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第二章 匀速圆周运动
第3节 圆周运动的实例分析（1）
1.会分析火车转弯、汽车过拱桥等实际运动问题中向心力的来源，能解决生活中的圆周运动问题。
2.了解“旋转秋千”所涉及的物理模型。
3.了解离心运动及物体做离心运动的条件，知道离心运动的应用及危害
圆周运动是一种常见的运动形式，在生活中有着广泛的应用。你知道的生活中的实例有哪些？举例说明。
火车转弯
汽车过拱形桥
失重现象
思考：汽车过拱形桥时，在最高点时，车对凸桥的压力又怎样？
mg
FN
mg－FN＝m
FN ＝mg－m
一、汽车通过拱形桥
v2
R
mg＝m
思考：当 FN = 0 时，汽车会做什么运动，此时汽车的速度多大？
v2
R
FN ＝mg－m
思考：汽车过拱形桥时，运动速度变大，车对拱桥的压力如何变化？
mg
FN
临界速度
思考：当速度逐渐增大，小车会怎么样？
v2
R
FN ＝mg + m
思考：汽车过拱形桥时，运动速度变大，车对拱桥的压力如何变化？
mg
FN
爆胎
FN ＝mg－m
FN ＝mg－m
FN ＝mg
失重
超重
归纳总结
二、“旋转秋千”
游乐场中的一种“旋转秋千”如图所示，若干个安全座椅通过长度不等的缆绳悬挂在旋转圆盘的边缘，启动时，旋转圆盘以某一恒定的角速度转动，座椅也随之围绕竖直的中心轴旋转。
O
θ
归纳拓展
“旋转秋千”的运动可简化为圆锥摆模型
O'
FT
mg
F合
竖直方向：FT cos θ＝mg
水平方向：FT sin θ＝mω2r
F合＝mg tan θ＝mω2r
缆绳与中心轴的夹角跟“旋转秋千”的角速度和绳长有关，而与所乘坐人的体重无关。
问题1：作为工程师的我们，首先思考一下，火车在转弯的过程中做的是什么运动？做这种运动的条件是什么呢？
匀速圆周运动
条件：物体所受合力充当圆周运动所需的向心力。
三、火车转弯
问题2：请工程师们讨论一下，在设计转弯处的铁轨时，先从力学的角度考虑提供，还是先从运动学的角度考虑需要呢？
问题与思考
对于铁路的弯道，火车的行驶手册中对转弯的半径和运行的速度都有明确的要求，因此，先从运动学的角度考虑，其需要的向心力是确定的。
问题与思考
问题3：请各位工程师结合桌面上模型分析一下，如果铁路弯道的内外轨一样高，火车转弯过程中需要的向心力由谁来提供？
G
FN
F
如果铁路弯道的内外轨一样高，外轨作用在轮缘上的弹力F提供向心力F=F向
但是火车质量太大,这样会使轮缘和外轨间的相互作用力过大。
问题与思考
问题4：基于铁轨耐正压不耐侧压的特性，请工程师们思考应该如何改进，并说明这样做的好处是什么？
倾斜 外轨略高于内轨
减小侧向弹力
θ
FN
G
O
问题与思考
问题5：请工程师们思考火车抬高的角度是任意的吗？如果不是，外轨抬高的角度与什么有关呢？试通过计算说明。
O
G
FN
F合
θ
θ
F合＝mg tanθ
火车转弯时所需的向心力
Fn = m
v2
R
tanθ =
v2
gR
问题与思考
问题6：对于已经垫高适当角度的铁轨，若司机不按照规定的速度行驶，请工程师们讨论一下，从供需关系的角度分析，猜想火车会挤压哪一侧的轨道？
当 v＜ gR tanθ ：
当 v＞ gR tanθ ：
速度过大时，轮缘受到外轨向内的弹力
速度过小时，轮缘受到内轨向外的弹力
问题与思考
Q:汽车在水平地面上转弯是什么力提供向心力的呢
拓展思考：
O
mg
FN
Ff
汽车在水平路面上转弯所需要的向心力来源:汽车侧向所受的静摩擦力。
即：
当汽车转弯的半径一定时,汽车的速度v越大,所需的向心力也越大,静摩擦力也越大,当静摩擦力为最大静摩擦力时:
改进措施:①增大转弯半径；②增加路面的粗糙程度
如果弯道半径一定，汽车速度超过，一定限度时，汽车就会向外侧滑。
如图所示，雨天，当你旋转雨伞时，会发现水滴沿着伞的边缘的切线飞出。汽车高速转弯时，若摩擦力不足，汽车会滑出路面。请思考：
四、离心运动
1.你能说出水滴沿着伞边缘的切线飞出的原因吗？
2.汽车转弯发生侧翻是向外翻还是向内翻？
3.物体做离心运动的条件是什么？
【提示】
1.水滴飞出、汽车滑出是物体具有惯性的表现，不是因为受到了离心力，离心力是不存在的。
2.摩擦力提供汽车转弯的向心力，速度过大发生侧翻时会朝半径大的位置运动，即汽车会向外翻。
3.物体受到的合力不足以提供其运动所需的向心力。　　　
四、离心运动
F合＜mω2r ，
1、定义：做匀速圆周运动的物体，在所受合力突然消失，或者不足以提供圆周运动所需的向心力时，做逐渐远离圆心的运动，这种运动叫做离心运动.
O
F合 = mω2r，
F 合= 0 ，
物体沿切线方向飞出远离圆心
物体做匀速圆周运动
物体做逐渐远离圆心的运动
2.条件：
0 ≤F合＜mω2r
F =
F <
F >
匀速圆周运动
离心运动
向心运动
离心脱水
离心分离
问题：在生活中，哪些应用了离心运动？哪些防止了离心运动？
应用
弯道限速
防止
1.如图所示，汽车以一定的速度经过一个圆弧形桥面的顶点时，关于汽车的受力及汽车对桥面的压力情况，以下说法不正确的是 (　　)
A．在竖直方向汽车受到三个力：重力、桥面的支持力和向心力
B．在竖直方向汽车可能只受两个力：重力和桥面的支持力
C．在竖直方向汽车可能只受重力
D．汽车对桥面的压力小于汽车的重力
A
AD
2.(多选)火车速度的提高易使外轨受损，提速后为解决火车转弯时对外轨的磨损问题，下列可行的措施有( 　 )
A．增大弯道半径 B．减小弯道半径
C．适当减小内、外轨道的高度差 D．适当增大内、外轨道的高度差
B
4.如图所示，光滑的水平面上，小球在拉力F作用下做匀速圆周
运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动
的说法正确的是 (　　)
A．F突然消失，小球将沿轨迹Pa做离心运动
B．F突然变小，小球将沿轨迹Pa做离心运动
C．F突然变大，小球将沿轨迹Pb做离心运动
D．F突然变小，小球将沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
A
火车转弯
汽车过桥
旋转秋千
离心运动
当 v＜ gR tanθ ：
当 v＞ gR tanθ ：轮缘受到外轨向内的弹力
轮缘受到内轨向外的弹力
圆锥摆模型
做离心运动的条件：
竖直方向：FT cos θ＝mg
水平方向：FT sin θ＝mω2r
F合＝mg tan θ＝mω2r
第二章 匀速圆周运动
第3节 圆周运动的实例分析（2）
——竖直面的圆周运动
圆周运动是一种常见的运动形式，在日常生活中有着广泛的应用。
思考：生活中竖直面内的圆周运动有哪些？
1.理解竖直面内圆周运动的物体其受力特点和运动规律，能准确对最高点和最低点列出动力学方程。
2.会分析绳模型、杆模型中最高点处弹力的临界问题，明确各模型中过最高点的条件。
3.体会牛顿运动定律在圆周运动问题中的应用。
思考：“水流星”中的水在竖直平面最高点时为什么不会撒出来？
一、轻绳模型（绳/圆轨道）
提示：向心力大于重力
点击视频
“水流星”
G
FT
mg
FN
当FN=0时
v
一、轻绳模型（绳/圆轨道）
问题：“水流星”在最高点时由哪些力提供向心力？
mg
FN
v
v2
mg
FN
最高点：
最低点：
一、轻绳模型（绳/圆轨道）
竖直平面内的圆周运动，一般情况下是变速圆周运动，物体能否通过最高点是有条件的。
轻绳（或内轨道）——小球组成无支撑的物理模型（称为“轻绳模型”）
绳约束
内轨道约束
注：“轻绳”只能对小球产生拉力，不能产生支持力。（内轨道约束类似）
一、轻绳模型（绳/圆轨道）
观察思考：小球刚好不会下落的临界条件是什么？
提示：mg=m，即v=
点击视频
绳约束
内轨道约束
假设质量为m的小球达到最高点时的速度为v,受到绳子的拉力为T，则根据牛顿第二定律，可以得出
当T=0时，小球再做高点的速度为最小，即：
解得：
归纳拓展
小球在最高点时，绳子恰好对小球没有力的作用
（1）小球恰好能达到最高点的临界条件是：
（2）小球恰好能通过最高点的条件是 ：
当 绳子有拉力（轨道对球有压力）。
（3）当 ，小球还未达到最高点就离开轨道。
o
R
轻绳
G=mg
V2
F拉
二、轻杆模型（杆/管轨道）
摩天轮做圆周运动过程中，“杆”对轿厢提供的是什么力？方向是怎样的？
mg
O
N
mg
O
N
杆
管道
小球放在一个内壁光滑的封闭管内，使其在竖直面内作圆周运动
轻杆上固定的小球使其在竖直面内作圆周运动
杆(管)施力特点：可拉、可压，可向上、可向下；
最高点的动力学方程：
二、轻杆模型（杆/管轨道）
通过杆的施力特点说明最高点的向心力的取值范围是多大
FN
mg
o
如图，由于杆和管在最高处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速度v＝0，此时小球受到的支持力FN＝mg.
r
FN
mg
二、轻杆模型（杆/管轨道）
小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况：
1.v＞ ，杆或管的外侧对球产生向下的弹力，F随v增大而增大．
2.v＝ ，球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F＝0.
3.0＜v＜ ，杆或管的内侧对球产生向上的弹力，F随v的增大而减小．
O
O
杆
管道
二、轻杆模型（杆/管轨道）
mg
o
r
FN
mg
v
mg
FT
重力和杆的拉力(或环的支持力）的合力提供向心力
可见，此时杆的拉力(或环的支持力）最大。
二、轻杆模型（杆/管轨道）
解题思路
1.如图，用长为r的细绳栓着质量为m的物体，在竖直平面内做圆周运动，则下列说法正确的是（ ）
A.小球过最高点时，绳子的张力一定为零
B.小球过最高点时的最小速度为零
C.小球刚好过最高点时的最小速度是
D.小球过最高点时,绳子对小球的作用力可以与球所受的重力方向相反
O
C
2.如图所示，乘坐游乐园的翻滚过山车时，质量为m的人随车在竖直平面内旋转，下列说法正确的是(　　)
A．过山车在过最高点时人处于倒坐状态，全靠保险带拉住，没有保险带，人就会掉下来
B．人在最高点时对座位不可能产生大小为mg的压力
C．人在最低点时对座位的压力等于mg
D．人在最低点时对座位的压力大于mg
D
3.（多选）如图所示，小球在竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，内侧壁半径为R，小球半径为r，则下列说法中正确的是(　 　)
小球通过最高点时的最小速度vmin＝
B. 小球通过最高点时的最小速度vmin＝0
C. 小球在水平线ab以下的管道中运动时，内侧管壁对小球
一定无作用力
D. 小球在水平线ab以上的管道中运动时，外侧管壁对小球一定有作用力
BC
4.如图甲所示，用一轻质绳拴着一质量为m的小球，在竖直平面内做圆周运动（不计一切阻力），小球运动到最高点时绳对小球的拉力为FT，小球在最高点的速度大小为v，其FT-v2图像如图乙所示，则（　　）
A．数据a与小球的质量无关
B．当地的重力加速度为
C．当v2＝c时，轻质绳的拉力大小为
D．当v2＝2b时，小球受到的拉力与重力大小相等
D
物理情景 最高点无支撑 最高点有支撑
实例 球与绳连接、水流星、沿内轨道运动的“过山车”等 球与杆连接、球在光滑
管道中运动等
图示
受力 特征 物体受到的弹力方向： 向下或等于零 物体受到的弹力方向：
向下、等于零或向上

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