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(共35张PPT)
第6章　平面解析几何
6.5　抛物线
考点一　抛物线的定义和标准方程
1. 定义：平面内到一个定点F和一条不过定点F的定直线l的距离相等的点的轨 迹称为抛物线.定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线.
2. 抛物线的标准方程及相关要素：
图形
标准方程 y2＝2px
（p＞0） y2＝－2px
（p＞0） x2＝2py
（p＞0） x2＝－2py
（p＞0）
焦点坐标
准线方程
考点二　抛物线的几何性质
3. 抛物线的几何性质：
图形
标准方程 y2＝2px
（p＞0） y2＝－2px
（p＞0） x2＝2py
（p＞0） x2＝－2py
（p＞0）
顶点 O（0，0）
离心率 e＝1
对称轴 x轴 y轴
取值范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
开口方向 右 左 上 下
考向一　抛物线的定义
典型例题
例1　已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，若抛物线上的点P（a，3）到 焦点的距离为5，则该抛物线的方程为（　　）.
A. x2＝8y B. x2＝4y
C. x2＝－4y D. x2＝－8y
变式训练1
A. 7 B. －7 C. 5 D. －5
C
考向二　抛物线的标准方程
典型例题
例2　（1）（2020年安徽省文化素质分类考试）已知抛物线的焦点坐标为（4， 0），则此抛物线的标准方程为（　　）.
A. x2＝8y B. x2＝16y
C. y2＝8x D. y2＝16x
（2）（2019年安徽省文化素质分类考试）若直线x＋y－3＝0过抛物线y2＝2px 的焦点，则p＝（　　）.
B. 3 C. 6 D. 12
【方法提炼】（1）求抛物线的标准方程的方法：
①直接法：直接利用题中已知条件确定参数p.
②待定系数法：先设出抛物线的方程，再根据题中条件确定参数p.
③定义法：判定所求点的轨迹符合抛物线的定义，进而求出方程.
求抛物线方程的主要步骤是先定位，即根据题中条件确定抛物线的焦点位置；后 定量，即求出方程中p的值，从而求出方程.
（2）若已知抛物线的焦点在坐标轴的某半轴上，则由条件将抛物线的标准方程 设为y2＝2px（p＞0）或y2＝－2px（p＞0）或x2＝2py（p＞0）或x2＝－2py （p＞0），进而求解.
（3）若只知抛物线的对称轴为x轴或y轴，而开口方向不确定，则可将抛物线的 标准方程设为y2＝mx（m≠0）或x2＝my（m≠0），从而避免了分类讨论.前 者焦点在x轴上，后者焦点在y轴上，再根据条件求m.若m＞0，则抛物线开口 向右（上）；若m＜0，则抛物线开口向左（下）.
变式训练2
A. y2＝－8x B. y2＝8x
C. x2＝－y D. x2＝y
【解析】由题意可设抛物线的标准方程是y2＝－2px（p＞0），将点（－2，4） 代入，得16＝－2p×（－2），则2p＝8，故抛物线的标准方程是y2＝－8x.
A
A. x2＝8y B. x2＝－8y
C. y2＝8x D. y2＝－8x
B
考向三　抛物线的几何性质
典型例题
例3　（2026届安徽省中职“江淮十校”高三摸底学情监测）已知抛物线y2＝4x 的焦点为F，点M在y轴上，线段MF的中点B在抛物线上，则点M的坐标为 （　　）.
C. （0，2）或（0，－2）
D. （0，1）或（0，－1）
【方法提炼】设出y轴上点M的坐标，根据抛物线标准方程确定其焦点坐标，再 利用线段的中点坐标公式求出线段MF的中点坐标，再将中点坐标代入抛物线标 准方程，即可求出点M的坐标.
变式训练3
B. y＝2 D. y＝－2
B
D
A. x＝－1 B. y＝0 C. x＝0 D. y＝－1
B
A. 4 B. 8 C. 12 D. 16
A. x2＝8y B. x2＝4y C. y2＝8x D. y2＝4x
A. （5，0） B. （10，0）
C. （0，5） D. （0，10）
B
A
A
C
A. x2＝8y B. x2＝－4y
C. x2＝4y D. x2＝－8y
C
A. 2 B. 4 C. －2 D. －4
A. （－2，0） B. （2，0）
C. （4，0） D. （－4，0）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
D
A
C
A. 2∶1 B. 1∶2 C. 1∶4 D. 4∶1
D
A. x2＝8y B. x2＝8y或y2＝－x
C. y2＝－x D. x2＝－y或y2＝8x
D
B. 3
B
B
A. （4，4） B. （1，2）
C. （4，－4） D. （1，－2）
C
【解析】如图所示，由直线BF的方程是y＝2x－2，得F（1，0），即p＝2， 抛物线的准线方程是x＝－1.点B的坐标是（－1，－4），则可设A点坐标是 （x0，－4），代入抛物线方程y2＝4x，得（－4）2＝4x0，故x0＝4，点A的坐 标是（4，－4）.
A. ±1 D. ±2
B

17. 点P（1，0）到抛物线y2＝2x上的点的最短距离为 .
1
19. 若抛物线y2＝2px（p＞0）上到焦点距离为5的点的横坐标为3，则p ＝ .
【解析】因为抛物线y2＝2px（p＞0）上到焦点距离为5的点的横坐标为3，所以 准线到y轴的距离为5－3＝2，即p＝4.
4
20. 已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l于点 A，若直线AF的倾斜角为120°，则｜PA｜＝ .
【解析】如图所示，令抛物线的准线l交x轴于点E，连接PF，由抛物线方程， 得点F（1，0），直线l：x＝－1.因为直线AF的倾斜角为120°，则有∠AFE ＝60°，又PA⊥l于点A，即PA∥x轴，得∠PAF＝60°.由抛物线的定义可 知｜PF｜＝｜PA｜，于是得△PAF为正三角形，即｜PA｜＝｜AF｜＝
2｜EF｜＝4，所以｜PA｜＝4.
4
三、解答题
21. 已知抛物线的方程为y＝－8x2，求该抛物线的焦点坐标、顶点坐标和准 线方程.
若F2（4，0）为抛物线的焦点，则可设抛物线的标准方程为y2＝2px（p＞0），
故抛物线的标准方程为y2＝16x；
综上，抛物线的标准方程为y2＝－16x或y2＝16x.
24. 若抛物线的顶点是双曲线16x2－9y2＝144的中心，焦点是双曲线的右顶点， 求抛物线的标准方程.

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