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BY YUSHEN
第一章　集合与充要条件
第二讲　集合的运算'
1
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
　　1. 对于给定的集合A和集合B，由既属于集合A又属于集合B的所有元素组
成的集合，称为集合A与集合B的交集，记作A B.
　　2. A B表示为 ，图形表示为
　　3. 交集的运算性质：
　　（1）A B＝B A；　（2）A A＝A；　（3）A ＝ ；（4）
A B A B＝A.
好题解析＞
　　例1　已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，5}，则A B＝（　　）
A. {1} B. {2，4}
C. {2，3，4} D. {1，2，3，4，5}
　　【参考答案】由A＝{1，2，3，4}，B＝{2，4，5}，则A B＝{1，2，3，4} {2，4，5}＝{2，4}.
故选B.
　　例2　已知集合A＝ ，B＝ ，若A B＝ ，则实数a的值为（　　）
A. 2或1 B. 1或－2 C. ±2 D. 1或±2
　　【参考答案】由A B＝ ，可得1∈B. 当a＝1时，B＝ ，符合题意；当a2－3＝1时，
得a＝±2.若a＝2，则B＝ ，不符合题意，舍去；若a＝－2，则B＝ ，符合题意.故选B.
对点检测1＞
　　（1）已知集合A＝ ，B＝ ，则A B＝（　A　）
A. B.
C. D.
【解析】 解得 所以A B＝ .
A
　　（2）已知集合A＝ ，B＝ ，则A B＝
（　C　）
A. B. C. D.
C
　　（3）已知集合A＝ ，B＝ ，且A B＝B，则a＝（　B　）
A. －1 B. －1或 或0 C. 0 D. －1或0
【解析】A B＝B B A. ①当B＝ 时，ax－1＝0的解为x＝－1，所以a＝－1；②当B＝
时，ax－1＝0的解为x＝2，所以a＝ ；③当B＝ 时，ax－1＝0无解，所以a＝0.综上所述，a＝－1
或 或0.
B
　　3. 并集的运算性质：
（1）A B＝B A； （2）A A＝A；
（3）A ＝A； （4）A B A B＝B.
　　1. 对于给定的集合A与集合B，由集合A与集合B的所有元素组成的集合称
为集合A与集合B的并集，记作A B.
　　2. A B表示为 ，图形表示为
好题解析＞
　　例3　已知集合A＝ ，B＝ .若A B＝ ，则a的值为
（　　）
A. 0 B. 1 C. 2 D. 4
　　【参考答案】因为A B有5个元素，所以A B＝ ＝ ，所以
或 （舍去），解得a＝4.故选D.
　　例4　若点集A＝ ，B＝ ，则A B中的元素不可能在
（　　）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
　　【参考答案】由题意得，A B中的元素是由横坐标小于0或纵坐标小于0的点构成的集合，所以
A B中的元素不可能在第一象限.故选A.
对点检测2＞
　　（1）已知集合A＝ ，B＝ ，则A B＝（　D　）
A. B.
C. D.
【解析】A＝ ＝ ，B＝ ，所以A B＝ .
D
　　（2）已知集合P＝{x｜－1＜x＜2}，Q＝{x｜0＜x＜3}，那么P Q＝（　A　）
A. （－1，3） B. （0，2）
C. （－1，0） D. （1，3）
【解析】因为P＝ ，Q＝ ，所以P Q＝ .
A
　　（3）已知集合A＝ ，B＝ ，且A B＝A，则a的取值范围是
（　C　）
A. B.
C. D.
【解析】A B＝A B A，所以a的取值范围是 .
C
　　1.全集：在研究某些集合时，如果这些集合是一个给定集合的子集，那么这
个给定的集合称为全集，通常用字母U表示.
　　2. 补集：如果集合A是全集U的一个子集，则由集合U中不属于集合A的
所有元素组成的集合称为集合A在全集U中的补集，记作 UA.
　　3. UA表示为 ，图形表示为
　　4. 补集的运算性质：
　　（1）A UA＝ ；　（2）A UA＝U；　（3） U（ UA）＝A.
好题解析＞
　　例5　设全集U＝ ，集合A＝ ，则 UA＝（　　）
A. B.
C. D.
　　【参考答案】在全集U中且不属于集合A的元素只有1，4.故选B.
　　例6　设全集U＝ ，A＝ ， UA＝ ，则a＋b＝（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
　　【参考答案】因为U＝ ，A＝ ， UA＝ ，所以2a－3＝5，b＝3，解得a
＝4，所以a＋b＝7.故选C.
对点检测3＞
　　（1）已知全集U＝ ，集合A＝ ，B＝ ，则 U（A B）＝（　A　）
A. B. C. D.
【解析】U＝ ＝ ，A B＝ ，所以 U（A B）＝
.
A
　　（2）已知全集U＝R，集合A＝ ，则 UA＝（　C　）
A. B.
C. D.
　　（3）已知全集U＝ ，集合A＝ ， UA＝ ，则a＝
（　B　）
A. 1 B. －3 C. 1和－3 D. 3
【解析】因为 UA U，所以a2＋2a－3＝0，解得a＝－3或a＝1，代入检验得a＝－3.
C
B
2
【考题精选集萃】
思维导航与结构布局·深化理解
基础考题＞
一、单项选择题
1. 已知集合A＝{－2，－1，0，1}，B＝{1，2，－2}，则A B＝（　C　）
A. {－1，2} B. {－2，－1，0，1，2}
C. {1，－2} D.
C
2. 设全集U＝R，集合A＝{x｜0≤x＜2}，则 UA＝（　D　）
A. {x｜x≥2} B. {x｜x＞0}
C. {x｜x≤0或x≥2} D. {x｜x＜0或x≥2}
3. 设全集U＝ ，集合M满足 UM＝ ，则（　A　）
A. 2∈M B. 3∈M C. 4 M D. 5 M
D
A
4. 已知集合A＝{x｜0≤x≤3}，B＝{x｜－1≤x≤2}，则A B＝（　D　）
A. {x｜0≤x≤2} B. {x｜－1≤x≤2}
C. {x｜0≤x≤3} D. {x｜－1≤x≤3}
5. 若集合A＝{x｜x2＝1}，B＝{x｜x2－2x－3＝0}，则A B＝（　D　）
A. {3} B. {1} C. D. {－1}
D
D
6. 已知全集U＝ ，集合M＝ ，N＝ ，则 U（M N）＝
（　A　）
A. B. C. D.
7. 已知集合A＝{x｜x≥2}，B＝{x｜－1＜x≤2}，则A B＝（　A　）
A. （－1，＋∞） B. ［－1，1］
C. {x｜x≤2且x≠1} D. （－∞，2］
A
A
8. 已知集合M ，且M ＝ ，则满足条件的集合M的个数是
（　D　）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
D
二、填空题
9. 已知集合A＝{（x，y）｜x－y＝－3}，B＝{（x，y）｜2x＋y＝0}，则A B
＝ .
10. 已知集合A＝{1，2，a}，B＝{3，a2}，若A B＝{1，2，3，5，25}，则a的值为 .

5
11. 若全集U＝R，集合A＝ ，B＝ ，则图中阴影部分表
示的集合为 .

12. 已知全集U＝{x｜4≤x≤9，x∈N}，集合A＝{4，5，7，8}，B＝{5，6，7，9}，则：
（1）A B＝ 　 　；（2）A B＝ 　 　；
（3）（ UA） （ UB）＝ ；　　（4）（ UA） （ UB）＝ .




三、解答题
13. 设集合A＝{x｜2x＋1＝7}，B＝{x｜x2＝9}，求A B.
解：∵集合A＝ ＝ ，B＝ ＝ ，∴A B＝ .
14. 设全集U＝{x｜x∈N，x＜9}，集合A＝{2，3，4}，B＝{3，4，5，6}.求：
（1） UA；
解：因为全集U＝ ，
所以U＝ .
（1）因为A＝ ，所以 UA＝ .
（2） U（A B）；
解：因为全集U＝ ，
所以U＝ .
（2）因为A＝ ，B＝ ，所以A B＝ ，所以 U（A B）＝
.
（3）（ UA） （ UB）.
解：因为全集U＝ ，
所以U＝ .
（3）因为 UB＝ ，所以（ UA） （ UB）＝ .
15. 已知非空集合A＝ ，B＝ .
（1）当a＝10时，求A B，A B；
解：（1）当a＝10时，集合A＝ ，
所以A B＝ ，A B＝ .
（2）求能使A B＝B成立的a的取值范围.
解：（2）因为A B＝B，可得A B，因为A≠ ，所以 解得6≤a≤9，
所以实数a的取值范围是 .
递进考题＞
一、单项选择题
1. 若集合A，B，C满足A B＝A，B C＝C，则A与C之间的关系为（　C　）
A. A C B. C A C. A C D. C A
【解析】∵A B＝A，∴A B，∵B C＝C，∴B C，∴A C. 对于选项A，若A＝B，则A C不成立.故选C.
C
2. 设集合A＝{x｜2a＜x＜a＋2}，B＝{x｜x＜－3或x＞5}，若A B＝ ，则实数a的取
值范围为　（　C　）
A. B.
C. D.
【解析】已知集合A＝ ，B＝ ，又A B＝ ，则2a≥a＋2或
解得a≥2或－ ≤a＜2，则实数a的取值范围为 .
C
3. 已知集合A＝{－1，3}，B＝{2，a2}，若A B＝{－1，2，3，9}，则实数a的值为
（　B　）
A. ±1 B. ±3 C. －1 D. 3
【解析】由于集合A＝ ，B＝ ，A B＝ ，则a2＝9，解得a＝±3.
4. 若集合A＝{－1，2}，B＝{x｜x2－2x＝0}，则A B＝（　B　）
A. {－1，2} B. {－1，0，2}
C. {0，2} D. {0，1，2}
【解析】∵集合B＝ ，∴B＝ ，∴A B＝ .
B
B
5. 设集合A＝{x｜－2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则（ RA） B＝（　A　）
A. {4，5} B. {2，3} C. {3，4} D. {2}
【解析】因为集合A＝ ，所以 RA＝（－∞，－2］ ［4，＋∞），又因为B＝
，所以（ RA） B＝ .
A
6. 已知集合A＝{x｜－2＜x＜1}，B＝{x｜0＜x＜3}，则A B＝（　D　）
A. {x｜－1＜x＜1} B. {x｜－2＜x＜1}
C. {x｜－2＜x＜3} D. {x｜0＜x＜1}
【解析】已知集合A＝ ，B＝ ，则A B＝ .
D
7. 已知全集U＝R，集合A＝{x｜x≤0}，B＝{x｜x≥2}，则 U（A B）＝（　D　）
A. {x｜x＞0} B. {x｜x＜2}
C. {x｜0≤x≤2} D. {x｜0＜x＜2}
【解析】∵全集U＝R，A＝ ，B＝ ，∴A B＝ .
∴ U（A B）＝ R（A B）＝ .
D
8. 已知集合A＝ ，B＝ ，则（　C　）
A. A B＝R B. A B＝A
C. A B＝A D. A B＝B
【解析】由log2x≤1，得log2x≤log22，解得0＜x≤2，所以A＝ ＝ ，
又B＝ ＝ ，所以A B＝ ＝B，A B＝ ＝A.
C
二、填空题
9. 已知集合A＝ ，B＝ ，若A B≠ ，则a的取值范围为 　 　.
【解析】因为集合A＝ ，B＝ ，A B≠ ，所以a＜2.

10. 已知集合A＝{0，2，a2}，B＝{1，a}，A B＝{1}，则a＝ .
【解析】∵集合A＝ ，B＝ ，A B＝ ，∴ ∴a＝－1.
11. 满足{1，3} A＝{1，3，4，5}的所有集合A的个数是 .
【解析】满足条件的所有集合A为 ， ， ， ，故其个数是4.
－1
4
12. 已知集合A＝ ，B＝ ，且A B＝A，则实数m的
取值范围是 .
【解析】因为A B＝A，所以B A，当B＝ 时，2m－1＜m＋1，解得m＜2，符合题意；当B≠
时，即m≥2，因为B A，所以 解得2≤m≤3.综上，m∈ .
（－∞，3］
三、解答题
13. 设集合A＝{x｜x2＋mx－10＝0}，B＝{x｜x2－x＋n＝0}，且A B＝{－2}.求：
（1）m，n的值；
解：（1）∴A B＝ ，∴－2∈A且－2∈B，即－2既是方程x2＋mx－10＝0的根又是方程x2－x＋
n＝0的根.
∴ 解得
（2）A B.
解：（2）由（1）知：A＝ ，B＝ ，
∴A＝ ，B＝ .
∴A B＝ .
14. 已知全集U＝R，集合A＝{x｜2≤x＜6}，B＝{x｜5＜x＜8}.求：
（1）A B；
解：（1）∵集合A＝ ，B＝ ，
∴A B＝ .
（2）A UB.
解：（2）∵全集U＝R，集合A＝ ，B＝ ，
∴ UB＝ ，
A UB＝ .
15. 若集合A＝{x｜－2＜x＜4}，B＝{x｜x－m＜0}.
（1）若m＝3，求A B；
解：（1）当m＝3时，集合B＝ ，
因为A＝ ，所以A B＝ .
（2）若A B＝A，求实数m的取值范围.
解：（2）若A B＝A，则A B，又集合A＝ ，B＝ ，
所以m≥4，所以m的取值范围为 .

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