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BY YUSHEN
第一章　集合与充要条件
第一讲　集合的概念与集合之间的关系
1
【思维结构图引】
思维导航与结构布局·深化理解
　
2
【考纲多维解读】
思维导航与结构布局·深化理解
考情分析 直击真题 本章内容为考查的基本内容，在历年真题中出
题数量基本保持在2道，难度不高.需要了解集
合的概念和常见数集及其表示法；理解元素与
集合、集合与集合之间的关系；熟练掌握集合
交、并、补运算；掌握充分条件、必要条件、
充要条件的概念，能够准确判断两个命题充要
条件关系.本章易错点为容易忽略空集的性质
及空集与零集合的关系. 2023年 2024年 2025年
考情分析 直击真题 本章内容为考查的基本内容，在历年真题中出
题数量基本保持在2道，难度不高.需要了解集
合的概念和常见数集及其表示法；理解元素与
集合、集合与集合之间的关系；熟练掌握集合
交、并、补运算；掌握充分条件、必要条件、
充要条件的概念，能够准确判断两个命题充要
条件关系.本章易错点为容易忽略空集的性质
及空集与零集合的关系. 第1题 第16题 第1题 第3题 第1题
第16题
考情分析 直击真题 本章内容为考查的基本内容，在历年真题中出
题数量基本保持在2道，难度不高.需要了解集
合的概念和常见数集及其表示法；理解元素与
集合、集合与集合之间的关系；熟练掌握集合
交、并、补运算；掌握充分条件、必要条件、
充要条件的概念，能够准确判断两个命题充要
条件关系.本章易错点为容易忽略空集的性质
及空集与零集合的关系. 分值 8分 8分 8分
3
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
　　1.一般地，由某些确定的对象组成的整体称为集合，组成这个集合的对象称
为这个集合的元素.
　　2. 若元素a在集合A中，则记作a∈A，若b不是集合A的元素，则记作
b A.
　　3.集合中元素的三大特性是确定性、互异性、无序性.
　　（1）确定性是确定一个整体是不是集合的依据，即某一个元素在不在这个
集合中是可以确定的；
　　（2）互异性指集合中的元素必须互不相同，即相同的元素只能出现一次；
　　（3）无序性指集合中的元素顺序可以互换，即相同的元素构成的集合代表
同一集合.
　　4.不含任何元素的集合叫做空集，记作 .
　　5. 在常见的数集中，自然数集记作N，正整数集记作N*或N＋，整数集记
作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.
好题解析＞
　　例1　下列各组对象中，能组成集合的是（　　）
A. 班上的高个子男生 B. 我国古代的四大发明
C. 我国的小河流 D. 本班兴趣广泛的同学
　　【参考答案】因为班上的高个子男生、我国的小河流、本班兴趣广泛的同学都无法确定，所以A，C，
D都不能构成集合；因为我国古代的四大发明是确定的，所以B能构成集合.故选B.
　　例2　已知集合A＝{0，1，2}，则下列写法正确的是（　　）
A. 0 A B. {0}∈A C. ∈A D. 1∈A
　　【参考答案】∵A＝{0，1，2}，∴0∈A，1∈A， A，∴A，B，C错误；D正确.故选D.
对点检测1＞
　　（1）下列所给的对象中，不能组成集合的是（　C　）
A. 所有的负整数
B. 不小于2的所有实数
C. 在平面直角坐标系中，非常靠近x轴的点
D. 被3除余数为1的所有整数
　　（2）用符号“∈”或“ ”填空.
　　①0 N*；　②－0.5 Z；　③ Q；　④ R.
C


∈
∈
　　1.集合{1，2，3，4}的表示法为列举法.
　　2. 集合{x｜x＞3}的表示法为描述法.
　　3. 用平面内封闭曲线的内部区域表示集合为Venn图法，如下图所示.
好题解析＞
　　例3　下列集合不能用列举法表示的是（　　）
　　【参考答案】选项A中不等式 ＜2的解集为 ，该集合所有的实数无法一一列举出来.
故选A.
　　例4　下列说法中正确是（　　）
　　① 与 表示同一个集合；②由1，2，3组成的集合可表示为 或 ；③
方程x2－4x＋4＝0的所有解的集合可表示为 ；④平面直角坐标系中直线y＝x＋1上的所
有点可以用列举法表示.
A. ①④ B. ②③ C. ② D. 以上说法都不对
　　【参考答案】①中 没有元素， 含有一个元素0，所以二者不是同一个集合；②考查的是集合元素
的无序性，所以正确；③考查的是集合元素的唯一性（或互异性），所以错误；④平面直角坐标系中直线
y＝x＋1上的所有点无法一一列举，所以不能用列举法表示，所以错误.故选C.
对点检测2＞
　　（1）集合A＝ 用列举法表示为（　C　）
【解析】－2＜x≤3内的整数有－1，0，1，2，3.
C
　　（2）方程组 的解集表示是（　B　）
【解析】 解得 因此解集为 .
B
　　（3）集合 中包含元素的个数为（　D　）
A. 4个 B. 5个 C. 6个 D. 7个
【解析】集合中的元素有（0，6），（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0），
共7个.
D
　　1.如果集合B中的任意一个元素都是集合A中的元素，那么集合B叫做集合
A的子集，记作B A或A B.
　　2. 如果集合B是集合A的子集，且A中至少有一个元素不属于B，那么集
合B叫做集合A的真子集，记作B A或A B.
　　3. 如果集合B的元素与集合A的元素完全相同，那么就说这两个集合相
等，记作A＝B.
　　4. 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.
好题解析＞
　　例5　已知集合A＝{1，2，4}，则集合A的真子集个数为（　　）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
　　【参考答案】因为集合A＝{1，2，4}有三个元素，所以集合A的真子集个数为23－1＝7.故选C.
　　例6　设集合A＝ ，B＝ ，且A＝B，则x＝（　　）
A. 1 B. －1 C. ±1 D. ±1或0
　　【参考答案】令x2＝1，解得x＝±1.当x＝1时，A＝ 不满足集合元素的互异性，所以x＝1不
满足题意；当x＝－1时，集合A＝ ，B＝ ，满足题意.故选B.
　　例7　已知集合A＝ ，B＝ ，若A B，则实数m的取值范围是
（　　）
A. （－∞，22） B. （－∞，22］
C. ［22，＋∞） D. （22，＋∞）
　　【参考答案】将两个集合画在数轴上，从而可得出m≤22.故选B.
对点检测3＞
　　（1）用符号“∈”“ ”“ ”“ ”或“＝”填空.
　　①{1，3} ；②Z N；③ ；
　　④1 {x｜x2－2x＜0}；⑤{x｜x2＝2} {－ ， }.



∈
＝
　　（2）若集合 ＝ ，则a＝ ，b＝ .
　　（3）已知集合{x｜－1≤x＜2} {x｜x＞a}，则a的取值范围是（　A　）
4
－1
A
4
【考题精选集萃】
思维导航与结构布局·深化理解
基础考题＞
一、单项选择题
1. 设集合M＝{（5，7）}，则下列关系成立的是（　C　）
A. 5∈M B. 7∈M
C. （5，7）∈M D. {（5，7）}∈M
2. 小于5的自然数集用列举法可以表示为（　B　）
A. {0，1，2，3，4，5} B. {0，1，2，3，4}
C. {1，2，3，4} D. {1，2，3，4，5}
C
B
3. 方程组 的解集为（　C　）
A. {3，2} B. {2，3} C. {（3，2）} D. {（2，3）}
4. 已知集合A＝{x｜－1＜x≤3}，B＝{x｜0＜x＜2}，则集合A与B的关系为（　A　）
A. B A B. A B C. B∈A D. A∈B
C
A
5. 给出下面四个关系：①0∈Q；② Q；③Z Q；④ {0}.其中正确的个数为（　A　）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
6. 下列不能组成集合的是（　B　）
A. 世界七大洲 B. 世界上人口众多的国家
C. 中国的四书五经 D. 中国的二十四节气
A
B
7. 满足条件{1，2} A {1，2，3，4}的集合A的个数是（　C　）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
8. 已知集合A＝ ，B＝ ，则（　C　）
A. A B B. A∈B C. A＝B D. B A
C
C
二、填空题
9. 已知集合A＝{3，5，8}，若x∈A且8－x∈A，则x＝ .
10. 用适当的符号（“∈”“ ”“ ”“ ”或“＝”）填空.
（1）{a} {a，b}； （2）a {a，b，c}；
（3）{0} ； （4）{－1，1} {x｜x2＝1}；
（5） Q； （6）{x｜x＜3} {x｜x＜0}.
3或5

∈

＝


11. 点P（1，3）和集合A＝ 之间的关系是 .
12. 如果集合{2，3，4}＝{2，x，3}，则x＝ .
P∈A
4
三、解答题
13. 已知集合A＝{x｜2x－10＝0}，集合B＝{a2，3}，且A B，求实数a的值.
解：∵集合A＝{x｜2x－10＝0}＝{5}，集合B＝{a2，3}，且A B，∴a2＝5，∴a＝± .
14. 设集合A＝{x｜x2＋mx－3＝0}，若3∈A，求实数m的值，并写出集合A的所有子集.
解：因为3∈A，所以3是方程x2＋mx－3＝0的一个根，即32＋3m－3＝0，解得m＝－2.
所以方程x2－2x－3＝0的两根分别为3和－1，即A＝ .
所以A的所有子集分别为 ， ， ， .
15. 用适当的方法表示下列集合.
（1）由大于10且小于20的所有整数组成的集合；
解：（1）由大于10且小于20的所有整数组成的集合是{11，12，13，14，15，16，17，18，19}.
（2）方程x2－9＝0的所有实数根组成的集合.
解：（2）方程x2－9＝0的所有实数根组成的集合是{－3，3}.
递进考题＞
一、单项选择题
1. 已知集合M＝ ，N＝ ，若N M，则a＝（　D　）
A. 1 B. －1 C. 1或－1 D. 0，1或－1
【解析】因为集合M＝ ，所以M＝ .当N＝ 时，a＝0；当N≠ 时，N＝ .因为
N M，所以 ＝1或 ＝－1，解得a＝±1.综上所述，a的值为0，±1.
D
2. 设集合A＝{x｜x＜1}，B＝{x｜x≤3}，则（　A　）
A. A B B. B A C. A∈B D. B∈A
3. 如果集合M＝{x｜x≤2}，则（　D　）
A. 0 M B. {0}∈M C. ∈M D. {0} M
【解析】因为集合M＝ ，所以0∈M，{0} M， M.
A
D
4. 集合M＝{a，b，c}的真子集个数为（　B　）
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【解析】因为集合M＝ ，所以集合M的真子集有 ， ， ， ， ， ，
5. 已知集合M＝{0，1，x2－5x}，且－6∈M，则x的值为（　D　）
A. 2 B. 3 C. 1或5 D. 2或3
【解析】∵集合M＝ ，且－6∈M，∴x2－5x＝－6，∴（x－2）（x－3）＝0，∴x＝2或
x＝3.
B
D
6. 满足条件{a} M {a，b，c}的集合M的个数为（　A　）
A. 3 B. 4 C. 7 D. 8
【解析】满足条件 M 的集合M可能有 ， ， ，共3个.
A
7. 设集合A＝{x｜－1＜x＜3}，B＝{x｜x≤m}，若A B，则实数m的取值范围是
（　D　）
A. m≤－1 B. m≥－1 C. m≤3 D. m≥3
【解析】因为集合A＝ ，B＝ ，且A B，所以m≥3.
D
8. 设集合A＝［0，2］，B＝ ，则用韦恩图表示它们之间的关系正确的是
（　D　）
【解析】因为A＝［0，2］，B＝ ＝ ＝［－1，3］，所以A B，选
项D正确.
D
二、填空题
9. 设a，b都是非零实数，则y＝ ＋ ＋ 可能取的值组成的集合是 　 　.
10. 若集合{x2，1}＝{0，1}，则x＝ .
【解析】因为 ＝ ，所以x2＝0，解得x＝0.

0
11. 已知集合A＝{0，m，m2－3m＋2}，且2∈A，则实数m的值为 .
【解析】∵2∈A，∴m＝2或m2－3m＋2＝2.当m＝2时，m2－3m＋2＝0，集合A中有两个元素为0，不合
题意；当m2－3m＋2＝2时，m＝0或m＝3.当m＝0，集合A中有两个元素为0，不合题意；当m＝3，A
＝ ，符合题意.故实数m的值为3.
3
12. 若集合A＝{－1，2}，集合B＝{x｜x2＋ax＋b＝0}，且A＝B，则a＋b的值为 .
【解析】∵集合A＝ ，集合B＝ ，且A＝B，∴－1，2是方程x2＋ax＋b＝0
的根，由根与系数的关系得 解得a＝－1，b＝－2，∴a＋b＝－3.
－3
三、解答题
13. 已知a，b∈R，若集合 ＝{a2，a＋b，0}，求实数a，b的值.
解：因为 ＝ ，且a≠0，
所以只有 ＝0，即b＝0.
即 ＝ ，所以a2＝1，解得a＝±1.
又因为a≠1，所以a＝－1.
14. 已知集合A＝{x｜－2＜x＜6}，集合B＝{x｜m－4≤x≤3m＋2}，若A B，求实数m
的取值范围.
解：∵集合A＝ ，A B，
∴
解得 ∴ ≤m≤2，
∴实数m的取值范围是 .
15. 已知集合A＝ ，B＝ ，判断集合A与集合B之间的
关系.
解：因为y＝x2＋3x＋1＝2－ ≥－ ，且y＝x2－3x＋1＝2－ ≥－ ，所以A＝B＝
.

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