，先说明，再根据AA证明，再根据面积比等于相似比的平方可得，再根据反比例函数的几何意义得出，，进而得出答案.
12．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由图像可得对称轴为直线，∴a、b异号，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴上，
∴，
∴，
故①正确；
②由图像可得对称轴为直线，
∵a>0，
∴，
故②正确；
③由图像可得对称轴为直线，
∴，
∵，
∴
故，
故③正确；
④∵a>0，b<0，c>0，
∴，
∴，
当时，①，
②，
∴①+②得，
∴，
∴，
∴，
故④正确，
综上所述： 正确的结论是①②③④ .
故选：A．
【分析】根据抛物线的图象可得开口向上、对称轴及与y轴的交点情况，再利用数形结合思想，计算判断即可．
13．【答案】
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由已知可得，
∴.
故答案为：.
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式，再解不等式即可．
14．【答案】
【知识点】最简二次根式；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由已知可得，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据题意求出a、b的值，再代入即可.
15．【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由已知可得，
∴，，
∴，，
∴的坐标为，
∵关于原点对称的点的坐标横纵坐标都互为相反数，
∴点关于原点的对称点坐标为．
故答案为：．
【分析】先对原式进行变形，再根据算术平方根与平方的非负性，求出x，y的值，再代入即可求解．
16．【答案】4
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小明购买甲种玩具的件数是x件，乙种玩具的数量为=（5-）件，
∵ 甲种玩具的数量多于乙种玩具的数量，
∴，
∴，
∵x为正整数，
∴x的最小值为4．
故答案为：4．
【分析】设小明购买甲种玩具最少的件数是x件，乙种玩具的数量为（5-）件，根据题意得，解答再分析即可．
17．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠CEF=∠A+∠B=85°，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】根据三角形的内角和可得∠CEF的度数，再根据三角形外角的性质即可得出答案.
18．【答案】①②
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵∠GCM+∠CGM+∠CMG=∠ABM+∠MAB+∠AMB=180°，
∵，
∴∠GCM=∠MAB=90°，
∴，
故①②均正确；
如图，取的中点O，连接，
∵，，
∴分别是、斜边上的中线，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
则点G在以O为圆心为半径的一段圆弧上运动，其中点A为此弧的一个端点，
所以的长变化的，不可能是定值，
故③不正确，
综上所述：①②正确.
故答案为：①②．
【分析】①②根据手拉手模型可得，从而易证、，从而判断①②；
③取的中点O，连接，则由直角三角形斜边上中线的性质可得是的一半，即为定值，故可得点G的运动路径是以O为圆心长为半径一段圆弧上运动，从而的长度不是固定的，因此可对③作出判定．
19．【答案】解：原式
．
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先算零指数幂、二次根式、平方及代入特殊角的三角函数值，进而得出答案.
20．【答案】解：（1）去分母得，
去括号，
移项得6x-4x=12-8+9，
合并同类项得，
系数化1得.
（2）原式
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次方程，分式的化简求值：
（1）利用去分母，去括号，移项合并，化系数为1即可求解；
（2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可．
【解答】
21．【答案】（1）63
（2）解：延长交于点，
则，
在中，，
∴DM=CD，
∵，
∴，
∴点到地面的距离为米.
（3）解：过点作于，
则，，
∵，
∴，
∴∠APE=45°，
∴，
设，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵米，
∴，
∴，
∴米，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，
∴米，
答：该风力发电机塔杆的高度是米．
【知识点】平行公理及推论；含30°角的直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】（1）解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：.
【分析】（）过点作，由平行公理的推论可得，再由平行线的性质得，，最后根据角的和差即可得出答案；
（）延长交于点，则，根据在直角三角形里，30°对的直角边等于斜边的一半；
（）过点作于，求出=∠APE=45°，则，设，根据三角函数可得米，又可得是矩形，即得米，根据线段的和差关系即可求解；
（1）解：过点作，
由题意可得，，，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：延长交于点，则，
在中，，，
∴，
∴点到地面的距离为米；
（3）解：过点作于，则，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵米，
∴，
解得，
∴米，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，
∴米，
答：该风力发电机塔杆的高度是米．
22．【答案】（1）50，108，150
（2）解：做饭的人数： (人)，
．
（3）解：树状图如下：
共有12种等可能情况，分组中有男生的的结果有6种，
所以有男生的概率是
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解： 九年级（5）班学生人数为 (人)，
15÷50=0.3，
扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为，
做饭的人数： (人)，
5÷50=0.1，
故可估计出该校初中学生中参与“做饭”的人数约有（人）.
故答案为：50，108，150．
【分析】（1）根据刷碗的人数除以所占百分比等于样本容量计算即可；
360堵ד洗衣”所占的百分比即可得出圆心角；
利用样本估计总体的思想解答即可；
（2）计算所缺数据补图即可；
（3）画树状图，再根据概率公式求解即可．
（1）解：根据题意，得 (人)，
扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为，
做饭的人数为： (人)，
故可估计出该校初中学生中参与“做饭”的人数约有人
故答案为：50，108，150．
（2）做饭的人数为： (人)，
补图如下：
．
（3）解：根据题意，有女生3名，男生1名．
画树状图如图，共有12种等可能情况，有男的可能性有6种，
故有男生的概率是
23．【答案】（1）解：过点C作轴于点Q，过点D作轴于点G，
∵菱形的边长是4，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵点D在第二象限，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点C在反比例函数的图象上．
∴
（2）解：∵，且点C在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
设菱形 向右平移m个单位长度，此时，
∴，
解得，
∵，，
∴平移后的坐标为，，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴，
，
∴，（舍去），
∴时，，
∴点F到x轴的距离
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的性质；菱形的性质；平移的性质
【解析】【分析】（1）过点C作轴于点Q，过点D作轴于点G，根据点B的坐标，求出OB的长度，再根据AB的长度，求出点A的坐标，再根据特殊角的三角函数求出DG和OG的长度，进而得出点D的坐标，同理可得点C的坐标.
（2）设菱形 向右平移m个单位长度，此时，得到，
解得．根据，，得到平移后的坐标为，，
设直线的解析式为，求得．根据题意，得，解答即可．
（1）解：过点C作轴于点Q，过点D作轴于点G，
∵菱形的边长是4，，，
∴，，，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
根据中点坐标公式，得即，
∵点C在反比例函数的图象上．
∴．
（2）解：∵点C在反比例函数的图象上．
∴．
∴反比例函数的表达式为．
设菱形 向右平移m个单位长度，此时，
∴，
解得．
∵，，
∴平移后的坐标为，，
设直线的解析式为，
根据题意，得，
解得，
∴．
根据题意，得，
解得，（舍去），
∴时，，
∴点F到x轴的距离．
24．【答案】（1）证明：
∵为的直径，
∴，
∴∠ACE+∠BCE=90°，
∵，
∴，
∴，
∴∠ACE=∠EBC，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵点C是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
连接，设，
∴，
∵∠CEO=90°，
∴OC2=CE2+OE2，
∴，
∴，
∴圆的半径为
（3）解：由（2）可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
【知识点】等腰三角形的判定；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据题意，为的直径可得，则∠ACE+∠BCE=90°，根据可得，则，进而可得∠ACE=∠EBC，根据AA证明，则，即可得证；
（2）先证明，则，可得，则，连接，设，则，利用勾股定理建立方程式，解得即可；
（3）由（2）可得，则，则，进而得出答案.
（1）证明：根据题意，为的直径，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵为的直径，点C是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
连接，设，
∴，
∴，
解得，
故圆的半径为．
（3）解：∵为的直径，点C是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据题意，，
故，
故，
故，
故．
25．【答案】（1）解：∵，
∴点A的坐标为（-3，0），点C的坐标为（0，-3），
∴，
∴，
∴=（x+1）2-4，
∴，
∴ 抛物线的解析式为，点D的坐标为（-1，4）
（2）解：∵，
∴的对称轴为直线，
设点，
∵点A的坐标为（-3，0），且A、B关于直线x=1对称，
∴，
∴，
∴点B的坐标为（1，0），
∴，
∵∠BOC=90°，
∴OB2+OC2=BC2，
∵OC=3，
∴，
∵A，B是对称点，
∴连接，交对称轴于点F，当P与点F重合时，取得最小值，且，
∵∠BOC=90°，
∴OA2+OC2=AC2，
，
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴当时，，
∴，
∴的周长最小时，，
的周长为
（3）解：过点E作轴于点G，
∵∠AOC=90°，，
∴，
∵∠AGE=90°，
∴，
∴
，
∴，
∴当D，E，G三点共线时，取得最小值，根据垂线段最短，最小值为，
∴，
∴的最小值为8
【知识点】垂线段最短及其应用；二次函数与一次函数的综合应用；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）先求出A、C两点的坐标，再代入即可得出答案；
(2) 设点，则，求出m的值，则点B的坐标为（1，0），求出BC的长度，连接，交对称轴于点F，当P与点F重合时，取得最小值，利用勾股定理，计算AC的长度，再设直线的解析式为，确定解析式即可求得交点的坐标，
(3) 过点E作轴于点G，先求出，则，再代入可得，利用两点之间线段最短可得，故当D，E，G三点共线时，取得最小值，最后根据垂线段最短，最小值为，进而得出答案．
（1）解：根据，
∴，
∵在上，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设点，
∵，
∴的对称轴为直线，
∴，
解得，
∴点，
∴，
∴，
∵A，B是对称点，
∴连接，交对称轴于点F，当P与点F重合时，取得最小值，且，
，
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为：．
当时，，
故，
∴的周长最小时，，的周长为．
（3）解：过点E作轴于点G，
根据，
∴，
∴，
∴
，
∴，
故当D，E，G三点共线时，取得最小值，根据垂线段最短，最小值为，
故，
故的最小值为8．
1 / 1四川省凉山州西昌市2025年九年级诊断性考试数学试题（一模）
一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分）：在每小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡上相应的位置．
1．（2025·西昌模拟）的倒数是（　　）
A． B．5 C． D．
【答案】C
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是.
故答案为：C．
【分析】根据倒数的定义即可得出答案．
2．（2025·西昌模拟）学校利用“创文明城市”的契机，校团委招募志愿者到六个社区开展全民卫生活动，各社区报名人数分别为：38，43，40，40，38，35，则这组数据的中位数是（　　）
A．38 B．39 C．40 D．41
【答案】B
【知识点】中位数
【解析】【解答】解：排列顺序：35，38，38，40，40，43，
中位数：.
故选：B．
【分析】先按照从小到大的顺序进行排列，再根据中位数的定义即可得出答案.
3．（2025·西昌模拟）榫卯是中国传统建筑的一种结构方式，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”，通过榫和卯的精密配合，实现了构造的稳固性和可持续性，展现了人与自然的和谐关系．如下图是其中一种卯，其俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：其俯视图是
故选：D．
【分析】根据从上面看得到的图形，即可得到答案．
4．（2025·西昌模拟）下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；分式的基本性质；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A.不能合并同类项，故本选项不符合题意；
B.，故本选项不符合题意；
C.，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意.
故选：D．
【分析】A.不是同类项，不能合并；
B.根据同底数幂乘法的计算法则进行计算即可
C.根据二次根式的性质进行计算即可；
D.根据分式的性质进行计算即可.
5．（2025·西昌模拟）下列命题中，真命题是（　　）
A．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧
B．相等的弦所对的圆周角相等
C．若，则或
D．若，则
【答案】C
【知识点】等式的基本性质；垂径定理；圆周角定理；绝对值的非负性；真命题与假命题
【解析】【解答】解：A、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧，故本选项不符合题意；
B、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等，故本选项不符合题意；
C、若，则或，故本选项符合题意；
D、若，且时，则，故本选项不符合题意.
故选：C．
【分析】根据垂径定理的推论，圆心角、弧与弦的关系，绝对值的性质，等式的性质，逐项判断即可得出答案．
6．（2025·西昌模拟）2025年1月29日《哪吒2》正式上映，一上映就获得全国人民的追捧，第四天票房约亿元，若以后两天每天票房按相同的增长率增长，第六天票房收入约亿元．把增长率记作x，则方程可以列为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：设平均增长率为x，
∵ 第四天票房约亿元，若以后两天每天票房按相同的增长率增长，第六天票房收入约亿元，
∴.
故选：B．
【分析】设平均增长率为x，根据“第四天票房约亿元，若以后两天每天票房按相同的增长率增长，第六天票房收入约亿元”列出方程式即可．
7．（2025·西昌模拟）如图，在中，按以下步骤作图：①分别以点A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M，N；②作直线交于点D，连接．若，则的长为（　　）
A．4 B．5 C． D．
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：根据题意，得是的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据基本作图可得MN是线段AB的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质“线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得DA=DB，在Rt△ACD中，用勾股定理求得AC的值，然后在Rt△ABC中，用勾股定理即可求解．
8．（2025·西昌模拟）如图，在矩形中，对角线、交于点O，若，，则矩形的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AO=BO，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴AO=BO=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=2AO=6，BD=2OB=6，
∴，，
∵∠ABC=90°，
∴AB2+BC2=AC2，
∴，
∴矩形的面积．
故选：A．
【分析】先说明是等边三角形，再根据矩形的性质可得AC的长度，根据勾股定理可得BC的长度，最后利用矩形的面积公式即可得出答案.
9．（2025·西昌模拟）如图，线段，，于点P，平分交于点M，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的概念；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵
∴，=γ，
∴，
∴∠A=∠C=β，
∵，
∴∠B-∠A=α，
∴γ-β=α，
∴∠AEB=180°-β-γ，
∵平分 ，
∴∠AEM=∠AEB=(180°-β-γ)=90°-β-γ，
∴=∠A+∠AEM=β+90°-β-γ=90°+β-γ，
∵，
∴，
∴.
故选：A.
【分析】根据得到，=γ，再倒角∠A=∠C=β，根据等量代换可得γ-β=α，根据角平分线的性质及三角形的内角和可得∠AEM=90°-β-γ，再根据外角的性质可得=90°+β-γ，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可得出答案.
10．（2025·西昌模拟）已知关于x的分式方程的解为正数，则非正整数m的和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：方程两边同乘得，，
∴，
∵关于x的分式方程的解为正数，
∴x>0且x-1≠0，
∴且，
∴且，
∴符合条件的非正整数为0，，
∴．
故选：A．
【分析】先解分式方程得，再根据分式方程的解是正数及分母≠0，列出不等式，进而得出答案.
11．（2025·西昌模拟）在平面直角坐标系中，将一个的直角顶点与原点O重合，顶点A、B恰好分别落在函数的图象上，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；一线三等角相似模型（K字型相似模型）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：过A作轴于C，过B作轴于D，
∴，
∵，
∴∠AOC+∠BOD=CAO+∠AOC=90°，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故选：C．
【分析】过A作轴于C，过B作轴于D，先说明，再根据AA证明，再根据面积比等于相似比的平方可得，再根据反比例函数的几何意义得出，，进而得出答案.
12．（2025·西昌模拟）二次函数的图象如图所示，下列结论：①②③若，则④．其中正确的结论是（　　）
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：①由图像可得对称轴为直线，∴a、b异号，
∵抛物线与y轴的交点在正半轴上，
∴，
∴，
故①正确；
②由图像可得对称轴为直线，
∵a>0，
∴，
故②正确；
③由图像可得对称轴为直线，
∴，
∵，
∴
故，
故③正确；
④∵a>0，b<0，c>0，
∴，
∴，
当时，①，
②，
∴①+②得，
∴，
∴，
∴，
故④正确，
综上所述： 正确的结论是①②③④ .
故选：A．
【分析】根据抛物线的图象可得开口向上、对称轴及与y轴的交点情况，再利用数形结合思想，计算判断即可．
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
13．（2025·西昌模拟）函数的自变量x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：由已知可得，
∴.
故答案为：.
【分析】根据二次根式有意义的条件列不等式，再解不等式即可．
14．（2025·西昌模拟）若最简二次根式与可以合并，则　 　．
【答案】
【知识点】最简二次根式；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：由已知可得，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】根据题意求出a、b的值，再代入即可.
15．（2025·西昌模拟）已知点P的坐标为，且，则点P关于原点的对称点坐标为　 　
【答案】
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：由已知可得，
∴，，
∴，，
∴的坐标为，
∵关于原点对称的点的坐标横纵坐标都互为相反数，
∴点关于原点的对称点坐标为．
故答案为：．
【分析】先对原式进行变形，再根据算术平方根与平方的非负性，求出x，y的值，再代入即可求解．
16．（2025·西昌模拟）小明去商店购买甲、乙两种玩具，共用了20元钱，甲种玩具每件2元，乙种玩具每件4元．若每种玩具至少买一件，且甲种玩具的数量多于乙种玩具的数量．则小明购买甲种玩具最少的件数是　 　．
【答案】4
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小明购买甲种玩具的件数是x件，乙种玩具的数量为=（5-）件，
∵ 甲种玩具的数量多于乙种玩具的数量，
∴，
∴，
∵x为正整数，
∴x的最小值为4．
故答案为：4．
【分析】设小明购买甲种玩具最少的件数是x件，乙种玩具的数量为（5-）件，根据题意得，解答再分析即可．
17．（2025·西昌模拟）如图，点D，E分别在线段，上，连接，相交于点F，若，，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴∠CEF=∠A+∠B=85°，
∵，
∴．
故答案为：．
【分析】根据三角形的内角和可得∠CEF的度数，再根据三角形外角的性质即可得出答案.
18．（2025·西昌模拟）是等腰直角三角形，正方形绕点A逆时针旋转后，连接，如图所示，再延长交于G，以下结论中：①；②；③当，时，，正确的是　 　（填序号）．
【答案】①②
【知识点】正方形的性质；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线；手拉手全等模型
【解析】【解答】解：∵是等腰直角三角形，
∴，，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∵∠GCM+∠CGM+∠CMG=∠ABM+∠MAB+∠AMB=180°，
∵，
∴∠GCM=∠MAB=90°，
∴，
故①②均正确；
如图，取的中点O，连接，
∵，，
∴分别是、斜边上的中线，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
则点G在以O为圆心为半径的一段圆弧上运动，其中点A为此弧的一个端点，
所以的长变化的，不可能是定值，
故③不正确，
综上所述：①②正确.
故答案为：①②．
【分析】①②根据手拉手模型可得，从而易证、，从而判断①②；
③取的中点O，连接，则由直角三角形斜边上中线的性质可得是的一半，即为定值，故可得点G的运动路径是以O为圆心长为半径一段圆弧上运动，从而的长度不是固定的，因此可对③作出判定．
三、解答题（共7个小题，共78分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
19．（2025·西昌模拟）计算：；
【答案】解：原式
．
【知识点】特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先算零指数幂、二次根式、平方及代入特殊角的三角函数值，进而得出答案.
20．（2025·西昌模拟）（1）解方程．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：（1）去分母得，
去括号，
移项得6x-4x=12-8+9，
合并同类项得，
系数化1得.
（2）原式
，
当时，原式
【知识点】分式的化简求值；解含分数系数的一元一次方程
【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次方程，分式的化简求值：
（1）利用去分母，去括号，移项合并，化系数为1即可求解；
（2）先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可．
【解答】
21．（2025·西昌模拟）风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．海南省作为风力能源最多的省份之一，正在大力发展风力发电项目，某电力部门在一处坡角为的坡地新安装了一架风力发电机，如图，某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡长米，在地面点处测得风力发电机塔杆顶端点的仰角为，利用无人机在点的正上方米的点处测得点的俯角为．
（1）填空：　 　；
（2）求点到地面的距离；
（3）求该风力发电机塔杆的高度（结果精确到米）．
（参考数据：）
【答案】（1）63
（2）解：延长交于点，
则，
在中，，
∴DM=CD，
∵，
∴，
∴点到地面的距离为米.
（3）解：过点作于，
则，，
∵，
∴，
∴∠APE=45°，
∴，
设，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵米，
∴，
∴，
∴米，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，
∴米，
答：该风力发电机塔杆的高度是米．
【知识点】平行公理及推论；含30°角的直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】（1）解：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，
故答案为：.
【分析】（）过点作，由平行公理的推论可得，再由平行线的性质得，，最后根据角的和差即可得出答案；
（）延长交于点，则，根据在直角三角形里，30°对的直角边等于斜边的一半；
（）过点作于，求出=∠APE=45°，则，设，根据三角函数可得米，又可得是矩形，即得米，根据线段的和差关系即可求解；
（1）解：过点作，
由题意可得，，，，
∴，
∴，，
∴，
故答案为：；
（2）解：延长交于点，则，
在中，，，
∴，
∴点到地面的距离为米；
（3）解：过点作于，则，，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
设，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∵米，
∴，
解得，
∴米，
∵，
∴四边形是矩形，
∴米，
∴米，
答：该风力发电机塔杆的高度是米．
22．（2025·西昌模拟）为落实教育部关于印发《义务教育课程方案（2022年版）》和《义务教育劳动课程标准（2022年版）》通知精神，为培养同学们爱劳动的习惯，某校开展了“做好一件家务”主题活动（家务类型为：洗衣、刷碗、做饭、拖地），要求人人参与．九年级（5）班劳动委员将本班同学做家务的信息绘制成了如图两幅不完整的统计图，请根据统计图信息，回答下列问题：
（1）九年级（5）班学生共有________人；扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为________；若该校共有初中学生1500人，则可估计出该校初中学生中参与“做饭”的人数约有________人；
（2）补全条形统计图．
（3）九年级（5）班评选出了近期做家务表现优秀的一男三女共四名同学，准备从这四名同学中随机选取两名同学分享体会，请用画树状图或列表的方法求所选同学中有男生的概率．
【答案】（1）50，108，150
（2）解：做饭的人数： (人)，
．
（3）解：树状图如下：
共有12种等可能情况，分组中有男生的的结果有6种，
所以有男生的概率是
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解： 九年级（5）班学生人数为 (人)，
15÷50=0.3，
扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为，
做饭的人数： (人)，
5÷50=0.1，
故可估计出该校初中学生中参与“做饭”的人数约有（人）.
故答案为：50，108，150．
【分析】（1）根据刷碗的人数除以所占百分比等于样本容量计算即可；
360堵ד洗衣”所占的百分比即可得出圆心角；
利用样本估计总体的思想解答即可；
（2）计算所缺数据补图即可；
（3）画树状图，再根据概率公式求解即可．
（1）解：根据题意，得 (人)，
扇形统计图中“洗衣”对应扇形的圆心角度数为，
做饭的人数为： (人)，
故可估计出该校初中学生中参与“做饭”的人数约有人
故答案为：50，108，150．
（2）做饭的人数为： (人)，
补图如下：
．
（3）解：根据题意，有女生3名，男生1名．
画树状图如图，共有12种等可能情况，有男的可能性有6种，
故有男生的概率是
23．（2025·西昌模拟）如图，在边长为4的菱形中，对角线与相交于点E，边在x轴上，，，点C在反比例函数的图象上．
（1）直接写出C，D，E的坐标及k的值；
（2）将菱形向右平移，当点E恰好在反比例函数的图象上时，边与反比例函数图象交于点F，求点F到x轴的距离．
【答案】（1）解：过点C作轴于点Q，过点D作轴于点G，
∵菱形的边长是4，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵点D在第二象限，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点C在反比例函数的图象上．
∴
（2）解：∵，且点C在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
设菱形 向右平移m个单位长度，此时，
∴，
解得，
∵，，
∴平移后的坐标为，，
设直线的解析式为，
，
解得，
∴，
，
∴，（舍去），
∴时，，
∴点F到x轴的距离
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；等边三角形的性质；菱形的性质；平移的性质
【解析】【分析】（1）过点C作轴于点Q，过点D作轴于点G，根据点B的坐标，求出OB的长度，再根据AB的长度，求出点A的坐标，再根据特殊角的三角函数求出DG和OG的长度，进而得出点D的坐标，同理可得点C的坐标.
（2）设菱形 向右平移m个单位长度，此时，得到，
解得．根据，，得到平移后的坐标为，，
设直线的解析式为，求得．根据题意，得，解答即可．
（1）解：过点C作轴于点Q，过点D作轴于点G，
∵菱形的边长是4，，，
∴，，，
∴，即，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
根据中点坐标公式，得即，
∵点C在反比例函数的图象上．
∴．
（2）解：∵点C在反比例函数的图象上．
∴．
∴反比例函数的表达式为．
设菱形 向右平移m个单位长度，此时，
∴，
解得．
∵，，
∴平移后的坐标为，，
设直线的解析式为，
根据题意，得，
解得，
∴．
根据题意，得，
解得，（舍去），
∴时，，
∴点F到x轴的距离．
24．（2025·西昌模拟）如图，为的直径，点C是的中点，过点C作交于点E，交于点F，连接交于点G．
（1）连接，求证；
（2）若，求的半径；
（3）连接，若，求的长．
【答案】（1）证明：
∵为的直径，
∴，
∴∠ACE+∠BCE=90°，
∵，
∴，
∴，
∴∠ACE=∠EBC，
∴，
∴，
∴
（2）解：∵点C是的中点，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
连接，设，
∴，
∵∠CEO=90°，
∴OC2=CE2+OE2，
∴，
∴，
∴圆的半径为
（3）解：由（2）可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
【知识点】等腰三角形的判定；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据题意，为的直径可得，则∠ACE+∠BCE=90°，根据可得，则，进而可得∠ACE=∠EBC，根据AA证明，则，即可得证；
（2）先证明，则，可得，则，连接，设，则，利用勾股定理建立方程式，解得即可；
（3）由（2）可得，则，则，进而得出答案.
（1）证明：根据题意，为的直径，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵为的直径，点C是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，
连接，设，
∴，
∴，
解得，
故圆的半径为．
（3）解：∵为的直径，点C是的中点，，
∴，
∴，
∴，
∴，
根据题意，，
故，
故，
故，
故．
25．（2025·西昌模拟）已知：已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）如图1，点P在抛物线的对称轴上，当的周长最小时，求出P点坐标及的周长；
（3）如图2，连接，E为线段上一动点，求的最小值．
【答案】（1）解：∵，
∴点A的坐标为（-3，0），点C的坐标为（0，-3），
∴，
∴，
∴=（x+1）2-4，
∴，
∴ 抛物线的解析式为，点D的坐标为（-1，4）
（2）解：∵，
∴的对称轴为直线，
设点，
∵点A的坐标为（-3，0），且A、B关于直线x=1对称，
∴，
∴，
∴点B的坐标为（1，0），
∴，
∵∠BOC=90°，
∴OB2+OC2=BC2，
∵OC=3，
∴，
∵A，B是对称点，
∴连接，交对称轴于点F，当P与点F重合时，取得最小值，且，
∵∠BOC=90°，
∴OA2+OC2=AC2，
，
设直线的解析式为，
∵，，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
∴当时，，
∴，
∴的周长最小时，，
的周长为
（3）解：过点E作轴于点G，
∵∠AOC=90°，，
∴，
∵∠AGE=90°，
∴，
∴
，
∴，
∴当D，E，G三点共线时，取得最小值，根据垂线段最短，最小值为，
∴，
∴的最小值为8
【知识点】垂线段最短及其应用；二次函数与一次函数的综合应用；利用一般式求二次函数解析式；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）先求出A、C两点的坐标，再代入即可得出答案；
(2) 设点，则，求出m的值，则点B的坐标为（1，0），求出BC的长度，连接，交对称轴于点F，当P与点F重合时，取得最小值，利用勾股定理，计算AC的长度，再设直线的解析式为，确定解析式即可求得交点的坐标，
(3) 过点E作轴于点G，先求出，则，再代入可得，利用两点之间线段最短可得，故当D，E，G三点共线时，取得最小值，最后根据垂线段最短，最小值为，进而得出答案．
（1）解：根据，
∴，
∵在上，
∴，
解得，
∴，
∴，
∴．
（2）解：设点，
∵，
∴的对称轴为直线，
∴，
解得，
∴点，
∴，
∴，
∵A，B是对称点，
∴连接，交对称轴于点F，当P与点F重合时，取得最小值，且，
，
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式得：
，
解得，
∴直线的解析式为：．
当时，，
故，
∴的周长最小时，，的周长为．
（3）解：过点E作轴于点G，
根据，
∴，
∴，
∴
，
∴，
故当D，E，G三点共线时，取得最小值，根据垂线段最短，最小值为，
故，
故的最小值为8．
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