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(共8张PPT)
第十章 二元一次方程组
数学活动 二元一次方程的“图象”
1.如图，在平面直角坐标系 中，如果
有一个点的坐标可以用来表示
关于， 的二元一次方程组
的解，那么这个点是
( )
C
A.点 B.点 C.点 D.点
2.阅读下列材料，解答提出的问题:
我们知道，二元一次方程 有无数组解，如果我们把每一
组的解用有序数对 表示，就可以在平面直角坐标系中标出
一些以方程 的解为坐标的点，过这些点中的任意两点作
直线，发现其他点也都在这条直线上，在这条直线上任意取一点，
发现这个点的坐标是方程的解，如点 .若再
写出方程 的一组解：______________________，并在如
（答案不唯一）
图所示坐标系中描出该点，则发现这个点在这条直线上.根据上
面探究，我们发现方程 的“图象”是__________.
（1）请将材料中横线部分缺少的内容补充完整；
一条直线
（2）请在如图所示平面直角坐标系中画出方程 的
“图象”；
解：方程 的“图象”如图所示.
（3）根据所画图象，二元一次方程组 的解是
_ ________；这种用图形的方法得出二元一次方程组的解的过程，
体现的数学思想是___.（填出下列选项的字母代号即可）
A.转化思想 B.数形结合思想 C.方程思想 D.整体思想
B
3.已知关于，的方程组 为常数.
（1）求方程组的解（用含 的式子表示）；
解：
，得， .
将代入①，得 .
原方程组的解为
（2）在平面直角坐标系中，若该方程组中两个方程的“图象”的
交点位于第一、三象限的角平分线上，求 的值.
解：根据题意，得，解得 .
的值为 .(共10张PPT)
第十章 二元一次方程组
易错易混专练
易错点1 忽视二元一次方程定义的隐含条件致错
1.若方程是关于 ， 的二元一次方程，
则 的值为( )
D
A. B. C. D.3
易错点2 代入过程中忘记添加括号或漏乘括号外的系数致错
2.用代入法解方程组 时，将方程①代入方程②正确
的是( )
A
A. B.
C. D.
易错点3 方程变形时，漏乘项致错
3.解方程组：
解： ，得
.
把 代入①,得
,
解得 .
原方程组的解为
易错点4 循环代入致错
4.解方程组：
解：由①，得 .③
将③代入①，得，即 .
原方程组无解.
上述解答过程正确吗？若不正确，请写出正确的解答过程.
解：上述解答过程不正确.正确的解答过程如下：
由①，得 .③
将③代入②，得 .
解得 .
将代入③，得 .
原方程组的解为
易错点5 没有理解二元一次方程组的解的定义致错
5.（2024·宿迁改编）若关于， 的二元一次方程组
的解是求关于， 的方程组
的解.
解：将方程组整理，得
关于，的二元一次方程组的解是
， ，
解得， ，
即关于，的方程组的解是
易错点6 列方程组解应用题时易弄错等量关系
6.做游戏时，男生脸上涂蓝色油彩，女生脸上涂红色油彩，每个
男生看见涂红色油彩的人数比涂蓝色油彩的人数的2倍少1，而每
个女生看见涂蓝色油彩的人数是涂红色油彩的人数的 ,则男生、
女生各有几人？
解：设男生有人，女生有 人.
由题意,得
解得
答：男生有12人，女生有21人.(共19张PPT)
第十章 二元一次方程组
章末复习 二元一次方程组
复习点1 二元一次方程（组）的概念
1.下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
C
A. B.
C. D.
2.（毕节中考）已知关于，的方程 是
二元一次方程，则, 的值为( )
A.， B.，
C.， D.，
A
复习点2 二元一次方程（组）的解
3.写出方程 的所有正整数解：_ _______________.
4.（雅安中考）已知是方程 的解，则代数式
的值为___.
5.（朝阳中考）已知关于,的方程 的解满足
，则 的值为___.
或
1
5
复习点3 解二元一次方程组
6.解以下两个方程组： 较为简
便方法的是( )
D
A.①②均用代入法 B.①②均用加减法
C.①用代入法，②用加减法 D.①用加减法，②用代入法
7.已知，则 ____.
8.解下列方程组：
（1）
解：把①代入②，得 ，
解得 .
把代入①，得 .
这个方程组的解是
（2）
解：由，得，解得 .
把代入①，得 .
这个方程组的解是
复习点4 二元一次方程组的应用
9.（巴中中考）若单项式与是同类项，则 ，
的值分别为( )
A
A., B.,
C., D.,
10.（2024·赤峰）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢
板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板.现在需要58
块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少
块？如果设用A型钢板块，用B型钢板 块，则可列方程组为
( )
C
A. B.
C. D.
11.【新考向·传统文化】（2024·成都）中国古代数学著作《九章算术》
中记载了这样一个题目：今有共买琎，人出半，盈四；人出少半，不足三.
问人数，琎价各几何？其大意是：今有人合伙买琎石，每人出 钱，会多
出4钱；每人出钱，又差了3钱.问人数，琎价各是多少？设人数为 ，琎价
为 ，则可列方程组为 ( )
B
A. B.
C. D.
12.（2024·山西）当下电子产品更新换代速度
加快，废旧智能手机数量不断增加.科学处理废
旧智能手机，既可减少环境污染，还可回收其
中的可利用资源.据研究，从每吨废旧智能手机中能提炼出的白
银比黄金多760克.已知从2.5吨废旧智能手机中提炼出的黄金，与
从0.6吨废旧智能手机中提炼出的白银克数相等.求从每吨废旧智
能手机中能提炼出黄金与白银各多少克.
解：设从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金克，白银 克.
根据题意，得解得
答：从每吨废旧智能手机中能提炼出黄金240克，白银1000克.
13.项目化学习
项目主题：确定最省钱的租车方案
项目背景：为迎接“七·一”党的生日，某校决定于六月下旬组织本
校七、八年级师生前往武乡革命纪念馆进行“传承红色基因，弘
扬革命精神”主题研学活动.
数据收集：
①该学校七、八年级师生共485人参加研学活动，交通费支出预
算为9000元.
②平安租车公司有A，B两种型号的客车可供选择，A型客车每辆
有25个座位，B型客车每辆有55个座位.下表是公司租车记录单上
的部分信息：
租用A型客车数量 租用B型客车数量 租金总费用
3 2 3800元
1 3 3600元
问题解决：利用以上数据完成下列问题.
（1）根据公司租车记录单上的信息，确定A，B两种型号客车每
辆的租金分别是多少元.
解：设每辆A种型号客车的租金是 元，每辆B种型号客车的租金
是 元.
根据题意，得
解得
答：每辆A种型号客车的租金是600元，每辆B种型号客车的租金
是1000元.
（2）该学校本次研学活动准备租用平安租车公司的客车.若每辆
客车恰好都坐满，求出所有满足条件的租车方案.
解：设租用辆A种型号客车， 辆B种型号客车.
根据题意，得 ，
整理，得 .
， 均为非负整数，
或 ，
共有2种租车方案，
方案1：租用15辆A种型号客车，2辆B种型号客车；
方案2：租用4辆A种型号客车，7辆B种型号客车；
（3）若每辆客车不要求恰好坐满，是否存在租车费用不超过预
算的租车方案？如果存在，请写出该方案，并说明理由；如果不
存在，请计算至少要追加多少预算金额.
解：存在租车费用不超过预算的租车方案.
方案为：租用B种型号客车9辆，理由如下：
， ，
该方案符合要求.
复习点5 三元一次方程组
14.方程组 的解为_ _________.
15.纸箱里有红、黄、绿三种颜色的球共68个，其中红球与黄球
的比为 ，黄球与绿球的比为 ，则黄球有____个.
24(共10张PPT)
第十章 二元一次方程组
10.2 消元——解二元一次方程组
10.2.1 代入消元法
第1课时 用代入法解未知数的系数为1或-1的二元
一次方程组
基础 分点训练
中档 提分训练
知识点1 用一个含未知数的式子表示另一个未知数
1.将方程转化为用含的式子表示 的形式，正确的是
( )
A
A. B. C. D.
2.已知方程，用含的式子表示 为___________.
知识点2 用代入法解未知数的系数为1或-1的二元一次方程组
3.对于二元一次方程组将①式代入②式，消去 可
以得到( )
B
A. B.
C. D.
4.二元一次方程组 的解是( )
C
A. B. C. D.
5.用代入法解下列方程组：
（1）（广州中考）
解：
把①代入②，得 ，
解这个方程，得 .
把代入①，得 .
所以这个方程组的解是
（2）
解：由①，得 .③
把③代入②，得 ，
解这个方程，得 .
把代入③，得 .
所以这个方程组的解是
6.以方程组的解为坐标的点 在平面直角坐标系
中的位置是( )
A
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
7.如果单项式与是同类项，那么， 的值分
别是( )
C
A.， B.，
C.， D.，
8.已知关于，的二元一次方程组则用含 的式子表
示 为_____________.
9.（扬州中考）已知方程组的解也是关于， 的方
程的一个解，求 的值.
解：
把②代入①，得 ，
解这个方程，得 .
把代入②，得 .
把，代入方程 ，得
，解这个方程，得 .
所以的值为 .(共10张PPT)
第十章 二元一次方程组
*10.4 三元一次方程组的解法
第1课时 三元一次方程组的解法
基础 分点训练
中档 提分训练
知识点1 三元一次方程组的有关概念
1.下列方程中，属于三元一次方程的是( )
C
A. B.
C. D.
2.下列方程组中，是三元一次方程组的是( )
D
A. B.
C. D.
3.下列四组数中，是三元一次方程组 的解的是
( )
D
A. B. C. D.
知识点2 三元一次方程组的解法
4.解三元一次方程组 要使解法较为简单，应
( )
C
A.先消去 B.先消去 C.先消去 D.先消去常数
5.将三元一次方程组消去未知数 ，得到的二元
一次方程组为_ _____________
6.（黔东南中考）解方程组
解：，得 ,④
，得 ,⑤
，得，解得 .
把代入⑤，得，解得 .
把， 代入①，得
，解得 .
因此，这个三元一次方程组的解为
7.解三元一次方程组若想消掉未知数 ，则
应对方程组变形为( )
C
A.， B.，
C.， D.，
8.已知且，则 的值为____.
9.解方程组：
解：设，则， ，
，
，解得 .
,, .
原方程组的解为
目
录
2x+y=10,
5.将三元一次方程组x一2y+z=4,消去末知数z,得到的二元
3x-y-z=1
次方程组为
獬：③+①，得3x+5y=11,④
③×2+②，得3x+3y=9,⑤
④
⑤，得2y=2,解得y=1.
把y=1代入⑤，得3x+3=9,解得x=2.
把x=2,y=1代入①，
得
4+3十z=6,解得z
X二
因此，这个三元一次方程组的解为
x+y+z=3,①
7.解三元一次方程组3x+2y+z=10,②若想消掉未知数z,则
2x-y+Z=-1,③
应对方程组变形为(
解：设x=7a,则y=8a,z=9a,
:2x+7y-6z=16,
.14a+56a-54a=16,解得a=1.
x=7a=7y=8a=8,z=9a=9.
.原方程组的解为y(共11张PPT)
第十章 二元一次方程组
*10.4 三元一次方程组的解法
第2课时 三元一次方程组的简单应用
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 三元一次方程组的简单应用
1.甲、乙、丙三数之和为98，甲∶乙，乙丙，则乙
( )
D
A.50 B.45 C.40 D.30
2.在等式中，当时，；当
时，；当时，，求，， 的值.
解：根据题意，得
，得，即 .④
把③代入④，得,解得 .
把， 代入①，得
，解得 .
的值为1，的值为1， 的值为1.
3.已知某个三角形的周长为 ，其中两条边的长度之和等于
第三条边长度的2倍，而它们的差等于第三条边长度的 ，求这个
三角形三边的长度.
解：设这个三角形的三边长分别为，， .
根据题意，得解得
答：这个三角形的三边长分别为，， .
4.【新考向·代数推理】一个三位数，各个数位上数字之和为10，
百位数字比十位数字大1.如果百位数字与个位数字对调，则所得
新数比原数的3倍还大61，那么原来的三位数是( )
C
A.235 B.216 C.217 D.208
5.如图，在某张桌子上放相同的木块，， ，则桌子
的高度是____.
70
6.某顾客到商场购买甲、乙、丙三种款式的服装.若购买甲4件，
乙7件，丙1件共需450元；若购买甲5件，乙9件，丙1件共需520
元，则该顾客购买甲、乙、丙各1件共需_____元.
240
7.（六盘水中考）为确保信息安全，在传输时往往需加密，发送
方发出一组密码，，时，则接收方对应收到的密码为， ，
.双方约定：，， ，例如发出1，2，
3，则收到0，4，5.
（1）当发送方发出一组密码为2，3，5时，则接收方收到的密码
是多少？
解：根据题意，得， ，
.
答：接收方收到的密码是1,6,8.
（2）当接收方收到一组密码为2，8，11时，则发送方发出的密
码是多少？
解：根据题意，得解得
答：发送方发出的密码是3,4,7.(共8张PPT)
第十章 二元一次方程组
专题训练（九） 求含参数的二元一次方程组中的参
数值
类型1 解含参数的二元一次方程组，根据解的关系求参数值
把二元一次方程组中的参数看成已知数，解这个方程组，再根据
方程组解的关系，建立以参数为未知数的方程（组），解这个方
程（组），即可求得参数值.
1.若关于 ，的二元一次方程组 的解是二元一次方
程的解，则 的值是_ _.
类型2 已知二元一次方程组解的关系，利用整体思想求参数值
含参数的二元一次方程组中，运用两个二元一次方程直接相加减
（或再除以一个系数），得到与参数相关的式子，再结合已知条
件中式子的值，得到关于参数的方程，解方程即可求得参数值.
2.若关于 ，的二元一次方程组的解， 互
为相反数，则 的值为____.
3.若关于，的二元一次方程组 的解满足
，则 的值是___.
2
类型3 根据两个方程组同解求参数值
两个方程组的解相同，则这对解代入四个方程都成立，即任意两
个方程组成方程组都能得到这对公共解.解这种题的常用方法：
先将两个不含参数的二元一次方程结合起来组成一个方程组，求
出该方程组的解；再将所求的解代入另两个含参数的方程中，进
而求出参数的值.
4.若方程组与方程组 的解相同，求
的值.
解：由题意，得 解得
把代入 得
解得
.
类型4 根据方程组的错解求参数值
因看错某个方程的系数解出的方程组的解，是原方程组的错解，
是看错系数后的新方程组的解.因此，将此解代入方程组中看错
系数的方程，可以解出看错的系数；代入没看错系数的方程，可
以解出正确的系数.
5.解方程组时，小明把写错，得到错解
而正确的解是 求，， 的值.
解：把和分别代入 ，得
解得
把代入 ，得
.解得 .
，， .(共19张PPT)
第十章 二元一次方程组
10.3 实际问题与二元一次方程组
第2课时 几何图形问题与工程问题
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 几何图形问题
1.一块长方形菜园，长是宽的3倍，如果长减少3米，宽增加4米,
这个长方形就变成一个正方形.设这个长方形菜园的长为 米,宽为
米，根据题意，可列出方程组为( )
B
A. B.
C. D.
2.一副三角尺按如图所示的方式摆放，比大 .若设
， ，则可列方程组为_ ____________.
3.如图,8个完全相同的小长方形拼成1个大长方形，每个小长方形
的长和宽分别是多少
解:设每个小长方形的长是，宽是 .
根据题意,得解得
答:每个小长方形的长是，宽是 .
知识点2 工程问题
4.（营口中考）2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收
割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收
割小麦8公顷.1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少
公顷？设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦公顷和
公顷.根据题意，可列方程组为( )
C
A. B.
C. D.
5.某种仪器由1个A部件和1个B部件配套构成.每个工人每天可以
加工A部件100个或者加工B部件60个，现有16名工人，应怎样安
排人力，才能使每天生产的A部件和B部件配套？设每天安排 名
工人生产A部件， 名工人生产B部件，则可列出二元一次方程组
为_ ____________.
6.【一题多解】（教材P103练习T3变式）在A，B两城市间准备
修建一条长为1200千米的高速公路，若该任务由甲、乙两工程队
先后接力完成路基建设，甲工程队每天修建4千米，乙工程队每
天修建2千米，两工程队共需500天完成路基建设，求甲、乙两工
程队分别修建高速公路路基多少千米.根据题意，小刚同学列出
了一个尚不完整的方程组
（1）根据小刚同学所列的方程组，请你分别指出未知数， 表
示的意义：表示________________________________， 表示
________________________________；
甲工程队修建高速公路路基的天数
乙工程队修建高速公路路基的天数
（2）小红同学设甲工程队修建高速公路路基 千米，乙工程队修
建高速公路路基 千米，请你利用小红同学设的未知数解决问题.
解：根据题意，得
解得
答：甲工程队修建高速公路路基400千米，乙工程队修建高速公
路路基800千米.
7.甲、乙两组工人原计划本月生产零件680个，结果甲组超额完
成，乙组超额完成 ，于是两组共比原计划多生产118个
零件，本月甲、乙两组原计划生产的零件个数分别是( )
A
A.320个，360个 B.360个，320个
C.384个，414个 D.414个，384个
8.如图，在长方形 中，放入5个形状、大小均相同的小长方
形（空白部分），其中， ，则小长方形的
长为______，阴影部分图形的总面积为________
9.（2024·潮州一模）【综合实践】
主题：制作一个有盖长方体盒子.
操作：如图，在长方形纸片 中，
， ，剪掉阴影部
分后，剩下的纸片可折成一个底面是
正方形的有盖长方体盒子.
计算：求这个有盖长方体盒子的高和底面正方形的边长.
解：设这个有盖长方体盒子的高为 ，底面正方形的边长为
，
根据题意，得解得
答：这个有盖长方体盒子的高为 ，底面正方形的边长为
.
10.一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修队同时施工，8天可
以完成，需付两队费用3520元；若先请甲队单独做6天，再请乙
队单独做16天可以完成，需付费用4040元.
（1）甲、乙两队工作一天，商店各应付多少钱？
解：设甲队工作一天商店应付元，乙队工作一天商店付 元.
由题意，得解得
答：甲队工作一天商店应付300元，乙队工作一天商店付140元.
（2）若装修完，商店每天可盈利200元，则如何安排施工更有利
于商店？请说明理由.
解：甲队单独施工更有利于商店，理由如下：
设甲队的工作效率为，乙队的工作效率为 ，
根据题意，得解得
甲队单独施工需要10天完成，乙队单独施工需要40天完成.
若甲队单独施工，需费用 （元），商店少盈利
（元），相当于商店损失
（元）；
若乙队单独施工，需费用 （元），商店少盈利
（元），相当于商店损失
（元）；
若甲、乙两队同时施工，需费用 （元），
商店少盈利 （元），商店相当于损失
（元）.
，
甲队单独施工时，商店损失费用最少，即对商店最有利.
答：甲队单独施工更有利于商店.(共8张PPT)
第十章 二元一次方程组
课标新动向（情境创设） 二元一次方程组的应用与
数学传统文化
【概述】2022版新课标首次明确提及中华优秀传统文化，秉承在
试题命制上，设计合理的生活情境、数学情境、科学情境，适当
引入数学传统文化.
1.《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：
“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等，交易其一，金轻
十三两，问金、银各重几何？”意思是：甲袋中装有黄金9枚
（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相
同），称重，两袋重量相等.两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻
了13两（袋子重量忽略不计），问黄金、白银每枚各重多少两？
设每枚黄金重两，每枚白银重 两.根据题意可列出方程组为
( )
A.
B.
C.
D.
√
2.《九章算术》是我国东汉年间编订的一部数学经典著作，在它
的“方程”一章里，一次方程组是由算筹排布而成的.如图1，图2，
图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数， 的系数与对
应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形
式表述出来，就是 类似地，图2所示的算筹图可以
表述为_ ______________
图1
图2
3.《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算
术》相仿，其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的问题，
通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡
雏三值钱一，凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何.”译文：
公鸡每只值五文钱，母鸡每只值三文钱，小鸡每三只值一文钱，
现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小
鸡各有多少只？三种鸡都有购买的方案共有___种.
3
4.（2024·淮安）《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其
中有这样一个问题：“今有客不知其数.两人共盘，少两盘；三人
共盘，长三盘.问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人.若2
个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出
来3个盘子.问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题.
解：设有个客人， 个盘子.
根据题意，得
解得
答：有30个客人，13个盘子.(共18张PPT)
第十章 二元一次方程组
10.3 实际问题与二元一次方程组
第1课时 和差倍分问题
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 和差倍分问题
1.买钢笔和铅笔共30支，其中钢笔的数量比铅笔数量的2倍少3支.
若设买钢笔支，铅笔 支，根据题意，可列方程组为( )
D
A. B.
C. D.
2.（2024·绵阳）如图，每只蜻蜓有6条腿，2对翅膀，每只蝉有
6条腿，1对翅膀.现有若干蜻蜓和蝉，共有42条腿，10对翅膀，
则蜻蜓和蝉的只数分别是( )
A
A.3，4 B.4，3 C.2，5 D.5，2
3.（2024·无锡三模）“践行垃圾分类·助力双碳目标”主题班会结
束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池.米乐说：“我比你多收
集了7节废电池.”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数
量就是你的2倍.”如果他们说的都是真的，设米乐收集了 节废电
池，琪琪收集了 节废电池，根据题意可列方程组为( )
A
A. B.
C. D.
4.（2024·吉林）钢琴素有“乐器之王”的美称.
键盘上白色琴键和黑色琴键共有88个，
白色琴键比黑色琴键多16个.求白色琴键和黑色
琴键的个数.
解：设白色琴键的个数为个，黑色琴键的个数为 个，根据题
意，得
解得
答：白色琴键的个数为52个，黑色琴键的个数为36个.
5.【新考向·跨学科】在我国民间流传着许多诗歌形式的数学问题，
它们大多是关于方程或方程组的应用题.下面是一道“周瑜寿属”问题.
而立之年督东吴，早逝英年两位数；
十比个位正小三，个位六倍与寿符；
哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？
诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位
上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个
两位数，求周瑜病逝时的年龄.
解：设这个两位数的十位上的数字是，个位上的数字为 .
根据题意，得
解得
这个两位数为36.
答：周瑜病逝时的年龄是36岁.
6.【新考向·传统文化】（2024·日照）我国明代数学家程大位编
撰的《算法统宗》记载了“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，
索比竿子长一托，折回索子来量竿，却比竿子短一托，问索、竿
各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若用绳去量竿，则绳
比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺，问绳和竿
各有多长？”设绳长尺，竿长 尺，根据题意，得( )
（注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托 尺）
A. B.
C. D.
√
7.10年前，小明妈妈的年龄是小明的6倍，10年后，小明妈妈的
年龄是小明的2倍，小明和他妈妈现在的年龄分别是多少岁？设
小明现在是岁，小明的妈妈现在是 岁，则根据题意可列方程组
为_ ___________________
8.如图方格的右边和下面分别是小亮在一次数学实践活动中记录
的水果总重量，则表格中“？”处的数值是____.
苹果 苹果 苹果 苹果 28
苹果 苹果 香蕉 香蕉 30
香蕉 梨 菠萝 苹果 20
菠萝 菠萝 梨 香蕉 16
？ 19 20 30
25
9.某商家销售A，B两种查干湖野生鱼.已知购买1箱A种鱼和2箱B
种鱼需花费1300元，购买2箱A种鱼和3箱B种鱼需花费2300元.分
别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格.
解：设每箱A种鱼的价格为元，每箱B种鱼的价格为 元，根据
题意，
得解得
答：每箱A种鱼的价格为700元，每箱B种鱼的价格为300元.
10.【综合与实践】
【问题情境】某企业为鼓励职工们在业余时间多运动，举办了篮
球赛.球赛的积分榜如下表：
队名 比赛场次 胜 负 积分
甲队 7 7 0 14
乙队 7 6 1 13
丙队 7 5 2 12
丁队 7 4 3 11
（注：平局后出现加时赛,一定比出胜负.）
【数据分析】
（1）从表中数据可知，胜一场积___分，负一场积___分；
2
1
【初步探究】
（2）某队的负场总积分能等于它的胜场总积分的2倍吗？
解：不能.理由如下：
设该队胜的场次为场,负的场次为 场.根据题意，得
解得
胜、负的场次不可能为分数,
方程组的解不符合实际，故该队的负场总积分不能等于它的胜
场总积分的2倍.
【深入探究】
（3）某队的胜场总积分能等于它的负场总积分的5倍吗？
解：能.理由如下：
设该队胜的场次为场,负的场次为 场.根据题意，得
解得
该队的胜场总积分能等于它的负场总积分的5倍.(共9张PPT)
第十章 二元一次方程组
核心素养专练
1.【真实生活情境、应用意识】现代办公纸张通常以， ，
，，等标记来表示纸张的幅面规格，一张 纸可裁成2张
纸或4张纸.现计划将100张纸裁成纸和 纸，两者共计
300张，设可裁成纸张，纸 张，根据题意，可列方程组为
( )
D
A. B.
C. D.
2.【数形结合、应用意识】用大小完全相同的长
方形纸片在直角坐标系中摆成如图所示图案，
已知，则 点的坐标是( )
D
A. B. C. D.
3.【开放性试题】若关于，的二元一次方程组 的解
为则含，的多项式 可以是______________________
（写出一个即可）.
（答案不唯一）
4.【推理能力、应用意识】甲、乙两同学玩“托球赛跑”
游戏，规定：用球拍托着乒乓球从起跑线 起跑，绕
过 点跑回到起跑线（如图所示）；途中乒乓球掉下
时须捡起并回到掉球处继续赛跑，用时少者获胜.结
果甲同学由于心急，掉了球，浪费了6秒钟，乙同学以 的
速度顺利跑完全程.事后，甲同学说：“我俩所用的全部时间的和
为50秒”，乙同学说：“捡球过程不算在内时，甲同学的速度是我
的1.2倍.”请根据图文信息解决下列问题：
（1）甲同学的赛跑速度是___ ；
（2）在此次“托球赛跑”游戏中，____同学获胜（填“甲”或“乙”）
（3）点到起跑线的距离为____ .
3
乙
30
5.【运算能力、推理能力、创新意识】三个同学对问题“若方程组
的解是求方程组 的解”
提出各自的想法.甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解.”乙
说：“它们的系数有一定的规律，可以试试.”丙说：“能不能把第
二个方程组的两个方程的两边都除以5，通过换元法来解决 ”参
考他们的讨论，求方程组 ,的解.
解：依题意，可将方程组 的两边同除以5，
转化为
设方程组中，，得新方程组 它
与已知方程组 的系数完全相同，故解相同，即
解得
方程组的解为(共11张PPT)
第十章 二元一次方程组
10.2 消元——解二元一次方程组
10.2.2 加减消元法
第1课时 直接用加减法解二元一次方程组
基础 分点训练
中档 提分训练
知识点1 加减消元法——同一未知数的系数相同或互为相反数
1.解方程组时， ，得( )
C
A. B. C. D.
2.解方程组 时，既可用_____________________
消去未知数，也可用________消去未知数 .
（或）
3.（2024·广西）解方程组：
解：
，得，解得 .
，得，解得 .
所以方程组的解为
知识点2 加减消元法——同一未知数的系数成倍数关系
4.用加减消元法解二元一次方程组 时，下列方法
中无法消元的是( )
D
A. B.
C. D.
5.【一题多解】（2024·浙江）解方程组：
解：（解法一）
得， .
解得 .
把代入①，得 ，
解得 .
所以这个方程组的解是
（解法二）
得， .
解得 .
把代入①，得 ，
解得 .
所以这个方程组的解是
6.（2024·济宁一模）在解二元一次方程组 时，
若可直接消去未知数，则和 满足下列条件是( )
C
A. B. C. D.
7.已知关于，的方程组和 有相同
的解，那么 值是( )
D
A.5 B.4 C.3 D.6
8.已知方程组的解为
（1）求， 的值；
解： 方程组的解为
即
，得，解得 .
把代入①，得 .
故， .
（2）求 的值及其算术平方根.
解：由（1）,得， ，
则 .
， 的算术平方根为2.(共18张PPT)
第十章 二元一次方程组
10.1 二元一次方程组的概念
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 认识二元一次方程（组）
1.下列方程组中，是二元一次方程组的是( )
A
A. B.
C. D.
2.已知方程是关于，的二元一次方程，则 满
足的条件是( )
D
A. B. C. D.
3.已知方程是二元一次方程，则___， ___.
4
1
知识点2 二元一次方程（组）的解
4.（无锡中考）下列四组数中，不是二元一次方程 的
解的是( )
D
A. B. C. D.
5.下列四组数值中，是二元一次方程组 的解的是
( )
D
A. B. C. D.
6.下面三对数值：
（1）满足方程 的是______；
（2）满足方程 的是______；
（3）方程组 的解是____.（填序号）
②③
①②
②
7.已知是方程的一组解，则 __.
8.【新趋势·开放结论】已知二元一次方程 ，请写出
该方程的一组整数解_ ______________________.
（答案不唯一）
知识点3 建立二元一次方程（组）模型
9.某校举行篮球赛，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分，
负一场得1分.八（1）班在16场比赛中得26分.设该班胜场，负
场，则根据题意，下列方程组中正确的是( )
D
A. B.
C. D.
10.（2024·大连一模）在玩一类卡牌游戏时，作为游戏中“法官”
的小胖将卡牌平均分给其他参与游戏的同学（法官不持有卡牌），
每轮每人分发一张卡牌.在分发了2轮之后，小胖发现，手中原来
的张卡牌现在仅剩3张，而参与游戏的总人数为 人，则根据题
意，可列方程为( )
B
A. B.
C. D.
易错点 忽视二元一次方程定义的隐含条件致错
11.（2024·武威二模）若方程是关于，
的二元一次方程，则 的值为( )
D
A. B. C.0 D.1
12.二元一次方程 的正整数解有( )
C
A.1组 B.2组 C.3组 D.4组
13.【新考向·传统文化】（2024·泰安）我国古代《四元玉鉴》
中记载“二果问价”问题，其内容大致如下：用九百九十九文钱，
可买甜果苦果共一千个，若 ， ，试问买甜果苦果各几个？
若设买甜果个，买苦果 个，可列出符合题意的二元一次方程组
根据已有信息，题中用“ ， ”表示的缺失
的条件应为( )
A.甜果七个用四文钱，苦果九个用十一文钱
B.甜果十一个用九文钱，苦果四个用七文钱
C.甜果四个用七文钱，苦果十一个用九文钱
D.甜果九个用十一文钱，苦果七个用四文钱
√
14.（2024· 东台市一模）已知二元一次方程，若
与互为相反数，则， 的值为( )
D
A.， B.，
C.， D.，
15.若关于，的二元一次方程组的解是 其中
的值被墨渍盖住了，则 的值是_ _.
16.（教材P90习题变式）已知甲种物品每个重 ，乙种物品
每个重，现有甲种物品个，乙种物品个，共重 .
（1）列出关于， 的二元一次方程为______________；
（2）若，则 ___；
（3）若乙种物品有8个，则甲种物品有___个.
4
5
17.【新考向·情境素材】（教材P90习题 变式）（齐齐哈尔中
考）为提高学生学习兴趣，增强动手实践能力，某校为物理兴趣
小组的同学购买了一根长度为 的导线，将其全部截成
和 两种长度的导线用于实验操作（每种长度的导线至
少一根），则截取方案共有( )
C
A.5种 B.6种 C.7种 D.8种
由二元一次方程（组）的解求参数值
【方法指导】直接将方程（组）的解代入方程（组）中，得到以
参数为未知数的新方程（组），求解新方程（组），即可求出参
数值，或将新方程变形后整体代入相关式子求值.
1.已知是方程的一个解，那么 的值是( )
A
A.1 B.3 C. D.
【变式】 （金华中考）已知是方程 的一个
解，则 的值是___.
2.若关于，的二元一次方程组的解是则
的值为___.
【变式】 【整体思想】已知二元一次方程 的一
个解为则 ____.
2
1(共17张PPT)
第十章 二元一次方程组
专题训练（十） 二元一次方程组的实际应用
类型1 销售、利润问题
1.根据经营情况，公司对某商品在甲、乙两地的销售单价进行了
如下调整：甲地上涨 ，乙地降价5元.已知销售单价调整前甲
地比乙地少10元，调整后甲地比乙地少1元，求调整前甲、乙两
地该商品的销售单价.
解：设调整前甲地该商品的销售单价为 元，乙地该商品的销售
单价为元，根据题意，得 解得
答：调整前甲地该商品的销售单价为40元，乙地该商品的销售单
价为50元.
2.某企业积极落实二十大精神，争取通过增收减支，到今年年底
使企业利润翻一番.该企业的具体目标是：保证今年总产值比去
年增加，总支出比去年减少 .已知该企业去年的利润
（利润 总产值-总支出）为200万元，求今年的总产值，总支出
分别是多少万元？
解：设去年的总产值为万元，总支出为 万元，
则今年的总产值为万元，总支出为 万元.
根据题意，得
解得
， .
答：今年的总产值为720万元，总支出为320万元.
类型2 分配、配套问题
3.（巴中中考）某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美
术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成
两部分，一部分做侧面，另一部分做底面.已知每张卡纸可以裁
出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成
一个包装盒，那么这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为( )
C
A.6 B.8 C.12 D.16
4.近几年来，新能源汽车在中国已然成为汽车工业发展的主流趋
势.某汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装
288辆.由于抽调不出足够的熟练工来完成新式电动汽车的安装，
工厂决定招聘一些新工人.他们经过培训后上岗，也能独立进行
电动汽车的安装.生产开始后发现：
2名熟练工和1名新工人每月可安装10辆电动汽车；3名熟练工和2
名新工人每月可安装16辆电动汽车.
（1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？
解：设每名熟练工每月可以安装 辆电动汽车，每名新工人每月
可以安装 辆电动汽车.
根据题意，得
解得
答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可
以安装2辆电动汽车.
（2）如果工厂抽调名熟练工，招聘 名新工人，刚
好能完成一年的安装任务，求 的值.
解：根据题意，得 .
整理得 .
，且， 均为正整数，
或或或
的值为4或6或8或10.
类型3 填数问题
5.相传大禹时期，洛阳市西洛宁县洛河中浮出神龟，背驮“洛书”，献给大禹，
大禹依此治水成功，逐划天下为九州，图1是我国古代传说中的洛书，图2
是洛书的数字表示.洛书是一个三阶幻方，就是将已知的9个数填入 的
方格中，使每一行、每一列以及两条斜对角线上的数字之和都相等. 在图3
的幻方中也有类似于图2的数字之和的这个规律，则 的值为 ( )
D
图1
图2
图3
A.1 B.2 C.3 D.4
6.《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比
赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学
的魅力.如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要
求：
①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；
②外圆两直径上的四个数字之和相等.
求图中两空白圆圈内应填写的数字.
解：设图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为， .
根据题意，得
整理，得解得
答：图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字分别为2和9.
类型4 方案选择问题
7.某商场计划用40000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市
场需求.已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为甲
型号手机每部1200元，乙型号手机每部400元，丙型号手机每部
800元.
（1）若全部资金只用来购进其中两种不同型号的手机共40部，
请你设计出该商场的进货方案；
解： （元），
必买甲种型号手机.
当购进甲和乙两种型号手机时，设购进甲种型号手机 部，乙种
型号手机 部.
根据题意，得 ，
解得
当购进甲和丙两种型号手机时，设购进甲种型号手机 部，丙种
型号手机 部.
根据题意，得
解得
该商场有两种进货方案，方案1：购进甲种型号手机30部，乙
种型号手机10部；方案2：购进甲种型号手机20部，丙种型号手
机20部.
（2）该商场每销售一部甲型号手机可获利120元，每销售一部乙
型号手机可获利80元，每销售一部丙型号手机可获利120元，那
么在同时购进两种不同型号手机的几种方案中，哪种进货方案获
利最多？
解：方案1获得的利润为： （元）.
方案2获得的利润为： （元）.
，
方案2：购进甲种型号手机20部，丙种型号手机20部获得的利
润最多.(共12张PPT)
第十章 二元一次方程组
10.2 消元——解二元一次方程组
10.2.1 代入消元法
第2课时 用代入法解未知数的系数不为1或-1的二
元一次方程组
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 用代入法解未知数的系数不为1或-1的二元一次方程组
1.已知方程，用含的式子表示_ ____；用含
的式子表示 _ ____.
2.用代入法解下列方程组：
（1）
解：由①，得
把③代入②，得 .
解这个方程，得 .
把代入③，得 .
所以这个方程组的解是
（2）
解：方程组整理，得
由①，得 .③
把③代入②，得 .
解这个方程，得 .
把代入③，得 .
所以这个方程组的解是
知识点2 用代入法解二元一次方程组的简单应用
3.（淮安中考）某停车场的收费标准如下：中型汽车的停车费为15
元/辆，小型汽车的停车费为8元/辆.现在停车场内停有30辆中、小
型汽车，这些车共缴纳停车费324元，求中、小型汽车各有多少辆？
解：设中型汽车有辆，小型汽车有 辆.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：中型汽车有12辆，小型汽车有18辆.
4.已知，则___， ___.
1
4
5.某商店用2900元购进甲、乙两种饮料共150箱，每箱饮料的成
本价与销售价如下：
饮料品种 成本价（元） 销售价（元）
甲 18 24
乙 22 25
（1）该商场购进甲、乙两种饮料各多少箱？
解：设该商场购进甲种饮料箱，乙种饮料 箱，根据题意，得
解得
答：该商场购进甲种饮料100箱，乙种饮料50箱.
（2）该商场销售完这150箱饮料后可获得利润多少元？
解： （元）.
答：该商场销售完这150箱饮料后可获得利润750元.
6.【阅读理解问题】阅读下列材料，解答问题.
解方程组：
解：由①，得 .③
把③代入②，得 .
解这个方程，得 .
把代入③，得 .
所以这个方程组的解是
这种方法称为“整体代入法”.
二元一次方程组的解是________(共8张PPT)
第十章 二元一次方程组
课标新动向（情境创设） 二元一次方程组的应用与
跨学科融合
【概述】2022版新课标指出：在试题命制上，要探索命制问题解
决及多学科融合试题.
1.在我国民间流传着许多诗歌形式的数学计算题，这些题目叙述
生动、活泼，它们大多是关于方程或方程组的应用题.由于诗歌
的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，
令人耳目一新，回味无穷.请你计算下列诗歌计算题：
（1）悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，试
问风速是多少？这首诗的意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时
顺风，1000里只用了4分钟；回来时逆风，4分钟走了600里，则
风速为____里/分钟；
50
（2）一千官兵一千布，一官四尺无零数；四兵才得布一尺，请
问官兵多少数？这首诗的意思是：一千名官兵分一千尺布，一名
军官分四尺，四名士兵分一尺，正好分完，则军官有_____名，
士兵有_____名.
200
800
2.用含药和的两种防腐药水，配制含药 的防腐药水
36千克，则两种药水各需多少千克？
解：设需要含药的药水，含药的药水 ，
根据题意，得
解得
答：需要含药的药水，含药的药水 .
3.“市长杯”青少年校园足球联赛的比赛规则是：胜一场得3分，平
一场得1分，负一场得0分.七年级“星梦”足球队在第一轮比赛中赛
了9场，只负了2场，共得17分.那么该队胜了几场，平了几场？
解：设该队胜了场，平了 场，
根据题意，得
解得
答：该队胜了5场，平了2场.
4.（娄底中考）“绿水青山就是金山银山”，科学研究表明：树叶
在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有
滞尘净化空气的作用.已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一
片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少 ，若一片国槐树叶与
一片银杏树叶一年的平均滞尘总量为 .
（1）请分别求出一片国槐树叶和一片银杏树叶一年的平均滞尘量；
解：设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为 ，一片国槐树叶
一年的平均滞尘量为 .
根据题意，得解得
答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为 ，一片银杏树叶一
年的平均滞尘量为 .
（2）娄底市双峰县九峰山森林公园某处有始于唐代的三棵银杏
树，据估计三棵银杏树共有约50000片树叶.问这三棵银杏树一年
的平均滞尘总量约多少千克？
解： ；
答：这三棵银杏树一年的平均滞尘总量约2千克.(共18张PPT)
第十章 二元一次方程组
10.3 实际问题与二元一次方程组
第3课时 图文信息问题与行程问题
基础 分点训练
中档 提分训练
拓展 素养训练
知识点1 图文信息问题
1.如图,两架天平均保持平衡，且每块巧克力的重量相等，每个果
冻的重量也相等，则一块巧克力的重量是( )
C
A. B. C. D.
2.某中学八（1）班45名同学参加市“精准扶贫”捐款助学活动，共
捐款400元，捐款情况记录如下表：
捐款（元） 3 5 8 10
人数 2 31
表格中捐款5元和8元的人数不小心被墨水污染.若设捐款5元的有
名同学，捐款8元的有 名同学，则可列方程组为( )
A
A. B.
C. D.
3.（2024·河南节选）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号
召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种
食品作为午餐.这两种食品每包质量均为 ，营养成分表如下.
若要从这两种食品中摄入热量和 蛋白质，应选用A，
B两种食品各多少包？
解：设选用A种食品包，B种食品 包.
根据题意，得
解得
答：应选用A种食品4包，B种食品2包.
知识点2 行程问题
4.甲、乙两地相距360千米，一艘轮船往返于甲、乙两地之间，
顺水行船用18小时，逆水行船用24小时.若设船在静水中的速度
为千米/时，水流速度为 千米/时，则下列方程组中正确的是
( )
A
A. B.
C. D.
5.甲、乙两人分别从相距40千米的两地同时出发，若同向而行，
则5小时后甲追上乙;若相向而行，则2小时后两人相遇,那么甲、
乙两人的速度（单位:千米/时）分别是( )
A
A.14和6 B.24和16 C.28和12 D.30和10
6.（教材P103探究3变式）某果品公司通往甲、乙两地都要经过
水路和陆路，这家公司从甲地购进一批水果运回公司加工成果汁
再销往乙地.已知水路、陆路的运价及里程数如下表：
水路 陆路
从甲地到公司 20 30
从公司到乙地 10 40
运价（元/ ） 2 1
若这两次运输共支出水路运费10 000元，陆路运费8 000元,问该
公司运进水果及运出果汁各多少吨
解：设该公司运进水果吨，运出果汁 吨.
根据题意，得
解这个方程组，得
答：该公司运进水果240吨，运出果汁20吨.
7.作业本中有这样一道题：小明去郊游，上午9时从家中出发，
先走平路，然后登山，中午12时到达山顶，原地休息 后沿原
路返回，正好下午3时到家.若他平路每小时走 ，登山每小时
走，下山每小时走 ，求小明家到山顶的路程.小李查看
解答时发现此题答案中的方程组因有污损，只看清其中一个方程
为“ ”，则答案中另一个方程应为( )
A
A. B.
C. D.
8.小虎、大壮和明明三人玩飞镖游戏，各投5支镖，规定在同一环
内得分相同，中靶和得分情况如图所示，则大壮的得分是____分.
23
9.（2024·北京大兴区一模）某学校开展“浸书香校园，品诗词之
美”读书活动.现有A，B两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本
A书籍和每本B书籍厚度之比为 .根据图中所给出的数据信息，
则每本A书籍的厚度为______.
10.茜茜受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒、大球和小球进
行了如下操作，请根据图中给出的信息，解答下列问题：
（1）放入一个小球水面升高___
，放入一个大球水面升高
___ ；
2
3
（2）如果要使水面上升到 ，应放入大球、小球各多少个？
解：设应放入个大球， 个小球.根据题意，得
解这个方程组，得
答：应放入4个大球，6个小球.
11.【新考向·情境素材】（教材P116活动二变式）（2024·宣城
模拟）我们知道自行车一般是由后轮驱动，因此，后轮胎的磨损
要超过前轮胎，假设前轮行驶6000公里报废，后轮行驶4000公里
报废.如果在自行车行驶若干公里后，将前后轮进行对换，求这
对轮胎最多可以行驶多少公里.
解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为 ，则安装在前轮
的轮胎每行驶1公里的磨损量为 ，安装在后轮的轮胎每行驶1
公里的磨损量为 .
设一对新轮胎交换位置前行驶了公里，交换位置后行驶了 公里.
根据题意，得
，得 .
整理，得 .
答：这对轮胎最多可以行驶4800公里.(共10张PPT)
第十章 二元一次方程组
专题训练（八） 二元一次方程组的解法
类型1 代入法或加减法
1.利用合适的方法解方程组：
（1）
解：把①代入②，得，解得 .
把代入①，得 .
原方程组的解为
（2）
解： ,得.解得 .
把代入①,得.解得 .
原方程组的解为
类型2 整体代入法或整体求值法
2.阅读下面的解题方法.
解方程组时，由①，得 .把③代
入②，得.解得，从而进一步求得 这
种方法被称为“整体代入法”.
请用同样的方法回答下列问题.
（1）直接写出方程组 的解：_ _______；
（2）解方程组：
解：由②，得，即 .③
把③代入①，得，解得 .
把代入②，得 .
原方程组的解是
类型3 换元法
3.阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组
时，采用了一种“整体换元”的解法.
把，看成一个整体，设， ，则原
方程组可化为解得
即解得
（1）学以致用，用换元法解方程组 时，设
， ，则原方程组可化为_ ____________；
（2）拓展提升，已知关于，的方程组 的解为
请直接写出关于，的方程组 的
解：_ ________；
（3）请你用上述方法解方程组：
解：设， ，则原方程组可化为
即
解得即
解得 原方程组的解为
目
录
解：把①代入②，得2(4y+1)-5y=8,解得y=2.
把y=2代入①，得x=4×2+1=9.
.原方程组的解为
2.
解：①×3+②×2，得19x=57.解得x=3.
把x=3代入①，得9+2y=11解得y=1.
∴.原方程组的解为
2.阅渎下面的解题方法
解方程组
x-y1=00时，由0，得x-y=1 把代
4(x-y)-y=5②
入②，得4×1-y=5.解得y=-1,从而进一步求得
这
种方法被称为“整体代入法”
解：由②，得y-2x=3,即2y一4x=6.③
把③代入①，得2+2x=4,解得x=1.
把x=1代入②，得y=5.
·原方程纽的解是
3.阅读材料：善于思考的乐乐同学在解方程组
中++公0十时果用了一种型模元的
把m+5,n+3看成一个整体，设m+5=x,n+3=y,则原
方程组可化为x+=解得
即m+5
解得
+3=2
(1)学以致用，用换元法解方程组
x-V
x+y
时，设
m,岩=n,则原方程组可化为
(2)拓展提升，已知关于x,y的方程组2X一b:Y二C1的解为
lazx b2y c2
请直接写出关于m,的方程组1m十》-h:n=c的
a2(m+2)-b2n=c2
解(共17张PPT)
第十章 二元一次方程组
综合与实践 二元一次方程组在实际生活中的应用
1.根据以下素材，探索完成任务.
背景 某校组织了一场以“追光少年，青春飞扬”为主题运动员 选拔赛，七（2）班班主任为奖励同学们在选拔赛中的优 异表现，让班长小林去奶茶店购买A，B两款奶茶. 素材1 买2杯A款奶茶，3杯B款奶 茶共需76元；买4杯A款奶 茶，7杯B款奶茶共需168元. _____________________________________________________________
素材2 为了满足市场需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾
客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料.
素材3 班长小林用了336元购买A，B两款共四种不同的奶茶，
其中A款不加料的杯数是购买奶茶总杯数的 .
续表
问题解决
任务1 问A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？
解：设A款奶茶的销售单价是元，B款奶茶的销售单价是 元.
根据素材1，得解得
答：A款奶茶的销售单价是14元，B款奶茶的销售单价是16元.
任务2 在不加料的情况下，若购买A，B两种款式的奶茶
（两种都要）刚好花280元，问有哪几种购买方案？
解：设购买杯A款奶茶， 杯B款奶茶.
根据题意，得.整理，得 .
，均为正整数，或
共有2种购买方案：购买12杯A款奶茶，7杯B款奶茶或购买4杯
A款奶茶，14杯B款奶茶.
任务3 结合素材3，班长小林购买的奶茶中B款加料的奶茶买了多
少杯？
解：设班长小林购买的奶茶中A款不加料的奶茶买了 杯，A款
加料的奶茶和B款不加料的奶茶买了 杯，则B款加料的奶茶买了
杯.
根据题意，得 .
整理，得 .
，，均为正整数，
.
答：班长小林购买的奶茶中B款加料的奶茶买了7杯.
2.（2024·金华期末）根据以下素材，探索完成任务：
素材1 某校“半亩方塘”劳动基地打算用如图所示的围栏搭建一
块蔬菜基地.已知围栏的横杠长为 ，竖杠长为
，一副围栏由2个横杠，5个竖杠制作而成.
_____________________________________________________________________
素材2 为了深度参与学校蔬菜基地的建立，劳动实践小组打算
自己购买材料，制作搭建蔬菜基地的围栏.已知这种规格
的围栏材料每根长为 ，价格为50元/根.
续表
解决问题
任务要求
解决办法
任务1 一根 长的围栏材料有哪些裁剪方法呢？（余料作废）
方法①：当只裁剪 长的用料时，最多可裁剪___根.
7
方法②：当先裁剪下1根 长的用料时，余下部分最多能裁剪
长的用料___根.
方法③：当先裁剪下2根 长的用料时，余下部分最多能裁剪
长的用料___根.
5
2
任务2 要求搭建蔬菜基地需用到的围栏长为 （即需要制
作8副围栏，需要的用料为：16个横杠，40个竖杠）.
劳动实践小组打算用“任务1”中的方法②和方法③完成裁剪任务.
请计算：分别用“任务1”中的方法②和方法③各裁剪多少根长为
的围栏材料，才能恰好得到所需要的相应数量的用料？
解：设用“任务1”中的方法②裁剪根，方法③裁剪 根.
根据题意，得解得
答：用“任务1”中的方法②裁剪6根，方法③的裁剪5根.
任务3 劳动实践小组准备优化围栏：将横杠材料由每根 调
整为每根，再将其中两根竖杠材料由每根 调整为每根
（其他三根竖杠长度不变）.
若要搭建任务2中所需的围栏长度，每根 的材料
恰好可裁下2根，根，根 的用料（无剩余）或
者若干根的用料（可剩余）.问：购买 的材料至少需要
多少费用？若材料有剩余，请求出剩余材料的长度.（剩余材料
不可拼接）
解：由题意可知，需制作 （副）围栏，
需要的用料为：（个）的横杠，
（个）的竖杠，（个） 的竖杠.
每根材料无剩余裁剪时， ，即
.
，均为正整数，，，即可裁下2根 ，1根
，2根 的用料.
每根材料有剩余裁剪时，（根） ，
即可裁下7根 的用料.
故的横杠需（根） 的材料进行无剩余
裁剪，此时还可裁下20根的竖杠和10根 的竖杠，还
需的竖杠 （根）.
每根材料有剩余裁剪时，可裁下7根 的用料，
根的竖杠，需要裁剪材料
（根），
则材料剩余 .
故总共需的材料 （根），共需要
（元）.
答：购买 的材料至少需要650元，剩余材料的长度为
.(共12张PPT)
第十章 二元一次方程组
10.2 消元——解二元一次方程组
10.2.2 加减消元法
第2课时 适当变形后用加减法解二元一次方程组
基础 分点训练
中档 提分训练
知识点1 适当变形后用加减法解二元一次方程组
1.（2024·河北一模）甲、乙两人在解方程组 时，
有如下讨论：
甲：我要消掉，所以 ；
乙：我要消掉，所以 .
下列判断正确的是( )
A.甲、乙方法都可行 B.甲、乙方法都不可行
C.甲方法可行，乙方法不可行 D.甲方法不可行，乙方法可行
√
2.（眉山中考）解方程组：
解：，得 .③
，得 .④
，得， .
把代入②，得 ，
所以这个方程组的解是
知识点2 用加减消元法解二元一次方程组的简单应用
3.（2024·安徽）乡村振兴战略实施以来，很多外出人员返乡创
业.某村有部分返乡青年承包了一些田地，采用新技术种植A，B两
种农作物.种植这两种农作物每公顷所需人数和投入资金如下表：
农作物品种 每公顷所需人数 每公顷所需投入资金（万元）
A 4 8
B 3 9
已知农作物种植人员共24位，且每人只参与一种农作物种植，投
入资金共60万元，问A，B这两种农作物的种植面积各多少公顷？
解：设A种农作物的种植面积是 公顷，B种农作物的种植面积是
公顷.
根据题意，得解得
答：A种农作物的种植面积是3公顷，B种农作物的种植面积是4
公顷.
4.解方程组 的
思路可用如图所示的框图表示，
圈中应填写的对方程①②所做的
变形为( )
C
A. B.
C. D.
5.【新定义问题】对有理数， 定义新运算：
，其中，是常数.若 ，
，则 的值为( )
B
A.40 B.41 C.45 D.46
6.【整体思想】阅读理解：
已知实数，满足①，，求 和
的值.仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题
可以通过适当变形求得代数式的值，如由 ，得
，由，得 .这样的解题思想
就是通常所说的“整体思想”.
利用“整体思想”，解决下列问题：
（1）已知二元一次方程组则____，
___；
（2）若是方程组的解，则 ___.
3
2

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