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第6章　平面解析几何
6.1　直线
6.1.2　两条直线的位置关系
考点一　两条直线的位置关系
1. 在平面直角坐标系中，当平面上两条直线不平行于坐标轴时，有如下表 所示结论：
　 　　直线方程
位置关系 　 　　 l1：y＝k1x＋b1
l2：y＝k2x＋b2 l1与l2组成的方程组
平行 k1＝k2且b1≠b2 无解
重合 k1＝k2且b1＝b2 无数解
相交 k1≠k2 有唯一解
垂直 k1k2＝－1 有唯一解
考点二　点到直线的距离
3. 两条平行直线间的距离的求法：先在其中一条直线上取一个坐标数值比较简单 的点，然后利用点到直线的距离公式，求出这个点到另一条直线的距离，即为两 条平行直线间的距离.
考向一　两条直线的位置关系
典型例题
例1　（1）（2019年安徽省文化素质分类考试）过点（0，1）且与直线x－y＋2 ＝0平行的直线方程为（　　）.
A. x－y＋1＝0 B. x－y－1＝0
C. x＋y＋1＝0 D. x＋y－1＝0
（2）（2023年安徽省文化素质分类考试）已知直线l1：y＝－2x＋1，l2：y＝ kx－1.若l1⊥l2，则k＝（　　）.
C. －2 D. 2
（3）（2023届安徽省中职“江淮十校”第九次学情监测）若直线l经过以A （3，－4），B（－1，2）为端点的线段的中点，且与直线2x－y＋3＝0垂直， 则直线l的方程为（　　）.
A. x－2y－1＝0 B. x＋2y＋1＝0
C. x－2y＋1＝0 D. x＋2y－1＝0
【典例解析】（1）本题考查两条直线平行.因为直线x－y＋2＝0的斜率为1，所 以所求直线的斜率k＝1.又因为所求直线过点（0，1），所以所求直线方程为y －1＝x，即x－y＋1＝0.故选A.
【方法提炼】（1）求过已知定点P（x0，y0）且与已知直线Ax＋By＋C＝0平 行的直线方程的方法：先求直线Ax＋By＋C＝0的斜率，得出所求直线的斜率， 再根据已知定点用点斜式即可求出直线的方程.
（2）当两条直线的斜率k1，k2都存在时，两条直线垂直的充要条件是k1k2＝－1.
（3）本题考查线段的中点坐标公式，根据两直线互相垂直时斜率的关系，可求 出过中点直线的斜率，再根据点斜式方程求出直线的方程.
变式训练1
A. 9 B. －9 C. 4 D. －4
D
A. －2 D. 2
D
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
A
考向二　点到直线的距离
典型例题
例2　（2024年安徽省文化素质分类考试）点（3，1）到直线y＝x－4的距离为 （　　）.
B. 2 D. 6
【方法提炼】直接将点的坐标代入点到直线的距离公式，即可得出点到直线 的距离.
变式训练2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
B
A
考向三　两条平行直线间的距离
典型例题
例3　已知直线l1：3x－6y＋9＝0与直线l2：x－2y－2＝0平行，则这两条直线 之间的距离为 　　　　.
【方法提炼】两条平行直线间的距离的求法：先在其中一条直线上取一个坐标数 值比较简单的点，通常取x＝0或y＝0对应的点，然后利用点到直线的距离公 式，求出这个点到另一条直线的距离，即为两条平行直线间的距离.
变式训练3
A. 8 B. 2
D
一、选择题
C. 2 D. －2
A. 相交且垂直 B. 平行
C. 重合 D. 相交但不垂直
A
A
A. x＋y－4＝0 B. x－y－4＝0
C. x＋y－2＝0 D. x－y－2＝0
A. －1 B. 1 C. －1或1 D. 0
【解析】由题意可知，直线x－y＋m＝0与直线x－my－1＝0平行，所以两条 直线的斜率相等，故m＝1，经检验，符合题意.
A. －2 B. 2
D
B
B
A. （1，－2） B. （1，2）
C. （2，－1） D. （－2，1）
C. 1
D
D
A. x＝1 B. x＝2 C. y＝1 D. y＝2
【解析】作简图可得，直线方程为y＝2.
A. x－3y＋21＝0 B. 3x＋y＋3＝0
C. x＋3y－15＝0 D. 3x－y＋15＝0
D
B
D
A. （－1，－1） B. （1，0）
C. （－3，－2） D. （3，1）
A
A. 3 B. 2 C. 0 D. 无法确定
【解析】作简图可得，直线l：x＝－3与y轴之间的距离为3.
C. －2 D. 2
A
C
A. －2 B. 4 C. －6 D. 6
C
二、填空题
15. 点P（a，2）到直线x＝1的距离为3，则a＝ .
【解析】画图像可得点P的横坐标a＝－2或a＝4.
－2或4
18. 直线l经过原点，且经过直线3x＋4y－2＝0与2x＋y＋2＝0的交点，则直线 l的斜率为 .

－1
19. 已知两条直线y＝ax－2和y＝（a＋2）x＋1互相垂直，则实数a＝ .
20. 已知原点到直线kx－y－10＝0的距离为2，则k＝ .
－1
三、解答题
21. 求满足下列各条件的直线的一般式方程.
（1）经过点P（2，－1）且与直线2x＋3y＋12＝0平行；
（2）经过点Q（－1，3）且与直线x＋2y－1＝0垂直.
22. 求过直线l1：x＋y－2＝0与直线l2：3x－y－4＝0的交点，且斜率为－2的 直线l的一般式方程.
23. 已知△ABC的三个顶点分别为A（－3，0），B（1，4），C（3，－2）， 求△ABC中BC边上的高AD所在的直线的方程.
24. 已知直线l1：（m－2）x＋3y＋2m＝0，直线l2：x＋my＋6＝0.
（1）若直线l1与l2垂直，求实数m的值；
对于直线l2，当m＝0时，直线l2：x＋6＝0垂直于x轴，斜率不存在，
（2）若直线l1与l2平行，求实数m的值.
解得m＝3或m＝－1.
经检验，当m＝3时，b1＝b2＝－2，两直线重合，舍去；当m＝－1时，符合 题意.
综上所述，若l1∥l2，则m＝－1.

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