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第5章　指数函数与对数函数
5.1　实数指数幂及指数函数
5.1.2　指数函数
考点一　指数函数的概念
1. 一般地，形如y＝ax（a＞0且a≠1）的函数称为指数函数，其中，常数a称 为指数函数的底数，指数x为自变量.指数函数的定义域为R，值域为（0，＋∞）.
考点二　指数函数的图像与性质
2. 对于指数函数y＝ax（a＞0且a≠1），当x＝0时，y＝1；当a＞1时，函数y ＝ax在（－∞，＋∞）上是增函数，且当x＜0时，0＜y＜1，当x＞0时，y＞1 （如图1所示）；当0＜a＜1时，函数y＝ax在（－∞，＋∞）上是减函数，且 当x＜0时，y＞1，当x＞0时，0＜y＜1（如图2所示）.
考点三　指数型函数
3. 一般地，形如y＝cax（其中c为常数，且c＞0，底数a＞0且a≠1）的函数模 型叫作指数函数模型.当a＞1时，该函数模型叫作指数增长模型；当0＜a＜1 时，该函数模型叫作指数衰减模型.
考向一　指数函数的概念和性质
典型例题
例1　（2022届安徽省中职“江淮十校”第十次学情监测）若指数函数f（x）＝ （1－a）x满足f（a）＞f（1），则a的取值范围是（　　）.
A. （1，＋∞） B. （0，＋∞）
C. （－∞，1） D. （0，1）
【典例解析】本题考查指数函数的概念和单调性.因为函数f（x）＝（1－a）x 是指数函数，所以1－a＞0且1－a≠1，即a＜1且a≠0.又因为f（a）＞f （1），所以指数函数f（x）＝（1－a）x是减函数，因此0＜1－a＜1，解得0 ＜a＜1，即a的取值范围是（0，1）.故选D.
【方法提炼】在指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）中，当0＜a＜1时，
f（x）＝ax是减函数；当a＞1时，f（x）＝ax是增函数，且指数函数f（x）＝ ax的图像恒过点（0，1）.
变式训练1
A. f（－1）＜1＜f（3） B. 1＜f（－1）＜f（3）
C. f（3）＜1＜f（－1） D. f（3）＜f（－1）＜1
【解析】因为f（2）＜1，所以0＜a＜1，所以函数f（x）＝ax为R上的减函 数，所以f（3）＜f（0）＜f（－1），即f（3）＜1＜f（－1）.
C
考向二　利用指数函数的性质求解函数定义域
典型例题
A. R B. {x｜x≠0}
C. {x｜x≥0} D. {x｜x＞0}
变式训练2
A. {x｜x≠1} B. {x｜x≠－1}
C. {x｜x≠0} D. {x｜x∈R}
C
考向三　指数函数的值域及最值问题
典型例题
变式训练3
A. 0 B. 1 D. 3
C
考向四　指数函数图像的综合考查
典型例题
例4　（2024届安徽省中职“江淮十校”第二次学情监测）函数f（x）＝ax－b （a＞0且a≠1）的图像如图所示，则a，b的值可能是（　　）.
A. a＝5，b＝0.5 B. a＝5，b＝－5
C. a＝0.5，b＝0.5 D. a＝0.5，b＝－5
【典例解析】本题考查指数函数的图像与性质.由题图和题意可知，函数f（x） ＝ax－b的图像是由函数y＝ax的图像向下平移b个单位得到的，且0＜b＜1.当 0＜a＜1时，指数函数y＝ax在R上单调递减，故只有a＝0.5，b＝0.5符合要 求.故选C.
【方法提炼】利用指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图像研究其性质的口 诀：“大1增，小1减，图像恒过（0，1）点”.即当指数函数f（x）＝ax（a＞0 且a≠1）的底数a＞1时，函数在R上是单调递增的；底数0＜a＜1时，函数在R 上是单调递减的；并且函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）的图像恒过定点（0， 1）.
变式训练4
A　　　　　　　　B　　　　　　　C　　　　　　　 D
【解析】函数y＝ax＋a（a＞0，a≠1）的图像可以看成由指数函数y＝ax的 图像向上平移｜a｜个单位，D项符合要求.
D
A. a－1＜a0＜a2 B. a2＜a0＜a－1
C. a0＜a－1＜a2 D. a2＜a－1＜a0
【解析】因为指数函数y＝ax的图像经过点（2，4），代入得a2＝4，结合a＞0 且a≠1，解得a＝2.指数函数y＝2x在R上是增函数，指数越大，函数值越大. 因为－1＜0＜2，因此2－1＜20＜22，即a－1＜a0＜a2.
A
C. （－∞，1） D. （1，＋∞）
B
C. y＝5x D. y＝1.7x
B
A. 2 B. 3 C. 4 D. －2
【解析】指数函数y＝（m－1）x的图像过点（2，9），将x＝2，y＝9代入解 析式得（m－1）2＝9，即m－1＝3或m－1＝－3，解得m＝4或m＝－2.又因 为指数函数的底数m－1＞0且m－1≠1，即m＞1且m≠2，因此m＝4.
C
B. 2a＞2b
D. e－a＞e－b
B
A. b＜a＜c B. a＜b＜c
C. c＜a＜b D. b＜c＜a
A
A. （1，1） B. （0，1）
C. （1，0） D. （1，2）
A. a＜c＜b B. a＜b＜c
C. b＜c＜a D. c＜b＜a
【解析】因为a＝0.91.1＜0.90＝1，b＝1.10.9＞1.10＝1，c＝100＝1，则a＜c ＜b.
D
A
A. （－∞，0] B. [0，＋∞）
C. （－∞，1] D. [1，＋∞）
A
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【解析】指数函数y＝2x的定义域为R，值域为（0，＋∞），图像过点（0，1） 且经过第一、二象限.函数f（x）＝2x－2的图像可由函数y＝2x的图像向下平 移2个单位得到，f（x）＝2x－2的值域为（－2，＋∞），图像过点（0，－1）.
因此f（x）＝2x－2的图像不经过第二象限.
B
A. 2 B. －2 C. 1或－2 D. 2或－2
D
A. （－∞，3） B. （3，＋∞）
C. （－∞，1） D. （1，＋∞）
A
A. a＞1，－1＜b＜0
B. a＞1，0＜b＜1
C. 0＜a＜1，－1＜b＜0
D. 0＜a＜1，0＜b＜1
【解析】由题给的函数f（x）＝ax＋b（a＞0且a≠1）的图像可知，函数
f（x）＝ax＋b在其定义域上单调递增，易知a＞1.令x＝0，则f（0）＝a0＋b ＝1＋b，由图像知，0＜1＋b＜1，则－1＜b＜0.
A
A. 是奇函数 B. 是偶函数
C. 既不是奇函数也不是偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数
B
（2，＋∞）
（－∞，－1]
（1，－3）
一
20. 已知函数f（x＋1）＝2x＋3，则f（3）＝ .
【解析】令x＋1＝3，得x＝2，把x＝2代入函数f（x＋1）＝2x＋3，得f（3） ＝f（2＋1）＝22＋3＝7.
7
22. 设函数f（x）＝ax－1＋1（a＞0且a≠1），若函数f（x）的图像经过点 （3，5）.求：
（1）a的值；
解：（1）因为函数f（x）的图像经过点（3，5），
所以a3－1＋1＝5，即a2＝4，
又因为a＞0且a≠1，所以a＝2.
（2）不等式f（x）＞9的解集.
解：（2）由（1）知函数f（x）＝2x－1＋1，因为f（x）＞9，即2x－1＋1＞9，
所以2x－1＞8，即2x－1＞23，
又因为y＝2x在R上是增函数，
所以x－1＞3，解得x＞4，
所以该不等式的解集为（4，＋∞）.
24. 已知指数函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）在区间[1，2]上的最大值与最小 值的差为6，求实数a的值.
解：当a＞1时，函数f（x）＝ax在[1，2]上是增函数，
由题意，得a2－a＝6，即a2－a－6＝0，解得a＝3或a＝－2（舍去）；
当0＜a＜1时，函数f（x）＝ax在[1，2]上是减函数，
由题意，得a－a2＝6，即a2－a＋6＝0，此时无解.
综上所述，实数a的值为3.

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