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广东省2026年中考数学精选模拟卷
满分120分 时间120min
学校：______________ 班级：______________ 姓名：______________
一、选择题（10小题，30分）
1.中国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家.若收入10元记作+10元，则支出5元可记作 (　　)
A.-5元 B.5元
C.-10元 D.10元
2.国产人工智能大模型 横空出世，其低成本，高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ）
3.“新冠肺炎疫情”全球肆虐，截止到2022年10月7日，全球累计确诊617597680人，这个数据用科学记数法表示（精确到万位），正确的是 （　　）
A． 6．1759768×108 B． 6．176×104
C． 6．176×108 D． 6．1760×108
4.下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.某校进行《九章算术》，《周髀算经》，《孙子算经》，《算法统宗》四本书的长文本阅读活动，小聪从中任取一本，恰好抽到《九章算术》的概率为 （　　）
A. B.
C. D.
6.随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km/h，动车提速后行驶480km与提速前行驶360km所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为xkm/h，则下列方程正确的是(　　)
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
7.如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠ABC＝60°，过点D作DE⊥CD，交BC的延长线于点E，将△CDE沿CB方向平移得到△C′D′E′，当点C′为边BC的中点时，△C′D′E′与菱形ABCD重叠部分的面积为(　　)
A. B. C. D.2
8.若一次函数的图象与直线 平行且与直线y=x 2在x轴上相交，则该一次函数的解析式为（ ）
A. B.
C. D.
9.如图，E为矩形ABCD边CD的中点，F为边BC上一点，且∠FAE＝∠EAD，若BF＝8，FC＝2，则AF的长为 （　　）
A.10 B.4
C.12 D.2
10.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋2(a≠0)的图象与x轴交于(－1，0) ，(x1，0)，其中2①ab>0；②a－b＝－2；③当x>1时，y随x的增大而减小；④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋2＝0(a≠0)的另一个根是－ ；⑤b的取值范围为1＜b＜ .其中正确结论的个数是(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
二、填空题（5小题，15分）
11.因式分解：x3y－4xy3＝ .
12.若关于x的一元二次方程 恰有两个不相等的实数根，则m的值可以为 ．(任意写出一个即可)
13.计算： × = .
14.将一块三角板和量角器按如图方式叠放，点O，A在三角板上所对应的刻度分别是2cm，8cm，∠AOB=120°，则 的长为______cm.(结果保留π)
15.如图，已知在正方形ABCD中，AB＝8，∠FEG＝90°，EF＝3，EG＝4，点D为FG中点，连接BE，点P为BE中点，连接CP，则CP的最大值为 ．
三、解答题（8小题，75分）
16.（7分）计算： ．
17.（7分）溶液的浓度是指一定量的溶液中所含溶质的量，可以用百分数表示．一次化学实验课上，老师给学生们提供了两种不同含量的氯化钠溶液，A种氯化钠溶液的氯化钠含量为25%，B种氯化钠溶液的氯化钠含量为10%，老师要求同学们用这两种氯化钠溶液配制出氯化钠含量为20%的氯化钠溶液150克，求A，B两种氯化钠溶液各取多少克？
18.（7分）如图，在 ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E.
(1)实践与操作：用尺规作图法作△CDF，使△CDF≌△ABE且点F在线段AD上；(保留作图痕迹，不要求写作法)
(2)应用与计算：在(1)的条件下，若BC=7，CD=5，求AF的长.
19.（9分）便捷的交通为经济发展提供了更好的保障，桥梁作为公路的咽喉，左右着公路的生命.通过对桥梁的试验监测，可以了解其使用性能和承载能力，同时也为桥梁的养护、加固和安全使用提供可靠的资料.某综合与实践活动小组对其自制的桥梁模型的承重开展了项目化学习活动，如表是此活动的设计方案.
项目主题 桥梁模型的承重试验
活动目标 经历项目化学习的全过程，引导学生在实际情境中发现问题，并将其转化为合理的数学问题
驱动问题 当桥梁模型发生不同程度的形变时，水桶下降的高度
方案设计 工具 桥梁模型、量角器、卷尺、水桶、水杯、绳子、挂钩等
实物图 展示
示意图
状态一（空水桶） 状态二（水桶内加一定量的水）
图① 图②
说明：C为AB的中点
… …
请你参与该项目化学习活动，并完成下列问题：
（1）该综合与实践活动小组在设计桥梁模型时，选用了三角形结构作为设计单元，这样设计依据的数学原理是 .
A. 三角形具有稳定性
B. 两点确定一条直线
C. 两点之间线段最短
（2）在水桶内加入一定量的水后，桥梁发生了如图②所示的形变.若其他因素忽略不计，测得CD=30 cm，∠C′AC=12°，∠C′AD=45°，请计算此时水桶下降的高度CC′.（参考数据：sin12°≈0.2，cos12°≈1.0，tan12°≈0.2）
20.（9分）综合与实践
数学活动课上，同学们用尺规作图法探究在菱形内部作一点到该菱形三个顶点的距离相等．
【动手操作】如图，已知菱形ABCD，求作点E，使得点E到三个顶点A，D，C的距离相等．小红同学设计如下作图步骤；
①连接BD；
②分别以点A，D为圆心，大于 AD的长为半径分别在AD的上方与下方作弧；AD上方两弧交于点M，下方两弧交于点N，作直线MN交BD于点E．
③连接AE，EC，则EA＝ED＝EC．
（1）根据小红同学设计的尺规作图步骤，在图中完成作图过程（要求：用尺规作图并保留作图痕迹）．
【证明结论】
（2）证明：EA＝ED＝EC．
【拓展延伸】
（3）当∠ABC＝72°时，求△EBC与△EAD的面积比．
21.（9分）某学校要招聘一名数学教师，根据需要，从学历，笔试，面试和试讲四个方面对甲，乙，丙三名应聘者进行测试，测试成绩如表所示.
项目 应聘者成绩(单位：分)
甲 乙 丙
学历 10 9 9
笔试 9 6 7
面试 7 8 8
试讲 6 8 9
（1）若将学历，笔试，面试和试讲四项得分依次按1:1:1:1的比例确定每人的最终得分，并以此为依据确定录用者，谁将被录用？
（2）若这个学校看重笔试成绩(其他三项比例相同)，请你帮学校设计一个四项得分比例，并以此为依据确定录用者，谁将被录用？
（3）若你是这次招聘决策者，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分比例，并以此为依据确定录用者，并说一说这样设计比例的理由．
22.（13分）如图，已知直线l经过点A(1，0)，与双曲线y= (x＞0)交于点B(2，1).过点P(p，p-1)(p＞1)作x轴的平行线分别交双曲线y= (x＞0)和y=－ (x＜0)于点M、N.
(1)求m的值和直线l的解析式；
(2)若点P在直线y＝2上，求证：△PMB∽△PNA；
(3)是否存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP？若存在，请求出所有满足条件的p的值；若不存在，请说明理由.
23.（14分）小明遇到这样一个问题：如图①，在正方形ABCD中，点E、F分别为BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°，求证：BE＋DF＝EF.
小明是这样思考的：要想解决这个问题，首先应将这些分散的线段集中到同一条线段上．他尝试了平移、翻折、旋转的方法，发现通过旋转可以解决此问题．具体操作是将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG(如图①)，此时GE的长即为BE＋DF.
【操作证明】
(1)请根据小明的操作写出证明过程；
【类比探究】
(2)如图②，在等边△ABC中，D，E分别为BC边上的点，∠DAE＝30°，若BD＝a，EC＝b，试用a、b表示线段DE；
【拓展延伸】
(3)如图③，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4＋2 ，∠BAC＝150°，点D，E在BC边上，∠DAE＝75°，若DE是等腰△ADE的腰，请直接写出线段BD的长．详解详析
一、选择题
1.A　
【解析】若收入10元记作+10元，则支出5元可记作-5元，故选A.
2.C
3.D
【解析】617597680≈617600000＝6．1760×108．
4.D
【解析】A． ，计算错误，故A选项不符合题意；B． ，计算错误，故B选项不符合题意；C． ，计算错误，故C选项不符合题意；D． ，计算正确，故D选项符合题意．
5.C　
6.B　
【解析】∵动车提速后的平均速度为xkm/h，∴动车提速前的平均速度为(x－60)km/h.根据题意可列方程 ＝ .
7.C　
【解析】如解图，记D′E′与边CD的交点为F，∵四边形ABCD是菱形，∴CD＝AB＝2，CD∥AB，∴∠DCE＝∠ABC＝60°.∴在Rt△CDE中，CE＝2CD＝4，DE＝ CD＝2 ，由平移的性质可知，D′E′∥DE，C′E′＝CE＝4，∴CD⊥E′D′，∵点C′为边BC的中点，∴CC′＝ BC＝1.∴CE′＝3.∴在Rt△CFE′中，CF＝ CE′＝ ，FE′＝ .∴S重叠部分＝S△C′D′E′－S△CFE′＝ ×2×2 － × × ＝ .
解图
8.A
【解析】设该一次函数的解析式为 ，∵一次函数 的图象与直线 平行，∴ ，∵直线y=x－2与x轴的交点坐标为(2，0)，一次函数 的图象与直线y=x－2在x轴上相交，∴一次函数图象 过点(2，0)，即 ，解得b= 3，∴该一次函数的解析式为 ．
9.C
【解析】如图，延长AE，BC交于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，BC＝AD，∴∠DAE＝∠G，∵E是CD的中点，∴DE＝CE，在△ADE和△GCE中， ，∴△ADE≌△GCE（AAS），∴CG＝DA，∵BF＝8，FC＝2，∴AD=BC=BF+FC＝8+2＝10，∴CG＝AD＝10，∴FG＝CG+FC＝10+2＝12，∵∠FAE＝∠EAD，∴∠FAE＝∠G，∴AF＝FG＝12.
10.C
【解析】由题图可得：a<0，对称轴x＝－ >0，∴b>0，∴ab<0，①错误；由题图得，图象经过点(－1，0)，将(－1，0)代入y＝ax2＋bx＋2可得a－b＋2＝0，∴a－b＝－2，②正确；∵该函数图象与x轴的另一个交点为(x1，0)，且2－ 时，y随着x的增大而减小，当x<－ 时，y随着x的增大而增大，∴当x>1时，y随着x的增大而减小，∴③正确；∵b＝a＋2，c＝2，∴关于x的一元二次方程ax2＋(a＋2)x＋2＝0(a≠0)的根为x＝ ＝ ＝ ，∵a<0，∴x1＝ ＝－ ，x2＝ ＝－1，∴④正确；∵2二、填空题
11.xy(x＋2y)(x－2y)　
【解析】解答本题需要先运用提公因式分解因式，然后再运用公式法解答．原式＝xy(x＋2y)(x－2y).
12.1(答案不唯一)
【解析】由条件可知 ，且 ，解得 ，且 ，即m只需满足 ，且 可以为1(答案不唯一)．
13.
【解析】 × = = .
14.
【解析】∵点O，A在三角板上所对应的刻度分别是2cm，8cm，∴扇形的半径为8－2＝6(cm)，∵ 所对的圆心角∠AOB＝120°，∴ 的长为 ＝4π(cm)．
15.
【解析】如答案图，四边形ABCD是正方形，AB＝8，连接AC，BD，它们相交于点O，连接ED，PO，在直角三角形EFG中，∠FEG＝90°，EF＝3，EG＝4，由勾股定理得， ，∵D为FG中点，∴ ，依题意得，以点D为圆心，以 为半径画圆，即为点E的运动路径，∵ ，∴在直角三角形BOC中，由勾股定理得，BO2+OC2＝CB2＝64，解得 ，∵O是BD的中点，点P为BE中点．∴OP是△BED的中位线，∴ ；依题意得，以点O为圆心，以 为半径画圆，即为点P的运动路径，当P，O，C共线时，且P在射线CO的延长线上，即当P运动到P1处，此时CP1最大，则 ．
答案图
三、解答题
16.解：
．
17.解：设A，B两种氯化钠溶液各取x克，y克，
由题意得 ，
解得 .
答：取A种氯化钠溶液100克，B种氯化钠溶液50克．
【一题多解】设取A种氯化钠溶液x克，则取B种氯化钠溶液(150－x)克，
由题意得25%x＋10%(150－x)＝20%×150，
解得x＝100，
∴150－x＝50.
答：取A种氯化钠溶液100克，B种氯化钠溶液50克．
18.解：(1)如答案图所示，△CDF即为所求作(作法不唯一)；
答案图
(2)由(1)作图可知CF平分∠BCD，
∴∠FCB=∠FCD，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC=7，
∴∠FCB=∠DFC，
∴∠DFC=∠FCD，
∴DF=CD=5，
∴AF=AD-DF=7-5=2.
19.解：（1）A；
（2）根据题意知，∠AC′D=90°，C′是AB的中点，
∵∠C′AD=45°，
∴∠C′AD=∠C′DA=45°，
∴AC′=C′D，
设AC′=C′D=x cm，则CC′=C′D-CD=（x-30）cm，
在Rt△ACC′中，
tan∠C′AC= ，
∴tan12°= ，即0.2≈ ，
解得x≈37.5，
∴x-30=37.5-30=7.5，
∴此时水桶下降的高度CC′为7.5 cm.
20.（1）解：根据小红同学设计，作图如下：
（2）证明：在菱形ABCD中，∠ADE＝∠CDE，AD＝DC，
∵DE＝DE，
∴△ADE≌△CDE（SAS），
∴AE＝EC，
∵MN垂直平分AD，
∴AE＝DE，
∴AE＝DE＝EC；
（3）解：∵在菱形ABCD中，∠ABC＝72°，
∴∠ABD＝∠DBC＝36°，
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠DBC＝36°，∠DAB＝180﹣∠ABC＝108°，
∵AE＝DE，
∴∠EAD＝∠ADB＝36°，
∴∠EAD＝∠ABD＝36°，
∵∠ADE＝∠BDA，
∴△ADE∽△BDA，
∴ ，即AD2＝BD DE，
∵∠BAE＝∠BAD﹣∠EAD＝72°，∠BEA＝∠EAD+∠ADE＝72°，
∴∠BAE＝∠BEA，
∴BE＝AB，
设AB＝x＝BE，DE＝a（其中x，a＞0），则x2＝（x+a） a，
∴x2﹣ax﹣a2＝0，
解得x a或x a（舍去），
∴ ，
∴ ．
21.解：（1）甲的最终得分为 8(分)，
乙的最终得分为 7.75(分)，
丙的最终得分为 8.25(分)，
∵8.25＞8＞7.75，
∴丙将被录用；
（2）若将学历，笔试，面试和试讲四项得分依次按1:2:1:1的比例确定每人的最终得分，
则甲的最终得分为 8.2(分)，
乙的最终得分为 7.4(分)，
丙的最终得分为 8(分)，
∵8.2＞8＞7.4，
∴甲将被录用；
（3）将学历，笔试，面试和试讲四项得分依次按3:3:2:2的比例确定每人的最终得分，
则甲的最终得分为 8.3(分)，
乙的最终得分为 7.7(分)，
丙的最终得分为 8.2(分)，
∵8.3＞8.2＞7.7，
∴甲将被录用.
22.(1)解：∵点B(2，1)在双曲线y= (x＞0)上，
∴m＝2，
设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），
∵点A（1，0），B（2，1）在直线l上，
∴ ，
解得 ，
∴直线l的解析式为y＝x-1；
(2)证明：根据题意补全图形如图，∵P(p，p-1)(p＞1)，点P在直线y＝2上，
∴p-1＝2，
解得p＝3，
∴P(3，2)，
由（1）易得，点M在双曲线y= 上，点N在双曲线y=- 上，
∴M（1，2），N（-1，2），
∵A（1，0），B（-2，1），
∴PM＝2，PN＝4，PA＝2 ，PB= ，
∵∠BPM＝∠APN，PM∶PN＝PB∶PA＝1∶2，
∴△PMB∽△PNA；
(3)解：存在实数p，使得S△AMN＝4S△AMP.
如解图，连接AM，
∵P(p，p-1)(p＞1)，
∴点M、N的纵坐标都为p-1，
由（1）易得，点M在双曲线y= 上，点N在双曲线y=- 上，
∴将y＝p-1分别代入y= 和y=－ ，
得x= 和x=－ ，
∴点M、N的坐标分别为( ，p-1)，(－ ，p-1)，
①当1＜p＜2时，
MN= ，PM= －p，
∵S△AMN= MN×(p-1)＝2，S△AMP= MP×(p-1)=－ p2+ p+1，S△AMN＝4S△AMP，
∴2＝4×(－ p2+ p+1)，
整理得p2-p-1＝0，
解得p= ，
∵1＜p＜2，
∴p= ；
②当p＞2时，
MN= ，PM＝p－ ，
∵S△AMN= MN×(p-1)＝2，S△AMP= MP×(p-1)= p2－ p-1，S△AMN＝4S△AMP，
∴2＝4×( p2－ p-1)，
整理得p2-p-3＝0，
解得p= ，
∵p＞2，
∴p= ；
综上所述，存在实数p= 或 使得S△AMN＝4S△AMP.
解图
23.(1)证明：由旋转的性质知，AG＝AF，∠DAF＝∠GAB.　
∵∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝45°，∴∠GAE＝∠GAB＋∠BAE＝∠DAF＋∠BAE＝45°，
∴∠GAE＝∠EAF.
在△AGE和△AFE中， ，
∴△AGE≌△AFE(SAS)，∴GE＝EF，
∵四边形ABCD为正方形，∴∠ABE＝∠D＝∠ABG＝90°，
∴点G、B、E在同一直线上，∴GE＝GB＋BE，
∴GE＝DF＋BE＝EF，∴EF＝BE＋DF；
(2)解：如解图①，将△AEC围绕点A旋转到△AFB的位置，连接FD，过点F作FG⊥BD交DB的延长线于点G，
由旋转可知，△AFB≌△AEC，AF＝AE，FB＝EC＝b，∠ABF＝∠C＝60°.
∵∠DAE＝30°，∠FAD＝∠FAB＋∠BAD＝∠EAC＋∠BAD＝∠BAC－∠DAE＝60°－30°＝30°，∴∠FAD＝∠DAE.
∵AD＝AD，AF＝AE，∴△AFD≌△AED(SAS)，∴FD＝DE.
在△BDF中，BD＝a，BF＝b，∠FBD＝∠ABF＋∠ABC＝60°＋60°＝120°，则∠FBG＝60°，
在Rt△FBG中，∠FBG＝60°，则BG＝ BF＝ b，FG＝BF·sin60°＝ b，
在Rt△DGF中，由勾股定理得，
FD＝ ＝ ＝ ，∴DE＝ ；
解图①
(3)解：2或2 .
【解法提示】分两种情况进行讨论：(i)当DE＝AD时，如解图②，则∠DAE＝∠DEA＝75°，∴∠ADE＝180°－2×75°＝30°，∴∠ADB＝150°，∵AB＝AC，∠BAC＝150°，∴∠ABC＝∠ACB＝15°，∴∠BAD＝15°，∴∠BAD＝∠ABC，∴AD＝BD，∴AD＝BD＝ED，将△AEC围绕点A旋转到△AFB所在的位置(点F与点E对应)，连接DF，则∠DBF＝30°，CE＝BF，由(2)同理可得△ADE≌△ADF，∴DF＝DE，∴BD＝ED＝DF，∴∠FBD＝∠BFD＝30°，连接EF，∴△BFE为直角三角形，∠BFE＝90°，设BD＝a，则CE＝BF＝ BD＝ a，∴a＋a＋ a＝4＋2 ，解得a＝2，∴BD＝2, CE＝BC－2a＝4＋2 －4＝2 ；(ⅱ)当DE＝AE时，如解图③，BD对应(i)中的CE，∴BD＝2 ；综上所述，BD的长为2或2 .
解图

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