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第6章　平面解析几何
6.2　圆的方程及直线与圆的位置关系
6.2.1　圆的方程
考点一　圆的定义
1. 圆的定义：平面内到定点的距离为定长的动点的轨迹称为圆.这个定点叫作圆 心，定长叫作半径.
考点二　圆的标准方程
2. 圆的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2，其中圆心坐标为（a，b）， 半径为r.
3. 圆的标准方程的求法：
（1）根据圆的几何性质求出圆心坐标和半径，写出方程；
（2）已知条件与圆心坐标（a，b）和半径r有关，列关于a，b，r的方程组， 求出a，b，r的值，写出方程.
4. 圆心的确定方法：
（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上；
（2）圆心在圆的任意弦的垂直平分线上.
考向一　圆的标准方程
典型例题
例1　（1）（2024年安徽省文化素质分类考试）以点（1，－1）为圆心，且过坐 标原点的圆的方程为（　　）.
A. （x－1）2＋（y＋1）2＝4 B. （x＋1）2＋（y－1）2＝4
C. （x－1）2＋（y＋1）2＝2 D. （x＋1）2＋（y－1）2＝2
（2）（2019年安徽省文化素质分类考试）已知点A（－1，2），B（3，0）， 则以线段AB的中点为圆心，1为半径的圆的标准方程是（　　）.
A. （x－1）2＋（y－1）2＝1 B. （x－2）2＋（y－2）2＝1
C. （x＋1）2＋（y＋1）2＝1 D. （x＋2）2＋（y＋2）2＝1
变式训练1
分别求出满足下列各条件的圆的标准方程：
解：（1）由题意可知，圆的标准方程为（x－3）2＋（y－4）2＝5.
（2）经过点P（5，1），圆心为点C（8，－3）.
考向二　圆的一般方程
典型例题
例2　（1）（2023年安徽省文化素质分类考试）过三点A（0，0），B（－4， 0），C（0，－2）的圆的方程是（　　）.
A. （x＋2）2＋y2＝5 B. x2＋（y＋1）2＝5
C. （x＋2）2＋（y＋1）2＝5 D. （x＋1）2＋（y＋2）2＝5
（2）已知圆C的一般方程为x2＋y2＋2x－4y＋4＝0，求圆C的圆心坐标和半 径.
（2）本题考查圆的一般方程.将圆C的一般方程x2＋y2＋2x－4y＋4＝0转化为 标准方程，得（x＋1）2＋（y－2）2＝1，
所以圆心坐标为（－1，2），半径r＝1.
变式训练2
A. R B. （－∞，1）
C. （－∞，1] D. [1，＋∞）
【解析】由题意可知D2＋E2－4F＝（－4）2＋22－4×5k＝16＋4－20k＞0，解 得k＜1，所以k的取值范围是（－∞，1）.
（2）已知圆C的方程为x2＋y2－4x＋6y＋9＝0，求圆C的圆心坐标和半径.
解：将圆的一般方程x2＋y2－4x＋6y＋9＝0化为标准方程为（x－2）2＋（y＋ 3）2＝4，
所以圆心坐标为（2，－3），半径为2.
B
A. （－1，2），2 B. （1，－2），2
C. （－1，2），4 D. （1，－2），4
【解析】圆（x＋1）2＋（y－2）2＝4的圆心坐标为（－1，2），半径r＝2.
A. （x－1）2＋（y＋2）2＝5 B. （x－1）2＋（y＋2）2＝25
C. （x＋1）2＋（y－2）2＝5 D. （x＋1）2＋（y－2）2＝25
A
C
A. x2＋y2－2x－3y＝0 B. x2＋y2＋2x－3y＝0
C. x2＋y2－2x＋3y＝0 D. x2＋y2＋2x＋3y＝0
A
A. （x－5）2＋（y＋2）2＝5 B. （x－5）2＋（y＋2）2＝25
C. （x＋5）2＋（y－2）2＝5 D. （x＋5）2＋（y－2）2＝25
A. （x－1）2＋（y＋2）2＝1 B. （x－1）2＋（y＋2）2＝4
C. （x＋1）2＋（y－2）2＝1 D. （x＋1）2＋（y－2）2＝4
A. （x＋1）2＋（y＋2）2＝40 B. （x－1）2＋（y－2）2＝40
C. （x＋1）2＋（y＋2）2＝10 D. （x－1）2＋（y－2）2＝10
D
D
D
D. （1，＋∞）
A
B
A. m＝2，n＝4 B. m＝－2，n＝－4
C. m＝4，n＝4 D. m＝－4，n＝－4
【解析】因为圆心坐标为（1，－2），半径为3的圆的标准方程为（x－1）2＋ （y＋2）2＝9，化为一般方程为x2＋y2－2x＋4y－4＝0，所以m＝4，n＝4.
A. －1 B. 0 C. 1 D. 2
C
B
A. （x－2）2＋（y＋1）2＝1 B. （x－2）2＋（y－1）2＝1
C. （x－1）2＋（y＋2）2＝1 D. （x＋1）2＋（y＋2）2＝1
【解析】圆（x＋2）2＋（y－1）2＝1的圆心坐标为（－2，1），半径为1，因 为该圆与圆C关于原点中心对称，所以圆C的圆心坐标为（2，－1），半径为 1，所以圆C的标准方程为（x－2）2＋（y＋1）2＝1.
A
【解析】已知点A（1，－2），B（－3，4），由线段的中点坐标公式可知AB 的中点坐标为C（－1，1），设圆C的半径为r，由题意得2πr＝2π，解得r＝ 1，所以圆C的标准方程为（x＋1）2＋（y－1）2＝1.
B
D. 2
A
A. （－1，0） B. （2，0）
C. （－2，0） D. （1，0）
【解析】根据题意可知圆C的方程为（x＋1）2＋y2＝1＋4x，将方程转化为圆 的标准方程为（x－1）2＋y2＝1，所以圆心C的坐标为（1，0）.
D
二、填空题
15. 已知圆C的一般方程为x2＋2x＋y2＝0，则圆C的半径为 .
16. 已知两点P1（3，8）和P2（5，4），以线段P1P2为直径的圆的标准方程 为 .
1
（x－4）2＋（y－6）2＝5
【解析】方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0，即（x＋a）2＋（y＋a）2 ＝1－a.若其表示圆，则1－a＞0，解得a＜1，即实数a的取值范围为（－∞， 1）.
（x－2）2＋
y2＝25
（x－
2）2＋y2＝10
（－∞，1）
20. 已知圆的圆心坐标为（3，4），半径为5，则点O（0，0）与该圆的位置关 系为 .
【解析】由题意可知，该圆的标准方程为（x－3）2＋（y－4）2＝25，把点O 的坐标代入圆的标准方程，得（0－3）2＋（0－4）2＝25，∴点O在圆上.
点O在圆上
三、解答题
21. 求过三点O（0，0），M（2，4），N（1，1）的圆的一般方程.
22. 已知圆C的圆心坐标为（1，－2），且经过点P（4，2），求圆C的标准 方程.
23. 已知圆C的圆心的横坐标为2，且与两坐标轴的正半轴相切，求圆的标准 方程.
解：因为圆C的圆心的横坐标为2，且与两坐标轴的正半轴相切，所以圆心纵坐 标也为2，半径r＝2.
即圆的标准方程为（x－2）2＋（y－2）2＝4.
24. 圆C与直线3x＋4y－14＝0相切于点（2，2），其圆心在直线x＋y－11＝0 上，求圆C的一般方程.

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