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第5章　指数函数与对数函数
5.2　对数及对数函数
5.2.2　对数函数
考点一　对数函数的概念
1. 一般地，形如y＝logax（a＞0且a≠1）的函数称为对数函数.
考点二　对数函数的图像与性质
2. 函数y＝logax（a＞0且a≠1）的定义域为（0，＋∞），值域为R.
3. 在函数y＝logax（a＞0且a≠1）中，当 x＝1时，函数值y＝0.
4. 当a＞1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上是增函数（如图1所示）；当0＜a ＜1时，函数y＝logax在（0，＋∞）上是减函数（如图2所示）.
考向一　利用对数函数的单调性比较数值的大小
典型例题
例1　（2020年安徽省文化素质分类考试）已知函数f（x）＝log0.3x，则下列关 系式正确的是（　　）.
【方法提炼】利用对数函数的单调性比较数值的大小时，如果底数相同，直接根 据底数大于1是增函数，底数大于0小于1是减函数进行比较，但要注意把不含对 数符号的数写成对数式（如0＝loga1，1＝logaa）；如果底数不同，通常要找 “中间数”（如0＝loga1，1＝logaa），再利用对数函数的单调性进行比较；指 数式和对数式比较时也要找“中间数”0或1.
变式训练1
A. 1.20.2＞1.20.3 B. 0.21.3＞0.21.2
C. log1.20.2＞log1.20.3 D. log0.20.3＞log0.21.3
【解析】选项A，函数y＝1.2x在R上单调递增，所以1.20.2＜1.20.3；选项B，函 数y＝0.2x在R上单调递减，所以0.21.3＜0.21.2；选项C，函数y＝log1.2x在 （0，＋∞）上单调递增，所以log1.20.2＜log1.20.3；选项D，函数y＝log0.2x在 （0，＋∞）上单调递减，所以log0.20.3＞log0.21.3.
D
A. a＞b＞c B. a＞c＞b
C. c＞b＞a D. b＞a＞c
D
考向二　求解含有对数的不等式
典型例题
例2　解不等式log2（x－3）＜1.
【典例解析】本题考查求解含对数的不等式.
由题意，得log2（x－3）＜log22，
因为函数y＝log2x在（0，＋∞）上是增函数，所以x－3＜2，解得x＜5.
又因为真数也要大于零，即x－3＞0，解得x＞3，
故原不等式的解集是（3，5）.
【方法提炼】解含对数的不等式（或方程）的关键在于把不等式（或方程）两边 化为同底的对数式，然后利用对数函数的单调性列出关于真数的不等式（或方 程），最后求出解（注意真数要大于零）.
变式训练2
考向三　对数函数的定义域
典型例题
例3　函数y＝log2（－x2＋x＋12）的定义域是（　　）.
A. （－∞，－3）∪（4，＋∞） B. （－3，4）
C. （－∞，－4）∪（3，＋∞） D. （－4，3）
【典例解析】本题考查对数函数定义域的求法以及解一元二次不等式.要使函数 有意义，必须满足－x2＋x＋12＞0，即x2－x－12＜0，解得－3＜x＜4，所以该 函数的定义域为（－3，4）.故选B.
【方法提炼】求对数函数y＝logax（a＞0且a≠1）的定义域时应满足真数x ＞0.
变式训练3
A. （－∞，1）∪（2，＋∞） B. （1，＋∞）
C. （2，＋∞） D. [2，＋∞）
C
考向四　对数函数的图像与性质及指数函数的图像与性质的综合考查
典型例题
　　　 A　　　　　 　　　B　　　　　　　　　C　　　　　　　　D
【方法提炼】利用对数函数f（x）＝logax（a＞0且a≠1）的图像研究其性质 的口诀：“大1增，小1减，图像恒过（1，0）点”.即当对数函数f（x）＝logax （a＞0且a≠1）的底数a满足a＞1时，函数在（0，＋∞）上是单调递增的；底 数a满足0＜a＜1时，函数在（0，＋∞）上是单调递减的；对数函数f（x）＝ logax（a＞0且a≠1）的图像恒过定点（1，0）.
变式训练4
A B C D
【解析】由指数函数y＝（2a－1）x是R上的增函数可知，2a－1＞1，解得a ＞1.则函数y＝loga（x＋1）在其定义域上也是增函数，又因为x＋1＞0，解 得x＞－1，所以函数y＝loga（x＋1）的定义域为（－1，＋∞），故A项符 合题意.
A
一、选择题
A. y＝log2x2 B. y＝log2（x－1）
C. y＝log2x D. y＝2log2x
【解析】一般地，形如y＝logax（a＞0且a≠1）的函数称为对数函数，故选项 C符合题意.
C
A. f（x）＝ sin x
C. f（x）＝－x2 D. f（x）＝ln（x－1）
D
A. （2，1） B. （3，1）
C. （1，0） D. （3，0）
【解析】令x－2＝1，解得x＝3.f（3）＝log31＋1＝0＋1＝1.因此函数图像恒 过定点（3，1）.
A. －2 B. 0 C. 1 D. 2
【解析】将点（7，－1）的坐标代入函数y＝log2（x＋m）－3，得－1＝
log2（7＋m）－3，则log2（7＋m）＝2，即7＋m＝4，解得m＝－3，所以函数解析式为y＝log2（x－3）－3.当x＝5时，y＝log22－3＝－2.
B
A
A. 函数图像过定点（0，1） B. 函数在定义域上单调递增
C. 当x＞1时，y＜0 D. 函数的定义域为R
C
A. [0，1）∪（1，＋∞）
C. [0，＋∞） D. （0，＋∞）
C
A. （0，1） B. （1，－2）
C. （－3，－1） D. （3，－1）
C
　　　　　A　　　　　　 B　　　　　　　C　　　　　　D
C
A. a＞1，0＜b＜1 B. a＞3，0＜b＜4
C. 0＜a＜1，b＞1 D. 0＜a＜3，b＞4
【解析】由log3a＞1＞log4b，得log3a＞log33，log44＞log4b，则a＞3，0＜ b＜4.
A. （－∞，2） B. （－∞，2]
C. （2，＋∞） D. [2，＋∞）
【解析】要使函数y＝log3（2－x）有意义，须满足2－x＞0，解得x＜2，因此 函数的定义域为（－∞，2）.
B
A
A
A
　　A　　 　　　　　　 B　　　　　　　　　C　　　　　　　　　D
A
A. 0.73＜30.7＜log30.7 B. 0.73＜log30.7＜30.7
C. log30.7＜0.73＜30.7 D. log30.7＜30.7＜0.73
【解析】由指数函数的性质可知，0.73＞0，30.7＞0，又因为函数y＝0.7x在R上 是减函数，函数y＝3x在R上是增函数，所以0.73＜0.70＝1，30.7＞30＝1，因此0 ＜0.73＜30.7，又因为函数y＝log3x在（0，＋∞）上是增函数，所以log30.7＜ log31＝0，所以log30.7＜0.73＜30.7.
C
二、填空题
15. 已知函数f（x）＝log5（x＋4）－2，则f（21）的值为 .
【解析】将x＝21代入函数f（x）＝log5（x＋4）－2，得f（21）＝log5（21＋ 4）－2＝log525－2.又log525＝log552＝2，因此f（21）＝2－2＝0.
16. 比较大小：log23 log34.（填“＞”“＜”或“＝”）
0
＞
17. 函数y＝log2（x－1）的定义域为 .（用区间表示）
18. 若函数f（x）＝log（a－1）x在（0，＋∞）上是减函数，则实数a的取值范围 是 .（用区间表示）
【解析】因为函数f（x）＝log（a－1）x在（0，＋∞）上是减函数，所以0＜a－ 1＜1，解得1＜a＜2，所以实数a的取值范围是（1，2）.
（1，＋∞）
（1，2）
20. 已知函数f（x）＝loga（x＋b）（a＞0且a≠1）的图像经过（1，1）， （0，0）两点，则函数f（x）的解析式为 .
f（x）＝log2（x＋1）
22. 解不等式log0.2（x2－x－6）＜log0.2（2x＋4）.
23. 若函数y＝logax（a＞0且a≠1）在区间[a，2a]上的最大值与最小值的和为 3，求实数a的值.
解：∵函数y＝logax（a＞0且a≠1）在（0，＋∞）上为单调函数，∴在区间 [a，2a]端点处取得最值.
∵f（a）＝logaa＝1，又∵函数y＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值的 和为3，∴f（2a）＝loga2a＝2，即a2＝2a，解得a＝2或a＝0（舍去）.
综上所述，实数a的值为2.
24. 若函数y＝lg（kx2＋kx＋4）的定义域为R，求实数k的取值范围.
解：根据题意可知，不等式kx2＋kx＋4＞0在R上恒成立，
①当k＝0时，kx2＋kx＋4＝4＞0，符合题意；
②当k＜0时，函数y＝kx2＋kx＋4的图像为开口向下的抛物线，函数值不可能 恒大于零，不符合题意；
③当k＞0时，要使kx2＋kx＋4＞0在R上恒成立，则Δ＝k2－16k＜0，即0＜k＜ 16.
综上所述，实数k的取值范围是[0，16）.

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