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BY YUSHEN
第二章　不等式
第二讲　一元二次不等式与含绝对值的不等式
1
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
　　1.一元二次不等式的概念：含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的
不等式，称为一元二次不等式，其一般形式为ax2＋bx＋c＞0（a≠0）.（上述
不等式中的“＞”也可换成“＜”“≥”或“≤”）
　　2.解一元二次不等式：利用“三个二次（二次函数、一元二次方程和一元二
次不等式）”的内在关系解一元二次不等式.
　　（1）以二次项系数a＞0为例，其中x1＜x2，则一元二次不等式的解集如下
表所示：
Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
二次函数y＝ax2＋ bx＋c（a＞0）的图像
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a＞0）的根 有两个不相等实数
根x1，x2 有两个相等实
数根x0 无实数根
Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
一元二次 不等式的解集 （a＞0） ax2＋bx＋c＞0 （－∞，x1）
（x2，＋∞） （－∞，x0）
（x0，＋∞） R
ax2＋bx＋c≥0 （－∞，x1］
［x2，＋∞） R R
ax2＋bx＋c＜0 （x1，x2）
ax2＋bx＋c≤0 ［x1，x2］ {x0}
　　（2）当二次项系数a＜0时，利用不等式的基本性质转化成二次项系数a＞
0来求解.
好题解析＞
　　例1　不等式（x－1）（－2x＋1）≥0的解集为（　　）
A. B.
C. D.
　【参考答案】因为（x－1）（－2x＋1）≥0，解得 ≤x≤1，所以原不等式的解集为.
故选D.
　　例2　若0＜a＜1，则不等式（a－x） ＞0的解集是（　　）
A. a＜x＜ B. ＜x＜a
C. x＜a或x＞ D. x＜ 或x＞a
　　【参考答案】当0＜a＜1时， ＞1＞a，不等式（a－x） ＞0可化为（x－a） ＜
0，解此不等式得a＜x＜ ，所以不等式的解集是{x｜a＜x＜ }.故选A.
对点检测1＞
　　（1）不等式（3－x）（x＋2）＞0的解集为（　A　）
A. {x｜－2＜x＜3}
B. {x｜－3＜x＜2}
C. {x｜x＞3或x＜－2}
D. {x｜x＞2或x＜－3}
【解析】由（3－x）（x＋2）＞0得（x－3）（x＋2）＜0，解得－2＜x＜3，所以解集为.
A
　　（2）不等式－2＞x（1－x）的解集为（　C　）
A. （－2，1） B. （－1，2）
C. （－∞，－1） （2，＋∞） D. （－∞，－2） （1，＋∞）
【解析】－2＞x（1－x） x2－x－2＞0 x＜－1或x＞2.
　　（3）若a－3＜0，则不等式（2x－a）（x－2）＜0的解集为（　A　）
A. B. C. D.
【解析】（2x－a）（x－2）＝0 x1＝ ，x2＝2，因为a－3＜0，则 ＜2，所以（2x－a）（x－2）
＜0的解集为 .
C
A
　　1.一元二次不等式中的x1，x2是对应一元二次方程的两个实数解.
　　2. 对一元二次不等式的解集是 和解集是R的理解：
　　一元二次不等式的解集的本质是找相应二次函数图像在x轴上方或下方
的部分.
好题解析＞
　　例3　不等式－x2＋10x＞24的解集是（　　）
A. （4，6）
B. （－6，－4）
C. （－∞，4） （6，＋∞）
D. （－∞，－6） （－4，＋∞）
　　【参考答案】由－x2＋10x＞24可得x2－10x＋24＜0，解得4＜x＜6，所以不等式－x2＋10x＞24的
解集是（4，6）.故选A.
　　例4　若不等式ax2－5x＋b＜0的解集为 ，则a，b的值分别为（　　）
A. －6，－1 B. 1，6 C. －1，6 D. 6，1
　　【参考答案】因为不等式ax2－5x＋b＜0的解集为 ，所以 和 是方程ax2－5x＋b＝0
的实数解，由根与系数的关系知 解得a＝6，b＝1.故选D.
　　例5　已知不等式4x2－mx＋1≥0对于任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A. {m｜－4＜m＜4}
B. {m｜－4≤m≤4}
C. {m｜m＜－4或m＞4}
D. {m｜m≤－4或m≥4}
　　【参考答案】因为不等式4x2－mx＋1≥0对于任意实数x恒成立，所以4x2－mx＋1＝0的Δ≤0，即
（－m）2－4×4≤0，解得－4≤m≤4.故选B.
对点检测2＞
　　（1）不等式x2－3x＋2＞0的解集为（　B　）
A. （－∞，－2） （－1，＋∞）
B. （－∞，1） （2，＋∞）
C. （－2，－1）
D. （1，2）
【解析】方程x2－3x＋2＝0的两根为1，2，又函数y＝x2－3x＋2的图像开口向上，
∴不等式x2－3x＋2＞0的解集为（－∞，1） （2，＋∞）.
B
　　（2）下列不等式的解集为 的是（　B　）
A. x2＋2x－1≥0
B. x2＋2x＋1＜0
C. －x2＋3x＋1＜0
D. x2＋x＋1＞0
【解析】x2＋2x＋1＜0 （x＋1）2＜0，此不等式的解集为 ，因此选B.
B
　　（3）若关于x的不等式x2＋mx＋1＞0的解集是R，则实数m的取值范围是（　B　）
A.
B.
C.
D.
【解析】根据题意得Δ＝m2－4＜0 －2＜m＜2，所以m的取值范围是（－2，2）.
B
　　1.绝对值的理解：
　　（1） ≥0；　　（2） ＝
　　（3） 的几何意义：在数轴上，表示实数a在数轴上对应的点到原点
的距离.
　　2.含绝对值的不等式的解法：
含绝对值的不等式 ｜x｜＜a（a＞0） ｜x｜＞a（a＞0）
解集 （－a，a）（小于取
中间） （－∞，－a） （a，＋∞）
（大于取两边）
含绝对值的不等式 ｜ax＋b｜＜c（c＞
0） ｜ax＋b｜＞c（c＞0）
解集 －c＜ax＋b＜c（小
于取中间） ax＋b＞c或ax＋b＜－c（大
于取两边）
好题解析＞
　　例6　不等式｜2x＋3｜≤5的解集是（　　）
A. （－∞，－4） （1，＋∞）
B. （－∞，1］
C. ［－1，4］
D. ［－4，1］
　　【参考答案】因为｜2x＋3｜≤5，所以－5≤2x＋3≤5，所以－4≤x≤1.所以不等式｜2x＋3｜≤5
的解集是［－4，1］.故选D.
　　例7　若不等式 ＜6的解集为（－1，2），则实数a＝（　　）
A. 8 B. 2 C. －4 D. －8
　　【参考答案】由题意可知：－1，2是方程 ＝6两根，则 ＝6且 ＝6.当
＝6时，解得a＝8或a＝－4；当 ＝6时，解得a＝2或a＝－4.综上所述a＝－4.故选C.
对点检测3＞
　　（1）不等式｜2x－3｜＞5的解集为（　D　）
A. {x｜x＜4}
B. {x｜－1＜x＜4}
C. {x｜－1＜x＜1}
D. {x｜x＞4或x＜－1}
D
　　（2）不等式3－ ≤2的解集是（　C　）
A. （－∞，2］ ［3，＋∞）
B. ［0，2］
C. （－∞，0］ ［2，＋∞）
D. ［2，3］
【解析】3－ ≤2 ≥1 x－1≤－1或x－1≥1，解得x≤0或x≥2.
C
　　（3）若不等式 ≥b的解集为 ，则ab的值为（　B　）
A. 2 B. －2 C. 1 D. －1
【解析】根据题意得 ≥b x－a≤－b或x－a≥b x≤a－b或x≥a＋b，所以
解得 所以ab＝－2.
B
2
【考题精选集萃】
思维导航与结构布局·深化理解
基础考题＞
一、单项选择题
1. 不等式（x－3）（x＋4）＞0的解集是（　D　）
A. （－3，4） B. （－4，3）
C. （－∞，－3） （4，＋∞） D. （－∞，－4） （3，＋∞）
2. 不等式3｜x｜－6＜3的解集是（　A　）
A. （－3，3） B. （－1，1）
C. （－∞，－3） （3，＋∞） D. （－∞，－1） （1，＋∞）
D
A
3. 不等式x2－2x－3≤0的解集是（　C　）
A. ［－3，1］ B. （－1，3）
C. ［－1，3］ D. （－∞，－1］ ［3，＋∞）
4. 不等式 ≥5的解集是（　D　）
A. （－1，4） B. （－∞，－1） （4，＋∞）
C. ［－1，4］ D. （－∞，－1］ ［4，＋∞）
C
D
5. 已知函数y＝x（x－a）的图像如图所示，则不等式x（x－a）＜0的解集为（　B　）
A.
B.
C.
D.
B
6. 已知集合A＝ ，B＝ ，则A B＝（　B　）
A. B.
C. D.
B
7. 设m＋n＞0，则关于x的不等式（m－x）（n＋x）＞0的解集是（　B　）
A. {x｜x＜－n或x＞m} B. {x｜－n＜x＜m}
C. {x｜x＜－m或x＞n} D. {x｜－m＜x＜n}
8. 若一元二次不等式ax2＋bx＋1＞0的解集为 ，则下列结论不成立的是
（　C　）
A. a2＋b2＝5 B. a＋b＝－3
C. a－b＝－2 D. ab＝2
B
C
二、填空题
9. 不等式｜x｜－5≤0的解集是 .
10. 一元二次不等式 ＜5的解集为 　 　.
11. 不等式｜1－2x｜＜3的解集是 .
12. 要使根式 有意义，则x的取值范围为 　 　.
［－5，5］



三、解答题
13. 已知集合A＝{x｜｜x－1｜＜1}，B＝{x｜x2－2x≥0}，求：A B，A B.
解：∵集合A＝ ，B＝ ，
∴A＝ ，B＝ .
∴A B＝ ，A B＝R.
14. 若不等式x2＋mx＋n＜0的解集是（－2，3），求m，n的值.
解：因为不等式x2＋mx＋n＜0的解集是（－2，3），
所以对应方程x2＋mx＋n＝0的两根分别为－2，3.
所以 解得
15. 已知不等式x2＋ax＋4＜0的解集不是空集，求实数a的取值范围.
解：由题意可得Δ＝a2－16＞0，即a＞4或a＜－4，所以a的取值范围为（－∞，－4） （4，＋∞）.
递进考题＞
一、单项选择题
1. 若二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像如图所示，则y＞0的解集为（　B　）
A.
B.
C.
D.
B
2. 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为 的充要条件是（　B　）
A. B.
C. D.
【解析】由ax2＋bx＋c＜0的解集为 ，结合对应二次函数性质有
B
3. 若函数y＝x2＋bx＋c与x轴的两个交点坐标分别为（－2，0），（1，0），则不等式x2＋
bx＋c＞0的解集是（　A　）
A. {x｜x＜－2或x＞1} B. {x｜－2＜x＜1}
C. {x｜x＜－1或x＞2} D. {x｜－1＜x＜2}
【解析】因为抛物线y＝x2＋bx＋c开口向上，且与x轴的两个交点坐标分别为（－2，0），（1，0），
所以x2＋bx＋c＞0的解集是 .
A
4. 不等式（1－x）（2x＋1）＞0的解集是（　B　）
A. （1，＋∞） B.
C. （－∞，－1） D.
【解析】因为（1－x）（2x＋1）＞0，即（x－1）（2x＋1）＜0，解得－ ＜x＜1.
B
5. 不等式｜2－x｜＜3的解集是（　C　）
A. （－∞，－1） （－5，＋∞） B. ［－1，5］
C. （－1，5） D. （－5，1）
【解析】∵｜2－x｜＜3，∴－3＜2－x＜3，∴－1＜x＜5.∴不等式的解集为（－1，5）.
C
6. 已知｜x－a｜＜b的解集是 {x｜－3＜x＜9}，则a，b 的值分别为（　C　）
A. 6，3 B. －6，－3 C. 3，6 D. －3，－6
【解析】∵｜x－a｜＜b，∴a－b＜x＜a＋b，∵｜x－a｜＜b的解集是 ，∴a－b＝
－3，a＋b＝9，∴a＝3，b＝6.
C
7. 不等式组 的解集为（　A　）
A. （－2，5） B. （－2，3）
C. （－1，5） D. （－1，3）
【解析】∵｜x－1｜＜2，∴－2＜x－1＜2，∴－1＜x＜3；∵x2－3x－10＜0，∴（x－5）（x＋2）＜0，
∴－2＜x＜5，∴不等式组 的解集为－1＜x＜3.
A
8. 已知关于x的不等式x2＋2kx＋3＞0恒成立，则实数k的取值范围是（　C　）
A. （ ，＋∞） B. （－∞，－ ）
C. （－ ， ） D. （－∞，－ ） （ ，＋∞）
【解析】由题意可知Δ＝（2k）2－4×3＜0，解得－ ＜k＜ .
C
二、填空题
9. 当x∈ 时，式子 有意义.
【解析】要使 有意义，必须满足1－｜2x－5｜≥0，解得2≤x≤3.
［2，3］
10. 已知关于x的一元二次不等式x2＋ax＋b＜0的解集为 ，则不等式bx2＋ax＋1＞0
的解集为 .
【解析】因为不等式x2＋ax＋b＜0的解集为 ，所以x2＋ax＋b＝0的两根为－3，2，由根与系数
关系可得a＝1，b＝－6，所求的不等式可化为－6x2＋x＋1＞0，即6x2－x－1＜0，化为（3x＋1）
（2x－1）＜0，解得－ ＜x＜ ，所以解集为 .

11. 若不等式 ≤2的解集为 ，则实数k＝ .
【解析】因为 ≤2，所以－2≤kx－4≤2，所以2≤kx≤6.因为不等式的解集为 ，所
以k＝2.
12. 若不等式x2＋bx＋1＞0的解集为{x｜x≠1}，则b＝ .
【解析】由题可得x＝1是方程x2＋bx＋1＝0的根，且Δ＝b2－4×1×1＝0，所以12＋b×1＋1＝0，且Δ＝
b2－4＝0，解得b＝－2.
2
－2
三、解答题
13. 求下列不等式的解集：
（1）x2－5x＞6；
解：（1）因为x2－5x＞6，所以x2－5x－6＞0，
所以x＞6或x＜－1，
所以不等式的解集为 .
（2）｜2x－3｜≥1.
解：（2）因为｜2x－3｜≥1，
所以2x－3≥1或2x－3≤－1，
所以x≥2或x≤1，
所以不等式的解集为 .
14. 已知不等式｜x－1｜＜3与不等式x2＋bx＋c＜0的解集相同，求b，c的值.
解：因为不等式｜x－1｜＜3，即－3＜x－1＜3 －2＜x＜4，
所以该不等式的解集为 .
又因为不等式｜x－1｜＜3与x2＋bx＋c＜0的解集相同，
所以不等式x2＋bx＋c＜0的解集也是 ，
所以对应方程x2＋bx＋c＝0的两根分别为－2，4.
所以
解得
15. 已知函数f（x）＝2x2＋bx＋c，不等式f（x）＜0的解集是（0，5），若对于任意x∈
［2，4］，不等式f（x）＋t≤2恒成立，求t的取值范围.
解：由题意可得2x2＋bx＋c＝0的根为0和5，
代入得c＝0，b＝－10，所以f（x）＝2x2－10x，
原不等式可化为t≤－2x2＋10x＋2，且当x∈ 时恒成立，即t≤（－2x2＋10x＋2）min.
令g（x）＝－2x2＋10x＋2，x∈ ，对称轴x＝ ∈ ，
所以g（2）＝14，g（4）＝10，最小值为10，
所以t≤10.
真题链接＞
1. （2025 安徽文化素质分类考试）不等式x2－5x＜0的解集为（　B　）
A. {x｜x＜0或x＞5} B. {x｜0＜x＜5}
C. {x｜x＜－5或x＞0} D. {x｜－5＜x＜0}
【解析】解不等式x2－5x＜0，因式分解得x（x－5）＜0，所以0＜x＜5.
B
2. （2025 安徽文化素质分类考试）设a，b，c，d∈R，下列结论正确的是（　B　）
A. 若a2＞b2，则a＞b B. 若a＞b，c＞d，则a－d＞b－c
C. 若ac＞bc，则a＞b D. 若a＞b，c＞d，则ac＞bd
【解析】逐一代入特殊值进行分析只有选项B正确.
B
3. （2024 安徽文化素质分类考试）设a，b，c∈R，且a＞b，则下列结论正确的是
（　C　）
A. ac2＜bc2 B. a＋c＜b＋c
C. a－c＞b－c D. ac＞bc
【解析】若A选项中c＝0，不等式不成立；B选项不满足不等式性质（加法法则）；若D选项中c≤0，不
等式不成立.
C
4. （2024 安徽文化素质分类考试）不等式 ＜3的解集为 （　C　）
A. B.
C. D.
【解析】 ＜3 －3＜x－1＜3 －2＜x＜4.
5. （2023 安徽文化素质分类考试）不等式x（3x－1）≤0的解集为（　C　）
A. B.
C. D.
【解析】因为x（3x－1）≤0，所以0≤x≤ .
C
C
6. （2023 安徽文化素质分类考试）下列结论正确的是　 （　A　）
A. 若a＞b，c∈R，则a＋c＞b＋c B. 若a＞b，c∈R，则ac＞bc
C. 若a＞b，c＞d，则a－c＞b－d D. 若a＞b，c＞d，则ac＞bd
【解析】若B选项中c≤0，不等式不成立；同向不等式没有C，D性质，可以举例说明它们错误.故选A.
A
7. （2022 安徽文化素质分类考试）不等式 ≥2的解集是 （　A　）
A. B.
C. D.
【解析】 ≥2 x＋1≤－2或x＋1≥2 x≤－3或x≥1.
A
8. （2022 安徽文化素质分类考试）设a，b∈R，且a＜b，则下列结论正确的是（　D　）
A. a＋b＜ab B. ＜ C. ＜ D. a2＋b2＞ab
【解析】取a＝－2，b＝1，可得A，B选项错误；取a＝－2，b＝－1，可得C选项错误；在D选项中a2＋
b2－ab＝2＋ b2＝2＋ a2，因为a＜b，所以a，b不可能同时为零，所以a2＋b2－ab
＞0.
D
9. （2021 安徽文化素质分类考试）不等式 ＜2的解集为 （　B　）
A. B.
C. D.
【解析】 ＜2 －2＜x＜2.
10. （2021 安徽文化素质分类考试）记a＝x2＋1，b＝2x－1，其中x∈R，则 （　A　）
A. a＞b B. a＜b C. a＞2b D. a＜2b
【解析】a－b＝（x2＋1）－（2x－1）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1＞0，所以a＞b.
B
A

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