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BY YUSHEN
第一章　集合与充要条件
第三讲　充要条件
1
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
　　1.充分条件和必要条件：若命题“如果p，那么q”是真命题，即符号表示
为p q，则称p是q的充分条件；若“如果p，那么q”的逆命题“如果q，那
么p”是真命题，则称p是q的必要条件.
　　2. 充分不必要条件和必要不充分条件：若命题“如果p，那么q”是真命
题，逆命题“如果q，那么p”是假命题，即符号表示为p q且q p，则称p
是q的充分不必要条件，或称q是p的必要不充分条件.
　　3.充要条件：若命题“如果p，那么q”是真命题，逆命题“如果q，那么
p”是真命题，即符号表示为p q，则称p是q的充要条件，或称q是p的充要
条件，也称p与q等价.
　　4. 既不充分也不必要条件：若命题“如果p，那么q”是假命题，逆命题
“如果q，那么p”是假命题，即符号表示为p q且q p，则称p是q的既不
充分也不必要条件.
好题解析＞
　　例1“x＞1”是“x＞2”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
　　【参考答案】大于1的数不一定大于2，但大于2的数一定大于1.故选B.
　　例2　“x＞6”是“｜x－2｜＞4”的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
　　【参考答案】由｜x－2｜＞4，解得x＜－2或x＞6，故“x＞6”是“｜x－2｜＞4”的充分不必要
条件.故选A.
对点检测1＞
　　（1）“ ＝－x”是“x＜0”的（　B　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】 ＝－x x≤0，x＜0 x≤0，即x＜0 ＝－x，所以“ ＝－x”是“x＜0”的必要
不充分条件.
B
　　（2）已知p是q的充要条件，r是q的充分不必要条件，则p是r的（　B　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】根据题意得p q，r q，所以r p，p是r的必要不充分条件.
B
好题解析＞
　　例3　“a＞1”的一个充分不必要条件为（　　）
A. a＞2 B. a＜2
C. a＞0 D. a＜0
　　【参考答案】“a＞1”的一个充分不必要条件，即该条件可以推出a＞1，但是a＞1不能推出该条
件.故选A.
　　例4　设r是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么
r是t的（　　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
　　【参考答案】设r是q的充分条件，则r q；s是q的充要条件，则s q；t是s的必要条件，则
s t；t是r的充分条件，则t r；所以有r q s t r，那么r是t的充要条件.故选C.
对点检测2＞
　　方程x2－x－12＝0成立的一个充分不必要条件是（　C　）
A. x＝－3或x＝4 B. x＝3或x＝－4
C. x＝－3 D. x＝－4
【解析】x2－x－12＝0 x＝4或x＝－3，在选项C中，x＝－3 x2－x－12＝0，反之不成立，所以“x
＝－3”是“x2－x－12＝0”成立的充分不必要条件.
C
2
【考题精选集萃】
思维导航与结构布局·深化理解
基础考题＞
一、单项选择题
1. “x＝0”是“x（x－2）＝0”的（　A　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
A
2. 设集合M＝{x｜0≤x≤3}，N＝{x｜0≤x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的
（　B　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
B
3. 设A，B是两个集合，则“A B＝A”是“A B”的（　C　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4. 下列条件中，是－3＜x＜3的充分不必要条件的是（　C　）
A. －3≤x≤4 B. －3≤x≤3
C. 0≤x≤2 D. 1≤x≤4
C
C
5. 设x∈R，则“ ≤2”是“ ＜2”的（　B　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
B
二、填空题
6. “x＝2”是“x2－x－6＝0”的 条件.
7. “方程x2＋mx＋1＝0有实根”的充要条件是 .
既不充分也不必要
m≥2或m≤－2
三、解答题
8. 指出下列命题中p是q的什么条件，并说明理由.
（1）p：x＋2＝0，q：（x＋2）（x－3）＝0；
解：（1）因为x＋2＝0 （x＋2）（x－3）＝0，但（x＋2）（x－3）＝0 x＋2＝0，
所以p是q的充分不必要条件.
（2）p：a＞b，q：ac2＞bc2；
解：（2）因为a＞b ac2＞bc2，比如c＝0，但ac2＞bc2 a＞b，所以p是q的必要不充分条件.
（3）p：m＞1；q：方程x2－x＋m＝0无实根.
解：（3）因为方程x2－x＋m＝0无实根 Δ＝1－4m＜0 m＞ ，所以p是q的充分不必要条件.
9. 求“函数f（x）＝（a－1）x＋1是R上的增函数”的充要条件.
解：因为函数f（x）＝（a－1）x＋1是R上的增函数，所以a－1＞0，即a＞1.
故函数f（x）＝（a－1）x＋1是R上的增函数的充要条件为a＞1.
递进考题＞
一、单项选择题
1. “a＜2且b＜3”是“a＋b＜5”的（　A　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】当a＜2且b＜3时，a＋b＜5，但是a＋b＜5得不到a＜2且b＜3，例如a＝3，b＝0，所以
“a＜2且b＜3”是“a＋b＜5”的充分不必要条件.
A
2. 等式 ＝ ＋ 成立的充要条件是（　C　）
A. a＋b＝0 B. ab＜0 C. ab≥0 D. ab≤0
【解析】 ＝ ＋ 2＝2 ab＝ ab≥0.
C
3. 已知a，b∈R，则“ ＞ ”是“ ＞1”的（　D　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】当 ＞ 满足条件时，若b＝0， 没有意义；当 ＞1时，若a＝－2，b＝－1，此时 ，
没有意义，因此“ ＞ ”是“ ＞1”的既不充分也不必要条件.
D
4. “a＝－4”是“函数y＝ax2＋4x－1的图像与x轴只有一个公共点”的（　A　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】当a＝0时，函数y＝ax2＋4x－1＝4x－1的图像与x轴只有一个公共点；当a≠0时，若函数y
＝ax2＋4x－1的图像与x轴只有一个公共点，则Δ＝16＋4a＝0，解得a＝－4.故“a＝－4”是“函数y
＝ax2＋4x－1的图像与x轴只有一个公共点”的充分不必要条件.
A
5. 若“－1＜x＜3”是“x＞2a－3”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（　B　）
A. a＜1 B. a≤1 C. a＞1 D. a≥1
【解析】因为“－1＜x＜3”是“x＞2a－3”的充分不必要条件，所以集合 是
的真子集，则2a－3≤－1，解得a≤1.
B
6. 使不等式0＜ ＜1成立的一个充分不必要条件是（　C　）
A. 0＜x＜ B. x＞1 C. x＞2 D. x＜0
【解析】因为0＜ ＜1，所以 解得x＞1，故不等式的解集是（1，＋∞），则其一个充分不必要条
件是x＞2.
C
二、填空题
7. 给出下列条件p与q：①p：x＝1或x＝2，q：x2－3x＋2＝0；②p：x2－1＝0，q：x－1
＝0；③p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等.其中p是q的必要不充分条件的序号
是 .
【解析】①q：x2－3x＋2＝0，解得x＝1或x＝2，所以p是q的充要条件；②p：x2－1＝0，解得x＝
±1，q：x－1＝0，解得x＝1，所以p是q的必要不充分条件；③若一个四边形是矩形，则这个四边形对
角线相等；但四边形的对角线相等，该四边形不一定是矩形，所以p是q的充分不必要条件.
②
8. 已知p： x＜－2或x＞3，q：4x＋m＜0.若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围
是 .
【解析】设集合A＝ ，B＝ ，因为p是q的必要不充分条件，所以
B A，所以－ ≤－2，即m≥8.
m≥8
9. 已知p：－1＜x＜3，q：－1＜x＜m＋1.若p是q的充分条件，则实数m的取值范
是 .
【解析】因为p：－1＜x＜3，q：－1＜x＜m＋1，若p是q的充分条件，则m＋1≥3，即m≥2.
m≥2
三、解答题
10. 已知命题p：实数x满足x2－2x－3≥0，命题q：实数x满足（x－m）［x－（m＋1）］
≥0.
（1）若命题p为假命题，求实数x的取值范围；
解：（1）因为命题p为假命题，所以x2－2x－3＝（x－3）（x＋1）＜0，解得－1＜x＜3，即实数x的
取值范围是（－1，3）.
（2）若命题q是命题p的必要不充分条件，求实数m的取值范围.
解：（2）由题意得命题p：x≤－1或x≥3，设其对应集合为A＝ ；
命题q：x≤m或x≥m＋1，设其对应集合为B＝ .
因为命题q是命题p的必要不充分条件，所以A是B的真子集，即 （不可同时取等号），解
得－1≤m≤2，所以实数m的取值范围是［－1，2］.
11. 已知集合A＝{x｜－2＜x＜4}，B＝{x｜－2＜x＜2m＋3}，命题p：x∈A，命题q：
x∈B.
（1）若m＝0，试判断命题p为命题q的什么条件，并说明理由；
解：（1）若m＝0，则命题q：x∈B，B＝ ，命题p：x∈A，A＝ ，因
为 是 的真子集，所以q p，p q，
所以命题p是命题q的必要不充分条件.
（2）若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围
解：（2）若p是q的充分不必要条件，则 是 的真子集，
可得4＜2m＋3，解得m＞ ，故实数m的取值范围是 .
真题链接＞
1. （2025 安徽文化素质分类考试）已知集合A＝{3，6，9}，B＝{1，3}，则A B＝
（　A　）
A. {3} B. {1，3} C. {3，6，9} D. {1，3，6，9}
【解析】因为集合 A ＝ ，B ＝ ，所以 A B ＝ .
A
2. （2025 安徽文化素质分类考试）“α＝90°”是“ sin α＝1”的（　A　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】充分性：若α＝90°，则 sin 90°＝1，满足 “ sin α＝1”，故 “α＝90°” 是充分条件；必要性：
若 sin α＝1，则 α＝90°＋k×360°（k∈Z），并非仅α＝90°，故“α＝90°”不是必要条件.综上，“α
＝90°”是“ sin α＝1”的充分不必要条件.
A
3. （2024 安徽文化素质分类考试）已知集合A＝ ，B＝ ，则A B＝
（　A　）
A. B.
C. D.
【解析】集合A，B的所有元素有－2，－1，0，2.
4. （2024 安徽文化素质分类考试）“x＞2”是“x＞1”的（　A　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】由题意可得，x＞2 x＞1，x＞1 x＞2.
A
A
5. （2023 安徽文化素质分类考试）已知集合A＝ ，B＝ ，则A B
＝（　A　）
A. B. C. D.
6. （2023 安徽文化素质分类考试）“x＝y”是“ ＝ ”的（　A　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】由题意可得，x＝y ＝ ， ＝ x＝y.
A
A
7. （2022 安徽文化素质分类考试）设集合A＝ ，B＝ ，则A B＝
（　C　）
A. B.
C. D.
【解析】集合A，B的所有元素有－1，0，1，2，3.
8. （2022 安徽文化素质分类考试）“x＝2”是“－1＜x≤3”的（　A　）
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】由题意可得，x＝2 －1＜x≤3，－1＜x≤3 x＝2.
C
A
9. （2021 安徽文化素质分类考试）已知集合A＝ ，B＝ ，则A B＝
（　C　）
A. B. C. D.
【解析】集合A，B的所有元素有－1，0，1.
10. （2021 安徽文化素质分类考试）“a＞1”是“a＞－1”的（　A　）
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】由题意可得，a＞1 a＞－1，a＞－1 a＞1.
C
A

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