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第6章　平面解析几何
6.2　圆的方程及直线与圆的位置关系
6.2.2　直线与圆的位置关系
考点一　直线与圆的位置关系
1. 直线与圆的位置关系：相交、相切、相离.
2. 判断直线与圆的位置关系的常见方法.
（1）几何法：比较圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系.
①d＜r 直线与圆相交；
②d＝r 直线与圆相切；
③d＞r 直线与圆相离.
（2）代数法：先联立直线与圆的方程，得方程组，然后消去y（或x），得 到一个关于x（或y）的一元二次方程.计算Δ的值.利用判别式Δ＝b2－4ac的 值来判断.
①Δ＞0 直线与圆相交；
②Δ＝0 直线与圆相切；
③Δ＜0 直线与圆相离.
考点二　圆的切线
3. 求解此类问题首先要确定点与圆的位置关系，即比较圆心到点的距离与半径的 大小，确定点在圆内、圆上还是圆外.若点在圆内，则过该点的圆的切线不存 在；若点在圆上，则过该点的圆的切线有且仅有一条；若点在圆外，则过该点的 圆的切线有两条，它们关于该点与圆心共同所在的直线对称.
4. 求解切线方程时要注意切线斜率不存在的情况，防止漏解.
5. 应理解并掌握如下关系：圆心到切线的距离等于半径，过切点的半径所在的直 线与切线垂直.
考向一　直线与圆的位置关系
典型例题
例1　判断以下直线与圆的位置关系.
（1）直线3x－4y＋6＝0与圆（x－2）2＋y2＝4；
（3）直线3x－4y＋5＝0与圆（x－2）2＋（y－1）2＝4.
变式训练1
A. －1＜b＜3 B. －1≤b≤3
C. －3＜b＜1 D. －3≤b≤1
A
考向二　圆的切线
典型例题
例2　（1）（2017年安徽省文化素质分类考试）若直线x＝a与圆（x－1）2＋y2 ＝1相切，则a的值为（　　）.
A. －1或1 B. －2或2 C. 0或2 D. 0或－2
（2）（2023届安徽省中职“江淮十校”第一次学情监测）过圆（x－1）2＋（y －2）2＝2上一点P（2，3）作圆的切线，则切线方程为（　　）.
A. x＋y－5＝0 B. x＋y＋1＝0
C. x－y－5＝0 D. x－y＋1＝0
【方法提炼】（1）首先根据圆的标准方程得出圆心坐标和半径，再根据直线与 圆相切，即圆心到直线的距离等于半径求值；（2）过圆上一点求切线方程时， 借助切线与过切点的半径所在直线垂直，根据半径所在直线的斜率求出切线的斜 率，再根据切点坐标，利用点斜式方程求出切线的方程.
变式训练2
A. （x－1）2＋（y＋2）2＝4 B. （x＋1）2＋（y－2）2＝4
C. （x－1）2＋（y＋2）2＝1 D. （x＋1）2＋（y－2）2＝1
【解析】因为圆心（－1，2）到y轴的距离为1，即圆的半径为1，又圆的圆心坐 标为（－1，2），则圆的方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝1.
D
考向三　直线被圆截得的弦长问题
典型例题
A. 1 C. 2 D. 4
变式训练3
A. 1 B. 2 C. 4
C
①当直线的斜率不存在时，圆C的圆心到直线x＝1的距离为1，满足题意；
A. 相交且过圆心 B. 相切
C. 相离 D. 相交但不过圆心
A. 相交且过圆心 B. 相切
C. 相离 D. 相交但不过圆心
A. 1 C. 2
C
B
C
A. 2 B. 4 C. 3 D. 9
【解析】由圆（x－2）2＋（y＋3）2＝a（a＞0），得圆心坐标为（2，－3），
又圆与x轴相切，则圆心到x轴的距离等于半径，即r＝3，则a＝9.
C. 2 D. 1
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
D
A
C
A. 1条 B. 2条 C. 0条 D. 无数条
A
A. （x－2）2＋（y＋1）2＝4 B. （x＋2）2＋（y－1）2＝4
C. （x－2）2＋（y－1）2＝1 D. （x＋2）2＋（y－1）2＝1
【解析】由题知圆心坐标为（－2，1），半径为2，则该圆的标准方程为（x＋ 2）2＋（y－1）2＝4.
B
A. 4 B. 0 或－4 C. －4 D. 0或4
B
A
A. 11 B. 6 C. 5 D. 1
D
A. 1 B. －2 C. 0或－2 D. 1或－3
D
A. （x－1）2＋（y＋2）2＝1 B. （x＋1）2＋（y＋2）2＝1
C. （x－1）2＋（y＋2）2＝4 D. （x＋1）2＋（y＋2）2＝4
【解析】由题知圆的圆心坐标为（－1，－2），半径为2，所以圆的标准方程为 （x＋1）2＋（y＋2）2＝4.
D
D
【解析】因为点P在圆上，作简图可得，切线的一般式方程为y＋2＝0.
7或－3
y＋2＝0
17. 已知点P是圆（x－1）2＋（y＋2）2＝1上的任意一点，则点P到直线3x－ 4y－1＝0的距离的最小值是 .
1
－3或1
19. 若过点P（1，2）作圆x2＋y2＋kx＋2y＋k＋1＝0的切线有两条，则实数k 的取值范围为 .
{k｜－5＜k＜0或k＞4}
三、解答题
21. 已知直线3x－4y－4＝0与圆（x－3）2＋y2＝9相交于A，B两点，求弦 长｜AB｜.
22. 过点P（1，3）作圆x2＋y2＝10的切线，求该切线的一般式方程.
23. 已知圆的方程是x2＋y2＝2，直线l的方程为x－y＋b＝0.当b为何值时，直 线l与圆相交、相切、相离？
24. 已知圆M经过A（－2，2），B（6，0）两点，圆心M在直线2x－y＝1 上，求圆M的标准方程.

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