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BY YUSHEN
第二章　不等式
第一讲　不等式的基本性质与区间
1
【思维结构图引】
思维导航与结构布局·深化理解
　　
2
【考纲多维解读】
思维导航与结构布局·深化理解
考情分析 直击真题 本章内容为考查的基本内容，在历年真题中出题数量基本保持在2道，难度不高.需要掌握不等式的基本性质，会用作差比较法比较实数（或代数式）的大小；理解区间的概念，会用区间表示不等式解集；掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式、含绝对值的不等式的解法.本章难点是对一元二次不等式解集是 或实数集R的理解. 2023年 2024年 2025年
第4题 第14题 第5题 第8题 第4题
第23题
分值 8分 8分 8分
3
【考点知识梳理】
思维导航与结构布局·深化理解
　　作差比较法：一般地，对于任意两个实数a，b，有：
　　（1）a－b＞0 a＞b；
　　（2）a－b＜0 a＜b；
　　（3）a－b＝0 a＝b.
好题解析＞
　　例1　已知a＝x2－1，b＝2x－2，其中x∈R，则（　　）
A. a＞b B. a＜b C. a≤b D. a≥b
　　【参考答案】因为a－b＝（x2－1）－（2x－2）＝x2－2x＋1＝（x－1）2≥0，所以a≥b.故选D.
　　例2　已知a＝x2＋y2，b＝2x＋4y－6，其中x，y∈R，则 （　　 ）
A. a＞b B. a＜b
C. a≤b D. a≥b
　　【参考答案】因为a－b＝（x2＋y2）－（2x＋4y－6）＝（x2－2x＋1）＋（y2－4y＋4）＋1＝
（x－1）2＋（y－2）2＋1＞0，所以a＞b.故选A.
对点检测1＞
　　（1）对于任意实数a，b，已知A＝a2＋b2，B＝2a＋4b－5，则（　C　）
A. A＞B B. A＜B C. A≥B D. A≤B
【解析】A－B＝（a2＋b2）－（2a＋4b－5）＝（a2－2a＋1）＋（b2－4b＋4）＝（a－1）2＋（b
－2）2≥0，所以A≥B.
C
　　（2）已知代数式M＝2x2－1，N＝－x2＋4x－3，则代数式M与N的大小关系为
（　A　）
A. M＞N B. M＜N C. M≤N D. M≥N
【解析】∵M＝2x2－1，N＝－x2＋4x－3，M－N＝3x2－4x＋2＝32＋ ＞0，∴M＞N.
A
　　利用作差比较法比较代数式大小的基本步骤：（1）作差；（2）变形；
（3）判断变形后代数式的符号；（4）得出结论.
　　1.性质1：如果a＞b，那么a＋c＞b＋c.（加法法则）
　　2. 性质2：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc；如果a＞b，c＜0，那么ac
＜bc.（乘法法则）
　　3. 性质3：如果a＞b，b＞c，那么a＞c.（传递性）
　　4. 性质4：如果a＞b，c＞d，那么a＋c＞b＋d.（同向不等式的可加
性）
　　5. 如果a＋b＞c，那么a＞c－b.（移项法则）
　　6. 如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd.（同向不等式正向可乘性）
好题解析＞
　　例3　若a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）
　　【参考答案】∵a＞b，∴a－3＞b－3，3a＞3b，－a＜－b， a＞ b.故选B.
　　例4　如果实数满足a＞b，那么下列式子中正确的有（　　）
　　①a＋2＞b＋1；②2a＞b；③a－2＞b－1；④ac2＞bc2；⑤a＋c2＞b－c2；⑥3－a＞
3－b.
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
　　【参考答案】因为a＋2＞a＋1＞b＋1，所以①正确；当a＜0时，如－2＞－3，但是－4＜－3，所
以②错误；当a＝2，b＝1时，2＞1，满足a＞b，但是2－2＝1－1，所以③错误；c2可能等于0，所以④
错误；因为c2≥0，所以⑤正确；当a＝2，b＝1时，2＞1，满足a＞b，但是3－2＜3－1，所以⑥错误.故
选A.
对点检测2＞
　　（1）已知实数a，b，c，若c≠0，a＞b，则下列不等式成立的是（　D　）
A. ac＞bc B. a－c＜b＋c
C. ac－1＞bc－1 D. ac2＞bc2
【解析】∵c≠0，∴c2＞0，根据不等式的乘法法则，a＞b ac2＞bc2.
　　（2）若a＜b＜0，则下列不等式不成立的是（　B　）
D. a2＞b2
【解析】∵a＜b＜0，∴ ＞0， ＜0，即 ＞ ，所以选项B错误.
D
B
　　1.区间：一般地，由数轴上两点间的所有实数所组成的集合称为区间，这两
个点称为区间端点.
　　2. 区间的分类
　　设a，b∈R，且a＜b，则：
　　（1）有限区间
集合表示 数轴表示 区间表示
{x｜a≤x≤b} ［a，b］
{x｜a＜x＜b} （a，b）
{x｜a≤x＜b} ［a，b）
{x｜a＜x≤b} （a，b］
　　（2）无限区间
集合表示 数轴表示 区间表示
{x｜x＜b} （－∞，b）
{x｜x≤b} （－∞，b］
{x｜x＞a} （a，＋∞）
{x｜x≥a} ［a，＋∞）
R （－∞，＋∞）
好题解析＞
　　例5　集合{x｜x≤0或x＞3}用区间表示为（　　）
A. （－∞，0］ （3，＋∞）
B. （－∞，0］ ［3，＋∞）
C. （－∞，0） （3，＋∞）
D. （－∞，0） ［3，＋∞）
　　【参考答案】集合{x｜x≤0或x＞3}用区间表示为（－∞，0］ （3，＋∞）.故选A.
　　例6　已知集合A＝ ，B＝［a，＋∞），A B＝ ，则实数
a的取值范围为（　　）
A. （－∞，1］ B. （0，1］
C. （0，1） D. ［0，1］
　　【参考答案】画出数轴，根据交集的定义及本题的相关条件可得出0＜a≤1.故选B.
对点检测3＞
　　（1）已知集合A＝（－1，＋∞），B＝（－∞，2］，则A B＝（　C　）
A. （－∞，2］ B. （－1，＋∞）
C. （－1，2］ D. （－∞，＋∞）
　　（2）设全集U＝{x｜x≤3}，集合A＝{x｜0≤x＜1}，则 UA＝（　B　）
A. （－∞，0］ （1，3］ B. （－∞，0） ［1，3］
C. （－∞，0） （1，3］ D. （－∞，0］ ［1，3］
C
B
4
【考题精选集萃】
思维导航与结构布局·深化理解
基础考题＞
一、单项选择题
1. 已知a，b是非零任意实数，且a＞b，则下列不等式成立的是（　D　）
A. a2＞b2 D. ac2≥bc2
2. 若x＞y，则下列关系式错误的是（　D　）
A. x＋1＞y B. x＋1＞y＋1
C. 2x＞2y D. －x＞－y
D
D
3. a2＋3与2a的大小关系是（　A　）
A. a2＋3＞2a B. a2＋3＝2a
C. a2＋3＜2a D. 无法确定
4. 设a，b，c∈R，且a＞b，则下列结论正确的是（　C　）
A. a2＞b2 C. a＋c＞b＋c D. ac＞bc
A
C
5. 已知a＞b＞0，则下列各式错误的是（　B　）
A. a＋1＞b＋1 B. 2a＜2b
C. 3a＋3＞3b＋2 D. －5a＜－5b
6. 若1≤a≤2，－2＜b≤1，则2a－b的取值范围为（　D　）
A. 4≤2a－b≤7 B. 4＜2a－b≤7
C. 1≤2a－b≤10 D. 1≤2a－b＜6
B
D
7. 不等式3x＋2＜0的解集为（　A　）
8. 若 ≥ ，则实数a的取值范围是（　B　）
A
B
二、填空题
9. 若A＝a2＋3ab，B＝4ab－b2，则A，B的大小关系是 .
10. 若m＜n，则3m－1 3n－1.（填“＞”“＜”或“＝”）
11. 集合{x｜－2≤x＜5}用区间表示为 .
12. 不等式组 的解集用区间表示为 .
A≥B
＜
［－2，5）
（－6，－1）
三、解答题
13. 设a∈R，试比较a2－3a与－a2＋a－3的大小.
解：∵a2－3a－（－a2＋a－3）
＝a2－3a＋a2－a＋3
＝2a2－4a＋3
＝2（a－1）2＋1＞0，
∴a2－3a＞－a2＋a－3.
14. 如果代数式3x－5与代数式x＋2的差不小于3，求x的取值范围.
解：∵代数式3x－5与代数式x＋2的差不小于3，
∴3x－5－（x＋2）≥3，∴2x≥10，∴x≥5，
∴x的取值范围是［5，＋∞）.
15. 已知3＜x＜6，2＜y＜4，求x－2y和x＋2y的取值范围.
解：因为2＜y＜4，所以4＜2y＜8，即－8＜－2y＜－4，
又因为3＜x＜6，所以－5＜x－2y＜2，7＜x＋2y＜14.
递进考题＞
一、单项选择题
1. 下面四个式子中，正确的是（　B　）
A. 2a＞a B. a＋2＞a＋1
C. 2＋a＞2－a
【解析】因为（a＋2）－（a＋1）＝1＞0，所以选项B正确，其余选项都不能确定.
B
2. 若不等式a＞b与 ＞ 同时成立，则必有（　C　）
A. a＞b＞0 B. 0＞a＞b
C. a＞0＞b D. b＞0＞a
【解析】因为不等式a＞b与 ＞ 同时成立，所以只有在a＞0且b＜0时才能同时满足.
C
3. 设ab＞0，则“a＞b”是“ ＜ ”的（　C　）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【解析】由ab＞0可推出a，b同号，则根据a＞b分类讨论可得出 ＜ ，根据 ＜ ，两边同乘ab可
得a＞b.
C
4. 由不等式ax＞b可以推出x＜ ，那么a的取值范围是（　B　）
A. a≤0 B. a＜0 C. a≥0 D. a＞0
5. 不等式－3＜－3x－1＜2的解集是（　A　）
【解析】∵－3＜－3x－1＜2，∴－2＜－3x＜3，∴－1＜x＜ ，∴不等式的解集为 .
B
A
6. 已知x∈R，则x2＋5与4x的大小关系是（　A　）
A. x2＋5＞4x B. x2＋5＜4x
C. x2＋5＝4x D. 无法确定
【解析】由题意得 x2＋5－4x＝（x－2）2＋1，∵（x－2）2≥0，∴（x－2）2＋1≥1，∴x2＋5－4x＝（x
－2）2＋1＞0，∴x2＋5＞4x.
A
7. 已知a＞b＞c，则下列各式中一定成立的是（　B　）
A. ac＞bc B. a－c＞b－c
D. a＋c＞2b
【解析】若c≤0，则选项A错误；若a为正数，b为负数，则选项C错误；选项D中a＋c与2b的大小无法
确定；选项B可由不等式的可加性得出.
8. 设全集U＝R，集合A＝（2，＋∞），B＝［0，4），则（ UA） B＝（　C　）
A. （2，4］ B. ［2，4］ C. ［0，2］ D.
【解析】因为 UA＝（－∞，2］，所以（ UA） B＝［0，2］.
B
C
二、填空题
9. 如果a＞b，c＜0，那么ac bc.（填“＞”“＜”或“＝”）
【解析】∵a＞b，c＜0，∴ac＜bc.
10. 已知a＋b＞0，b＜0，则a，b，－a，－b的大小的关系是 .（用
“＞”连接）
＜
a＞－b＞b＞－a
11. 若不等式2x≥a－3的解集为{x｜x≥5}，则a的值为 .
【解析】由不等式2x≥a－3，得x≥ ，因为不等式2x≥a－3的解集为 ，所以 ＝5，解
得a＝13.
12. 不等式5x－4＞3x＋2的解集为 .（用区间表示）
【解析】∵5x－4＞3x＋2，∴2x＞6，∴x＞3.
13
（3，＋∞）
三、解答题
13. 求不等式组 的整数解.
解：∵2x－4≤4x－3，∴x≥－ .
∵2x－5＜1－x，∴x＜2，
∴不等式组 的整数解为0和1.
14. 已知a＞b＞0，0＜c＜d，求证： ＞ .
证明：因为a＞b＞0，d＞c＞0，
所以ad＞bc，cd＞0，从而ad－bc＞0，
所以 － ＝ ＞0，即 ＞ .
15. 已知a，b∈R. 求证：a2＋b2＋11＞2a－6b.
证明：∵a2＋b2＋11－（2a－6b）
＝a2＋b2＋11－2a＋6b
＝（a2－2a＋1）＋（b2＋6b＋9）＋1
＝（a－1）2＋（b＋3）2＋1＞0.
∴a2＋b2＋11＞2a－6b.

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